第23课时
正方形的性质
学习目标：掌握正方形的性质并能应用;
学习重点：正方形的性质和应用；
学习难点：运用正方形的性质解决相关证明问题.
一、情境导入，复习回顾
1.定义：四条边相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
2.正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形.
矩形、菱形的性质
性质
边
角
对角线
矩形
菱形
二、探索归纳，发现新知
1．观察正方形ABCD，类比矩形和菱形的性质，归纳出正方形的性质：
性质
边
角
对角线
图形
语言
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
文字
语言
符号
语言
归纳：正方形是
图形，有
对称轴，分别是对角线所在直线，连接对边中点的直线.
三、灵活应用，能力提升
例1.（课本P58）求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知：如图，四边形是正方形，对角线相交于点.
求证：,,,全等的等腰直角三角形.
练习1.
正方形具有而矩形不一定具有的性质是（
）
A．四个角都是直角
B．对角线互相平分
C．对角线相等
D．对角线互相垂直
练习2.
如图，在正方形ABCD中,
（1）∠ABC=____度，∠1=____度，∠2=____度；
（2）若AB=,
则AC=_____；
（3）若AC=6,
则AB=_____；正方形ABCD的面积为______.
归纳：1.知道边长可以求对角线长，知道对角线长可以求边长.
2.正方形的面积=边长=对角线乘积的一半.
练习3.
如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．
求证：OF=OE
四、课堂小结，凝练归纳
五、课后练习
1.（课本P59练习第2题）如图，四边形ABCD是一块正方形场地.小华和小芳在AB边上取定了一点E，测量知，EC=30m，EB=10m.这块场地的面积和对角线长分别是多少？
2.（课本P62习题第15题）如图，四边形ABCD是正方形.G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F.求证：.(共20张PPT)
第18章
第23课时
正方形的性质
一、情境导入，复习回顾
观察这些图片，它们都有哪种图形的形象？
在小学，什么样的四边形叫正方形？
1.定义：四条边相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
一、情境导入，复习回顾
2.思考：矩形、菱形和正方形有什么联系呢？
矩形
菱形
正方形
一个角是直角
一组邻边相等
正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形.
3.思考：正方形具有什么性质？
1.定义：四条边相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
2.正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形.
一、情境导入，复习回顾
具有矩形和菱形的所有性质.
边
角
对角线
矩
形
菱
形
矩形、菱形的性质
对边平行
且相等
对边平行，四边相等
四个角都是直角
对角相等，
邻角互补
对角线相等
且互相平分
对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
二、探索归纳，发现新知
正方形
正方形具体都有哪些性质呢？
类比、归纳思想
正方形性质
边
角
对角线
图形语言
文字语言
符号语言
对边平行，
四条边相等
四个角都是直角
对角线互相垂直平分且相等
∵四边形ABCD是正方形
∴AB∥CD,
AD∥BC,
AB=BC=CD=AD
∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD,AC=BD,
OA=OC=,OB=OD=
o
每条对角线平分一组对角.
∠1=
∠2=
∠3=
∠4
=
∠5=
∠6=
∠7=
∠8
=45
°
三、灵活应用，能力提升
例1.（课本P58）
求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
提示：将文字命题转化为具体的几何证明题，画图并写出已知和求证
三、灵活应用，能力提升
求证：,,,全等的等腰直角三角形
.
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.
证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AC=BD,AC⊥BD,
OA=OC=
AC,OB=OD=
∴OA=OB=OC=OD
∴△ABO,△BCO,△CDO,△DAO是等腰直角三角形
还有其他证明方法吗？
三、灵活应用，能力提升
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.
在△ABO和△BCO中
∴△
ABO
≌△
BCO
（SAS）
求证：,,,全等的等腰直角三角形
.
同理：△
BCO
≌△
CDO，
△
CDO
≌△
DAO
∴△
ABO
≌△
BCO
≌△
CDO≌△
DAO
思考：图中共有多少个等腰直角三角形？
8个,,,,
二、探索归纳，发现新知
正方形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
正方形是轴对称图形，有四条对称轴,分别是对角线所在直线，连接对边中点的直线.
三、灵活应用，能力提升
练习1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（
）
A．四个角都是直角
B．对角线互相平分
C．对角线相等
D．对角线互相垂直
D
三、灵活应用，能力提升
（2）若AB=则
AC=_____
.
练习2.如图，在正方形ABCD中,
，度，
分析：设OA=OB=x，
由勾股定理得：=
解得：
=1
(负值舍去)∴AC=2x=2
90
45
90
2
三、灵活应用，能力提升
练习2.如图，在正方形ABCD中,
（3）若AC=6,
则AB=_____,S正方形ABCD
=_____.
分析：由正方形的性质得：OA=OB=3
由勾股定理得：AB=
小结：1.知道边长可以求对角线长，知道对角线长可以求边长.
2.正方形的面积=边长=对角线乘积的一半.
S正方形ABCD=
还有其他计算方法吗？
解法二：S正方形ABCD
=
18
三、灵活应用，能力提升
练习3.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，
连接EB．过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．
求证:OF=OE．
即证：△AOF≌△BOE
①
OA=OB
∠3+∠4=
90°
，∠5+∠4=
90°
②∠1=∠2=90
°
③
∠3=∠5
正方形ABCD
三、灵活应用，能力提升
练习3.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，
连接EB．过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．
求证:OF=OE．
证明:
∵四边形ABCD是正方形
∴AC=BD,
∴OA=OB，∠1=∠2=90
°
∵
AM⊥BE
∴
∠3+∠4=
90
°
又∵
∠5+∠4=
90
°
OA=
AC,
OB=
∴
∠3=
∠5
在△AOF和△BOE中
∴△
AOF
≌△
BOE
（ASA）
∴
OF=OE
同角的余角相等
追问1：还有其他方法
证∠3=∠5吗？
追问2：还有其他证明全等
的方法吗？
四、课堂小结，凝练归纳
正方形定义
正方形的
性质
边
角
对角线
对称性
面积公式
四条边相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形.具有矩形和菱形的所有性质.
两组对边分别平行
四条边都相等
四个角都是直角
对角线互相垂直平分且相等
每条对角线平分一组对角
正方形是轴对称图形，有四条对称轴
正方形的面积=边长=对角线乘积的一半
五、课后练习，拓展提升
1.（课本P59练习第2题）如图，四边形ABCD是一块正方形场地.小华和小芳在AB边上取定了一点E，测量知，EC=30m，EB=10m.这块场地的面积和对角线长分别是多少？
解：∵四边形ABCD是正方形
∴∠B=90°，AB=BC
∴BC==
=20
连接AC
∴AC=
=
=40
30
10
答：这块场地的面积和对角线长分别是80040m.
∴S正方形ABCD
=800
五、课后练习，拓展提升
2.（课本P62习题第15题）如图，四边形ABCD是正方形.G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F.求证：AFBF=EF.
△DAE≌△ABF
①
AD=AB
②∠1=∠2=90
°
③
∠5=∠3
∠3+∠4=
90
°，∠5+∠4=
90
°
正方形ABCD
即证：AE=BF
DE⊥AG，BF∥DE
AF=EF
五、课后练习，拓展提升
2.（课本P62习题第15题）如图，四边形ABCD是正方形.G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F.求证：AFBF=EF.
证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD
∠BAD=90°
∵DE⊥AG
∴∠1=∠DEF=90°
∵BF∥DE
∴∠2=∠DEF=90°
∴∠1=∠2
∵∠3+∠4=
90
°
∠4+∠5=
90
°
∴∠3=∠5
在△
DAE和△ABF中
∴△DAE≌△ABF（AAS）
∴AE=BF
∵AFAE=EF
∴AFBF=EF
证明线段的和差关系通常把所有线段转化到同一直线上.
谢谢倾听
