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第十八章
第22课时
菱形的判定
一、情境导入，复习回顾
C
D
A
B
O
菱形
的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形
的性质
具有平行四边形的所有性质.
对角线互相垂直且平分每一组对角.
菱形的四条边都相等.
菱形
的判定
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
几何语言：
∵在?ABCD中，AD=AB,
∴?ABCD是菱形.
B
C
A
D
O
二、探索归纳，发现新知
菱形的对角线互相垂直；
与平行四边形相比，菱形特有的性质:
菱形的四条边都相等；
菱形的对角线平分每一组对角；
四条边相等的
是菱形.
平行四边形
四边形
？
想一想
二、探索归纳，发现新知
-www.
版权所有-
求证：
已知：
四边形ABCD是菱形.
B
C
A
D
∵
AB=
CD，BC=
DA，
证明：
∴四边形ABCD是菱形.
在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，
∵
AB=DA，
∴四边形ABCD是平行四边形，
求证：四条边相等的四边形是菱形.
(课本第58页第1题(2))
菱形的判定定理：
二、探索归纳，发现新知
-www.
版权所有-
四条边相等的四边形是菱形.
几何语言：
∴四边形ABCD是菱形.
∵
AB=BC=CD=DA，
在四边形ABCD中，
B
C
A
D
二、探索归纳，发现新知
菱形的对角线互相垂直；
菱形的四条边都相等；
菱形的对角线平分每一组对角；
四条边相等的
是菱形.
四边形
对角线互相垂直的
是菱形.
平行四边形
四边形
？
与平行四边形相比，菱形特有的性质:
想一想
二、探索归纳，发现新知
对角线互相垂直的
是菱形.
四边形
×
对角线互相垂直的
是菱形.
平行四边形
图1
图2
图3
∵在?ABCD中，AC⊥BD，
二、探索归纳，发现新知
求证：
已知：
?ABCD是菱形.
B
C
A
D
O
证明：
∴
△ADO≌△ABO
（SAS），
OD=OB，
∠AOD=
∠AOB，
AO=AO
，
∴
OD=OB，∠AOD=
∠AOB
，
在△ADO和△ABO
中
∴
AD=AB，
∴四边形ABCD是菱形.
在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD.
你还能想到其它方法吗？
求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．(课本第58页第1题(1))
菱形的判定定理：
二、探索归纳，发现新知
-www.
版权所有-
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
几何语言：
∵在?ABCD中，AC⊥BD,
∴?ABCD是菱形.
B
C
A
D
O
二、探索归纳，发现新知
菱形的对角线平分每一组对角；
2
1
B
C
A
D
O
菱形的对角线互相垂直；
菱形的四条边都相等；
四条边相等的
是菱形.
四边形
对角线互相垂直的
是菱形.
平行四边形
对角线平分每一组对角的
是菱形
平行四边形
？
与平行四边形相比，菱形特有的性质:
想一想
二、探索归纳，发现新知
菱形的对角线平分每一组对角；
2
1
B
C
A
D
O
菱形的对角线互相垂直；
菱形的四条边都相等；
四条边相等的
是菱形.
四边形
对角线互相垂直的
是菱形.
平行四边形
与平行四边形相比，菱形特有的性质:
想一想
矩形
菱形
定义
有一角是直角的平行四边形叫做矩形.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
平行四边形的性质
性质
边
角
对角线
四个角都是直角
相等
互相垂直且平分每一组对角
判定
有一个角是直角的平行四边形
对角线相等的平行四边形
三个角都是直角的四边形
有一组邻边相等的平行四边形
对角线互相垂直的平行四边形
四条边都相等的四边形
四条边都相等
二、探索归纳，发现新知
你一定知道
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；
三、灵活应用，能力提升
╳
╳
看谁又快又准
例1.判断下列说法是否正确？正确的画“√”,错误的画“×”.
√
四边形
两组对边分别平行
平行四边形
一组邻边相等
菱形
(3)邻边相等的四边形是菱形；
(4)两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形．
(2)对角线相等的平行四边形是菱形；
╳
二、探索归纳，发现新知
例2
如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3.求证:?ABCD是菱形.(课本第57页例4）
∵
AB=5，AO=4，BO=3，
∴
AC⊥BD，
∴
?ABCD是菱形.
B
C
A
D
O
证明：
∴
△OAB是直角三角形，
5
4
3
∴
三、灵活应用，能力提升
例3.如图，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，
求证:四边形EFGH是菱形.
证明：连接AC和BD，
∵在矩形ABCD中,
∵
E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点,
∴
四边形EFGH是菱形.
∴
AC=BD,
∴
∴
你还能想到其它方法吗？
四、课堂小结，凝练归纳
菱形常用的判定方法：
一组邻边相等
对角线互相垂直
四条边相等
五种判定方法
平行四边形
菱形
四边形
3.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是
菱形的为（
）
①AC⊥BD
；
②∠BAD＝90°；
③AB＝BC
；
④AC＝BD.
A．①③
B．②③
C．③④
D．①②③
1.如图，若AO=8cm,
OD=6cm，则当AD=___cm,
则□ABCD是菱形.
五、课后练习，拓展提升
请同学们按下暂停键，完成下列问题!
10
B
C
A
D
O
A
O
D
C
B
A
2.
如图，用两个全等的等边三角形纸片拼成的四边形ABCD是（
）
D
C
B
A
A.矩形
B.菱形
C.等腰梯形
D.直角梯形
B
五、课后练习，拓展提升
∴
AC⊥BD，
∴
?ABCD是菱形.
B
C
A
D
O
解：这个平行四边形是菱形.
∴
△OAB是直角三角形，
4.一个平行四边形的一条边长是9,两条对角线的长分别是12和
，
这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求出它的面积.(课本第58页
练习第2题）
理由如下:
∵
AB=9，AC=
，BD=12
，
四边形ABCD是平行四边形，
∴
谢谢倾听第22课时
菱形的判定
学习目标：
1.探索并证明菱形的判定定理,并能运用它们进行证明和计算；
2.通过经历利用菱形的定义和特殊性质探索菱形的其它判定定理的过程，丰富学
生的数学活动经验和体验，培养学生的观察、推理意识，发展学生的形象思维
和逻辑推理能力;
3.通过菱形判定定理及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推
理能力.
学习重点：
菱形判定条件的探索及证明．
学习难点：
灵活选择判定定理进行有关的证明和计算．
一、复习回顾
(
C
D
A
B
O
)
菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形的性质
具有平行四边形的所有性质.
菱形的四条边都相等.
对角线互相垂直且平分每一组对角.
菱形的判定
二、探索新知
1．猜想：
请利用菱形特有的性质（与平行四边形相比），探索菱形的判定方法:
菱形的四条边都相等；
四条边相等的
是菱形.(四边形或平行四边形）
菱形的对角线互相垂直；
对角线互相垂直的
是菱形.
(四边形或平行四边形）
菱形的对角线平分每一组对角；
对角线平分每一组对角的平行四边形是菱形？
2.论证：
（1）已知：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，求证：四边形ABCD是菱形.
(
B
B
C
C
A
A
D
)
归纳：菱形的判定定理：
.
（2）已知：在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD.
求证：?ABCD是菱形.
(
B
B
C
C
A
A
D
O
O
)
归纳：菱形的判定定理：
.
3.你一定知道：
矩形
菱形
定义
有一角是直角的平行四边形叫做矩形.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
性质
平行四边形的性质.
边
四条边都相等.
角
四个角都是直角.
对角线
相等.
互相垂直且平分每一组对角.
判定
有一角是直角的平行四边形；
对角线相等的平行四边形；
三个角都是直角的四边形.
；
；
.
三、例题解析
例1.判断下列说法是否正确？正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；
(
)
(2)对角线相等的平行四边形是菱形；
(
)
(3)邻边相等的四边形是菱形；
(
)
(4)两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形．
(
)
例2.如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4，BO=3.求证:
?ABCD是菱形.
(
B
B
C
C
A
A
D
O
O
)
例3.如图，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，求证:四边形EFGH是菱形.
四、课后练习
1.
如图，若AO=8cm,
OD=6cm，则当AD=___cm,则□ABCD是菱形.
2.如图，用两个全等的等边三角形纸片拼成的四边形ABCD是（
）
A.矩形
B.菱形
C.等腰梯形
D.直角梯形
3.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（
）
①AC⊥BD
；
②∠BAD＝90°；
③AB＝BC
；
④AC＝BD.
A．①③
B．②③
C．③④
D．①②③
(
B
B
C
C
A
A
D
O
O
)
(
O
D
C
B
A
)
(
O
D
C
B
A
)
第1题
第2题
第3题
(
B
C
A
D
O
)4.一个平行四边形的一条边长是9,两条对角线的长分别是12和，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求出它的面积.
