第21课时 菱形的性质
学习目标：1.理解并掌握菱形的定义和性质；
2.能运用菱形的性质定理进行简单的计算和证明；
3.理解菱形的面积公式，会选择适当的方法计算菱形的面积.
学习重点： 菱形的概念及性质，菱形的面积公式的推导
学习难点： 菱形的性质的灵活运用
一、温故知新
如图1，有一个角是直角的平行四边形是矩形.
如图2，在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？
二、探索新知
1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2.菱形的性质：
菱形是一个特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.除此之外，菱形还具有哪些特殊性质呢？
步骤一：猜想。从边、角、对角线等方面进行猜想。
菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
步骤二：证明猜想。根据题意画图——结合图形写出已知、求证——证明.
已知:如图3，四边形ABCD是菱形，其中AB=BC,对角线AC、BD相交于点O.
求证：(1)AB=BC=CD=DA,(2)AC⊥BD,AC平分∠DAB和∠DCB,BD平分∠ADC和∠ABC.
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形 (2)∵四边形ABCD是菱形
∴AD=BC,AB=CD ∴AO=CO
又AB=BC 又在△ABC中,有BA=BC
∴AB=BC=CD=DA. ∴DO⊥AC，即：BD⊥AC，且DB平分∠ADC.
同理：DB平分∠ABC,AC平分∠DAB和∠DCB.
菱形特有的性质：
（1）菱形的四条边都相等；
（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
注：①菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线就是它的对称轴；
②菱形被它的两条对角线分成四个全等的直角三角形，它们的底和高分别是两条对角线的一半.利用三角形的面积公式可推得，菱形的面积等于它的对角线之积的一半.如图3，.
③菱形中除过上述的直角三角形，还有4个等腰三角形，如图3分别是△ABC，△BCD，△CDA，△ABD.因此菱形的问题也经常转化为直角三角形或等腰三角形的问题来求解.
三、例题解析
例1 （1）已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.
（2）如图4，菱形ABCD中，边长是3cm，∠ABC＝60度，则AC＝____，BD＝______.
（3）菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，那么菱形的周长是______，面积是_______.
例2 如图5，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60度，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积.（结果保留一位小数点）
四、课后练习
在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.
(1)若AB=5，则AB=____=____=____=____,周长为____；
(2)若∠BAD=100°，则∠BAC=____°，∠ABD= ____°；
(3)若AC=12cm，BD=16cm,则AB=____cm,菱形的周长为____cm,面积为____cm2.(共17张PPT)
第18章
第21课时 菱形的性质
情境导入，复习回顾
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
在平行四边形中，如果内角大小保持不变仅改变边的长度，能否得到一个特殊的平行四边形？
情境导入，复习回顾
平行四边形
菱形
一组邻边相等
探索归纳，发现新知
一组邻边相等
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形的定义：
菱形
平行四边形
探索归纳，发现新知
菱形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质.
猜想1：菱形的四条边都相等．
猜想2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
A
B
C
D
O
边
角
对角线
无特殊性质
平行四边形的性质：
对边平行且相等；
对角相等；
对角线互相平分.
除此之外，它还有哪些特殊性质呢？
探索归纳，发现新知
已知:如图，四边形ABCD是菱形，其中AB=BC,对角线AC、BD相交于点O.
求证:(1)菱形的四条边相等；
(2)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
A
B
C
D
O
证明：(1)∵四边形ABCD是菱形
∴AD=BC,AB=CD
又AB=BC
∴AB=BC=CD=DA.
(1)AB=BC=CD=DA,
(2)AC⊥BD,
AC平分∠DAB和∠DCB,
BD平分∠ADC和∠ABC.
求证:
探索归纳，发现新知
A
B
C
D
O
证明:(2)∵四边形ABCD是菱形
∴AO=CO
∴BO⊥AC，即：BD⊥AC，且BD平分∠ABC.
同理：BD平分∠ADC,AC平分∠DAB和∠DCB.
(2)AC⊥BD,
AC平分∠DAB和∠DCB,
BD平分∠ADC和∠ABC.
求证:
又在△ABC中,有BA=BC
探索归纳，发现新知
菱形具有平行四边形的所有性质,此外
（1）菱形的四条边都相等；
（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线就是它的对称轴.
A
B
C
D
O
菱形的性质：
探索归纳，发现新知
菱形中的等腰三角形有：
△ABC，△BCD，
菱形中的直角三角形有：
Rt△ABO≌Rt△BCO≌Rt△CDO≌Rt△ADO.
菱形问题
转化
等腰三角形和直角三角形问题
A
B
C
D
O
△ADC，△ABD.
菱形的面积除了上述计算方
法外，你能利用菱形的两条对角线
求出它的面积吗？
A
B
C
D
O
E
S菱形=ah=BC AE
S菱形= 底×高 = 对角线乘积的一半
探索归纳，发现新知
S菱形ABCD=S△ABD + S△BCD
= BD· AO+ BD·CO
= BD·（AO+CO）= BD·AC
灵活应用，能力提升
1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.
2.如右图，菱形ABCD中，边长是3cm，∠ABC＝60度，则AC＝____，BD＝______.
3cm
3.菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，
那么菱形的周长是 ，面积是 .
24cm2
20cm
3cm
cm
60°
3cm
等边三角形
3cm
4cm
5cm
例1 填空
直角三角形
灵活应用，能力提升
A
B
C
D
例2 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积.（结果保留小数点后一位）
O
30°
20m
灵活应用，能力提升
课堂小结，凝练归纳
（2）菱形的性质
（1）菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形具有平行四边形的一切性质。此外，菱形
还有两条特有性质：
①菱形的四条边都相等；
②菱形的两条对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.
课堂小结，凝练归纳
所以菱形既是中心对称图形也是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线就是它的对称轴.
（3）菱形的面积公式：
课后练习，拓展提升
在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.
(1)若AB=5，则AB=____=____=____=____,周长为____;
(2)若∠BAD=100°，则∠BAC=____°，∠ABD= ____°；
(3)若AC=12cm，BD=16cm,则AB=____cm,菱形的周长为____cm,面积为____cm2.
A
B
C
D
O
BC
CD
AD
5
20
50
40
10
40
96
谢谢倾听
