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第18章
第17课时
平行四边形的判定(一)
平行四边形的判定方法？
情境导入，复习回顾
平行四边形的性质
已知：□ABCD，则可得：
边：
角：
对角线：
AB＝CD，AD＝BC
平行四边形的两组对边分别相等
AB∥CD，AD∥BC
平行四边形的两组对边分别平行
∠A＝∠C，∠B＝∠D
平行四边形的对角分别相等
AO＝CO，BO＝DO
平行四边形的对角线互相平分
?
?
?
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是是平行四边形
?
(定义)
判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
几何语言：∵AB∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
已知：在四边形ABCD中，AB＝CD，
AD＝BC
，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
猜想：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
四边形ABCD是平行四边形
AD∥BC，AB∥CD
角相等
连接AC
△ABC≌△CDA
分析
探索归纳，发现新知
1
3
2
4
?
已知：在四边形ABCD中，AB＝CD，
AD＝BC
，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
猜想：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
连接AC.
∴
AB∥CD
AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义）.
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
AB＝CD
∵
AD＝BC
AC＝CA,
证明
探索归纳，发现新知
判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
几何语言：∵AB＝CD，
AD＝BC
，
∴四边形ABCD是平行四边形.
1
2
3
4
∴△ABC≌△CDA(SSS).
已知：在四边形ABCD中，∠Ａ＝∠Ｃ,∠Ｂ＝∠Ｄ
求证：四边形ABCD是平行四边形.
猜想：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
分析
探索归纳，发现新知
∠Ａ+∠Ｂ+∠Ｃ+∠Ｄ=
360°
∠Ａ+
∠B=180
°
，
∠B+∠C=180
°
AD∥BC，
AB∥CD
∠Ａ＝∠Ｃ，
∠Ｂ＝∠Ｄ
?
探索归纳，发现新知
已知：在四边形ABCD中，∠Ａ＝∠Ｃ,∠Ｂ＝∠Ｄ
求证：四边形ABCD是平行四边形.
猜想：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
证明
在四边形ABCD中，
∠Ａ+∠Ｂ+∠Ｃ+∠Ｄ=
360°，
∵∠Ａ＝∠Ｃ,∠Ｂ＝∠Ｄ，
∴2(∠A+∠B)=360°，2(∠B+∠C)=360°，
∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC，
AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义）.
判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
几何语言：∵∠Ａ＝∠Ｃ,∠Ｂ＝∠Ｄ,
∴四边形ABCD是平行四边形.
探索归纳，发现新知
已知：在四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
猜想：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
分析
△COD≌△AOB，△AOD≌△COB
∠1=∠2
，∠3=∠4
AD∥BC，
AB∥CD
1
3
2
4
探索归纳，发现新知
已知：在四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
猜想：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
分析
△COD≌△AOB，△AOD≌△COB
AD=BC，
AB=CD
四边形ABCD是平行四边形
1
3
2
4
探索归纳，发现新知
已知：在四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
猜想：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
证明
∵OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD，
∴△COD≌△AOB(SAS).
∵OA=OC，∠AOD=∠COB，OB=OD,
∴△AOD≌△COB(SAS),
∴∠1=∠2
，∠3=∠4.
∴
AB∥CD，AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义）.
判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
几何语言：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
思考：一组对边相等且平行的四边形是平行四边形吗？
1
3
2
4
已知：在四边形ABCD中，AB＝CD，
AB∥CD
，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
猜想：一组对边相等且平行的四边形是平行四边形.
四边形ABCD是平行四边形
AD∥BC，AB∥CD
角相等
连接AC
△ABC≌△CDA
分析
探索归纳，发现新知
证明
探索归纳，发现新知
猜想：一组对边相等且平行的四边形是平行四边形.
已知：在四边形ABCD中，AB＝CD，
AB∥CD
，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
又∵
AB＝CD，∠1=∠2，AC＝CA,
∴△ABC≌△CDA（SAS）,
又∵AB＝CD,
∴四边形ABCD是平行四边形
（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.
连接AC.
判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
几何语言：∵AB＝CD，
AB∥CD
，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AD＝BC(全等三角形的对应边相等).
∵
AB∥CD
（已知）,
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）.
1
2
思考：一组对边平行，另一组对边相等，是否一定做出平行四边形？
探索归纳，发现新知
思考：一组对边平行，另一组对边相等，是否一定做出平行四边形？
在四边形ABED中,可知AB=DE且AD∥BE,
但该四边形显然不是平行四边形,而是等腰梯形.
E
Ｄ
Ａ
Ｂ
Ｃ
四边形的一组对边平行，另一组对边相等不能判定是平行四边形！
探索归纳，发现新知
思考：一组对边平行，另一组对边相等，是否一定做出平行四边形？
在四边形ABED中,可知AB=DE且AD∥BE,
但该四边形显然不是平行四边形,而是等腰梯形.
E
Ｄ
Ａ
Ｂ
Ｃ
四边形的一组对边平行且相等是平行四边形.
探索归纳，发现新知
判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
判定3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
判定4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
判定5：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
平行四边形的判定方法
灵活应用，能力提升
例1
在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠1=∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形．
分析
AD∥BC
AD=BC
△ABD≌△CDB
四边形ABCD是平行四边形
灵活应用，能力提升
例1
在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠1=∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵∠1=∠2,
∴AD∥BC.
∴AD=BC.
∵AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
在△ABD和△CDB中，
∠A=∠C
∠1=∠2
BD=BD,
∴△ABD≌△CDB(AAS).
灵活应用，能力提升
例2
(课本P47)
如图,
在□ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：四边形EBFD是平行四边形.
分析
AB=CD
DF∥BE
DF=BE
四边形EBFD是平行四边形
灵活应用，能力提升
例2
(课本P47)
如图,
在□ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：四边形EBFD是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD，EB∥FD.
又∵EB=
AB，FD=
CD,
∴EB=FD,
又∵EB∥FD，
∴四边形EBFD是平行四边形.
灵活应用，能力提升
例2
变式
如图:
□
ABCD中,点E
、F
分别在AB，CD上，且AE=CF.
求证:四边形AECF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD，EB∥FD.
∵AE=CF,
∴AB-AE=CD-CF，即EB=FD,
∴四边形EBFD是平行四边形.
灵活应用，能力提升
例3
(课本P46)如图,
□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.
OE=OF
OB=OD
OA=OC
对角线互相平分的四边形是是平行四边形
灵活应用，能力提升
例3
(课本P46)如图,
□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC，OB=OD.
∵AE=CF,
∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF.
又∵OB=OD,
∴四边形BFDE是平行四边形.
思考：你还有其他证法吗？
灵活应用，能力提升
例3
(课本P46)如图,
□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.
△BAE≌△DCF
AB∥CD，AB=CD
BE=DF
，∠AEB=∠DFC，故∠BEO=∠DFO
∠BAE=∠DCF
BE=DF
，BE∥DF
有力工具：
三角形全等
方法二
灵活应用，能力提升
例3
变式
如图,
在□ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足，求证：四边形AFCE是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC，AD∥BC,
∴∠ADE=∠CBF.
∵AE⊥BD，CF⊥BD,
∴∠AED=∠CFB=90°
，AE∥CF.
又∵∠ADE=∠CBF，∠AED=∠CFB，AD=BC,
∴△ADE≌△CBF(AAS),
∴AE=CF,
又∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形.
课堂小结，凝练归纳
平行四边形的判定方法
判定1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
判定5：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
判定3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
判定4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
判定2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
从边来判定
从角来判定
从对角线来判定
课后练习，拓展提升
练习1
在□
ABCD中,∠DAB和∠BCD的角平分线分别交AD,BC于F
,E.求证:四边形AFCE是平行四边形．
课后练习，拓展提升
练习1
在□
ABCD中,∠DAB和∠BCD的角平分线分别交AD,BC于F
,E.求证:四边形AFCE是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD，EB∥FD，∠BAD=∠BCD.
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD,
∴∠1=
∠BAD，∠2=
∠BCD,
∴∠1=∠2.
1
2
∵EB∥FD,
∴∠1=∠3.
3
∴∠2=∠3,
∴AE∥CF,
∴四边形AFCE是平行四边形.
课后练习，拓展提升
练习2
(课本P47第2题)如图:
□
ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，求证：BE=DF．
课后练习，拓展提升
练习2
(课本P47第2题)如图:
□
ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，求证：BE=DF．
证明：连接DE，BF.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OD=OB，OA=OC.
∴OE=
OA，OF=
OC,
∵E，F分别是OA，OC的中点,
∴OE=OF,
又∵OD=OB
∴四边形DEBF是平行四边形,
∴BE=DF.
谢谢倾听第17课时
平行四边形的判定（一）
学习目标：
1.用类比、逆向的思维方法来研究平行四边形的判别条件，理解并掌握用边、角、对角线来判定平行四边形的方法．
2.会运用平行四边形的判定方法完成证明．
学习重点：平行四边形的判定定理.
学习难点：平行四边形判定定理的证明以及灵活运用.
一、复习回顾
平行四边形定义：__________________的四边形是平行四边形.
2．平行四边形性质:
（1）平行四边形的_______________.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴_____________________.
（2）平行四边形的_______________.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴_____________________.
（3）平行四边形的_______________.
∵四边形ABCD是平行四边形,.
∴_____________________.
（4）平行四边形的_______________.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴_____________________.
平行四边形的判定方法：
判定1：____________________的四边形是平行四边形.
∵_________________,
∴四边形ABCD是平行四边形.
判定2：_____________________的四边形是平行四边形.
∵_________________,
∴四边形ABCD是平行四边形.
判定3：____________________的四边形是平行四边形.
∵_________________,
∴四边形ABCD是平行四边形.
判定4：____________________的四边形是平行四边形.
∵_________________,
∴四边形ABCD是平行四边形.
判定5：_____________________的四边形是平行四边形.
∵_________________,
∴四边形ABCD是平行四边形.
二、例题解析
例1
在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠1=∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形．
例2
(课本P47)
如图,
在□ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：四边形EBFD是平行四边形.
例2
变式
如图:
□
ABCD中,点E
、F
分别在AB，CD上，且AE=CF.
求证:四边形AECF是平行四边形．
例3
(课本P46)如图,
ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.
例3
变式
如图,
在ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足，求证：四边形AFCE是平行四边形.
四、课后练习
练习1
在□
ABCD中,∠DAB和∠BCD的角平分线分别交AD,BC于F
,E.求证:四边形AFCE是平行四边形．
练习2
(课本P47第2题)如图:
□
ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，求证：BE=DF．
