平面向量的概念全能练习
一、单选题
1．设是等边三角形的中心，则向量是（
）
A．有相同起点的向量
B．模相等的向量
C．平行向量
D．相等向量
2．在下列判断中，正确的是(
)
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向；
⑤任意向量与零向量都共线．
A．①②③
B．②③④
C．①②⑤
D．①③⑤
3．在四边形中，且，则四边形的形状一定是（
）
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．等腰梯形
4．如图，在正方形中，与交于点O，则图中与相等的向量是（
）
A．
B．
C．
D．
5．如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是(
)
A．与
B．与
C．与
D．与
6．已知点O固定，且||=2，则A点构成的图形是( )
A．一个点
B．一条直线
C．一个圆
D．不能确定
7．下列说法正确的是（
）
A．向量与表示同一个向量
B．两个有公共终点的向量是平行向量
C．零向量与单位向量是平行向量
D．对任一向量，是一个单位向量
8．下列说法正确的是（
）
A．向量与是平行向量
B．若都是单位向量，则
C．若，则四点构成平行四边形
D．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同
9．给出下列说法：①和的模相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量就是有向线段；④；⑤.其中正确说法的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
二、填空题
10．如图，分别是等边三角形的边的中点，在以为起点或终点的向量中，与向量共线的向量有_________个.
11．如图所示，四边形为正方形，为等腰直角三角形.
（1）图中与共线的向量有____________________；
（2）图中与相等的向量有_______________；
（3）图中与相等的向量有__________.
12．已知是不共线的三点，向量与向量是平行向量，与是共线向量，则__________.
13．如图所示，分别为的边的中点，则与向量共线的向量有__________(写出图中所有符合条件的向量)
14．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点，则这些向量的终点构成的图形的面积等于__________.
15．若在一个边长为5的正三角形中，一个向量所对应的有向线段为（其中D在边上运动），则向量的模的最小值为_________.
三、解答题
16．如图，分别是的边的中点，在以为起点或终点的向量中：
（1）找出与向量相等的向量；
（2）找出与向量相等的向量.
17．如图所示，O是正六边形的中心，且，，.
（1）与的模相等的向量有多少个？
（2）与的模相等且方向相反的向量有哪些？
（3）与共线的向量有哪些？
（4）请分别列出所有与相等的向量.
18．如图，在中，分别是边的中点，分别是的中点，求证：向量与共线.
19．一个人从点A出发沿东北方向走了100m到达点B，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100m到达点C．
（1）画出；
（2）求.
试卷第4页，总5页
试卷第1页，总4页平面向量的概念全能练习
一、单选题
1．设是等边三角形的中心，则向量是（
）
A．有相同起点的向量
B．模相等的向量
C．平行向量
D．相等向量
2．在下列判断中，正确的是(
)
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向；
⑤任意向量与零向量都共线．
A．①②③
B．②③④
C．①②⑤
D．①③⑤
3．在四边形中，且，则四边形的形状一定是（
）
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．等腰梯形
4．如图，在正方形中，与交于点O，则图中与相等的向量是（
）
A．
B．
C．
D．
5．如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是(
)
A．与
B．与
C．与
D．与
6．已知点O固定，且||=2，则A点构成的图形是( )
A．一个点
B．一条直线
C．一个圆
D．不能确定
7．下列说法正确的是（
）
A．向量与表示同一个向量
B．两个有公共终点的向量是平行向量
C．零向量与单位向量是平行向量
D．对任一向量，是一个单位向量
8．下列说法正确的是（
）
A．向量与是平行向量
B．若都是单位向量，则
C．若，则四点构成平行四边形
D．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同
9．给出下列说法：①和的模相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量就是有向线段；④；⑤.其中正确说法的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
二、填空题
10．如图，分别是等边三角形的边的中点，在以为起点或终点的向量中，与向量共线的向量有_________个.
11．如图所示，四边形为正方形，为等腰直角三角形.
（1）图中与共线的向量有____________________；
（2）图中与相等的向量有_______________；
（3）图中与相等的向量有__________.
12．已知是不共线的三点，向量与向量是平行向量，与是共线向量，则__________.
13．如图所示，分别为的边的中点，则与向量共线的向量有__________(写出图中所有符合条件的向量)
14．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点，则这些向量的终点构成的图形的面积等于__________.
15．若在一个边长为5的正三角形中，一个向量所对应的有向线段为（其中D在边上运动），则向量的模的最小值为_________.
三、解答题
16．如图，分别是的边的中点，在以为起点或终点的向量中：
（1）找出与向量相等的向量；
（2）找出与向量相等的向量.
17．如图所示，O是正六边形的中心，且，，.
（1）与的模相等的向量有多少个？
（2）与的模相等且方向相反的向量有哪些？
（3）与共线的向量有哪些？
（4）请分别列出所有与相等的向量.
18．如图，在中，分别是边的中点，分别是的中点，求证：向量与共线.
19．一个人从点A出发沿东北方向走了100m到达点B，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100m到达点C．
（1）画出；
（2）求.
参考答案
1．
【详解】
解：如图所示，
O是等边△ABC的中心，
∴向量、、的模长相等．
故选B.
2．D
【解析】
由定义知①正确，②由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确．显然，③、⑤正确，④不正确，所以答案是D.
3．C
【详解】
因为，
所以,
四边形是平行四边形
又，
所以,
四边形是菱形，故选C.
4．D
【详解】
解：如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，
∴图中与相等的向量是．
故选：D．
5．D
【解析】
因为=，
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以AC，BD互相平分，
所以=．
即与是相等的向量．选D．
6．C
【解析】
因为||=2，
所以点A在以点O为圆心、2为半径的圆上，
故A点构成的图形是一个圆．选C．
7．C
【详解】
向量与的方向相反，不是同一个向量；有公共终点的向量的方向不一定相同或相反；当时，无意义.故错误.零向量与任何向量都是平行向量，C正确.
故选：C
8．A
【详解】
向量与是相反向量，更是平行向量，A正确.两个单位向量可能方向不同，故B不正确.若，则四点可能共线，故C不正确.两向量相等的充要条件是两向量的大小相等、方向相同，故D也不正确.
故选：A
9．B
【详解】
①正确，与是方向相反、模相等的两个向量;
②错误，方向不同包括共线反向的向量；
③错误，向量用有向线段表示，但二者并不等同；
④错误，是一个向量，而0为一个数，应为；
⑤错误，向量不能比较大小.
只有①正确，故选B.
10．7
【详解】
分别为的中点，，
与向量共线的向量有，共7个.
故答案为：7
11．
【详解】
解：根据题意得，（1）图中与共线的向量为；
（2）图中与相等的向量为．
（3）图中与相等的向量有
12．
【详解】
解：A，B，C是不共线的三点，
则与不共线，
与是平行向量，与是共线向量，则．
故答案为：．
13．
【详解】
因为分别为的边的中点，
所以，符合条件的向量为.
故答案为。
14．
【详解】
由题意可知，这些向量的终点构成的图形是一个圆环，
圆环的小圆半径为，圆环的大圆半径为，
所以圆环的面积为，故答案为．
15．
【详解】
根据题意，在正三角形中，有向线段的长度最小时，应与边垂直，有向线段的长度的最小值为正三角形的高，
即向量的模的最小值为.
故答案为：
16．（1）；
（2）.
【详解】
（1）分别为的中点，，且，
又D是的中点，与向量相等的向量是.
（2）
分别为的中点，
，且，
又E是的中点，
，与向量相等的向量是.
17．（1）23；
（2）；
（3）；
（4）见解析.
【详解】
（1）与的模相等的向量有23个.
（2）与的模相等且方向相反的向量有.
（3）与共线的向量有.
（4）与相等的向量有；与相等的向量有；与相等的向量.
18．见解析
【详解】
分别是边的中点，是的中位线，，四边形是梯形。又分别是的中点，是梯形的中位线，，向量与共线.
19．（1）见解析；
（2）100.
【详解】
（1）如图所示.
（2）因为，，所以为正三角形，
故.
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试卷第2页，总4页
