高考二轮复习之平面向量的概念及线性运算（Word解析版）

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平面向量的概念及线性运算
一、知识梳理
1.向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模).
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
2.向量的线性运算
向量运算
定　义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
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(1)交换律：a＋b＝b＋a.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量
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a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
结论：
(1)O为△ABC的重心的充要条件是＋＋＝0；
(2)四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，则＋＝2；
(3)对于平面上的任一点O，，不共线，满足＝x＋y(x，y∈R)，则P，A，B共线?x＋y＝1.
二、例题精讲
+
随堂练习
考点一　平面向量的概念
【例1】
(1)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使＋＝0成立的是(　　)
A.a＝2b
B.a∥b
C.a＝－b
D.a⊥b
解析　(1)由＋＝0得＝－≠0，即a＝－·|a|≠0，则a与b共线且方向相反，因此当向量a与向量b共线且方向相反时，能使＋＝0成立.对照各个选项可知，选项A中a与b的方向相同；选项B中a与b共线，方向相同或相反；选项C中a与b的方向相反；选项D中a与b互相垂直.
(2)给出下列四个命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是(　　)
A.②③
B.①②
C.③④
D.②④
解析：(2)①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.
②正确.∵＝，∴||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则||＝||，
∥且，方向相同，因此＝.
③正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
④不正确.当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件.
综上所述，正确命题的序号是②③.
答案　(1)C　(2)A
【训练1】
(1)如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是(　　)
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A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
(2)给出下列说法：
①非零向量a与b同向是a＝b的必要不充分条件；
②若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上；
③a与b是非零向量，若a与b同向，则a与－b反向；
④设λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线.
其中错误说法的序号是________.
解析　(1)根据相等向量的定义，分析可得与不平行，与不平行，所以＝，＝均错误，与平行，但方向相反也不相等，只有与方向相同，且大小都等于线段EF长度的一半，所以＝.
(2)根据向量的有关概念可知①②③正确，④错误.
答案　(1)D　(2)④
考点二　平面向量的线性运算
角度1　向量的线性运算
【例2－1】
(2018·全国Ⅰ卷)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)
A.－
B.－
C.＋
D.＋
解析　∵E是AD的中点，∴＝－，
∴＝＋＝－＋，
又知D是BC的中点，
∴＝(＋)，
因此＝－(＋)＋＝－.
答案　A
角度2　利用向量线性运算求参数
【例2－2】
(1)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于(　　)
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"4S438.TIF"
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A.1
B.
C.
D.
解析　(1)∵E为线段AO的中点，
∴＝＋＝＋×＝＋＝λ＋μ，
∴λ＋μ＝＋＝.
(2)在锐角△ABC中，＝3，＝x＋y(x，y∈R)，则＝________.
解析：(2)由题设可得＝－＝＋
＝(－A)＋＝＋，
则x＝，y＝.故＝3.
答案　(1)B　(2)3
【训练2】
(1)如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝(　　)
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"W143.TIF"
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A.a－b
　
　B.a－b
C.a＋b
　
　D.a＋b
解析　(1)连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，
得CD∥AB且＝＝a，
所以＝＋＝b＋a.
(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.
解析：(2)＝＋＝＋
＝＋(－)＝－＋，
∵＝λ1＋λ2，
∴λ1＝－，λ2＝，
因此λ1＋λ2＝.
答案　(1)D　(2)
考点三　共线向量定理及其应用
【例3】
设两个非零向量a与b不共线.
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b).求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.
(1)证明　∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b).
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.∴，共线，又它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线.
(2)解　∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，
使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共线的两个非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.
【训练3】
(1)已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件为(　　)
A.λ＋μ＝2
B.λ－μ＝1
C.λμ＝－1
D.λμ＝1
(2)已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2＋x＋＝0成立的实数x的取值集合为(　　)
A.{0}
B.?
C.{－1}
D.{0，－1}
解析　(1)因为A，B，C三点共线，所以∥，设＝m(m≠0)，则λa＋b＝m(a＋μb)，所以所以λμ＝1.
(2)法一　若要x2＋x＋＝0成立，必须与x2＋x共线，由于－＝与共线，所以和的系数必须互为相反数，则x2＝－x，解得x＝0或x＝－1，而当x＝0时，＝0，此时B，C两点重合，不合题意，舍去.故x＝－1.
法二　∵＝－，∴x2＋x＋－＝0，
即＝－x2－(x－1)，∵A，B，C三点共线，
∴－x2－(x－1)＝1，即x2＋x＝0，解得x＝0或x＝－1.当x＝0时，x2＋x＋＝0，此时B，C两点重合，不合题意，舍去.故x＝－1.
答案　(1)D　(2)C
三、课后练习
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)零向量与任意向量平行.(　　)
(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　)
(3)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.(　　)
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.(　　)
解析　(2)若b＝0，则a与c不一定平行.
(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上.
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等.则所有正确命题的序号是(　　)
A.①
B.③
C.①③
D.①②
解析　根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误.
答案　A
3.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于(　　)
A.
B.2
C.3
D.4
解析　＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝2＋2＝4.
答案　D
4.(2019·东莞调研)如图所示，已知＝3，＝a，＝b，＝c，则下列等式中成立的是(　　)
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"5S13.TIF"
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A.c＝b－a
B.c＝2b－a
C.c＝2a－b
D.c＝a－b
解析　因为＝3，＝a，＝b，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝b－a.
答案　A
5.(2018·上海静安区月考)若四边形ABCD满足＝且||＝||，则四边形ABCD的形状是(　　)
A.等腰梯形
B.矩形
C.正方形
D.菱形
解析　因为＝，所以∥，且||＝||，所以四边形ABCD为以AD为上底，BC为下底的梯形.又||＝||，所以梯形ABCD的两腰相等.因此四边形ABCD是等腰梯形.
答案　A
6.(2019·菏泽调研)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝________.
解析　依题意知向量a＋λb与2a－b共线，设a＋λb＝k(2a－b)，则有(1－2k)a＋(k＋λ)b＝0，所以
解得k＝，λ＝－.
答案　－
7.已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2＝2＋，则(　　)
A.点P在线段AB上
B.点P在线段AB的反向延长线上
C.点P在线段AB的延长线上
D.点P不在直线AB上
解析　因为2＝2＋，所以2＝，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.
8.(2019·青岛二模)设D，E，F分别为△ABC三边BC，CA，AB的中点，则＋2＋3＝(　　)
A.
B.
C.
D.
解析　因为D，E，F分别为△ABC三边BC，CA，AB的中点，所以＋2＋3＝(＋)＋2×(＋)＋3××(＋)＝＋＋＋＋＋＝＋＋＝＋＝.
答案　D
9.已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.
解析　由已知条件得＋＝－，如图，延长AM交BC于D点，则D为BC的中点.
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同理E，F分别是AC，AB的中点，因此点M是△ABC的重心，
∴＝＝(＋)，则m＝3.
10.(2019·郑州模拟)设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为________.
解析　由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得＝λ.
又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)
＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，
又e1与e2不共线，
所以解得k＝－.
11.在△ABC中有如下结论：“若点M为△ABC的重心，则＋＋＝0.”设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，点M为△ABC的重心.
若a＋b＋c＝0，则内角A的大小为________，当a＝3时，△ABC的面积为________.
解析　由a＋b＋c＝a＋b＋c(－－)＝＋＝0，且与不共线，∴a－c＝b－c＝0，∴a＝b＝c.△ABC中，由余弦定理可求得cos
A＝，∴A＝.若a＝3，则b＝3，c＝3，S△ABC＝bcsin
A＝×3×3×＝.
答案　　
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精品试卷·第
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