平面向量的概念综合训练
一、单选题
1．下列说法中正确的个数是（
）
①身高是一个向量；②的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；④物理学中的加速度是向量
A．0
B．1
C．2
D．3
2．下列结论中，正确的是（
）
A．长的有向线段不可能表示单位向量
B．若是直线上的一点，单位长度已选定，则上有且仅有两个点，使得是单位向量
C．方向为北偏西的向量与南偏东的向量不可能是平行向量
D．一个人从点向东走米到达点，则向量不能表示这个人从点到点的位移
3．如图，在四边形中，为两条对角线的交点，，则必有（
）
A．
B．
C．
D．
4．设、分别是与、同向的单位向量，则下列结论中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．设为单位向量，①若为平面内的某个向量，则；②若与平行，则；③若与平行且，则上述命题中，假命题的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
二、填空题
6．已知是线段的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出__________个互不相等的非零向量.
7．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点，则这些向量的终点构成的图形的面积等于__________.
8．如图所示，分别为的边的中点，则与向量共线的向量有__________(写出图中所有符合条件的向量)
9．设O是正方形ABCD的中心，则①；②；③与共线；④.其中所有表示正确的序号为________．
10．如图所示，点是正六边形的中心，则以图中点中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，与向量共线的向量共有__________个.
三、解答题
11．如图，半圆的直径，是半圆上的一点，、分别是、上的点，且，，.
（1）求证：；
（2）求.
12．已知直线，点是直线上的两点.
（1）若为零向量，求，的值；
（2）若为单位向量，求，的值.
13．如图所示，平行四边形中，是两对角线，的交点，设点集，向量集合，试求集合中元素的个数.
参考答案
1．B
【详解】
身高只有大小，没有方向，故不是向量，①错误；
同理③中温度不是向量，③错误；
对于②，的两条边只有方向，没有大小，不是向量，②错误；
④中加速度是向量，④正确，故选B．
2．B
【详解】
一个单位长度取作时，长的有向线段刚好表示单位向量，故A错误；
C选项中的两个向量为平行向量，故C错误；
D选项中向量可以表示从A点到B点的位移，故D错误，
故选B。
3．D
【详解】
因为在四边形中，，
所以，
所以四边形为平行四边形，
因为是平行四边形对角线，为中点，
所以，故选D。
4．C
【详解】
因为是单位向量，
所以，，
故选C。
5．D
【详解】
向量是既有大小又有方向的量，与的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题，
若与平行，则与的方向相同或相反，反向时，故②③也是假命题，
综上所述，假命题的个数是3，故选D。
6．6
【详解】
设线段的长度为3：
则长度为1的向量有，共2个互不相等的非零向量；
长度为2的向量有，共2个；
长度为3的向量有，共2个互不相等的向量，
综上可知，最多可以写出6个互不相等的非零向量，故答案为6.
7．
【详解】
由题意可知，这些向量的终点构成的图形是一个圆环，
圆环的小圆半径为，圆环的大圆半径为，
所以圆环的面积为，故答案为．
8．
【详解】
因为分别为的边的中点，
所以，符合条件的向量为.
故答案为。
9．①②③
【解析】
设是正方形的中心，则①，，因为与大小相等，方向相同，正确；
②，正确；
③与共线，正确；
④.错误，与大小相等，方向不同.
即答案为①②③
10．9
【详解】
由正六边形的性质可知，与向量共线的向量有，
共9个，故答案为9。
11．（1）见解析；（2）
【详解】
(1)由题意知，在中，，，，
所以，是直角三角形，
因为点为半圆上一点，所以
所以，故
(2)因为，所以，，
即，解得，即。
12．（1）；（2）或
【详解】
（1）当为零向量时，点与点重合，此时
（2）当为单位向量时，，即与两点间的距离为1，
所以，即，
将入，可得，
所以或。
13．12
【详解】
由题可知，集合中的元素实质上是中任意两点连成的有向线段，共有20个，即，，。
由平行四边形的性质可知，共有对向量相等：即，，，，，，，，
因为集合元素具有互异性，所以集合中的元素共有12个。
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试卷第1页，总3页平面向量的概念综合训练
一、单选题
1．下列说法中正确的个数是（
）
①身高是一个向量；②的两条边都是向量；③温度含零上和零下温度，所以温度是向量；④物理学中的加速度是向量
A．0
B．1
C．2
D．3
2．下列结论中，正确的是（
）
A．长的有向线段不可能表示单位向量
B．若是直线上的一点，单位长度已选定，则上有且仅有两个点，使得是单位向量
C．方向为北偏西的向量与南偏东的向量不可能是平行向量
D．一个人从点向东走米到达点，则向量不能表示这个人从点到点的位移
3．如图，在四边形中，为两条对角线的交点，，则必有（
）
A．
B．
C．
D．
4．设、分别是与、同向的单位向量，则下列结论中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．设为单位向量，①若为平面内的某个向量，则；②若与平行，则；③若与平行且，则上述命题中，假命题的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
二、填空题
6．已知是线段的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出__________个互不相等的非零向量.
7．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点，则这些向量的终点构成的图形的面积等于__________.
8．如图所示，分别为的边的中点，则与向量共线的向量有__________(写出图中所有符合条件的向量)
9．设O是正方形ABCD的中心，则①；②；③与共线；④.其中所有表示正确的序号为________．
10．如图所示，点是正六边形的中心，则以图中点中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，与向量共线的向量共有__________个.
三、解答题
11．如图，半圆的直径，是半圆上的一点，、分别是、上的点，且，，.
（1）求证：；
（2）求.
12．已知直线，点是直线上的两点.
（1）若为零向量，求，的值；
（2）若为单位向量，求，的值.
13．如图所示，平行四边形中，是两对角线，的交点，设点集，向量集合，试求集合中元素的个数.
参考答案
1．B
【详解】
身高只有大小，没有方向，故不是向量，①错误；
同理③中温度不是向量，③错误；
对于②，的两条边只有方向，没有大小，不是向量，②错误；
④中加速度是向量，④正确，故选B．
2．B
【详解】
一个单位长度取作时，长的有向线段刚好表示单位向量，故A错误；
C选项中的两个向量为平行向量，故C错误；
D选项中向量可以表示从A点到B点的位移，故D错误，
故选B。
3．D
【详解】
因为在四边形中，，
所以，
所以四边形为平行四边形，
因为是平行四边形对角线，为中点，
所以，故选D。
4．C
【详解】
因为是单位向量，
所以，，
故选C。
5．D
【详解】
向量是既有大小又有方向的量，与的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题，
若与平行，则与的方向相同或相反，反向时，故②③也是假命题，
综上所述，假命题的个数是3，故选D。
6．6
【详解】
设线段的长度为3：
则长度为1的向量有，共2个互不相等的非零向量；
长度为2的向量有，共2个；
长度为3的向量有，共2个互不相等的向量，
综上可知，最多可以写出6个互不相等的非零向量，故答案为6.
7．
【详解】
由题意可知，这些向量的终点构成的图形是一个圆环，
圆环的小圆半径为，圆环的大圆半径为，
所以圆环的面积为，故答案为．
8．
【详解】
因为分别为的边的中点，
所以，符合条件的向量为.
故答案为。
9．①②③
【解析】
设是正方形的中心，则①，，因为与大小相等，方向相同，正确；
②，正确；
③与共线，正确；
④.错误，与大小相等，方向不同.
即答案为①②③
10．9
【详解】
由正六边形的性质可知，与向量共线的向量有，
共9个，故答案为9。
11．（1）见解析；（2）
【详解】
(1)由题意知，在中，，，，
所以，是直角三角形，
因为点为半圆上一点，所以
所以，故
(2)因为，所以，，
即，解得，即。
12．（1）；（2）或
【详解】
（1）当为零向量时，点与点重合，此时
（2）当为单位向量时，，即与两点间的距离为1，
所以，即，
将入，可得，
所以或。
13．12
【详解】
由题可知，集合中的元素实质上是中任意两点连成的有向线段，共有20个，即，，。
由平行四边形的性质可知，共有对向量相等：即，，，，，，，，
因为集合元素具有互异性，所以集合中的元素共有12个。
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