【高考二轮复习】椭圆定点、定值问题 专题复习学案（解析版）

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椭圆定点、定值问题专题
一、知识梳理
1.求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
2.定点的探索与证明问题
(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点.
(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.
二、例题精讲
+
随堂练习
1．已知椭圆的离心率为，左顶点为A，右焦点F，.过F且斜率存在的直线交椭圆于P，N两点，P关于原点的对称点为M.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线，的斜率分别为，，是否存在常数，使得恒成立？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.
【详解】
解：（1）因为离心率为，所以，又，所以，解得，，又，所以，所以椭圆方程为
（2）由（1）知，，设直线的方程为，，
因为与关于原点对称，所以
所以，
若存在，使得恒成立，所以
所以
两边同乘得
又因为在椭圆上，所以
所以
所以
当时，则
所以①；
当时，与重合，
联立方程，消元得，所以
所以，
代入①得，整理得，解得
2．已知椭圆C的中心在原点，其焦点与双曲线的焦点重合，点在椭圆C上，动直线交椭圆C于不同两点A、B，且（O为坐标原点）.
（1）求椭圆C的方程；
（2）讨论是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【详解】
（1）因为双曲线的焦点为，所以在椭圆C中，
设椭圆C的方程为，
由点在椭圆C上得，解得，则，
所以椭圆C的方程为.
（2）为定值，理由如下：
设，由可知，
联立方程组，
由得，
，①
由及得，
整理得，
将①式代入上式可得，
同时乘以可化简得，
所以，即为定值.
3．已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若过点的任意直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，求证，恒有.
【详解】
（1）由题意知，，
又因为解得，，
所以椭圆方程为，
（2）当过点的直线斜率为零时，显然满足题意；
当斜率不为零时，设过点直线为，
设，
由得，且.
则
又因为，，
，
所以.
因为线段的中点为，所以.
4．已知Q为圆上一动点，，QF的垂直平分线交QE于点P，设点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知直线l为曲线C上一点处的切线，l与直线交于B点，问：以线段AB为直径的圆是否过定点F？请给予说明．
【详解】
（1）如图所示，设，由题知：
，
所以点在以、为焦点的椭圆上，，，.
故点轨迹方程为.
（2）将代入得，
所以，不妨取，设，
代入得：.
所以，
整理得：，解得.
所以，故.
因为，，
即，
故以线段为直径的圆过定点.
5．在平面直角坐标系xOy中，已知点P是椭圆E：+y2＝1上的动点，不经过点P的直线l交椭圆E于A，B两点．
（1）若直线l经过坐标原点，证明：直线PA与直线PB的斜率之积为定值；
（2）若，证明：△ABP三边的中点在同一个椭圆上，并求出这个椭圆的方程．
【详解】
（1）设，，则，
则，
又，，相减得，
得，即直线PA与直线PB的斜率之积为定值，定值为.
（2）设，，，由，
得，，
的中点，化简得，
又，则，知在椭圆上，
同理可得的中点都在椭圆，
即△ABP三边的中点在同一个椭圆上，这个椭圆的方程为.
6．已知椭圆C：（）．若，，，四点中有且仅有三点在椭面C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设O为坐标原点，F为椭圆C的右焦点，过点F的直线l分别与椭圆C交于M，N两点，，求证：直线，关于x轴对称．
【详解】
（1）因为，两点关于原点对称，
故B，P均在椭圆上，
而点与点不关于x轴对称，
故Q不在椭圆上，
因此，
且，
解得．
故椭圆C的标准方程为
（2）由（1）知，则，
当直线l为x轴时，显然直线，关于x轴对称；
当直线l不与x轴重合时，设l：，，，
由消去x整理得．
所以，．
因为
，
则，
即，
故直线，关于x轴对称
综上可知，直线，关于x轴对称．
7．已知点是椭圆上一动点，点分别是左、右两个焦点.面积的最大值为，且椭圆的长轴长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点，在椭圆上，已知两点，，且以为直径的圆经过坐标原点.求证：的面积为定值.
【详解】
（1）由题意知，当点在短轴端点时，面积的最大值为，
所以，解得或，
因为，所以，所以.
所以椭圆标准方程为；
（2）以为直径的圆经过坐标原点，则，
又，所以.
①当直线的斜率不存在时，由题意知，
又，所以，；
②当直线的斜率存在时，设其方程为，
联立，得.
则，
所以，代入整理得：，此时，点到直线的距离，所以，综上,
的面积为定值.
8．已知椭圆经过点，且离心率为，过其右焦点F的直线交椭圆C于M，N两点，交y轴于E点．若，．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）试判断是否是定值．若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
【详解】
（1）设椭圆的半焦距为，由题意可得，
解得，，．
所以椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）为定值．
由题意可知，直线的斜率存在，设直线的斜率为k，
因为直线过点，所以直线的方程为．
令，可得，即．
联立消去y可得．
设，，易知，，则，．
，，，．
由，，可得，
所以．
将，代入上式，化简可得
9．如图，已知的两顶点坐标，，圆是的内切圆，在边，，上的切点分别为，，，．
（Ⅰ）求证：为定值，并求出动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过的斜率不为零直线交曲线于、两点，求证：为定值．
【详解】
（Ⅰ）由题意得：，，
，
，
动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆（不含椭圆与轴的交点），
设曲线方程为：，
则，解得：，又，，
曲线的方程为；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得：，设，，
直线的斜率不为零，可设的方程为，
联立消去并整理得：，
则，
，，
，
，
，，
综上可得：为定值．
10．已知椭圆：的左右焦点分别为、，其短轴的两个端点分别为，，若；是边长为2的等边三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，在轴上是否存在定点，使得直线，的斜率乘积为定值，若存在，求出定点，若不存在，请说明理由.
【详解】
（1）因为是边长为2的等边三角形，
所以，解得，，所以
所以椭圆的方程为.
（2）依题意直线斜率存在，设直线的方程为，
，
由整理得
当时，得，
设存在定点满足题意，则
.
由得，，
当时，当时；
故存在满足题意的定点或.
11．已知为坐标原点，椭圆的右焦点为，过的直线与相交于两点，点满足.
（1）当的倾斜角为时，求直线的方程；
（2）试探究在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【详解】
（1）椭圆的右焦点为，
直线的方程为，
由，解得或，
不妨设，，，
点满足．点，，
则，所以直线的方程为．
（2）假设，设直线的方程为，，，，，
由，消可得，
，，
，，，
，
，
，
当且仅当，即时，为定值．
故在轴上是否存在定点，，使得为定值．
12．已知椭圆E：（）的离心率为，F是E的右焦点，过点F的直线交E于点和点（）.当直线与x轴垂直时，.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线l：交x轴于点G，过点B作x轴的平行线交直线l于点C．求证：直线过线段的中点.
【详解】
（1）由，得，所以，
因为直线经过点F，且，所以根据对称性，不妨设.
当直线与x轴垂直时，，
，所以.
由，得，所以，.
所以椭圆E的方程为.
（2）当直线与x轴垂直时，，，，
这时直线的方程为，即.
令，得，点恰为线段的中点.
因为，当直线不与x轴垂直时，可设其方程为，
代入，
整理得.
所以，.
因为，，，
所以直线的方程为.
因为，，
所以
，
这说明直线过点.
综上可知直线过线段的中点.
13．已知椭圆：，过原点作射线交椭圆于，平行四边形的顶点，在椭圆上.
（1）若射线的斜率为，求直线的斜率；
（2）求证：四边形的面积为定值.
【详解】
（1）设射线的方程为，与椭圆联立得：，
当时，中点，
四边形为平行四边形，为中点，
设，，
，两式作差得：，
；
当时，同理可求得；
综上所述：直线的斜率为.
（2）①当直线斜率不存在时，四边形为菱形，且平分，
方程为或，，；
②当直线斜率存在时，设方程为：，
由得：，
则，整理得：，
设，，则，，
，
四边形为平行四边形，，
即点坐标为，即，
在椭圆上，，整理得：，
，
又原点到直线距离，；
综上所述：四边形的面积为定值.
14．已知P是圆F1：（x+1）2+y2＝16上任意一点，F2（1，0），线段PF2的垂直平分线与半径PF1交于点Q，当点P在圆F1上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）记曲线C与x轴交于A，B两点，M是直线x＝1上任意一点，直线MA，MB与曲线C的另一个交点分别为D，E，求证：直线DE过定点H（4，0）.
【详解】
（1）由已知|QF1|+|QF2|＝|QF1|+|QP|＝|PF1|＝4，
所以点Q的轨迹为以为F1，F2焦点，长轴长为4的椭圆，
故2a＝4，a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3
所以曲线C的方程为
（2）由（1）可得A（﹣2，0），B（2，0），设点M的坐标为（1，m）
直线MA的方程为：
将与联立消去y整理得：（4m2+27）x2+16m2x+16m2﹣108＝0，
设点D的坐标为（xD，yD），则，
故，则
直线MB的方程为：y＝﹣m（x﹣2）
将y＝﹣m（x﹣2）与联立消去y整理得：（4m2+3）x2﹣16m2x+16m2﹣12＝0
设点E的坐标为（xE，yE），则，
故，则
HD的斜率为
HE的斜率为
因为k1＝k2，所以直线DE经过定点H.
三、课后练习
1．已知椭圆：的离心率为，且椭圆上一点的坐标为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线恒过轴上一定点.
【详解】
解：（1）由已知，又，则.
椭圆方程为，将代入方程得，，
故椭圆的方程为；
（2）不妨设直线的方程，
联立消去得.
设，，则有，①
又以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，∴，
由，得，
将，代入上式得
，
将①代入上式求得或（舍），
则直线恒过点.若直线斜率为0也符合条件，
故直线恒过定点.
2．已知点为圆：上任意一点，定点的坐标为，线段的垂直平分线交于点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）若动直线与圆相切，且与点的轨迹交于点、，求证：以为直径的圆恒过坐标原点.
【详解】
解：（1）圆的圆心为，半径，连接，由已知得：，
由椭圆的定义知：点的轨迹是中心在原点，以为焦点，长轴长为的椭圆
即
点的轨迹方程为.
（2）设直线的方程为，
与相切，
，即
设，
联立代入消元得：，
，,代入（
）式得
又
以为直径的圆恒过定点.
3．已知椭圆过点，焦距长.
（I）求椭圆的标准方程；
（II）设不垂直于坐标轴的直线与椭圆交于不同的两点、，点.设为坐标原点，且.证明：动直线经过定点.
【详解】
（I）由题意知.
又因为，即，解得，.
故椭圆的标准方程是.
（II）设直线的方程为，联立，消去得，
，.
设，，则，.
于是.
由知，.
即
，得，.
故动直线的方程为，过定点.
4．已知椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为，点为椭圆的左顶点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设圆，过点作圆的两条切线分别交椭圆于点和，求证：直线过定点.
【详解】
（1）由题意得，，解得，.
椭圆的标准方程为.
（2）设切线的方程为，
则，即.
设两切线的斜率为，则.
联立，得，
设，则，，
同理，
则.
直线的方程为，
整理得，
故直线过定点.
5．已知椭圆的焦距为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线交椭圆于两点、，且是线段的中点，直线是线段的中垂线，证明直线过定点，并求出该定点坐标.
【详解】
（1）由题意得，
，解得，，
椭圆的标准方程为.
（2）由题意得点在椭圆内部，则.
当直线不垂直轴时，设直线的方程为，
联立，整理得
.
设，
，则，
为线段的中点，，即，解得.
又，直线的斜率为，
直线的方程为，即，
直线过定点；
当直线垂直于轴时，直线为轴，经过点.
综上所述，直线过定点.
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精品试卷·第
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