8.3 实际问题与二元一次方程组

8.3实际问题与二元一次方程组
教学任务分析
教学目标 知识技能 使学生能够探索事物之间的数量关系，利用方程或方程组解决实际问题．
数学思考 通过问题探究，使学生进一步使用代数中的方程来反映现实世界的等量关系，体会代数方法的优越性．
解决问题 使学生能够根据实际问题，寻找其中的相等关系，最终转化为数学问题求解．
情感态度 进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力，培养严谨慎密的科学习惯，继续渗透转化的数学思想.
重点 能够根据题意找出相等关系，根据相等关系列出方程或方程组解决实际问题．
难点 准确找到实际问题中的相等关系，解释结果的合理性．
教学流程安排
活动流程图 活动内容和目的
探究1 养牛场问题探究2 种植面积问题探究3 运输问题 小结与作业 创设问题情境，激发学生兴趣，引起探索渴望．主体探索，合作交流，培养学生分析、解决问题的能力，锻炼学生思维的灵活性和深刻性．问题解决，在交流解法的过程中培养学生的语言表述能力以及交流能力．复习巩固、归纳总结．
教学过程设计
创设问题情境，激发学生兴趣，引起探索渴望．
探究1：养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约需用饲料675 kg；一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时1天约需要饲料940 kg．饲养员李大叔估计平均每只大牛1天约需要饲料18～20 kg，每只小牛1天约需要7～8 kg．你能否通过计算检验他的估计？
探究2：根据以往的统计资料，甲、乙两种作物的单位面积的产量比是1∶1.5，现在要在一块长为200 m，宽100 m的长方形的土地上种植这两种作物，怎样把这块地分为两个长方形，使甲、乙两种作物的总产量比为3∶4（结果取整数）？
图1
探究3：如图2，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运往B地．公路运价为1.5元/（吨·千米），铁路的运价为1.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15 000元，铁路运费97 200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
图2
主体探索，合作交流，培养学生分析、解决问题的能力，锻炼学生思维的灵活性和深刻性
活动1：对上述问题进行探究，表述自己的解答方案．
学生活动设计：
学生首先独立思考，在独立思考的基础上进行合作交流．
对于探究1：学生分析题意，发现存在这样的相等关系：（1）30只大牛1天所需饲料＋15只小牛1天所需饲料＝1天的饲料总量；（2）42只大牛1天所需饲料＋20只小牛1天所需饲料＝后来1天的饲料总量．根据上述相等关系，可以设未知数列出方程组（比如可以设平均每只大牛和每只小牛1天各需饲料约x kg、y kg，有方程组），求出解后要对解进行检验，说明李大叔的估计的准确性．
对于探究2：学生自己画出示意图，找出一种种植方案（近似，然后通过计算确定数据），根据学生思维的特点，可能有如下种植方案，此时可以设AE=x，BE＝y，然后根据问题中的产量、长度找到相等关系，列出方程组，解出方程组的解后解释具体方案．
对于探究3：学生经过分析可以发现其中的数量关系有，（1）两段公路费共有15 000元；（2）两段铁路总费用是97 200元，销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，可以设产品重x吨，原料重y吨，于是从A到化工厂铁路费是120y×1.2、公路费用是10y×1.5元；从化工厂到B地的铁路费是110x×1.2、公路费用是20x×1.5元．
于是有方程组，解出结果后，进行检验，进一步计算这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元．
教师活动设计：
本节课的主要目的，是使学生在探究如何用方程组解决实际问题的过程中，进一步提高分析问题中的数量关系、设未知数、列方程组并解方程组、检验结果的合理性的能力，同时这些问题要比以前的问题更接近现实，因此分析、解决的难度也要大一些．对于这些问题不能像对待前面的例题一样，应充分发挥学生的自主学习的积极性，引导学生先独立探究，再进行合作交流．
探究1是有关牛饲料的问题，学生分析解决问题后要对李大叔的估计作出判断，从而要求进行精确计算．
探究2是一个开放性的问题，其解决方法不止一种，通过此问题的解决，让学生体会一题多解的问题情境，学习从多角度考虑问题；分析这个问题，提醒学生注意：
（1）要把这个长方形分成两个长方形；
（2）两块地分别种甲、乙两种作物，它们的产量比是3:4．
首先可以考虑前一个要求，容易想到划分的方法是沿这块土地的边的方向画线．在此基础上考虑另一要求，这就与长方形面积以及两种作物的产量比有关了．（注意此时得到的答案不是整数值，为了符合要求需要取近似值．）
探究3索要的答案是一个值，但是直接设这个值为未知数列方程不太容易．为此可以引导学生设间接的未知数，即先设产品数量和原料数量分别为x、y，解出它们后再计算问题索要的答案．另外在探究3的解决过程中，注意培养学生从图表中获取信息的能力．
最后引导学生归纳：
方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具，列出方程组要根据问题中的数量关系，得出方程组的解后要进一步考虑它是否符合问题的实际意义．
三、问题解决，在交流解法的过程中培养学生的语言表述能力以及交流能力．
〔解答〕
探究1：设平均每只大牛和每只小牛各需饲料约x kg、y kg，则
，
解得
．
因此饲养员李大叔对大牛的食量估计较为准确，而对小牛的食量的估计偏高．
探究2：如图这种种植方案，设AE=x，BE＝y，则
，
解得
，
由于结果要取整数，
可以确定这种种植方案是：过长方形土地的长边上离一端约为106米处，把这个长方形分为两个长方形．较大的一块种甲种农作物，较小的一块种乙种农作物．
探究3：设产品重x吨，原料重y吨，则
，
解得，进而计算得到这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1 887 800元．
四、归纳小结、布置作业．
小结：本节你遇到了哪些问题？你是怎样解决的？
作业：
1．已经进入汛期，七年级二班的同学们到水库调查了解汛情．水库一共有10个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全线，上游的河水仍以一个不变的速度流入水库．同学们经过一天的观察和测量，做了如下记录：上午打开一个泄洪闸，在2小时内水位继续上升了0.06米；下午再打开2个泄洪闸后，4小时水位下降了0.1米．目前水位仍超过安全线1.2米．
（1）如果打开5个泄洪闸，还需几小时水位降到安全线？
（2）如果防汛指挥部要求6小时内使水位降到安全线，至少应该打开几个泄洪闸？
〔解答〕
设河水的流入使水位上升x米/时，每个闸门泄洪可以使水位下降y米/时，则有
，解得．
（1）设打开5个泄洪闸，需t小时水位降到安全线，则有
0.0575t－0.0275×5 t＝－1.2，t＝15时．
（2）设打开n个闸门，需要6小时水位降到安全线，则有
6×0.0575－6×0.0275n＝－1.2，n≈9.36，因此应打开10个闸门．
2．习题 8.3．