9.1 不等式
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9.1 不等式
9.1.1不等式及其解集
[目标分析]：
一、知识目标：
1、在现实情境中认识数量间的不等关系，理解不等式的意义；
2、会用不等式表示不等关系．
3、会判断一个数是否为不等式的解；
4、正确地将不等式的解集表示在数轴上．
二、过程性目标：
1、引导学生分析具体事例，从对具体事例的分析中得到不等量关系；
2、通过分析、抽象得到不等式的概念．
3、在使用数轴表示不等式解集的过程中， 让学生感受数形结合思想．
三、情感态度目标：
1、在对实际问题的数量关系进行比较分析、作出推断的过程中，提高学生参与数学活动，乐于接触社会环境中数学信息的兴趣；
2、为学生创设学数学、用数学的情境，让学生体验用数学知识解决实际问题的方法．
3、通过观察、归纳、类比、推断而获得不等式的解集与数轴上的点之间的关系，体验数学活动充满着探索性与创造性.
[教学重点和难点]：
重点：不等式的意义以及会用不等式表示不等关系；
难点：对不等式解集的含义的理解；通过数轴直观地表现出不等式的解集.
[教法和学法]：探索交流、讲练结合
教学过程
一、情境创设：
小磊和他的妈妈、爸爸的体重分别为30kg、55kg和75kg. 春节期间，去瘦西湖游乐场玩跷跷板，小磊和妈妈玩时，谁会向上跷？若小磊和妈妈坐一头，爸爸坐在另一头时，谁会向上跷？
这说明：因为30kg 55kg（填写不等号），所以 会向上跷；
又因为30kg＋55kg 75kg. （填写不等号），所以 会向上跷．
二、新课讲解
在日常生活中，同类量（如长度与长度，质量与质量，速度与速度）之间常常存在不等关系.
1、不等式：像30kg＜55kg 、x＞50，x＋2＜48、a≤100、3y≥10等，用不等号表示不等关系的式子叫做不等式．
2、例1用不等式表示：
（1）a是正数； （2）b是非负数； （3）c是负数； （4）d不小于2的数．
归纳：根据不等式的意义，常用的不等号有下面的5种形式．
种类 符号 读法 举例
小于号 ＜ 小于 2＋3＜6，x<－4
大于号 ＞ 大于 2＋3＞5，x＞－10
小于或等于号 ≤ 小于或等于（不大于） x≤8
大于或等于号 ≥ 大于或等于（不小于） x≥5
不等号 ≠ 不等于 x≠5
3、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
例如，x＝3.5、5、6都是不等式x－3＞0的解，x＝－1、0、2、6都是x－4＜0的解.
探索归纳：
（1）x＋2＞5、x－3＞0和x－4＜0的解各有多少个？
（2）不等式的解与方程解有什么不同？
4、一个含有未知数的不等式的解的全体叫做不等式的解集.
不等式x＋2＞5、x－3＞0和x－4＜0的解集分别是什么？
5、求不等式解集的过程叫做解不等式.
6、在数轴上表示不等式的解集：
不等式x+2＞5的解集，可以表示成x＞3. x＞3表示x取哪些数？
在数轴上表示大于3的数的点应该数3所对应点的左边还是右边？(右边)因此我们可以在数轴上把x＞3直观地表示出来.画图时要注意方向(向右)和端点(不包括数3，在对应点画空心圆圈).如图所示:
同样，如果某个不等式的解集为x≤-2， 那么它表示x取那些数？
此时在作x≤-2的数轴表示时，要包括-2的对应点，因而在该点处应画实心圆点.如图所示:
引导学生总结出在数轴上表示不等式解集的要点：
小于向左画，大于向右画；无等号画空心圆圈，有等号画实心圆点.
7、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0，这样的不等式叫做一元一次不等式（linear inequality with one unknown）.
说明：它们都只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1.
三、巩固练习：书P123练习1、3
四、课堂小结（学生归纳，教师补充．）
五、课外作业：教材P128，2题.
9.1.2不等式的性质
目标要求：
1．掌握不等式的两条基本性质，并能熟练的应用不等式的性质进行不等式的变形；
2．理解不等式的基本性质与等式的基本性质之间的区别.
过程性目标
在积极参与探索、发现不等式基本性质的过程中，体会不等式的两条基本性质的作用和意义，培养学生探索数学问题的能力.
情感态度目标
1．通过学生的自主讨论培养学生的观察力和归纳的能力；
2．通过学生的讨论使学生进一步体会集体的作用，培养其集体合作的精神.
重点和难点
重点：掌握不等式的两条基本性质，尤其是不等式的基本性质2；
难点：正确应用不等式的两条基本性质进行不等式的变形.
教学过程设计：
一、创设情境
问：在解一元一次方程时，我们主要是对方程进行变形，那么方程变形主要有哪些？
答：去分母、移项、系数化为1.
问：这些解法具体步骤的主要依据是等式的两条基本性质.
等式基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式；
等式基本性质2：等式的两边都乘以或除以同一个数不等于0的数，所得的结果仍是等式
探索1：
（1）请同学们观察：课本P.12电梯里两人身高分别为：a米、b米，且a＞b，都升高6米后的高度后的不等式关系：a＋6＞b＋6；同理：a－3 b－3（填写“＜”、“＞”号
（2）实物演示：一个倾斜的天平两边分别放有重物，其质量分别为a和b（显然有a＞b）,如果在两边盘内再分别加上等量的砝码c，那么盘子会出现什么情况？可让学生进行操作，并得出结论：盘子仍然像原来那样倾斜（即a+c＞b+c）。
a＞b a+c＞b+c.
归纳1:
教师在学生得出结论的前提下总结：
等式的性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.用数学式了表示为：a+c＞b+c，a-c＞b-c.
探索2：问题：如果不等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数, 不等号的方向是否也不变呢？
将不等式7＞4两边都乘以同一个数，比较所得数的大小，用“＞”，“＜”或“＝”填空：7×3 ______4×3，7×2 ______4×2 ，7×1______ 4×1，……
7×（－1）______4×（－1），7×（－2）______4×（－2），
7×（－3）______4×（－3），……
从中你能发现什么？在学生所得出的结论的基础上，引导学生总结概括出不等式的另外一条性质.
不等式的性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
用数学式了表示：
如果a＞b，并且c＞0，那么ac＞bc.； 如果a＞b，并且c＜0，那么ac＜bc.
思考：不等式的两边都乘0，结果又怎样？
如：7 4 而 7×0______ 4×0.
不等式的性质与等式的性质比较如下表：
等式的性质, 不等式的性质
1. 如果a=b，那么
a+c=b+c, a―c=b―c, 1. 如果a＞b，那么
a+c＞b+c, a―c＞b―c
2. 如果a=b，且c≠0, 那么
ac=bc, =, 2.
如果a>b，且c>0, 那么ac>bc, >;
如果a>b，且c<0, 那么ac注意：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
三、实践应用
例1设：a＜b，用“＜”或“＞”号填空：
（1）a－3 b－3；（2）a－b 0.（3）―4a ―4b；（4） 。
例2根据不等式的性质，把下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式.
（1）x－4＞3 （2）2x－3＜x－2 （3）x＋1＞-3 （4）-2x－4＜4x＋4； （5）x≤（x－2）；
注意：不等式的两边同乘以或除以同一个负数，不等号一定要改变方向.
例3、根据不等式的性质，将不等式变形成x＞a或x＜a的形式。
(1)x－3＞2； (2)3x＜2x－3。
例4、根据不等式的性质，将不等式变形成x＞a或x＜a的形式。
(1)x＞－3； (2)－2x＜3x+5
例5、已知a＜2，则＝ .
例6、有一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数字是b，若把这个两位数的个位与十位数对调，得到的两位数大于原来的两位数，比较a与b的大小.
四、练习
1．判断下列语句是否正确：
（1）若m＜0,则5m＞4m； （2）若x为有理数，则4x2 ＞-3x2；
（3）若y为有理数，则4+y2＞0； （4）若3a＜-2a，则a＜0；
（5）若,则x＜y.
2.已知x＜y，用“＜”或“＞”号填空。
（1）；（2）；（3）；（4）；
3.将下列不等式改写成“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）＞0； （2）＜4。
4. 利用不等式的基本性质，填“＞”或“＜”：
（1）若a＞b，则2a+1 2b+1; （2）若＜10，则y -8；
（3）若a＜b，且c＞0，则ac+c bc+c；（4）若a＞0，b＜0， c＜0，（a-b）c 0。
5.（1）用“＞”号或“＜”号填空，并简说理由。
① 6+2 -3+2； ② 6×（-2） -3×（-2）；
③ 6÷2 -3÷2； ④ 6÷（-2） -3÷（-2）
（2）如果a＞b，则
① ②
③ ＞0） ④ （c＜0）
五、拓展延伸。
1．已知a＞b，能否推出ac2＞bc2 2．已知ac2＞bc2，能否推出a＞b
3．已知x＞5，能否推出2x－3＞7 4．已知x＜2，能否推出3－2x＞－1.
9.1.1不等式及其解集
[目标分析]：
一、知识目标：
1、在现实情境中认识数量间的不等关系，理解不等式的意义；
2、会用不等式表示不等关系．
3、会判断一个数是否为不等式的解；
4、正确地将不等式的解集表示在数轴上．
二、过程性目标：
1、引导学生分析具体事例，从对具体事例的分析中得到不等量关系；
2、通过分析、抽象得到不等式的概念．
3、在使用数轴表示不等式解集的过程中， 让学生感受数形结合思想．
三、情感态度目标：
1、在对实际问题的数量关系进行比较分析、作出推断的过程中，提高学生参与数学活动，乐于接触社会环境中数学信息的兴趣；
2、为学生创设学数学、用数学的情境，让学生体验用数学知识解决实际问题的方法．
3、通过观察、归纳、类比、推断而获得不等式的解集与数轴上的点之间的关系，体验数学活动充满着探索性与创造性.
[教学重点和难点]：
重点：不等式的意义以及会用不等式表示不等关系；
难点：对不等式解集的含义的理解；通过数轴直观地表现出不等式的解集.
[教法和学法]：探索交流、讲练结合
教学过程
一、情境创设：
小磊和他的妈妈、爸爸的体重分别为30kg、55kg和75kg. 春节期间，去瘦西湖游乐场玩跷跷板，小磊和妈妈玩时，谁会向上跷？若小磊和妈妈坐一头，爸爸坐在另一头时，谁会向上跷？
这说明：因为30kg 55kg（填写不等号），所以 会向上跷；
又因为30kg＋55kg 75kg. （填写不等号），所以 会向上跷．
二、新课讲解
在日常生活中，同类量（如长度与长度，质量与质量，速度与速度）之间常常存在不等关系.
1、不等式：像30kg＜55kg 、x＞50，x＋2＜48、a≤100、3y≥10等，用不等号表示不等关系的式子叫做不等式．
2、例1用不等式表示：
（1）a是正数； （2）b是非负数； （3）c是负数； （4）d不小于2的数．
归纳：根据不等式的意义，常用的不等号有下面的5种形式．
种类 符号 读法 举例
小于号 ＜ 小于 2＋3＜6，x<－4
大于号 ＞ 大于 2＋3＞5，x＞－10
小于或等于号 ≤ 小于或等于（不大于） x≤8
大于或等于号 ≥ 大于或等于（不小于） x≥5
不等号 ≠ 不等于 x≠5
3、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
例如，x＝3.5、5、6都是不等式x－3＞0的解，x＝－1、0、2、6都是x－4＜0的解.
探索归纳：
（1）x＋2＞5、x－3＞0和x－4＜0的解各有多少个？
（2）不等式的解与方程解有什么不同？
4、一个含有未知数的不等式的解的全体叫做不等式的解集.
不等式x＋2＞5、x－3＞0和x－4＜0的解集分别是什么？
5、求不等式解集的过程叫做解不等式.
6、在数轴上表示不等式的解集：
不等式x+2＞5的解集，可以表示成x＞3. x＞3表示x取哪些数？
在数轴上表示大于3的数的点应该数3所对应点的左边还是右边？(右边)因此我们可以在数轴上把x＞3直观地表示出来.画图时要注意方向(向右)和端点(不包括数3，在对应点画空心圆圈).如图所示:
同样，如果某个不等式的解集为x≤-2， 那么它表示x取那些数？
此时在作x≤-2的数轴表示时，要包括-2的对应点，因而在该点处应画实心圆点.如图所示:
引导学生总结出在数轴上表示不等式解集的要点：
小于向左画，大于向右画；无等号画空心圆圈，有等号画实心圆点.
7、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0，这样的不等式叫做一元一次不等式（linear inequality with one unknown）.
说明：它们都只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1.
三、巩固练习：书P123练习1、3
四、课堂小结（学生归纳，教师补充．）
五、课外作业：教材P128，2题.
9.1.2不等式的性质
目标要求：
1．掌握不等式的两条基本性质，并能熟练的应用不等式的性质进行不等式的变形；
2．理解不等式的基本性质与等式的基本性质之间的区别.
过程性目标
在积极参与探索、发现不等式基本性质的过程中，体会不等式的两条基本性质的作用和意义，培养学生探索数学问题的能力.
情感态度目标
1．通过学生的自主讨论培养学生的观察力和归纳的能力；
2．通过学生的讨论使学生进一步体会集体的作用，培养其集体合作的精神.
重点和难点
重点：掌握不等式的两条基本性质，尤其是不等式的基本性质2；
难点：正确应用不等式的两条基本性质进行不等式的变形.
教学过程设计：
一、创设情境
问：在解一元一次方程时，我们主要是对方程进行变形，那么方程变形主要有哪些？
答：去分母、移项、系数化为1.
问：这些解法具体步骤的主要依据是等式的两条基本性质.
等式基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式；
等式基本性质2：等式的两边都乘以或除以同一个数不等于0的数，所得的结果仍是等式
探索1：
（1）请同学们观察：课本P.12电梯里两人身高分别为：a米、b米，且a＞b，都升高6米后的高度后的不等式关系：a＋6＞b＋6；同理：a－3 b－3（填写“＜”、“＞”号
（2）实物演示：一个倾斜的天平两边分别放有重物，其质量分别为a和b（显然有a＞b）,如果在两边盘内再分别加上等量的砝码c，那么盘子会出现什么情况？可让学生进行操作，并得出结论：盘子仍然像原来那样倾斜（即a+c＞b+c）。
a＞b a+c＞b+c.
归纳1:
教师在学生得出结论的前提下总结：
等式的性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.用数学式了表示为：a+c＞b+c，a-c＞b-c.
探索2：问题：如果不等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数, 不等号的方向是否也不变呢？
将不等式7＞4两边都乘以同一个数，比较所得数的大小，用“＞”，“＜”或“＝”填空：7×3 ______4×3，7×2 ______4×2 ，7×1______ 4×1，……
7×（－1）______4×（－1），7×（－2）______4×（－2），
7×（－3）______4×（－3），……
从中你能发现什么？在学生所得出的结论的基础上，引导学生总结概括出不等式的另外一条性质.
不等式的性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
用数学式了表示：
如果a＞b，并且c＞0，那么ac＞bc.； 如果a＞b，并且c＜0，那么ac＜bc.
思考：不等式的两边都乘0，结果又怎样？
如：7 4 而 7×0______ 4×0.
不等式的性质与等式的性质比较如下表：
等式的性质, 不等式的性质
1. 如果a=b，那么
a+c=b+c, a―c=b―c, 1. 如果a＞b，那么
a+c＞b+c, a―c＞b―c
2. 如果a=b，且c≠0, 那么
ac=bc, =, 2.
如果a>b，且c>0, 那么ac>bc, >;
如果a>b，且c<0, 那么ac
三、实践应用
例1设：a＜b，用“＜”或“＞”号填空：
（1）a－3 b－3；（2）a－b 0.（3）―4a ―4b；（4） 。
例2根据不等式的性质，把下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式.
（1）x－4＞3 （2）2x－3＜x－2 （3）x＋1＞-3 （4）-2x－4＜4x＋4； （5）x≤（x－2）；
注意：不等式的两边同乘以或除以同一个负数，不等号一定要改变方向.
例3、根据不等式的性质，将不等式变形成x＞a或x＜a的形式。
(1)x－3＞2； (2)3x＜2x－3。
例4、根据不等式的性质，将不等式变形成x＞a或x＜a的形式。
(1)x＞－3； (2)－2x＜3x+5
例5、已知a＜2，则＝ .
例6、有一个两位数，个位上的数字是a，十位上的数字是b，若把这个两位数的个位与十位数对调，得到的两位数大于原来的两位数，比较a与b的大小.
四、练习
1．判断下列语句是否正确：
（1）若m＜0,则5m＞4m； （2）若x为有理数，则4x2 ＞-3x2；
（3）若y为有理数，则4+y2＞0； （4）若3a＜-2a，则a＜0；
（5）若,则x＜y.
2.已知x＜y，用“＜”或“＞”号填空。
（1）；（2）；（3）；（4）；
3.将下列不等式改写成“x＞a”或“x＜a”的形式：
（1）＞0； （2）＜4。
4. 利用不等式的基本性质，填“＞”或“＜”：
（1）若a＞b，则2a+1 2b+1; （2）若＜10，则y -8；
（3）若a＜b，且c＞0，则ac+c bc+c；（4）若a＞0，b＜0， c＜0，（a-b）c 0。
5.（1）用“＞”号或“＜”号填空，并简说理由。
① 6+2 -3+2； ② 6×（-2） -3×（-2）；
③ 6÷2 -3÷2； ④ 6÷（-2） -3÷（-2）
（2）如果a＞b，则
① ②
③ ＞0） ④ （c＜0）
五、拓展延伸。
1．已知a＞b，能否推出ac2＞bc2 2．已知ac2＞bc2，能否推出a＞b
3．已知x＞5，能否推出2x－3＞7 4．已知x＜2，能否推出3－2x＞－1.