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2020-2021学年浙江省高二数学（上）期末数学易错题精选1
单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
三点，，在一条直线上，则k的值为
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了斜率计算公式、斜率与三点共线的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
三点，，在一条直线上，可得，利用斜率计算公式即可得出．
【解答】
解：三点，，在一条直线上，
，即，
解得．
故选B．
圆关于直线对称，则ab的取值范围是
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查直线与圆的位置关系及二次函数的性质的应用，属于基础题．
根据题意得到a，b的关系式，进而转化为二次函数求最值问题可解．
【解答】
解：圆关于直线对称，
则圆心在直线上，求得，
则，
故ab的取值范围是．
故选A．
已知两平面，平行，且，下列四个命题：
与内的所有直线平行与内无数条直线平行
直线a与内任何一条直线都不垂直与无公共点．
其中正确命题的个数是
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查直线与平面平行的性质定理的应用，直线与直线，直线与平面的位置关系的应用，是基础题．
直接利用直线与平面的位置关系以及直线与直线的位置关系判断即可．
【解答】
解：平面平面，直线，与内的所有直线平行；显然不正确，还有异面直线．
与内的无数条直线平行；正确；
与内的任何一条直线都不垂直；错误，有异面垂直的直线．
与无公共点，正确；
故选B．
一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是?
?
A.
，8
B.
，
C.
，
D.
8，8
【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查空间几何图的三视体，并求几何体的侧面积和体积，属于基础题型，由题意可知该几何体是底面边长为2，高为2的正四棱锥．
【解答】
解：由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为，
所以，．
故选B．
已知，，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是?
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查必要条件的定义，属于基础题．
根据p是q的必要条件，列不等式方程确定实数a的取值范围．
【解答】
解：设满足p的实数集合为M，满足q的实数集合为N，
p是q的必要条件，
即，解得．
故选D．
椭圆的左右焦点为，，P为椭圆上第一象限内任意一点，关于P的对称点为M，关于的对称点为N，则的周长为
A.
6
B.
8
C.
10
D.
12
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的定义的应用，考查数形结合以及计算能力，属于基础题．
利用已知条件结合椭圆的定义，转化求解即可．
【解答】
解：椭圆的左右焦点为，，
可得，，
P为椭圆上第一象限内任意一点，关于P的对称点为M，关于的对称点为N，如图：
则的周长为：
．
故选：D．
在平行六面体中，M为AC和BD的交点，若，，，则等于???
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量的加减运算及数乘运算、简单多面体棱柱、棱锥、棱台及其结构特征的相关知识，试题难度较易．
根据空间向量的加减运算法则进行求解即可．
【解答】
解：
．
设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则a的取值范围是
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．
设，，问题转化为存在唯一的整数使得在直线的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得且，解关于a的不等式组可得．?
【解答】
解：设，，
由题意知存在唯一的整数使得在直线的下方，
，
当时，，当时，，
当时，取最小值，
当时，，当时，，
直线恒过定点且斜率为a，
故且，解得，
故选D
．
在三棱锥中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，，PB与底面ABC所成的角的余弦值为，则三棱锥的外接球的体积为???
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了等腰三角形的性质、球的体积计算公式、余弦定理、线面面面垂直的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于较难题．
如图所示，取AC的中点D，连接BD，由，，利用等腰三角形的性质，线面垂直的判定定理即可得出：平面PBD，进而得出：平面平面ABC，可得为PB与底面ABC所成的角，其余弦值为在中，设，利用余弦定理可得：由，取PB的中点O，连接OD，利用余弦定理可得OD，可得点O为三棱锥的外接球的球心，即可得出外接球的体积V．
【解答】
解：如图所示，取AC的中点D，连接BD，PD．
，，
，，BD，平面PBD，
平面PBD，又平面ABC，
平面平面ABC，
为PB与底面ABC所成的角，其余弦值为．
，
在中，设，由余弦定理可得：，
解得，即，取PB的中点O，连接OD，则，解得．
，．
可得点O为三棱锥的外接球的球心，其外接球的半径，体积．
故选A．
已知A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为，，若椭圆的离心率为，则的最小值为
A.
1
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查椭圆的基本性质和基本不等式的应用圆锥曲线是高考的重点问题，基本不等式在解决最值时有重要作用，所以这两方面的知识都很重要，一定要强化复习，属较难题．
先假设出点M，N，A，B的坐标，然后表示出两斜率的关系，再由?，利用基本不等式等号成立的条件求最小值为1．
【解答】
解：设，
，
?，
当且仅当，即时等号成立．
因为A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，
，即，
的最小值为，
因为椭圆的离心率为，即
所以，
的最小值为1．
故选A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
如图所示，是水平放置的的斜二测画法得到的直观图，则在的三边及中线AD中，最长的线段是??????????．
【答案】AC
【解析】
【分析】
本题考查斜二测与直观图间的关系，属于基础题．
是水平放置的的直观图中，，AC为斜边，进而可分析出的三边及中线AD中，最长的线段．
【解答】
解：画出原图形如图所示，为
直角三角形，显然，AC边最长．
故答案为Ac
一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
；
与CM所成的角为；
与MN是异面直线；
．
以上结论中正确结论的序号为________．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查异面直线及其所成的角，直线与直线的位置关系，先把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，再根据所给结论进行逐一判定即可得到结果．
【解答】
解：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，
如图所示，
则，EF与MN为异面，，，只有正确．
故答案为．
直线l：恒过定点__________，点到直线l的距离的最大值为________．
【答案】；
【解析】
【分析】
本题考查直线过定点问题，点到直线距离公式，属于基础题．
直线可化为令可得直线l恒过定点易知当时，点到直线l的距离最大，且最大值为．
【解答】
解：可化为．
令解得
直线l恒过定点．
易知当时，点到直线l的距离最大，
且最大值为．
故答案为；．
如图，在空间四边形OABC中，，，，点M在OA边上，且，N为BC的中点，则________用表示．
【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查空间向量的基本定理与应用，属于一般题．
【解析】
解：，，，，N为BC的中点，
．
故答案为．
命题“，满足不等式”是假命题，则m的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
本题考查全称量词命题以及存在量词命题与二次不等式恒成立问题，解决此类问题要结合二次函数的图象与性质处理，属于中档题．
将问题等价转化为命题的否定为真命题即不等式恒成立，由二次函数的图象与性质可知只需且即可．
【解答】
解：命题“，满足不等式”是假命题，
命题“，满足不等式”是真命题，
设，
则有，解得，
故答案为．
已知抛物线过点，A，B是抛物线上的点，O为坐标原点，直线OA，OM，OB的斜率依次成等比数列，则直线AB恒过点________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了抛物线的性质及几何意义、等比数列的性质的相关知识，试题难度一般．
【解答】
解：抛物线过点，
，抛物线方程为．
设，，
直线OA，OM，OB的斜率依次成等比数列，
，
．
直线AB的方程为，
令，可得，
直线AB恒过定点．
若函数在上为增函数，则a的取值范围是_______．
【答案】【答案】
【解析】略
设双曲线的左右两个焦点分别为、，P是双曲线上任意一点，过的直线与的平分线垂直，垂足为Q，则点Q的轨迹曲线E的方程________；M在曲线E上，点，，则的最小值________
【答案】；
【解析】
【分析】
本题考查轨迹方程的求法，以及最小值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的定义以及数形结合思想，属于难题．运用双曲线的定义和等腰三角形的性质，以及圆的定义，可得Q的轨迹方程；可设，设，且，结合M的轨迹方程，求得c，d，结合三点共线取得最值，可得最小值．
【解答】
解：双曲线的，如图：
延长与的延长线交于H，连接OQ，
由PQ为的平分线，且为边上的高，可得为等腰三角形，
则，由双曲线的定义可得，
即有，
由OQ为的中位线，可得，
可得Q的轨迹方程为圆；
设，设，且，
可得，
平方可得，
化为，
由于M在圆上，可得，，，
解得，，
则，连接TB，可得T，M，B三点共线，
即有取得最小值，
故答案为；．
三、解答题（本大题共6小题，共49分）
已知，，B.若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】解：或，或．
是q的必要不充分条件，
，
【解析】本题考查必要不充分条件的应用，以及利用集合之间的关系求参数，属于基础题．
由p是q的必要不充分条件，可得，列不等式组，解得即可．
已知圆，直线．
若直线l与圆O交于不同的两点，当时，求实数k的值；
若是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，试探究：直CD是否过定点．若存在，请求出定点的坐标；否则，说明理由．
【答案】解：，
点O到l的距离，
即，
解得???
由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，?
设，则此圆的方程为：，
即：，
又C、D在圆上，
两圆方程相减得，
即，
，解得
故直线CD过定点．
【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线恒过定点，点到直线的距离公式，属于中档题．
利用点到直线的距离公式，结合点O到l的距离，可求k的值；?
由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，C、D在圆O：上可得直线CD的方程，即可求得直线CD是否过定点．
已知函数，曲线在点处的切线方程为．
求实数a，b的值；
若曲线C：，求曲线C过点的切线方程．
【答案】解，由于直线的斜率为，且过点，
故解得
由知，则设切点为，则切线斜率，
故切线方程为由切线过点，代入可解得或，
切点为或，则切线方程为或．
【解析】略
如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，，E，F分别是AB，PB的中点．
求证：；
在平面PAD内求一点G，使平面PCB，并证明你的结论．
【答案】证明：以DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，设．
则0，，a，，a，，，0，，，
，．
，．
解：平面PAD，设0，，
．
由知，．
由题意，要使平面PCB，
只需，
，
，．
点G的坐标为0，，即点G为AD的中点．
【解析】本题考查了空间中直线与直线的位置关系、利用空间向量判定线面的垂直、平行关系的相关知识，试题难度一般
已知双曲线的离心率，直线l过，两点，原点O到直线l的距离是．
求双曲线的方程；
过点B作直线m交双曲线于M，N两点，若，求直线m的方程．
【答案】解：依题意，直线l的方程为，即．
由原点O到直线l的距离是，
得，
又，
所以，．
故所求双曲线的方程为．
显然直线m不与x轴垂直，设直线m的方程为，
设点M，N的坐标分别为，，
联立方程
消去y，得
依题意，知，
由根与系数的关系，知，．
所以，
解得．
当时，判别式，方程有两个不等的实数根，满足条件．
故直线m的方程为或．
【解析】本题考查了双曲线的概念及标准方程、直线与双曲线的位置关系、圆锥曲线中的向量与参数问题的相关知识，试题难度较难
列方程组求出a，b，c得答案；
联立方程得，由根与系数的关系结合可求直线的斜率得结果。
已知函数．
当时，求函数的单调区间；
设，当时，对任意，存在，使，证明：．
【答案】解：函数的定义域为，
又，
由，得或，
当，即时，
由，得，由，得或，
当，即时，
当时，都有；
当时，单调减区间是，单调增区间是和；
当时，单调增区间是，没有单调减区间；
证明：
当时，由知在单调递减，在单调递增，
从而在上的最小值为，
对任意，存在，使，
即存在，使的值不超过在区间上的最小值，
由得，
，
令，
则当时，，
，
当时，，
当时，，，
故在上单调递减，从而．
从而实数．
【解析】本题考查导数的综合应用，属于较难题．
先求出的定义域和导函数，然后求单调区间，注意对a分类；
在上的最小值为，因为对任意，存在，使，即，令，将原问题转化为求证即可．
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2020-2021学年浙江省高二数学（上）期末数学易错题精选1
单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
三点，，在一条直线上，则k的值为
A.
B.
C.
D.
圆关于直线对称，则ab的取值范围是
A.
B.
C.
D.
已知两平面，平行，且，下列四个命题：
与内的所有直线平行与内无数条直线平行
直线a与内任何一条直线都不垂直与无公共点．
其中正确命题的个数是
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是?
?
A.
，8
B.
，
C.
，
D.
8，8
已知，，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是?
A.
B.
C.
D.
椭圆的左右焦点为，，P为椭圆上第一象限内任意一点，关于P的对称点为M，关于的对称点为N，则的周长为
A.
6
B.
8
C.
10
D.
12
在平行六面体中，M为AC和BD的交点，若，，，则等于???
A.
B.
C.
D.
设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则a的取值范围是
A.
B.
C.
D.
在三棱锥中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且，，PB与底面ABC所成的角的余弦值为，则三棱锥的外接球的体积为???
A.
B.
C.
D.
已知A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为，，若椭圆的离心率为，则的最小值为
A.
1
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
如图所示，是水平放置的的斜二测画法得到的直观图，则在的三边及中线AD中，最长的线段是??????????．
一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
；
与CM所成的角为；
与MN是异面直线；
．
以上结论中正确结论的序号为________．
直线l：恒过定点__________，点到直线l的距离的最大值为________．
如图，在空间四边形OABC中，，，，点M在OA边上，且，N为BC的中点，则________用表示．
命题“，满足不等式”是假命题，则m的取值范围为__________．
已知抛物线过点，A，B是抛物线上的点，O为坐标原点，直线OA，OM，OB的斜率依次成等比数列，则直线AB恒过点________．
若函数在上为增函数，则a的取值范围是_______．
设双曲线的左右两个焦点分别为、，P是双曲线上任意一点，过的直线与的平分线垂直，垂足为Q，则点Q的轨迹曲线E的方程________；M在曲线E上，点，，则的最小值________
三、解答题（本大题共6小题，共60.0分）
已知，，B.若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
已知圆，直线．
若直线l与圆O交于不同的两点，当时，求实数k的值；
若是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，试探究：直CD是否过定点．若存在，请求出定点的坐标；否则，说明理由．
已知函数，曲线在点处的切线方程为．
求实数a，b的值；
若曲线C：，求曲线C过点的切线方程．
如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，，E，F分别是AB，PB的中点．
求证：；
在平面PAD内求一点G，使平面PCB，并证明你的结论．
已知双曲线的离心率，直线l过，两点，原点O到直线l的距离是．
求双曲线的方程；
过点B作直线m交双曲线于M，N两点，若，求直线m的方程．
已知函数．
当时，求函数的单调区间；
设，当时，对任意，存在，使，证明：．
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