人教版 九年级下册数学 27.2.2 相似三角形的性质 同步练习（Word版 含答案）

27.2.2相似三角形的性质
同步练习
一．选择题
1．如图，在△ABC中，DE∥AB，且，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条直线分别交于点A、B、C和D、E、F，若AB＝6，BC＝3，DF＝12，则DE的长为（　　）
A．4
B．6
C．8
D．9
3．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△BDE：S△DEC＝1：4，则S△DOE与S△AOC的比是（　　）
A．1：2
B．1：4
C．1：5
D．1：25
4．如图，设O是四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，若∠BAD+∠ACB＝180°，且BC＝3，AD＝4，AC＝5，AB＝6，则＝（　　）
A．
B．
C．
D．
5．如图，△ABC中，G是BC中点，E是AG中点，CE的延长线交AB于D，则的值为（　　）
A．2
B．3
C．
D．
6．如图，矩形ABCD中，∠BEF＝90°，点E是AD中点，＝，则的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，反比例函数在第一象限经过△ABO的顶点A，且点B在x轴上，过点B作x轴的垂线交反比例函数图象于点C，连结OC交AB于点D，已知，，则k的值为（　　）
A．6
B．8
C．
D．
8．如图，平行四边形ABCD中，点E为AD边中点，连接AC、BE交于点F，若△AEF的面积为关于x的一元二次方程x2+x﹣2＝0的解，则△FBC的面积为（　　）
A．4
B．5
C．6
D．7
9．如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是（　　）
A．AP＝2OP
B．CD＝2BP
C．OB⊥AC
D．AC平分OB
10．如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：
①∠EAB＝∠GAD；②△AFC∽△AGD；③DG⊥AC；④2AE2＝AH?AC．
其中正确的个数为（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二．填空题
11．若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的面积之比为1：9，则△ABC与△DEF的相似比为　
　．
12．如图，△ABC中，D、F在AB边上，E、G在AC边上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB＝3：2：1，若AG＝15，则EC的长为　
　．
13．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上，线段CE，BD相交于点F，若且BF＝2，则DF＝　
　．
14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，△ADE的顶点D在BC上运动，且∠DAE＝90°，∠ADE＝∠B，F为线段DE的中点，连接CF，当BD＝3时，线段CF的长为　
　．
15．如图，已知E、F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，则下列结论：
①AF⊥DE；
②∠BAF＝∠EDB；
③MD＝2AM＝4EM；
④S四边形EBFM＝S△AEM．
其中结论正确的是　
　．（写序号即可）
三．解答题
16．如图，已知点M是平行四边形ABCD的对角线BD上的一点，射线AM与BC交于点F，与DC延长线交于点H．
（1）求证：AM2＝MF?MH；
（2）如果CF：FB＝1：2，求的值．
17．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M为AD中点，连接OM、CM，且CM交BD于点N，ND＝1．
（1）证明：△MNO～△CND；
（2）求BD的长．
18．如图，AB、CE是⊙O的直径，过点C的切线与AB的延长线交于点P，AD⊥PC于D，连接AC，OD，PE．
（1）求证：AC是∠DAP的角平分线；
（2）若PB＝2，PC＝3，求BC的值；
（3）若AD＝3，PE＝2DO，求⊙O的半径．
参考答案
一．选择题
1．解：∵＝，
∴＝，
∵DE∥AB，
∴＝＝，
故选：A．
2．解：∵AD∥BE∥CF，
∴＝，
∵AB＝6，BC＝3，DF＝12，
∴＝，
解得：DE＝8，
故选：C．
3．解：∵S△BDE：S△DEC＝1：4，△DBE的BE边上的高与△DEC的EC边上的高相等，
∴BE：EC＝1：4，
∵DE∥AC，
∴△DBE∽△BAC，
∴，
∴S△DOE与S△AOC的比＝，
故选：D．
4．解：如图，过点O作OE∥AD，交AB于E，
∵OE∥AD，
∴∠OEB＝∠DAB，
∵∠BAD+∠ACB＝180°，
∴∠ACB+∠OEB＝180°，
∴∠ABC+∠COE＝180°，且∠AOE+∠COE＝180°，
∴∠AOE＝∠ABC，且∠BAC＝∠EAO，
∴△AOE∽△ABC，
∴，
∴，
∴OE＝，
∵OE∥AD，
∴△BOE∽△BDA，
∴，
∴＝，
∴BE＝，
∴AE＝6﹣BE＝，
∵OE∥AD，
∴＝，
故选：D．
5．解：过G作GM∥CD，交AB于M，
∵G是BC中点，E是AG中点，
∴M为BD的中点，D为AM的中点，
∴＝，＝，
∴CD＝2MG，MG＝2DE，
∴CD＝4DE，
∴CE＝4DE﹣DE＝3DE，
∴＝＝3，
故选：B．
6．解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
又∵∠BEF＝90°，
∴∠AEB+∠FED＝90°，∠FED+∠EFD＝90°，
∴∠AEB＝∠EFD，
∴△ABE∽△DEF，
∴＝＝，
设AE＝a，
∵点E是AD中点，
∴AE＝DE＝a，
∵＝，
∴＝＝，
∴AB＝a，DF＝a，
∴FC＝DC﹣DF＝AB﹣DF＝a﹣a＝a，
∵BC＝AD＝2AE＝2a，
∴＝＝，
故选：B．
7．解：如图，过A作AF垂直OB于F点，交OC于E点，
∴AF∥BC，
∴△AED∽△BCD，
∴，
∴，
设，则AF＝tBC，
∴，
又OF×AF＝OB×BC，
∴，
又EF∥BC，
∴△OEF∽△OCB
∴，
∴，
解得t1＝2，t2＝﹣（舍去），
∴AF＝2BC，OB＝2OF，
又∵，
∴，
∴OA＝3OF，
在Rt△AOF中，勾股定理可得AF＝，
∴，
在Rt△OBC中，OB2+BC2＝OC2，
∴，
解得OF＝或﹣（舍去），
∴AF＝＝4，
∴k＝OF×AF＝，
故选：C．
8．解：x2+x﹣2＝0，
（x+2）（x﹣1）＝0，
x1＝﹣2（舍去），x2＝1，
则△AEF的面积为1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△AFE∽△CFB，
∵点E为AD边中点，
∴AE＝AD＝BC，
∴＝（）2，即＝，
解得，△FBC的面积＝4，
故选：A．
9．解：∵AD为直径，
∴∠ACD＝90°，
∵四边形OBCD为平行四边形，
∴CD∥OB，CD＝OB，
在Rt△ACD中，sinA＝，
∴∠A＝30°，
在Rt△AOP中，AP＝OP，所以A选项的结论错误；
∵OP∥CD，CD⊥AC，
∴OP⊥AC，所以C选项的结论正确；
∴AP＝CP，
∴OP为△ACD的中位线，
∴CD＝2OP，
∵OB＝2OP，
∴BP＝OP，
∴CD＝2BP，所以B选项的结论正确；
∴OB＝2OP，
∴AC平分OB，所以D选项的结论正确．
故选：A．
10．解：∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，
∴∠EAG＝∠BAD＝90°，∠FAG＝∠AFG＝∠DAC＝∠ACB＝45°，AF＝AG，AC＝AD，
∴∠EAG﹣∠BAG＝∠BAD﹣∠BAG，
∴∠EAB＝∠DAG，故①正确；
∵AF＝AG，AC＝AD，
∴，
∵∠FAG＝∠CAD＝45°，
∴∠FAC＝∠DAG，
∴△FAC∽△DAG，故②正确，
∴∠ADG＝∠ACB＝45°，
延长DG交AC于N，
∵∠CAD＝45°，∠ADG＝45°，
∴∠AND＝90°，
∴DG⊥AC，故③正确，
∵∠FAC＝∠FAH，∠AFG＝∠ACF＝45°，
∴△AFH∽△ACF，
∴，
∴AF2＝AH?AC，
∴2AE2＝AH?AC，故④正确，
故选：D．
二．填空题
11．解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：9，
∴△ABC与△DEF的相似比为1：3，
故答案为：1：3．
12．解：∵DE∥FG∥BC，
∴AD：DF：FB＝AE：EG：GC，
∵AD：DF：FB＝3：2：1，
∴AE：EG：GC＝3：2：1，
设AE＝3x，EG＝2x，GC＝x，
∵AG＝15，
∴3x+2x＝15，
解得：x＝3，
即AE＝9，EG＝6，GC＝3，
∴EC＝EG+GC＝6+3＝9，
故答案为：9．
13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴△BEF∽△DCF，
∴，
∵，
∴＝＝，
∵BF＝2，
∴，
∴DF＝，
故答案为：．
14．解：连接CE，设AC与DE相交于点G，如图所示：
BC＝＝＝10，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ADE＝∠B，
∴△ABC∽△ADE，
∴，∠ACD＝∠AEG，
∵∠AGE＝∠DGC，
∴△AGE∽△DGC，
∴，
∵∠AGD＝∠EGC，
∴△AGD∽△EGC，
∴∠ADG＝∠ECG，
∵Rt△ADE中，∠ADG+∠AEG＝90°，
∴∠ECG+∠ACD＝90°，即∠DCE＝90°，
∵F是DE的中点，
∴CF＝DE，
∵△ADE∽△ABC，
∴，
∵∠CAB＝∠EAD＝90°，
∴∠EAC＝∠DAB，
∴△ACE∽△ABD，
∴，
∴，
∴CE＝4，
∵DE＝＝＝，
∴CF＝，
故答案为：．
15．解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝BC，∠DAE＝∠ABF＝90°，
∵E、F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，
∴AE＝AB，BF＝BC，
∴AE＝BF，
在△DAE和△ABF中，
，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴∠BAF＝∠ADE，
∵∠BAF+∠DAM＝90°，
∴∠ADE+∠DAM＝90°，
∴∠AME＝∠ADE+∠DAM＝90°，
故①正确；
（2）设AF与BD交于点N，正方形ABCD的边长为4，
则AE＝BE＝BF＝2，
∴DE＝AF＝＝2，
∵AD∥BF，
∴△BFN∽△DAN，
∴＝＝，
∴FN＝，AN＝，
∵S△AED＝AD?AE＝DE?AM，
∴AM＝＝，
∴MN＝AF﹣AM﹣NF＝，
∴AM≠MN，
若∠BAF＝∠EDB，
则∠ADE＝∠EDB，
又∵DM＝DM，∠DMA＝∠DMN＝90°，
∴△DAM≌△DNM（ASA），
∴AM＝MN，不符合题意，
故②错误；
（3）由（1）知，∠BAF＝∠ADE，
又∵∠AME＝∠EAD＝∠AMD＝90°，
∴△AME∽△DMA∽△DAE，
∴＝＝＝，
∴AM＝2EM，DM＝2AM，
∴MD＝2AM＝4EM，
故③正确；
（4）由（2）知AM＝，
∴＝，
∵∠EAM＝∠FAB，∠AME＝∠ABF＝90°，
∴△AEM∽△AFB，
∴＝（）2＝，
∴S四边形EBFM＝4S△AEM，
故④错误；
故答案为：①③．
三．解答题
16．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，BC∥AD，
∴△ABM∽△HDM，△BFM∽△DAM，
∴，，
∴，
∴AM2＝MF?MH；
（2）∵CF：FB＝1：2，
∴＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ADC＝∠ABC，
∴∠H＝∠BAF，
∴△BAF∽△DHA，
∴＝（）2＝．
17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴点O是AC的中点．
∵M为AD中点，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM∥CD，
∴∠OMN＝∠NCD．
又∠MNO＝∠CND，
∴△MNO～△CND；
（2）∵OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD．
∵由（1）知，△MNO～△CND，ND＝1，
∴＝＝，
∴ON＝，
∴OD＝ON+ND＝，
∴BD＝2OD＝3．
18．证明：（1）∵PC是圆的切线，AD⊥PD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵AO＝CO，
∴∠CAO＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠CAO，
∴AC是∠DAP的平分线；
（2）解：如图，连接BC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠OBC＝90°，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠OCB+∠BCP＝90°，
∴∠CAB＝∠BCP，
又∵∠CPB＝∠APC，
∴△CPB∽△APC，
∴＝，
∵PB＝2，PC＝3，
∴，
∴PA＝，
∴AB＝PA﹣PB＝，
设BC＝2x，AC＝3x，
∴，
解得，x＝
∴BC＝；
（3）解：设半径为r，在Rt△PCE中，PE2＝（2r）2+PC2＝4r2+PC2，
∵PE＝2DO，
∴4DO2＝4r2+PC2，
∴4（DO2﹣r2）＝PC2，
∴4DC2＝PC2，
∴PC＝2CD，
∵AD∥OC，
∴△PCO∽△PDA，
∴，
∴，
∴r＝2．