6.3余角、补角、对顶角
[教学目标]
1．
在具体情境中了解余角、补角,知道同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的补角相等.
2．
会运用互为余角、互为补角的性质来解题.
3．
经历观察、操作、说理、交流等过程,进一步说明发展空间观念,学习有条理的表述.
[重难点]
灵活运用同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的补角相等.
[教学过程]
创设情境，孕育新知
师：在小学我们分别学习过哪些角？
生：锐角、直角、钝角、平角、周角。
师：请指出这些角的范围？
生：0°＜锐角＜90°、直角=90°、90°＜钝角＜180°、平角=180°、周角=360°
师：上面所说的角都是指几个角的关系？
生：都是指一个角的关系。
师：今天我们来研究两个角的关系。
二、
探索新知：
活动一：用一副三角尺演示如图
师：大家将上面一个三角尺移动或旋转，仔细观察
与的度数之间有什么数量关系?
（学生都在认真操作，细心观察）
生：这两个角的和始终是90°
师：归纳得到互为余角的概念：
如果两个角的和是一个直角,这两个角叫做互为余角.简称互余.其中一个角叫做另一个角的余角.
符号语言：如果∠α+∠β=900，
那么∠α与∠β互为余角（或互余）
反过来，如果∠α与∠β互余，
那么∠α+∠β=90°
师：在这个概念中，我们要注意什么？
生1：和是90°
生2：指两个角的关系。
师：分组，每两个同学分为一组，其中一个同学任说出一个角，另一个同学说出它的余角。
师：我来说一个角∠α，你们能说出它的余角吗？
生异口同声：能，它的余角是90°-∠α
师：再来演示，将前图中上面三角形左右移动，当两个直角顶点重复时，与还是互余吗？
生：不是
师：那么与之间存在什么关系？
生：这两个角的和是180°
师归纳得到互为补角的概念.
如果两个角的和是一个平角,这两个角叫做互为补角.简称互补.其中一个角叫做另一个角的补角。
师：仿互余的概念，有哪位同学能把互补的概念改成符号语言？
生：符号语言：如果∠α+∠β=180°
那么∠α与∠β互为补角（或互补）
反过来，如果∠α与∠β互补，
那么∠α+∠β=180°
师：在这个概念中，我们要注意什么？
生1：和是180°
生2：也是指两个角的关系。
师：分组，每两个同学分为一组，其中一个同学任说出一个角，另一个同学说出它的补角。
师：我来说一个角∠α，你们能说出它的补角吗？
生异口同声：能，它的补角是180°—∠α
活动二：
1师：分组，将全班同学分成四组，第一组画30°角，第二组画45°角，第三组画60°角，第四组画45°角，我们发现第一组同学所画的角与第三组同学所画的角互余，第二组同学所画的角与第四组同学所画的角互余。
2学生归纳:
⑴角的余角表示为（90°-），角的补角表示为（180°-）
⑵互余、互补是指两角在数量(度数)上存在着一种特殊关系，与（位置）无关.
活动三：
师：请填一填
师：想一想：同一个角的补角与它的余角之间有怎样的数量关系?
生：结论1
同一个角的补角比它的余角大90°
师：很好。
师：请找一找：
对A组中的每一个角,在B组中找出它的补角,并用线连接;
B组中有哪些角的余角在C组中?分别找出这些角,
并用线连接.
师：思一思，在锐角、直角、钝角中，什么样的角有余角？什么样的角有补角？
生：结论2
锐角、直角、钝角都有补角，只有锐角有余角。
师：很好。
活动四：
例1如图,如果与互余,
与互余,那么与相等吗?为什么?
师：解
与相等
因为与互余,
与互余,
所以=90°—，=90°—
所以=
师总结：同角的余角相等
师：如果将例题中的互余改成互补，那么上述结论仍成立吗？
生：成立
师：哪位同学勇敢一点先来写一写，请给出解题过程（这一点学生很容易写出）
生：解
与相等
因为与互补,
与互补,
所以=1800—，=1800—
所以=
师：很好，同学们写得不错
师总结：同角的补角相等
师：如果在的下面放着一个（与一样大小）条件是：与互余,
与互余,
,那么与相等吗?
生：相等
师：有哪位同学能请仿照上述过程写出此题的解题过程？
生：解
与相等
因为与互余,
与互余,
所以=900—，=900—
因为=
所以=
师：写得很漂亮
师总结：我们发现等角的余角也相等
试一试:如果与互补,
与互补,,那么与有怎样的关系?为什么?
生：解
与相等
因为与互补,
与互补,
所以=180°—，=180°—
因为
所以=
师：很好，同学们写得不错
师总结：我们发现等角的补角也相等
师总结：
结论3：同角（或等角）的余角相等
结论4：同角（或等角）的补角相等
三、
运用新知，巩固练习：
1、判断题.
（1）.一个锐角与一个钝角的和一定大于平角.
(
)
（2）.一个角一定小于它的余角,也小于它的补角.
(
)
（3）.如两个角互补,则一个角为锐角,另一个为钝角.
(
)
（4）.如果那么互为补角.
(
)
2、你记住了吗？
⑴
∵和互余，
∴_____(或)
⑵
∵和互补，
∴_____(或)
3、一个角是，则它的余角是_______，它的补角是_______。
4、如果∠α=20°，那么∠α的补角等于(
)
A、20°
B、70°
C、110°
D、160°
5、如图,问图中有与互补的角吗?
6、如图，AOB为一条直线，∠1＋∠2=90
?，∠COD是直角
请写出图中相等的角，并说明理由；
请分别写出图中互余的角和互补的角。
四、教师小结：今天同学们表现都很积极，很主动。而且学得很好，现在请同学们回忆一下这节课你学到了什么？你还有什么问题还要老师和同学帮助你解决的？（学生小组讨论后，教师提问，并加以引导）
五、课后作业
《补充习题》
余角、补角、对顶角(1)
2
-
-苏科版七年级上册数学6.3《余角、补角》（1）教学设计
【设计思路】
为了让学生更好地掌握这一部分内容，以生活、数学和活动、思考为主线展开课程内容，遵循启发式教学原则，通过创设问题情景，设计一系列实践活动，引导学生观察、操作、探索、猜想、交流、发现、推理，使学生经历从现实世界抽象出几何模型和运用所学内容，解决实际问题的过程，以学生为主体地位。充分利用教科书提供的素材和活动，鼓励学生经历观察、操作、推理、想象等活动，发展学生的空间观念，体会分析问题、解决问题的方法，积累数学活动经验。培养学生有条理的思考、表达和交流的能力，并且在以直观操作的基础上，将直观与简单推理相结合，注意学生推理意识的建立和对推理过程的理解，能运用自己的方式有条理的表达推理过程，为以后的证明推理打下基础。
《余角、补角》第一课时教学设计共分为三个步骤：
一、通过情境的创设，引起学生探求知识的欲望。（1）从学生熟悉的三角板入手，探索两块直角三角板上角之间的关系，再进一步观察、寻找它们互余、互补的关系。（2）利用信息技术手段演示，寻找、发现两个角之间的关系。
二、引导学生归纳互为余角、补角的概念，利用相关练习加强对概念的理解和应用。
三、在理解概念的基础上，探索余角、补角的性质。性质的探索主要是通过在具体识图过程中，发现一些角与角之间的关系，从而得到两个角互余、互补的性质。
【教学内容分析】
余角、补角内容的学习是在学生学习了角的度量及角的比较与运算的基础上，对角的关系作进一步探讨，余角、补角的性质也是今后学习对顶角相等及平行线的判定和性质的重要基础。教材在编排意图上已开始对学生提出说理的要求，为今后的数学推理证明、几何模型建构作一些铺垫准备。
【教学目标分析】
1.知识目标
（1）在具体的现实情境中理解余角、补角的概念。
（2）探索并掌握余角、补角的性质，并能用它解决相关问题。
（3）初步掌握图形语言与符号语言之间的相互转化。
（4）进一步提高学生的抽象概括能力，认图能力，发展空间概念。并且学会简单的逻辑推理，发展有条理的表达能力。
2.技能目标
现代教学理论认为数学教学应加强学生的数学活动，如果能让学生在“做数学”的过程中获得知识和技能，掌握基本数学思想和规律，那将是课堂教学中最理想的境界，也是新课程改革的一个重要目标。根据以上认识，本人的教学思路是：教师的“教”体现在创设情境，激发兴趣，组织探索，引导交流。学生的“学”体现在操作讨论，探索发现，归纳总结。再者就是针对发展学生的逻辑推理能力，教学时注重让学生发表自己的见解，引导学生用数学语言表达自己的思考过程。
3.情感态度与价值观目标
体会观察、推理、归纳对数学知识获取的重要作用，感受数学与现实生活的密切关系及其应用价值，让学生享受成功带来的喜悦。
教学重难点分析：
【教学重难点】
1.理解余角、补角的概念，探索并掌握余角、补角性质。
2.运用余角、补角性质进行说理和有条理的表达。
【教学过程设计】
教学
过程
教师活动
学生活动
设计目的
创设
情境
提出
问题
引导归纳余角、补角的概念
探索互余、互补的性质
1
.教师出示PPt呈现一副三角板模型
问：（1）图中∠α与∠β两个角有什么特殊关系？
它们的和为多少？
图1
怎样得到这个结论的？
你能给余角下个定义吗？
问：（2）我们再来观察∠α和∠β这两个角，它们又有什么关系呢？
图2
怎样得到这个结论的？
能给补角下个定义吗？
2.
出示第4、5、6张ppt呈现练习
教师引导学生解答
3.引导学生将概念中的文字叙述转换成数学符号表示
1、探索活动
探索（1）：如上图
如果∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为余角，那么∠2与∠3
相等吗？为什么？
（同角的余角相等）
探索（2）：如果∠1与∠2互为补角，∠2与∠3互为补角，那么∠1与∠3相等吗？为什么？
（同角的补角相等）
(
1
2
3
4
)
探索（3）：如上图
（探究等角的余角相等）
探究（4）：
（探究等角的补角相等）
2、归纳余角、补角性质
同角（或等角）的余角相等，
同角（或等角）的补角相等。
3、出示出示第12、13、14张ppt呈现练习
教师引导学生解答
学生观察得出答案
∠α+∠β=90°
理由：一个平角180°，减去三角板的直角90°，还有90°，所以∠α与∠β两个角的度数之和为90°
学生根据自己的理解，给余角下定义
如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余。
其中的一个角叫做另一个角的余角
学生观察探索交流后得到
∠α+∠β=180°
理由：一个周角360°，减去三角板的两个直角和180°，还有180°，所以∠α与∠β两个角的度数之和为180°
如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补。
其中的一个角叫做另一个角的补角。
思考、讨论、交流等方式
学生作答、说理
学习用数学符号表示
引导学生有条理地表达
解：∠2=∠3
因为∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为余角，
所以∠1+∠2=90°
∠1+∠3=90°
即
∠2=90°-∠1
∠3=90°-∠1
所以∠2=∠3
探究2：
解：∠1=∠3
因为∠1与∠2互为补角，∠2与∠3互为补角，
所以∠1+∠2=180°
∠2+∠3=90°
即
∠1=180°-∠2
∠3=90°-∠2
所以∠1=∠3
学生探究解答
学生探究解答
思考、讨论、交流等方式
学生作答、说理
由熟知的三角板创设情境，提出问题，激发探究热情，引起学生求知欲。
学生通过观察、探究，进一步从图形中认识两个角的关系。
让学生认识两个角互余或互补的特点，从而理解余角、补角的定义。
通过练习，让学生运用概念解决实际中的问题、巩固概念的掌握。
引导学生弄清因果关系
锻炼学生的数学语言表达能力，进行简单的数学推理。
学生在探究活动中得到体验，
享受成功带来的喜悦。
学生在“做数学”的过程中获得知识和技能
探究、归纳、掌握余角、补角性质以及数学推理是难点，教师要做适当的引导启发。
知识应用
引导讨论、共同归纳、总结
例1.
已知∠α与∠β互为补角，且∠β比∠α大30°，求∠α、∠β的度数。
（教师引导、启发与学生共同完成）
出示出示第16张ppt呈现练习
今天这节课我们学习了哪些内容？你有哪些收获能与我们一起分享吗？
引导学生表达推理
解：根据题意得
∠β=∠α+30°
因为∠α与∠β互为补角，
所以∠α+∠β=180°，即∠α+（∠α+30°）=180°
所以∠α=75°，∠β=75°+30°=105°
。
学生思考、讨论、交流等方式
学生作答、说理
余角、补角的概念
余角、补角的性质
概念、性质的应用
利用例题加强对性质的运用。指导学生在实际情况中如何根据已知条件求出未知的量。培养学生的说理能力。
利用习题加强对知识的应用
回顾本节课的内容，让学生在讨论、归纳总结同时，理清本节课的主要内容。
作业布置
完成教材P163-164页习题第3、4、5题
【教学反思】
本课教学是在通过认识图形的过程中，引出余角的概念，在强化概念的同时，用概念解决问题，与此同时得到相应的性质。从教学效果来看，课堂上学生的反应较好，能顺利的得出余角的概念，在教师的引导下，能将文字语言转化为图形和符号语言，概念的应用情况较好。在余角性质的推导过程中，学生的理解情况较好，但是文字语言及符号语言的表述有些困难，由于这一点正是本节课的重难点之一，因此，教师准备了一系列问题来提示、启发学生，大部分学生较为顺利地通过这些问题及启发理解相应的文字语言及符号语言，总的来说，教学效果较好。
但在教学过程中也存在一些的问题，因为学生基础的原因，本课的容量偏小，在新课知识讲解结束后，针对性质作一些巩固练习还不够充分。其次，教者对教材的理解略有欠缺，余角的概念为——“两个角的和为直角”，这里面包含了两层意思：1.
从数量的角度理解，和为90°，2.
从图形的角度理解，两个角加起来为一个直角。在课堂教学中，仅注重数量上的理解——和为90°，忽略了“直角”的另一层理解——从图形的角度，两个角合起来的形状为直角，这一点在今后的教学中还要多加注意。
6.3余角、补角（1）——课堂练习
(
∠
α
的
度数
∠
α
的
余角
∠
α
的
补角
(0
＜
n
＜
90)
)一、填表，看谁答的又快有准！
二、已知3组角：
A
组
B组
C组
（1）对A组中的每一个角，在B组中找出它的补角，并用线连接；
（2）B组中有哪些角的余角在C组中？分别找出这些角，并用线连接。
一、判断：
（1）如果两个角相等，则它们的补角相等。
（
）
（2）如果∠1
=40
°，∠2=60
°，∠3
=80
°,
那么∠1、
∠2、
∠3互为补角。
（
）
二、填空：
（1）一个角是36
°
，则它的余角是_______，它的补角是_____。
（2）
∵
∠1和∠2互余，∴
∠2=_____-
∠1；
∵
∠1和∠2互补，∴
∠1=_____-
∠2
。
三、如图，
∠AOB=
∠COD=90
°，
则∠BOC与∠AOD有怎样的大小关系？为什么？
66.3余角、补角、对顶角（1)教案
【教学目标】
1．在具体的图形情境中了解余角、补角的概念；
2．掌握角、补角、对顶角的性质，并在解决问题时加以运用；
3．经历观察、探索、推理、归纳等过程，培养探究学习的方法，感受学习知识的乐趣．
【教学重点】
余角、补角的认识及应用
【教学难点】
对知识的探求过程
【教学过程】
【自主预学
效果检测】
1、直角=
°；平角=
°.
2、用一副三角板摆出如图所示的图形，则图中∠α与∠β的度数之间有怎样的关系？
(
2
4
3
1
)【激疑研学
互动探究】
一﹑概念探究
折纸活动：
思考问题1：
∠1与∠2有什么关系？
思考问题1：
∠3与∠4有什么关系？
引出互为余角、互为补角的概念：
互为余角、互为补角的几何语言：
练一练
1.判断：
⑴.如果∠1＝30°，∠2＝25°，∠3＝35°，那么∠1、∠2、∠3这三个角称为
互为余角．（
）
⑵.如图两块直角三角板中∠B＝30°，∠E＝60°，
∠B与∠E互为余角．（
）
2.已知∠1=42?，
∠2=138?，
∠3=48?，有没有
互余或互补的角?若有,请把它们写出来。
3.如图：点O为直线AB上一点,
∠AOC=90°，
OD是∠BOC内的一条射线。图中有哪角是互补?有哪角是互余?
【典例引领
激思释疑】
例1
已知∠A=34°30′，求∠A的余角、补角。
变式(1)：已知∠A的补角是75°,求∠A
变式(2)：已知∠A的余角是37o,求∠A及∠A的补角。
议一议：已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数。
动手画一画：
⑴请利用三角板画图①中∠α的余角；⑵比较∠1与∠2的大小；
⑶请利用三角板画图②中∠α的补角；⑷比较∠3与∠4的大小。
归纳余角、补角的性质：
余角、补角性质的几何语言：
练一练：课本P161练一练
例2：已知∠α与∠β互为补角，且∠β比∠α大30°，求∠α、∠β的度数
．
【基础演练
及时巩固】
1.若∠1与∠2互补，则∠1+∠2=____.
2.已知∠A=50°,则∠A的余角是_
__，补角是
，补角与余角的差是
.
3.如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是
.
4.已知一个角的补角加上20°后等于这个角的三倍，求这个角的度数.
【限时训练】
1.判断
⑴如果，那么与互补.（
）
⑵如果两个角相等，则它们的补角相等.
（
）
2.若,则的余角为__
___度,的补角为__
___度
3.一个锐角的补角比它的余角大
4.
一个角的补角的余角等于这个角的，求这个角的度数.
【布置作业】
教学反思
1电子备课格式（最新）
课
题
6.3
余角、补角、对顶角（2）
主
备
主核
使用者
课
型
新授
使用日期
【学习目标】
1.了解对顶角的概念.
2.知道“对顶角相等
”的性质.
3.能利用”对顶角相等”解决相关问题。
第一次集体备课（通案）
第二次备课（个案）
【导入新课】
今天我们继续学习余角、补角、对顶角（2）
【板书课题】6.3
余角、补角、对顶角（2）
【学习目标】
1.了解对顶角的概念.
2.知道“对顶角相等
”的性质.
3.能利用”对顶角相等”解决相关问题。
【自学指导】
自学指导
认真看课本P161-162上“议一议”
1.①
课本P161
“读一读”图中小于180
°的角有
.
②你能说说什么样的两个角是对顶角吗？如图
中共有
对对顶角
2.观察课本P162“议一议”,图6-28中有
对对顶角,它们分别是
.
3分钟后比一比谁能准确
回答以上问题，并会做相应的检测题
学生自学
学生看书，教师巡视，督促每个学生都认真、紧张的自学。
检测一：
1.指出图中的∠1与∠2是否是对顶角。
自学指导二：
认真看课本第162—163页内容，回答以下问题：
1.在图6-29中
①小于180
°的角有（
）互为补角的角是（
）
.
②如果∠1=50
°，那么∠2=
°,
∠3=
°,
∠4=
°.
2.
仔细看例2，进一步体会用“因为……所以……
”的方式进行简单的推理。
4分钟后比谁能准确回答以上问题，并会做相应的检测题
检测二：
1.若∠
A与∠B为对顶角，
∠A的补角为80
°，则∠
B=
°.
2.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠AOE=250，则∠BOD=
【课堂小结
】
概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
2.
性质：对顶角相等.
【当堂检测】（共10分）
1.如右图，直线AB、CD相交
点O，∠AOC
+∠COE=900，
则∠COE的余角为
，
∠BOD的补角为
.
（4分）
2.如下图,直线AC、DE相交于点O，OE是∠AOB的平分线∠COD=500，试求∠AOB的度数
（6分）
根据课本中的图形认真观察知道对顶角的概念
通过例题体会用“因为……所以……
”的方式进行简单的推理。
理解对顶角的概念及“对顶角相等”的性质
作业
课本P164习题6.3的第8、9题.
第三次备课（反思）
得：学生学习气氛活跃
失：说理过程学生的逻辑推理不熟练
改：多加强几何说理的练习
