解
直
角
三
角
形
的
运
用
（第1课时
仰角、俯角问题）
教材分析：
这节课的内容是义务教育教科书湘教版九年级九年级上册第125页至第126页的内容——仰角、俯角。这节课是在学习了解直角三角形的基础上，学习解直角三角形的运用，是对前面所学内容的巩固和深化。本节课学习通过数学建模，构建几何模型把生活中的实例抽象成几何图形，运用解直角三角形的知识，解决生活中的测绘、计算等问题，培养学生通过观察、自主探索、数学建模的方法解决生活中的实际问题。培养他们数学来源于生活，服务于生活的思想理念，提高学生的动手能力和解题能力，培养学生严谨的学习习惯和科学态度。
学情分析
学习这节可之前，学生已经掌握了正弦、余弦、正切等概念，及解直角三角形的有关知识，对解直角三角形有一定的了解。这节课主要认识仰角、俯角问题，并运用解直角三角形的方法解决实际问题。
教学目标
巩固解直角三角形的相关知识；
让学生联系实际，通过观察、操作、对比等学习活动认识仰角、俯角的概念；
在探究的过程中，培养学生的合作意识和动手操作的能力，提高学生应用意识，培养学生自主探究的能力；
在探究中体验学习成功的快乐，培养“数学来源于生活，服务于生活的理念”，培养学生严谨的学习态度。
教学理念
课堂教学既是知识成长的过程，更是情感成长的过程。学生的学习过程是一个主动构建、动态形成的过程。这节课在学生在学习了解直角三角形的基础上，利用探险家的视角构造一系列的情境，激发学生学习的兴趣，激活学生的原有经验，感悟新的知识。教学中充分发挥学生的主体思想，充分体现教学中的主动学习的原则、最佳动机原则、阶段性渐进原则和直观性原则，培养学生运用“观察、探索、建模、解决问题”的思路，培养学生自主探索的习惯和学习数学的方法。
教学过程
知识回顾
直角三角形除直角外还有几个元素？
我们知道直角三角形中，知道了除直角外的两个元素，可以求出这个直角三角形的其他元素，那么这两个元素有什么限制吗？
解直角三角形的依据有哪些？
①
三边关系：
（勾股定理）
锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
边角之间的关系（锐角三角函数）
设计意图：通过复习有关知识，为后面运用解直角三角形解决仰角、俯角问题作铺垫。
观察与思考
出示引例，从探险家的视角出发，从A点处，观察B点，怎样求A、B两点间的水平
距离这一实例，引入新课。
引例、某探险者某天到达如图所示的点A处，他准备估算出离他的目的地——海拔为3
500
m的山峰顶点B处的水平距离.他能想出一个可行的办法吗？
设计意图：以引例设置悬念，引导学生思考如何构建几何图形解决问题，从而引出仰角、俯角的概念。
探索新知
仰角、俯角概念
通过实例比较，认识仰角、俯角.
设计意图：通过“观察——比较——建模——归纳”的方法培养学生的空间想象能力和探索能力。
回到引例，完成建模。
设计意图：引导学生通过构造几何图形，将生活中的具体实物抽象成简单的几何图形。培养学生的动手探索的能力，提高学生学习的兴趣。
巩固运用新知
1、以探险家的视角出发，以探险为主线，设置了四道例题。
例1、探险家往前走的时候发现前方30米处有棵大树，他抬头看树梢，仰角是30°.探险家的身高是2米。请你帮他算算这棵大树有多高？（结果保留根号）
例2、当
探险家翻上座小山，他看到前方有一块巨石。他在A点处看巨石顶部B的仰角为30°，看巨石根部C的俯角为60°，估计探险家与巨石的水平距离为15m，这块巨石有多高（结果保留根号）.
例3、探险家为了测量山的高度AC，在水平面B处测得山顶A的仰角为30°，AC⊥BC，自B沿着BC方向向前走1000m，到达D处，又测得山顶A的仰角为45°，求山高．(结果保留根号)
例4、探险家走到离山顶B的水平距离为300米的C处时，远望雪山，他看山顶B时的仰角为60°，看山上积雪的最底端D时仰角为30°，探险家想测量一下覆盖积雪部分山体的高度，你能帮助他吗？
设计意图：四个例题以探险家探险为线索设置情境，解决仰角、俯角中“同一个地点看不同点”、“不同点看同一点”这几种类型问题探索，提高学生自主探索的能力，掌握仰角、俯角中作辅助线的基本方法，提高学生的解题能力。
2、当堂练习
出示四道填空题
1.如图1，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=_________米.
2.如图2，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米.
3.如图3，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°，已知CD=200米，点C在BD上，则树高AB等于
（根号保留）．
第4题图
4、如图4，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为
（根号保留）．
设计意图：通过练习帮助学生运用解直角三角形的知识巩固所学。第一至第三道题是例题的变式，第四题通过作高线构造直角三角形，巩固解直角三角形作辅助线的方法。
课堂小结
复述有关仰角、俯角的概念；
板书设计：
运用解直角三角形解决仰角、俯角问题常见的构造的基本图形有如下几种：
①不同地点看同一点
图1
②同一地点看不同点
图2
设计意图：梳理知识，巩固所学
总结解直角三角形中仰角、俯角问题中常见的构造基本图形。
设计意图：提高学生的归纳能力和空间想象能力，培养学生作辅助线解题的能力。
3、谈谈你这节课的收获。
课后作业
做课后练习题
第126页
练习题第1、2题
设计意图：运用所学，巩固所学知识执教者
执教班级
课
型
复习课
单元课题
直角三角形
主讲者
本节课题
直角三角形的性质与判定专题复习
上课时间
第---周
星期
教学目标
知识技能：理解并掌握直角三角形的相关性质与判定方法，运用这些知识解决问题
数学思维：通过典例分析、习题解答发展学生的演绎推理能力，培养学生的核心素养
情感态度：培养学生爱校爱家、对学生渗透德育教育，培养学生合作交流意识，激发学习兴趣
教学重点
直角三角形的相关性质、判定方法的复习
教学难点
直角三角形性质与判定的综合运用
时量
教学流程及内容
教学策略
设计意图
个性补充
学生活动
教师活动
一、情景引入：（学生展示）
唐老师站在青年广场B点，用测角仪测得旗杆顶部A，此时AB与地面的夹角为，他朝旗杆的方向径直走了40米到达旗杆的另一侧点C，此时AC与地面夹角为，他说知道了旗杆的高度，你也能算出旗杆的高度吗？
小组展示、课前分享
数学建模、方程思想、数学抽象等数学核心素养的渗透
二、温故而知新
如图,
在ΔABC
中∠ACB=90°
(1)∠A
=40°，则∠B=
______
(2)CD是斜边AB的中线，且AB=12
，则CD=____
(3)若BC=7
，∠A=30°则AB=______
(4)若BC=2
，AB=4,则
∠A=______
(5)若BC=1，AC=3，则AB的长为______
在△ABC中，若
∠A+∠B=∠C
,则△ABC一定是（
）
A.
锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形：
在△ABC中，若
,则△ABC一定是（
）
A.
锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
在△ABC中，若AB边上的中线CD等于AB的一半,则△ABC一定是（
）
A.
锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
学生作答
教师板书
系统归纳本节课知识要点。
典例分析
例题1：已知：如图，在四边形ABCD中，AD=12,DC=6,,
∠A=30°,
BD⊥AＢ，求四边形ABCD的面积．
教师板书、规范答题
例题2：如图△ADC与△ABD为直角三角形，E为AD的中点。BE和CE相等吗？请说明理由。
变式1：
如图，AB⊥BD于B
,E为AD的中点，BE=CE,
AC与CD垂直吗？请说明理由。
变式2：
如图，已知△ABG中，AB⊥BD于B，AC⊥CD于C
,E为AD的中点，点F是BC的中点,
那么EF垂直BC吗？请说明理由。
计算：如上图，已知△ABG中，AB⊥BD于B，AC⊥CD于C
,E为AD的中点，点F是BC的中点,
BC=6，EF=4，求线段AD的长度。
师生合作完成、体现教师引导、学生主体，充分让学生参与展示、小组合作等。
设计变式题让学生积极思考，对于类型习题进行演练，培养学生的直观想象及推理能力。
通过逻辑推理、数据分析，培养学生的运算能力，解题能力。
四、巩固提高
下列三数不能作为一个直角三角形三边长的是（
）
A
5、12、13
B
1、、2
C
1、1、
D
、、
Rt△ABC中，两条边的长分别为6cm和
8cm，则第三边的长为
如图，在Ｒt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AB=4,
BC＝2，求线段CD的长度．
学生自主完成
教师指导
知识的综合运用
此题一题多解，培养学生思维，激发学生学习兴趣
五、拓展延伸：
给你一个测角仪和足够长的皮尺，你能运用直角三角形的性质相关的知识，设计出合理的方案，求出旗杆的高度吗？
自主探究、体现数学建模的核心素养。体现：数学来源于生活，也回到生活中去。
作
业
布
置
小
组
评
价
课
后
反
思
教师层面：
学生层面：
教法层面：
效果层面：锐角三角函数在圆中的应用
教学设计
一、教学内容
本节课是九年级解直角三角形讲完后的一节复习课，主要将锐角三角函数与圆的知识联系起来解决问题。
二、本章的课标要求：
在熟练掌握锐角三角函数和圆的知识的基础上，将两个知识点联系起来，解决综合类型的题目，知识运用能力更加综合。
此外，理解直角三角形中边、角之间的关系会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，进一步感受数形结合的数学思想方法，通过对实际问题的思考、探索，提高解决实际问题的能力和应用数学的意识。
三、课时安排：
???
1课时
四、学情分析：
本节是在学完本章的前提之下进行的总复习，因此本节选取三个知识回顾和四个例题，使学生将有关锐角三角函数基础知识条理化，系统化，进一步培养学生总结归纳的能力和运用知识的能力．
???
因此，本节的重点是通过复习，使学生进一步体会知识之间的相互联系，能够很好地运用知识．进一步体会三角函数在解决实际问题中的作用，从而发展数学的应用意识和解决问题的能力.
五、教学目标:
知识与技能目标
1、通过复习使学生将有关锐角三角函数基础知识条理化，系统化．
2、通过复习培养学生总结归纳的能力和运用知识的能力．
过程与方法：
1、通过本节课的复习，使学生进一步体会知识之间的相互联系，能够很好地运用知识．
2、通过复习锐角三角函数，进一步体会它在圆中解决实际问题中的作用．
情感、态度、价值观
充分发挥学生的积极性，让学生从实际运用中得到锻炼和发展．
六、重点难点:
1.重点：锐角三角函数、圆知识之间的相互联系．
2.难点：知识的深化与综合运用．
七、教学过程:
（一）知识回顾
1：在Rt△ABC中,∠C=90°,
AB=6，AC=3，则BC=_________,
sinA=_________,cosA=______,tanA=______,
∠A=_______,
∠B=________.
2：解直角三角形常用关系
3：圆的有关知识
本环节的设计意图：通过三个小题目回顾：
1、锐角三角函数的定义：
在Rt△ABC中,∠C=90°
?锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的锐角三角函数。
2、解直角三角形的边角关系：
(1)三边之间的关系：
.
(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B=90°
(3)边角之间的关系：
sinA=
???cosA=
???tanA=
????sinB=
???cosB=
??tanB=
3、特殊角的三角函数值
三角函数
锐角A
sin
A
cos
A
tan
A
30°
?
?
?
45°
?
?
?
60°
?
?
?
5、圆的知识例题以及圆中的有关知识，如垂径定理、切线等。
（二）例题解析
第一层次：一题多解
【例1】1.如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，
点P是优弧
AmB上的一点，则tan∠APB=______．
【例2】如图，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点0(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为????????。
?
解题反思：通过两道题题让学生明白：
1、必须在直角三角形中求锐角的三角函数.
2、等角代换间接求解.
3、开拓思维，一题多解.
第二层次：综合应用
已知：圆O的半径为2，弦BC的长为2
，点A为圆O上弦BC所对的优弧上任意一点（B，C两点除外）.
求（1）∠BAC的度数
（2）△ABC面积的最大值?
??????????????
解题反思：通过本题让学生知道解决这类问题时常分为以下几个步骤：
1.理清题目所给信息条件和需要解决的问题；
2.通过画图进行分析，将最值问题转化为可操作的数学问题；
第三层次：知识的创新
【例3】已知：在Rt△BCD中，∠DCB=90°，以BC为直径作⊙O交BD于A，过点A作⊙O的切线AE，延长AE与BC的延长线交与点P，若OC=CP，AB=6.
求CD的长
?
解题反思：解决这类问题时常用的模型：利用圆的直径所对的的圆周角构造直角三角形、利用圆的切线构造直角三角形.
?（三）小结：学生制作收获卡
1.利用三角函数解决问题的关键是构造直角三角形；
2.利用圆中的有关线段构造直角三角形；
一般在圆中构造直角三角形的方法：
（1）垂径定理构造直角三角形
（2）借助直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形
（3）利用切线与半径垂直构造直角三角形
八、教学反思：
锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用，但是锐角三角函数首先是放在直角三角形中研究的，显示的是边角之间的关系。将锐角三角函数值与圆结合，利用圆里面的一些关系构造直角三角形，使锐角三角函数的知识在圆中完美的结合，使得知识得以升华。
在今后教学过程中，自己还要多注意以下两点：
（1）还要多下点工夫在如何调动课堂气氛，使语言和教态更加生动上。初中学生的注意力还是比较容易分散的，兴趣也比较容易转移，因此，越是生动形象的语言，越是宽松活泼的气氛，越容易被他们接受。如何找到适合自己适合学生的教学风格？或严谨有序，或生动活泼，或诙谐幽默，或诗情画意，或春风细雨润物细无声，或激情飞扬，每一种都是教学魅力和人格魅力的展现。我将不断摸索，不断实践。
（2）我将尽我可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学的每一个细节，上课前多揣摩。让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，舍得把课堂让给学生，让学生做课堂这个小小舞台的主角。而我将尽我最大可能在课堂上投入更多的情感因素，丰富课堂语言，使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作，不断总结得失，不断进步。只有这样，才能真正提高课堂教学效率。
