海淀区高三年级第一学期期末练习
数学参考答案
选择题共10小题,每小题4分,共40分
填空题共5小题,每小题5分,共25分
1(-1
解答题共6小题
(16)(本小题共
棱柱ABC
别是棱AA,BB的中点
所
所以四边形AEBD是平行四边形
所以
又因为AEg平面B
平面B
所以AC⊥CC
为侧面BCCB为矩
以CC
又因为AC∩BC
平
平面AB
所以C
(II)分别
B,CC1所
线为
建立如图所示的空间
标系C-Xy2,由题意得A(2,0
第1页(共
设平面BcD的法向量为n=(
今
所以
所以直线AB与平面BCD所成角的正弦值为√0
(17)(本小题共14分
选择①②③
)因为
弦定理得sinA
√3
因为
所以
所以
所以
所
所以
C
3
弦定理得
第2页(共
因
所
解
)因为a
弦定理得sinA
所以
所
所以
所以
14
所以
所
弦定理得
8)(本小题共14分
(I)由图表知,2013-2020年中,产品的平均利润小于100元/台的年份只有20
以从2013~2020年中随机抽取
该年生产的产品的平均利润不
0元/台的概率
图表知,2013-2020年中,返修率超过千分
份
所以ξ的所有可能
P(2=1)
所以ξ的分布列为
故的数学期望E(5)
最大值
题共14分)
解:(I)因为椭圆W经过点C(2,3
所以
因为椭圆W的离心率
其
所
所以椭圆W的方程为
1,长轴长
)当直线CD的
(I)可知A(4,0)
所以△ACQ的面积为
显然
面积
积大23
第4页(共
当直线CD
题
的方程为y-√3
今
得
所以Q
依题
点D的纵坐标y=23
因
方,所以
所以△AC
积为|AQ
√3
面积为BQ
因
Q的面积比△BDQ的面积大
所以
无解
综上所述,点D的坐标为
方法
为点
轴下方,所以点Q在线段AB(不
点)
知A(-4,0),B(4,0)
所以△
√3=2√3
为
积比△BDQ的面积大23
所
线段
包括
△OcQ的面积等
DQ的
积
积等于△BCD的面积
所以
设
√3
因为点D在椭
所
所以点D的坐标为
(20)(本小题共14分
解:()因为f(x)
所
)上的情况如下
e
极大
所以f(X)的单调递增区间为(0
递减区
(Ⅱ)因为f(x)
X
所以g(X)
所以g
所以g(x)<0
所以g(X)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减.
所以g(X)
(Ⅲ)因为f(x)
所以h(x)
ax-4a2+1
存
使得h(1)
所以h(2021北京海淀高三（上）期末
数
学
2020.01
本试卷共8页，150分。考试时常120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题
共40分）
1、选择题共10
小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）抛物线的准线方程是
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）在复平面内，复数对应的点位于
（A）第一象限
（B）第二象限
（C）第三象限
（D）第四象限
（3）在的展开式中，的系数为
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）已知直线，点和点，若，则实数的值为
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）已知向量，满足，，且，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）已知，是两个不同的平面，“”的一个充分条件是
（A）内有无数直线平行于
（B）存在平面，，
（C）存在平面，，且
（D）存在直线，，
（8）已知函数
则
（A）是偶函数
（B）函数的最小正周期为
（C）曲线关于对称
（D）
（9）数列的通项公式为，，前项和为，给出
下列三个结论：
①存在正整数，使得；
②存在正整数，使得；
③记，则数列有最小项，其中所有正
确结论的序号是
（A）
（B）③
（C）③
（D）②③
（10）如图所示，在圆锥内放入连个球，，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为,⊙.
这两个球都与平面相切，切点分别为，，丹德林（G·Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin
双球。若圆锥的母线与它的轴的夹角为，,
⊙的半径分别为1,4，点为⊙上的一个定点，点为椭圆上的一个动点，则从点沿圆锥表面到达的路线长与线段的长之和的最小值是
（A）
（B）
（C）
（D）
第二部分（非选择题
共110分）
2、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）在“互联网+”时代，国家积极推动信息化技术与传统教学方式的深度融合，实现线上、线下融合式教学模式变革.某校高一、高二和高三学生人数如图所示.采用分层抽样的方法调查融合式教学模式的实施情况，在抽取样本中，高一学生有16人，则该样本中的高三学生人数为
.
（12）设等比数列的前项和为.若、、成等差数列，则数列的公比为
.
（13）已知双曲线的左右焦点分别为，点，则双曲线的渐近线方程为
；
;
（14）已知函数是定义域的奇函数，且时，，则
，的值域是
；
（15）已知圆，直线，点，点.
给出下列4个结论：
①当，直线与圆相离；
②若直线圆的一条对称轴，则；
③若直线上存在点，圆上存在点，使得，则的最大值为；
④为圆上的一动点，若，则的最大值为.
其中所有正确结论的序号是
.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（16）（本小题共15分）在三棱柱中，侧面为矩形，,分别是棱，的中点.
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求证:
(Ⅲ)若,求直线与所成角的正弦值.
（17）（本小题共14分）若存在同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解答下列问题：
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）求和的值.
条件①：；
条件②：；
条件③：；
条件④：
（18）（本小题共14分）
某公司在2013~2021年生产经营某种产品的相关数据如下表所示：
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年生产台数（单位：万台）
3
4
5
6
6
9
10
10
年返修台数（单位：台）
32
38
54
58
52
71
80
75
年利润（单位：百万元）
3.85
4.50
4.20
5.50
6.10
9.65
10.00
11.50
注：.
（Ⅰ）从2013~2020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率；
（Ⅱ）公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀.现从2013~2020年中随机选出3年，记表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数.求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）记公司在2013~2015年，2016~2018年，2019~2021年的年生产台数的方差分别为.若，其中表示，这两个数中最大的数.请写出的最大值和最小值.（只需写出结论）
（注：，其中为数据的平均数）
（19）（本小题共14分）已知椭圆的离心率为，且经过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程及其长轴长；
（Ⅱ），分别为椭圆的左、右顶点，点在椭圆上，且位于轴下方，直线交轴于点，若的面积比的面积大，求点的坐标.
（20）（本小题共14分）
已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）设，求证：；
（Ⅲ）设.若存在使得，求的最大值.
（21）（本小题共14分）设是由个实数组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值是，且所有数的和是非负数，则称数表是“阶非负数表”.
（Ⅰ）判断如下数表，是否是“阶非负数表”；
（Ⅱ）对于任意“阶非负数表”，记为的第行各数之和，证明：存在，使得；
（Ⅲ）当时，证明：对与任意“阶非负数表”，均存在行列，使得这行列交叉处的个数之和不小于.
