北京市房山区2020-2021学年高二上学期期末检测数学试题 Word版含答案

房山区2020-2021学年度第一学期期末检测试卷
高二数学
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共50分）
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知点，则线段的中点坐标为
（A） （B）
（C） （D）
（2）圆心为，半径为的圆的方程为
（A） （B）
（C） （D）
（3）已知直线和互相平行，则
（A） （B）
（C）或 （D）或
（4）下列双曲线中以为渐近线的是
（A） （B）
（C） （D）
（5）在的展开式中，的系数为
（A） （B）
（C） （D）
（6）已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有位患有该病的患者服用了这种药物，位患者
是否会被治愈是相互独立的，则恰有位患者被治愈的概率为
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则
（A） （B）
（C） （D）
（8）已知圆，从圆上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的
中点的轨迹方程为
（A） （B）
（C） （D）
（9）已知直线和圆：，则直线与圆的位置关系为
（A）相交 （B）相切
（C）相离 （D）不能确定
（10）如图，在正方体中，点分别是棱上的动点．
给出下面四个命题：
①直线与直线平行；
②若直线与直线共面，则直线与直线相交；
③直线到平面的距离为定值；
④直线与直线所成角的最大值是．
其中，真命题的个数是
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
第二部分（非选择题 共100分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）电影《夺冠》要在4所学校轮流放映，每所学校放映一场，则不同的放映次序共有____种.
（用数字作答）
（12）设随机变量的分布列为：






则____；随机变量的数学期望____.
（13）某班级的学生中，寒假是否有参加滑雪运动打算的情况如下表所示.
男生 女生
有参加滑雪运动打算 8 10
无参加滑雪运动打算 10 12
从这个班级中随机抽取一名学生，则“抽到的人是男生且有参加滑雪运动打算”的概率为____；
若已知抽到的人是男生，则他有参加滑雪运动打算的概率为____.
（14）设抛物线的焦点为，点在抛物线上. 则抛物线的准线方程为____；
____.
（15）已知曲线.给出下列四个命题：
①曲线过坐标原点；
②若，则是圆，其半径为；
③若，则是椭圆，其焦点在轴上；
④若，则是双曲线，其渐近线方程为.
其中所有真命题的序号是 　．
三、解答题共6小题，共75分。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题12分）
已知直线过点，再从下列条件①、条件②、条件③这三个条件中任意选择一个作为已知，求直线的方程.
条件①：直线经过直线与 的交点；
条件②：直线与圆相切；
条件③：直线与坐标轴围成的三角形的面积为．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
（17）（本小题12分）
已知点在抛物线上，过点且斜率为的直线与抛物线的另一个交点为.
（Ⅰ）求的值和抛物线的焦点坐标；
（Ⅱ）求弦长.
（18）（本小题12分）
袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求：
（Ⅰ）第一次摸到红球的概率；
（Ⅱ）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；
（Ⅲ）第二次摸到红球的概率.
（19）（本小题13分）
某软件是一款自营生鲜平台以及提供配送服务的生活类APP.某机构为调查顾客对该软件的使用情况，在某地区随机抽取了100人，调查结果整理如下：
顾客年龄 20岁以下 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70] 70岁以上
使用人数 5 10 18 8 4 2 0
未使用人数 0 0 2 12 36 3 0
（Ⅰ）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用这款APP的概率；
（Ⅱ）从被抽取的年龄在且使用这款APP的顾客中，随机抽取2人进一步了解情况，用表示这2人中年龄在的人数,求随机变量的分布列及数学期望；
（Ⅲ）为鼓励居民使用，该机构拟对使用这款APP的居民赠送1张5元的代金劵.若某区预计有6000
人具有购物能力，试估计该机构至少应准备多少张代金券.
（20）（本小题13分）
如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，
为中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（21）（本小题13分）
已知椭圆的离心率为,且经过点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）不过点的直线与椭圆交于两点，以线段为直径的圆经过点，证明：直线过定点.
房山区2020-2021学年度第一学期期末检测参考答案
高二年级 数学学科
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B D C A D B C A A B
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（第一空3分，第二空2分）
（11） （12）； （13）；
（14） （15） ③④（错选0分，漏选3分）
三、解答题共6小题，共75分。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题12分）
选择条件①：
解方程组 得 ……………………………4
则直线的斜率为， ……………………………8
所以直线的方程为，即.………………………12
选择条件②：
设直线的方程为（显然直线的斜率存在），即.
圆的圆心为，半径为. ……………………………4
因为 直线与圆相切,
所以 . 解得. ……………………………8
所以直线的方程为，即. ………………12
选择条件③：
设直线的方程为（显然直线不与坐标轴平行），…………………1
令 得.
则 . ……………………………4
解得. ……………………………8
所以直线的方程为，即，.………………………12
（17）（本小题12分）
（Ⅰ）由点在抛物线上，得.…………………………2
所以抛物线的方程为，焦点坐标为. ……………………………5
（Ⅱ）直线的方程为 ，即， ……………………7
解方程组 得 或 ……………………9
所以点的坐标为 .
所以 . ………………………………12
（18）（本小题12分）
设事件：第一次摸到红球；事件：第二次摸到红球，
则事件：第一次摸到白球.
（Ⅰ）第一次从10个球中摸一个共10种不同的结果，其中是红球的结果共3种,
所以 . ……………………4
（Ⅱ）第一次摸到红球的条件下,剩下的9个球中有2个红球，7个白球，第二次从这9个球中摸一个共9种不同的结果，其中是红球的结果共2种.
所以 . ……………………8
（Ⅲ）.……………………12
所以第二次摸到红球的概率.
（19）（本小题13分）
（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30, 50)且未使用这款APP的共有2+12=14人，
所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30, 50)且未使用这款APP的概率为． ……………………2
（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2，则
, , .………8
0 1 2



所以的分布列为
……………………………9
故的数学期望为
…………………………11
（Ⅲ）在随机抽取的100名顾客中，使用自助结算机的共有人， 所以该机构至少应准备张代金券的张数估计为:张
………………………………13
（20）（本小题13分）
（Ⅰ）因为 平面，平面，
所以
因为底面为正方形，所以
如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系
…………………………………………1
则
因为
所以 ………………………………2
又， ………………………………3
所以平面 …………………………………………4
（Ⅱ）因为 为中点， 所以，
设平面的法向量为，
则 即
令，则.……………………………8
由（Ⅰ）知，为平面的法向量, …………10
所以. ……………………12
由题知，二面角为锐角，所以其余弦值为.…………13
（21）.（本小题13分）
（Ⅰ）由椭圆离心率为,且经过点 ,可知.…………2
所以 .
所以 . ………………………………3
所以椭圆的方程为. ……………………………………4
（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由 得 .……………………6
.
设， 则.…………8
因为以线段为直径的圆经过点 ，
所以 . 所以 . ………………………………9
由 ，整理得 .
解得 或 （都满足）.
所以 或 . ………………………………10
因为直线不过点，
所以直线过定点 . …………………………………………11
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，
则，.
解得 或 （舍）.
综上 直线过定点 . …………………………………………13
备注：解答题只提供一种解法，其他解法请仿此标准给分。
高二数学 期末检测试卷 10 / 11