北京市房山区2020-2021学年高一上学期期末检测数学试题 Word版含答案

房山区2020-2021学年度第一学期期末检测
高一数学
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分 （选择题 共50分）
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知，，则线段中点的坐标为
（A） （B）
（C） （D）
（2）某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品按质量分为一等品、二等品、不合格品．从这批产品中随机
抽取一件进行检测，设“抽到一等品”的概率为，“抽到二等品”的概率为，则“抽到不
合格品”的概率为
（A） （B）
（C） （D）
（3）某单位共有职工名，其中高级职称人，中级职称人，初级职称人．现采用分层抽样方
法从中抽取一个容量为的样本，则从高级职称中抽取的人数为
（A） （B）
（C） （D）
（4）已知，且，则下列结论正确的是
（A） （B）
（C） （D）
（5）如果函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，则
（A） （B）
（C） （D）
（6）如图，在△中，，设，，则

（A） （B）
（C） （D）
（7）已知，，则“”是“向量与共线”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（8）根据气象学上的标准，连续天的日平均气温低于即为入冬．现有甲、乙、丙、丁四地连续
天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：
①甲地：个数据的中位数为，众数为；
②乙地：个数据的平均数为，极差为；
③丙地：个数据的平均数为，中位数为；
④丁地：个数据的平均数为，方差小于．
则肯定进入冬季的地区是
（A）甲地 （B）乙地
（C）丙地 （D）丁地
（9）太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量大约是千克．地球是太阳系八大行星之一，其质
量大约是千克．下列各数中与最接近的是（参考数据：，）
（A） （B）
（C） （D）
（10）已知函数若存在互不相等的实数，，满足，
则的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
第二部分 （非选择题 共100分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（11）___________；___________．
（12）已知，则与方向相同的单位向量的坐标为__________．
（13）暑假期间，甲外出旅游的概率是，乙外出旅游的概率是
0 0
44104 44104
44105 44105
44106 44106
44107 44107
44108 44108
44109 44109
44110 44110
44111 44111 2.9 2.13.9 2.63.7 2.93.1 2.72.6 2.62.5 2.52.3 2.41.6 1.8
A 3.60000244141 3 2.2 1.5 1.20000061035 0.900000610352 0.800000610352
B 2.70000244141 2.70000244141 2.70000244141 2.60000244141 2.3 2.2 2
0 44104 44105 44106 44107 44108 44109 44110 44111
A 2.90000244141 3.90000244141 3.70000244141 3.10000244141 2.60000244141 2.5 2.3 1.6000012207
B 2.1000012207 2.60000244141 2.90000244141 2.70000244141 2.60000244141 2.5 2.4000012207 1.8000012207
，假定甲乙两人的行动相互之间没有影
响，则暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率是__________.
（14）当时，，，的大小关系是___________．（请用“”连接）
（15）定义在上的函数满足：①单调递减；②，请写出一个满足条件的函数__________.
（16）由于国庆期间有七天长假，不少电影选择在国庆档上映.已知A、B两部电影同时在月日全国上映，每天的票房统计如图所示：
有下列四个结论：
①这天A电影票房的平均数比B电影票房的平均数高；
②这天A电影票房的方差比B电影票房的方差大；
③这天A电影票房的中位数与B电影票房的中位数相同；
④根据这天的票房对比，预测月日B电影票房超过A电影票房的概率较大；
其中正确结论的序号为__________.
三、解答题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（17）（本小题15分）
设两个非零向量与不共线．
（Ⅰ）若，，且与平行，求实数的值；
（Ⅱ）若，，，求证：，，三点共线．
（18）（本小题15分）
为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息：
（Ⅰ）求该班学生周末的学习时间不少于小时的人数；
（Ⅱ）估计这名同学周末学习时间的分位数；
（Ⅲ）如果用该班学生周末的学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生周末的学习时间，这样推断
是否合理？说明理由．
（19）（本小题14分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性；
（Ⅱ）求解关于的不等式．
（20）（本小题14分）
空气质量指数是定量描述空气质量状况的指数，空气质量指数的值越高，就代表空气污染越严重，其分级如下表：
空气质量指数





空气质量类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
现分别从甲、乙两个城市月份监测的空气质量指数的数据中随机抽取天的数据，记录如下：
甲





乙





（Ⅰ）估计甲城市月份某一天空气质量类别为良的概率；
（Ⅱ）分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，求这两个数据对应的空气质量类别都为轻度污染的
概率；
（Ⅲ）记甲城市这天空气质量指数的方差为．从甲城市月份空气质量指数的数据中再随机抽取一个记为，若，与原有的天的数据构成新样本的方差记为；若，与原有的天的数据构成新样本的方差记为，试比较，，的大小．（结论不要求证明）
（21）（本小题12分）
设函数的定义域为，若存在正实数，使得对于任意，有，且
，则称是上的“距增函数”．
（Ⅰ）判断函数是否为上的“距增函数”？说明理由；
（Ⅱ）写出一个的值，使得是区间上的“距增函数”；
（Ⅲ）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．若为上的
“距增函数”，求的取值范围．
房山区2020-2021学年度第一学期期末检测参考答案
高一数学
一、选择题（每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C B B C A D C D
二、填空题（每小题5分，共30分，有两空的第一空3分，第二空2分）
（11）；
（12）；
（13）
（14）
（15）（答案不唯一）
（16）①，②，④
三、解答题（共5小题，共70分）
（17）（本小题15分）
解：
（Ⅰ），，则，

因为与平行，所以有
解得．
（Ⅱ）因为，，，所以
，即
与共线，
因此，，三点共线．
（18）（本小题15分）
解：
（Ⅰ）由图可知，该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率为

则名学生中周末的学习时间不少于20小时的人数为．
（Ⅱ）学习时间在小时以下的频率为，
学习时间在小时以下的频率为，
所以分位数在，
，
则这名同学周末学习时间的分位数为．
（Ⅲ）不合理，样本的选取只选在高一某班，不具有代表性．
（19）（本小题14分）
解：
（Ⅰ）由
得函数的定义域为，
所以函数既不是奇函数，也不是偶函数．
（Ⅱ）由，
得，
因为在是减函数，所以有，
解得，
因此不等式的解集为．
（20）（本小题14分）
解：
（Ⅰ）甲城市这天内空气质量类别为良的有天，则估计甲城市月份某一天空气质量类别为良
的概率为．
（Ⅱ）由题意，分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，样本空间记为

有个样本点，
用A表示“这两个数据对应的空气质量类别都为轻度污染”，则
，包含个样本点，则
．
（Ⅲ）．
（21）（本小题12分）
解：
（Ⅰ）函数是上的“距增函数”
任意，有，且
所以，
因此是上的“距增函数”．
（Ⅱ）（答案不唯一，不小于即可）
（Ⅲ）
因为为上的“距增函数”，
i)当时，由定义恒成立
即恒成立，
由绝对值几何意义可得，
ii)当时，分两种情况：
当时，由定义恒成立
即恒成立，由绝对值几何意义可得，
当时，由定义恒成立
即恒成立
当时，显然成立
当时，可得
综上，的取值范围为．
第8页