北京市房山区2021届高三上学期期末考试数学试题 Word版含答案

房山区2020-2021学年第一学期高三期末试题
数 学
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存。
第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合false，false，则false等于
（A）false （B）false （C）false （D）false
（2）命题“false，false”的否定是
（A）false，均有false （B）false，均有false
（C）false，使得false （D）false，使得false
（3）若复数false,则在复平面内复数false对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
（4）已知函数false，则false的值为
（A）false （B）false （C）false （D）false
（5）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是
178181084455（A）false
（B）false
（C）false
（D）false
（6）若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的false倍，且一个顶点的坐标为false，则双曲线的标准方程为
（A）false （B）false （C）false （D）false
（7）已知false，false，false，false均为实数，且false，则“false”是“false”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（8）在平行四边形false中，false，false，false，false为false的中点，则false
（A）false （B）false （C）false （D）false
（9）对于定义在false上的函数false，若存在非零实数false，使函数false在false和false上均有零点，则称false为函数false的一个“折点”．下列四个函数存在“折点”的是　
（A）false （B）false
（C）false （D）false
（10）众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．下图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在false轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线false．给出以下命题：
①当false时，若直线false截黑色阴影区域所得两部分面积记为falsefalse,则false；
②当false时，直线false与黑色阴影区域有false个公共点；
③当false时，直线false与黑色阴影区域有false个公共点．
其中所有正确命题的序号是
（A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①②③


第二部分 （非选择题 共110分）
填空题共5小题，每小题5分，共25分。
(11)函数false的定义域为 ．
(12)在二项式false的展开式中，false的系数为 ．
(13)在△false中，若false，false，false，则false ．
(14)在平面直角坐标系false中，直线false过抛物线false的焦点false，且与该抛物线相交于false两点．若直线false的倾斜角为false，则△false的面积为 ．
(15)复印纸幅面规格只采用false系列和false系列，其中false系列的幅面规格为：①false所有规格的纸张的幅宽（以false表示）和长度（以false表示）的比例关系都为false；②将false纸张沿长度方向对开成两等分，便成为false规格；false纸张沿长度方向对开成两等分，便成为false规格；…；如此对开至false规格.现有false纸各一张.若false纸的幅宽为falsefalse，则false纸的面积为 false，这false张纸的面积之和等于 false．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（16）（本小题14分）
如图，在四棱锥false中，false，false∥false， false，false，false.
（Ⅰ）求证：false∥平面false；
（Ⅱ）求平面false与平面false所成锐二面角的余弦值．
-6604085090
（17）（本小题14分）
已知函数false，再从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）false的最小正周期；
（Ⅱ）false的单调递增区间．
条件①：false图像的对称轴为false；
条件②：false；
条件③：false．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
（18）（本小题14分）
false年false月false日起，北京市实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类. 生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收false吨废纸可再造出false吨好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗.
某环保小组调查了北京市房山区某垃圾处理场false年false月至false月生活垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量（单位：吨）的折线图如下图：
137922092075
（Ⅰ）现从false年false月至false月中随机选取false个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过false吨的概率；
（Ⅱ）从false年false月至false月中任意选取false个月，记false为选取的这false个月中回收的废纸可再造好纸超过false吨的月份的个数. 求false的分布列及数学期望；
(Ⅲ)假设false年false月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量为false吨. 当false为何值时，自false年false月至false年false月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量的方差最小.（只需写出结论，不需证明）
（注：方差false，其中false为false，false，…… false的平均数）
（19）（本小题14分）
已知椭圆false的离心率为false，且过false点．
（Ⅰ）求椭圆false的方程；
（Ⅱ）设不过原点false且斜率为false的直线false与椭圆false交于不同的两点false，线段false的中点为false，直线false与椭圆false交于false，证明：false．
（20）（本小题15分）
已知函数false.
（Ⅰ）当false时，求曲线false在点false处的切线方程；
（Ⅱ）若false，讨论函数false的单调性；
（Ⅲ）当false时，false恒成立，求false的取值范围.
(21)(本小题14分)
数列false中，给定正整数falsefalse，false.定义:数列false满足false，称数列false的前false项单调不增.
（Ⅰ）若数列false通项公式为：false，求false；
（Ⅱ）若数列false满足：false，求证false的充分必要条件是数列false的前false项单调不增；
（Ⅲ）给定正整数falsefalse，若数列false满足：false，且数列false的前false项和为false，求false的最大值与最小值.(写出答案即可)
房山区2020-2021学年第一学期期末试题参考答案
高三数学
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
题号
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
（9）
（10）
答案
(D)
（C）
（A）
（B）
（A）
（B）
（B）
（C）
(D)
(A)
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）false （12）false （13）false （14）false （15）false，false
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
(16)(Ⅰ)3623310731520证明：
解法1. 因为false
false平面false
false平面false
所以false平面false ……………………………………4分
解法2.
因为false，false，false，所以
以false为坐标原点，false所在直线分别为false轴、false轴、false轴，建立如图所示空间直角坐标系false，则false …………………………………1分
(此处建系，第（Ⅱ）问不重复给分）
平面false的法向量为false …………………………………2分 false …………………………………3分
因为 false …………………………………4分
false平面false …………………………………5分
所以false平面false
（Ⅱ）解：因为false，falsefalse，所以
以false为坐标原点，false所在直线分别为false轴、false轴、false轴，建立如图所示空间直角坐标系false，则false ………………………5分
3136900191135所以平面false的法向量为false ………………………6分
设平面false的法向量为false
false，false ………………………8分
所以false ………………………10分

令false ………………………11分
false ………………………13分
设平面false与平面false所成角为false为锐角, 所以false ………………………14分
（17）选① （false图像的一条对称轴为false） ………………………1分
解：(Ⅰ) false
false
false
false
因为false图像的一条对称轴为false
所以false
即有false
所以false
所以false
false ………………………6分
故false
所以false的最小正周期为：false ………………………8分
（Ⅱ） false ………………………11分
false
false ………………………13分
所以false的递增区间为false ………………………14分
选② (false ………………………1分
解：(Ⅰ)false
false
false
false
false
false
false
所以false的最小正周期为：false ……………………8分
（Ⅱ） false ……………………11分
false
false ……………………13分
所以false的递增区间为false ……………………14分
选③（false） ……………………1分
解：（I）false
false
false
false
所以false的最小正周期为：false ………………………8分
（Ⅱ） false ………………………11分
false
false ………………………13分
所以false的递增区间为false ………………………14分
（18）解：（Ⅰ）记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件false ………………………1分
由题意，只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨
………………………2分
所以false. ………………………4分
（Ⅱ）因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸
所以6月至12月回收的废纸可再造好纸超过3.0吨的月份有：7月、8月、10月，共3个月.
false的所有可能取值为0，1，2. ………………………5分
false
false
false ………………………8分
所以false的分布列为:
false
0
1
2
false
false
false
false
………………………9分
false ………………………11分
(Ⅲ)false ………………………14分
当添加的新数false等于原几个数的平均值时，方差最小.
（19）解:（I）根据题意：
false ………………………4分
所以椭圆G的方程为false ………………………5分
(II) 设直线l的方程为：false ………………………6分
由 false 消去false得：false ………………………7分
即 false
需 false 即 false ………………………8分
设false,false中点false,则
false ………………………9分
false ………………………10分
那么直线false的方程为:false即false ………………………11分
由false
不妨令 false ………………………12分
那么
false
………………………13分
false ………………………14分
所以 |MC|·|MD|=|ME|·|MF|
（20）解：（Ⅰ）当false时，false
false， …………………………1分
false，false …………………………3分
所以切线方程为：false
即：false ………………………4分
（Ⅱ）由题false，可得
false ………………………5分
由于false，false的解为false， ………………………6分
（1）当false，即false时，false,则false在false上单调递增；…………………7分
（2）当false，即false时，
在区间false 在区间false上，false,
所以false的单调增区间为false；单调减区间为false. …………………9分
(3)当false，即false时，
在区间false
在区间false上，false,
则false在false上单调递增，false上单调递减. ………………………11分
（Ⅲ）解法一：
false
（1）当false时，因为false，所以false，false，所以false，
则false在false上单调递增，false成立 …………………………………12分
（2）当false时，false，
所以false在false上单调递增，所以false成立. ……………………………13分
（3）当false时，在区间false上，false；在区间false，false，
所以false在false上单调递减，false上单调递增，所以false，不符合题意. …………………………………14分
综上所述，false的取值范围是false. …………………………………15分
解法二：
当false时，false恒成立，等价于“当false时，false恒成立”.
即false在false上恒成立. …………………………………12分
当false时，false，所以false. …………………………………13分
当false时, false,所以false恒成立.
设false，则false
因为false，所以false，所以false在区间false上单调递增.
所以false,所以false. …………………………………14分
综上所述，false的取值范围是false. …………………………………15分
(21)解: (Ⅰ)false. …………………………………4分
(Ⅱ)充分性：若数列false的前false项单调不增，即false
此时有：
false
必要性：反证法，若数列false的前false项不是单调不增，则存在false使得false，那么:
false
由于false.
false.
与已知矛盾. …………………………………9分
(Ⅲ)最小值为0.此时false为常数列. …………………………………10分
最大值为false
当false时的最大值：此时false, …………………………………11分
false.
当false时的最大值：此时false.
由false易证，false的值的只有是大小交替出现时，才能让false取最大值.
不妨设：false，false为奇数，false，false为偶数. 当false为奇数时有：
false
当false为偶数时同理可证. …………………………………14分