人教版八年级下册数学 17.2勾股定理的逆定理 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级下册数学 17.2勾股定理的逆定理 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 119.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-25 07:42:12 | ||
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文档简介
17.2勾股定理的逆定理 同步练习
一．选择题
1．下面的每组数分别是一个三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．2，2，5 C．32，42，52 D．3，4，5
2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．b2＝a2﹣c2 B．∠C＝∠A+∠B
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝5：12：13
3．三角形三边长分别为①3，4，5②5，12，13③17，8，15④1，3，2．其中直角三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角之比为1：2：3
B．三边长的平方之比为1：2：3
C．三边长之比为3：4：5
D．三内角之比为3：4：5
5．若一个三角形三边满足（a+b）2﹣c2＝2ab，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．以上结论都不对
6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形
B．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠C＝90°
C．如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，那么△ABC是直角三角形
D．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形
7．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE＝3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ）
A．1米 B．米 C．2米 D．4米
8．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，树干顶部在离根部12米处，则这棵大树的高度为（ ）
A．13 B．17 C．18 D．25
9．如图，在灯塔O的东北方向8海里处有一轮船A，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B，则AB间的距离为（ ）
A．9海里 B．10海里 C．11海里 D．12海里
10．在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，那么点D到AB的距离是（ ）
A．4.8 B．4 C．3 D．
二．填空题
11．若一个三角形的三边长为1、2、x，则使此三角形是直角三角形的x的值是 ．
12．在△ABC中，三边长分别为5、12、13，则它的面积为 ．
13．△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件中能判定是直角三角形的是 ．（填写序号）
（1）a：b：c＝5：12：13，（2）a＝1.5，b＝2.5，c＝2，（3）（a﹣b）2+2ab＝c2，（4）∠A：∠B：∠C＝3：4：5，（5）a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1（n为大于1的正整数）
14．木工师傅为了让尺子经久耐用，常常在尺子的直角顶点A处与斜边BC之间加一根小木条AD．已知∠BAC＝90°，AB＝5dm，AC＝12dm，则小木条AD的最短长度为 dm．
15．若正整数a，n满足a2+n2＝（n+1）2，这样的三个整数a，n，n+1（如：3，4，5或5，12，13）我们称它们为一组“完美勾股数”．当n＜150时，共有 组这样的“完美勾股数”．
三．解答题
16．在△ABC中，D是BC上一点，AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求△ABC的面积．
17．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，BD＝．
（1）求AD＝ ；
（2）求证：△ABC是直角三角形．
18．如图是一块四边形木板，其中AB＝16cm，BC＝24cm，CD＝9cm，AD＝25cm，∠B＝∠C＝90°．李师傅找到BC边的中点P，连接AP，DP，发现△APD是直角三角形，请你通过计算说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：A、（）2+（）2≠（）2，故不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、22+22≠52，故不能构成直角三角形，故此选项不符合题意
C、因为32＝9，42＝16，52＝25，92+162≠252，故不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、32+42＝52，故能构成直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
2．解：A、b2＝a2﹣c2，即a2＝b2+c2，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意；
B、∠C＝∠A+∠B，此时∠C是直角，能够判定△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么∠A＝45°、∠B＝60°、∠C＝75°，△ABC不是直角三角形，符合题意；
D、132＝52+122，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意．
故选：C．
3．解：①32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形；
②52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形；
③82+152＝172，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形；
④12+（2）2＝32，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形．
故选：D．
4．解：A、根据三角形内角和公式，求得各角分别为30°，60°，90°，所以此三角形是直角三角形；
B、三边符合勾股定理的逆定理，所以其是直角三角形；
C、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
D、根据三角形内角和公式，求得各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形不是直角三角形；
故选：D．
5．解：∵（a+b）2﹣c2＝2ab，
∴a2+b2+2ab﹣c2＝2ab，
∴a2+b2＝c2，
∴这个三角形为直角三角形．
故选：A．
6．解：如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形，A正确；
如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°，B错误；
如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，
设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
则x+3x+2x＝180°，
解得，x＝30°，
则3x＝90°，
那么△ABC是直角三角形，C正确；
如果a2：b2：c2＝9：16：25，
则如果a2+b2＝c2，
那么△ABC是直角三角形，D正确；
故选：B．
7．解：过点C作CF⊥AB于点F，
根据题意得：AB＝AC＝5，CF＝DE＝3，
由勾股定理可得AF2+CF2＝AC2，
∴AF＝，
∴BF＝AB﹣AF＝5﹣4＝1，
∴此时木马上升的高度为1米，
故选：A．
8．解：由勾股定理得，BC＝＝13（m）．
则大树折断前的高度为：13+5＝18（m）．
故选：C．
9．解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，
∴∠AOB＝90°，
又∵OA＝8海里，OB＝6海里，
∴AB＝＝10（海里）．
故选：B．
10．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴62+82＝102，
∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴CD＝ED，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE＝AC＝6，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，
设CD＝DE＝x，则BD＝8﹣x，
在Rt△BDE中，DE2+BE2＝BD2，
x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3．
故DE的长为3．
故选：C．
二．填空题
11．解：设第三边为x，
（1）若2是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得：
12+22＝x2，所以x＝；
（2）若2是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得：
12+x2＝22，所以x＝；
综上所述：x的值为或，
故答案为：或．
12．解：在△ABC中，三边长分别为5、12、13，
∵52+122＝132，
∴三角形是直角三角形，
∴面积为×5×12＝30．
故答案为：30．
13．解：（1）（5x）2+（12x）2＝（13x）2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合题意；
（2）（1.5）2+（2）2＝（2.5）2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合题意；
（3）由（a﹣b）2+2ab＝c2，可得：a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合题意；
（4）∠A：∠B：∠C＝3：4：5，此时∠C＝100°，不能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意；
（5）（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合题意；
故答案为：（1）（2）（3）（5）．
14．解：∵∠BAC＝90°，AB＝5dm，AC＝12dm，
∴BC＝＝＝13（dm），
当AD⊥BC时，AD最短，则AD×BC＝AB×AC，
则AD＝＝＝（dm）．
故答案是：．
15．解：∵n＜150，（n+1）2﹣n2＝2n+1，
又∵149+150＝299，大于等于9小于297的非偶数完全平方数有9，25，49，81，121，169，225，289，一共8个，
∴共有8组这样的“完美勾股数”．
故答案为：8．
三．解答题
16．解：∵BD2+AD2＝62+82＝102＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴AD⊥BC，
在Rt△ACD中，CD＝＝15，
∴BC＝BD+CD＝6+15＝21，
∴S△ABC＝BC?AD＝×21×8＝84．
因此△ABC的面积为84．
故答案为84．
17．（1）解：∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：CD＝＝＝，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD＝＝＝，
故答案为：；
（2）证明：由（1）知：AD＝，
∵BD＝，
∴AB＝BD+AD＝+＝5，
∵BC＝3，AC＝4，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
即△ABC是直角三角形．
18．解：∵点P为BC中点，
∴BP＝CP＝BC＝12（cm），
∵∠B＝90°，
在Rt△ABP中，根据勾股定理可得：AB2+BP2＝AP2，
162+122＝AP2，
解得：AP＝20（cm），
同理可得：DP＝15（cm），
∵152+202＝252，
∴AP2+DP2＝AD2，
∴△APD是直角三角形，∠APD＝90°．
一．选择题
1．下面的每组数分别是一个三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．2，2，5 C．32，42，52 D．3，4，5
2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A．b2＝a2﹣c2 B．∠C＝∠A+∠B
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝5：12：13
3．三角形三边长分别为①3，4，5②5，12，13③17，8，15④1，3，2．其中直角三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角之比为1：2：3
B．三边长的平方之比为1：2：3
C．三边长之比为3：4：5
D．三内角之比为3：4：5
5．若一个三角形三边满足（a+b）2﹣c2＝2ab，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．以上结论都不对
6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形
B．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠C＝90°
C．如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，那么△ABC是直角三角形
D．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形
7．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE＝3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ）
A．1米 B．米 C．2米 D．4米
8．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，树干顶部在离根部12米处，则这棵大树的高度为（ ）
A．13 B．17 C．18 D．25
9．如图，在灯塔O的东北方向8海里处有一轮船A，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B，则AB间的距离为（ ）
A．9海里 B．10海里 C．11海里 D．12海里
10．在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，那么点D到AB的距离是（ ）
A．4.8 B．4 C．3 D．
二．填空题
11．若一个三角形的三边长为1、2、x，则使此三角形是直角三角形的x的值是 ．
12．在△ABC中，三边长分别为5、12、13，则它的面积为 ．
13．△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列条件中能判定是直角三角形的是 ．（填写序号）
（1）a：b：c＝5：12：13，（2）a＝1.5，b＝2.5，c＝2，（3）（a﹣b）2+2ab＝c2，（4）∠A：∠B：∠C＝3：4：5，（5）a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1（n为大于1的正整数）
14．木工师傅为了让尺子经久耐用，常常在尺子的直角顶点A处与斜边BC之间加一根小木条AD．已知∠BAC＝90°，AB＝5dm，AC＝12dm，则小木条AD的最短长度为 dm．
15．若正整数a，n满足a2+n2＝（n+1）2，这样的三个整数a，n，n+1（如：3，4，5或5，12，13）我们称它们为一组“完美勾股数”．当n＜150时，共有 组这样的“完美勾股数”．
三．解答题
16．在△ABC中，D是BC上一点，AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求△ABC的面积．
17．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，BD＝．
（1）求AD＝ ；
（2）求证：△ABC是直角三角形．
18．如图是一块四边形木板，其中AB＝16cm，BC＝24cm，CD＝9cm，AD＝25cm，∠B＝∠C＝90°．李师傅找到BC边的中点P，连接AP，DP，发现△APD是直角三角形，请你通过计算说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：A、（）2+（）2≠（）2，故不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、22+22≠52，故不能构成直角三角形，故此选项不符合题意
C、因为32＝9，42＝16，52＝25，92+162≠252，故不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、32+42＝52，故能构成直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
2．解：A、b2＝a2﹣c2，即a2＝b2+c2，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意；
B、∠C＝∠A+∠B，此时∠C是直角，能够判定△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么∠A＝45°、∠B＝60°、∠C＝75°，△ABC不是直角三角形，符合题意；
D、132＝52+122，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意．
故选：C．
3．解：①32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形；
②52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形；
③82+152＝172，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形；
④12+（2）2＝32，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形．
故选：D．
4．解：A、根据三角形内角和公式，求得各角分别为30°，60°，90°，所以此三角形是直角三角形；
B、三边符合勾股定理的逆定理，所以其是直角三角形；
C、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
D、根据三角形内角和公式，求得各角分别为45°，60°，75°，所以此三角形不是直角三角形；
故选：D．
5．解：∵（a+b）2﹣c2＝2ab，
∴a2+b2+2ab﹣c2＝2ab，
∴a2+b2＝c2，
∴这个三角形为直角三角形．
故选：A．
6．解：如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形，A正确；
如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°，B错误；
如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，
设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
则x+3x+2x＝180°，
解得，x＝30°，
则3x＝90°，
那么△ABC是直角三角形，C正确；
如果a2：b2：c2＝9：16：25，
则如果a2+b2＝c2，
那么△ABC是直角三角形，D正确；
故选：B．
7．解：过点C作CF⊥AB于点F，
根据题意得：AB＝AC＝5，CF＝DE＝3，
由勾股定理可得AF2+CF2＝AC2，
∴AF＝，
∴BF＝AB﹣AF＝5﹣4＝1，
∴此时木马上升的高度为1米，
故选：A．
8．解：由勾股定理得，BC＝＝13（m）．
则大树折断前的高度为：13+5＝18（m）．
故选：C．
9．解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，
∴∠AOB＝90°，
又∵OA＝8海里，OB＝6海里，
∴AB＝＝10（海里）．
故选：B．
10．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴62+82＝102，
∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴CD＝ED，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE＝AC＝6，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，
设CD＝DE＝x，则BD＝8﹣x，
在Rt△BDE中，DE2+BE2＝BD2，
x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3．
故DE的长为3．
故选：C．
二．填空题
11．解：设第三边为x，
（1）若2是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得：
12+22＝x2，所以x＝；
（2）若2是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得：
12+x2＝22，所以x＝；
综上所述：x的值为或，
故答案为：或．
12．解：在△ABC中，三边长分别为5、12、13，
∵52+122＝132，
∴三角形是直角三角形，
∴面积为×5×12＝30．
故答案为：30．
13．解：（1）（5x）2+（12x）2＝（13x）2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合题意；
（2）（1.5）2+（2）2＝（2.5）2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合题意；
（3）由（a﹣b）2+2ab＝c2，可得：a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合题意；
（4）∠A：∠B：∠C＝3：4：5，此时∠C＝100°，不能够判断△ABC是直角三角形，不符合题意；
（5）（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2，符合勾股定理的逆定理，能够判断△ABC是直角三角形，符合题意；
故答案为：（1）（2）（3）（5）．
14．解：∵∠BAC＝90°，AB＝5dm，AC＝12dm，
∴BC＝＝＝13（dm），
当AD⊥BC时，AD最短，则AD×BC＝AB×AC，
则AD＝＝＝（dm）．
故答案是：．
15．解：∵n＜150，（n+1）2﹣n2＝2n+1，
又∵149+150＝299，大于等于9小于297的非偶数完全平方数有9，25，49，81，121，169，225，289，一共8个，
∴共有8组这样的“完美勾股数”．
故答案为：8．
三．解答题
16．解：∵BD2+AD2＝62+82＝102＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴AD⊥BC，
在Rt△ACD中，CD＝＝15，
∴BC＝BD+CD＝6+15＝21，
∴S△ABC＝BC?AD＝×21×8＝84．
因此△ABC的面积为84．
故答案为84．
17．（1）解：∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：CD＝＝＝，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD＝＝＝，
故答案为：；
（2）证明：由（1）知：AD＝，
∵BD＝，
∴AB＝BD+AD＝+＝5，
∵BC＝3，AC＝4，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
即△ABC是直角三角形．
18．解：∵点P为BC中点，
∴BP＝CP＝BC＝12（cm），
∵∠B＝90°，
在Rt△ABP中，根据勾股定理可得：AB2+BP2＝AP2，
162+122＝AP2，
解得：AP＝20（cm），
同理可得：DP＝15（cm），
∵152+202＝252，
∴AP2+DP2＝AD2，
∴△APD是直角三角形，∠APD＝90°．