北京市朝阳区2021届高三上学期期末考试数学试题 Word版含答案

北京市朝阳区2020~2021学年度第一学期期末质量检测
高三年级数学试卷 2021．1
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集false，集合false，则false=
（A）false （B）false （C）false （D）false
（2）已知向量false，false，且false，则false
（A）false （B）false （C）false （D）false
3808730227965（3）某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为
（A）false
（B）false
（C）false
（D）false
（4）已知等比数列false的各项均为正数，且false，则false
（A）false （B）false （C）false （D）false
（5）设抛物线false的焦点为false，准线false与false轴的交点为false，false是false上一点．若false，则false
（A）false （B）false （C）false （D）false
（6）已知函数false，给出下列四个结论：
①函数false是周期为false的偶函数；
②函数false在区间false上单调递减；
③函数false在区间false上的最小值为false；
④将函数false的图象向右平移false个单位长度后，所得图象与false的图象重合．
其中，所有正确结论的序号是
（A）①③ （B）②③
（C）①④ （D）②④
（7）已知定义在false上的奇函数false满足false，且false，当false时，false．设false，false，false，则false的大小关系为
（A）false （B）false （C）false （D）false
（8）已知圆false，直线false，则“false与false相交”是“false”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（9）已知双曲线false（false，false）的左焦点为false，右顶点为false，过false作false的一条渐近线的垂线false，false为垂足．若false，则false的离心率为
（A）false （B）false （C）false （D）false
（10）在平面直角坐标系false中，已知直线false（false）与曲线false从左至右依次交于false，false，false三点．若直线false：false（false）上存在点false满足false，则实数false的取值范围是
（A）false （B）false
（C）false （D）false
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）设false．若复数false为纯虚数，则false________，false________．
（12）在false的展开式中，常数项是________．（用数字作答）
（13）在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．根据《周髀算经》记载，西周数学家商高就发现勾股定理的一个特例：若勾为三，股为四，则弦为五．一般地，像false这样能够成为一个直角三角形三条边长的正整数组称为勾股数组．若从false，false，false，false，false，false，false，false，false，false这些勾股数组中随机抽取1组，则被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的概率为________．
（14）若函数false为偶函数，则常数false的一个取值为________．
（15）设函数false的定义域为false，若对任意false，存在false，使得false，则称函数false具有性质false，给出下列四个结论：
①函数false不具有性质false；
②函数false具有性质false；
③若函数false，false具有性质false，则false；
④若函数false具有性质false，则false．
其中，正确结论的序号是________．
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分。
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
在false中，false，false，且false，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）false的值；
（Ⅱ）false的面积．
条件①：false；
条件②：false．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。

（17）（本小题13分）
某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A地区随机抽取了400名用户，从B地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分．该公司将收集到的数据按照[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分组，绘制成评分频率分布直方图如下：
A地区用户满意程度评分频率分布直方图
B地区用户满意程度评分频率分布直方图
（Ⅰ）从A地区抽取的400名用户中随机选取一名，求这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率；
（Ⅱ）从B地区抽取的100名用户中随机选取两名，记这两名用户的评分不低于80分的个数为false，求false的分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为false，B地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为false，以及A，B两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为false，试比较false和false的大小．（结论不要求证明）
（18）（本小题14分）
3924935435610如图，在四棱锥false中，底面false为菱形，平面false平面false，false，false，false，false是线段false的中点，连结false．
（Ⅰ）求证：false；
（Ⅱ）求二面角false的余弦值；
（Ⅲ）在线段false上是否存在点false，使得false平面false？若存在，求出false的值；若不存在，说明理由．
（19）（本小题15分）
已知椭圆falsefalse过点false，且false的离心率为false．
（Ⅰ）求椭圆false的方程；
（Ⅱ）过点false的直线false交椭圆false于false，false两点，求false的取值范围．
（20）（本小题15分）
已知函数false（false）．
（Ⅰ）当false时，求曲线false在点false处的切线方程；
（Ⅱ）求false的单调区间；
（Ⅲ）若false恰有两个零点，求实数false的取值范围．
（21）（本小题15分）
已知无穷数列false满足：false，false（false，false）．对任意正整数false，记false，false．
（Ⅰ）写出false，false；
（Ⅱ）当false时，求证：数列false是递增数列，且存在正整数false，使得false；
（Ⅲ）求集合false．
北京市朝阳区2020~2021学年度第一学期期末质量检测
高三数学参考答案 2021．1
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）B （2）C （3）A （4）C （5）C
（6）D （7）A （8）B （9）B （10）D
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11）false；false （12）false
（13）false （14）false（答案不唯一）
（15）①③
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共13分）
解：选条件①：false．
（Ⅰ）在false中，因为false，所以false．
因为false，且false，false，false，
所以false．
化简得false，
解得false或false．
当false时，false，与题意矛盾．
所以false，所以false． 9分
（Ⅱ）因为false，false，所以false．
所以false． 13分
选条件②：false．
（Ⅰ）在false中，因为false，
所以由false得false．
因为false，且false，false，false，
所以false．
解得false． 9分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知false，所以false．
因为false，false，所以false．
所以false． 13分
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）由题知A地区共抽取400名用户，其中有240名用户对该公司产品的评分不低于60分，
所以从A地区抽取的400名用户中随机选取一名，
这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率是false． 3分
（Ⅱ）由题可知false的可能取值为0，1，2．
false；
false；
false．
所以false的分布列如下表：
false
false
false
false
false
false
false
false
所以false的数学期望false． 10分
（Ⅲ）false． 13分
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）因为四边形false为菱形，所以false．
4020185383540又因为false，false为false的中点，所以false．
又因为平面false平面false，
平面false平面false，
所以false平面false．
因为false平面false，
所以false． 4分
384810017145（Ⅱ）连结false．因为false，false为false的中点，
所以false．
由（Ⅰ）可知false平面false，
所以false，false．
设false，则false．
如图，建立空间直角坐标系false．
所以false．
所以false，false．
因为false平面false，所以false是平面false的一个法向量．
设平面false的法向量为false，
则false即false所以false
令false，则false，false．于是false．
所以false．
由题知，二面角false为钝角，所以其余弦值为false． 9分
（Ⅲ）当点false是线段false的中点时，false平面false．理由如下：
因为点false平面false，所以在线段false上存在点false使得false平面false等价于false．
假设线段false上存在点false使得false平面false．
设false，则false．
所以false．
由false，得false．
所以当点false是线段false的中点时，false平面false，且false． 14分
（19）（共15分）
解：（Ⅰ）由题意得false解得false
所以椭圆false的方程为false． 5分
（Ⅱ）当直线false的斜率不存在时，直线false：false与椭圆false交于false，false两点，
所以false，所以false．
当直线false的斜率存在时，设其方程为false，
由false得false．
且false．
设false，则
false，false．
所以falsefalsefalse．
令false，则false，
所以false．
当false，即false时，false取最大值false．
综上所述，false的取值范围是false． 15分

（20）（共15分）
解：（Ⅰ）当false时，false，false，
所以false，false．
所以曲线在点false处的切线方程为false，即false． 3分
（Ⅱ）因为false，定义域为false，
所以false．
①当false时，false与false在false上的变化情况如下：
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
最大值false
false
所以false在false内单调递增，在false内单调递减．
②当false时，false与false在false上的变化情况如下：
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
极大值false
false
极小值false
false
所以false在false，false内单调递增，在false内单调递减．
③当false时，false，所以false在false上单调递增．
④当false时，false与false在false上的变化情况如下：
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
极大值false
false
极小值false
false
所以false在false，false内单调递增，在false内单调递减． 9分
（III）由（II）可知：
①当false时，false在false内单调递增，在false内单调递减，
当false时，false取得最大值false．
（i）当false时，false，
所以false在false上至多有一个零点，不符合题意．
（ii）当false时，false．
因为false，false，false在false内单调递减，
所以false在false内有唯一零点．
因为false，
所以false且false．
因为false，false，
且false在false内单调递增，所以false在false内有唯一零点．
所以当false时，false恰有两个零点．
②当false时，false在false，false内单调递增，在false内单调递减，
因为当false时，false取得极大值false，
所以false在false上至多有一个零点，不符合题意．
③当false时，false在false上单调递增，
所以false在false上至多有一个零点，不符合题意．
④当false时，false在false，false内单调递增，在false内单调递减．
因为当false时，false取得极大值false，
所以false在false上至多有一个零点，不符合题意．
综上所述，实数false的取值范围是false． 15分
（21）（共15分）
解：（Ⅰ）false，false． 4分
（Ⅱ）当false时，对任意false，都有
false，
所以false．
所以数列false是递增数列． 7分
因为false，
所以false．
令false，则false，
所以false．
所以存在正整数false，使得false． 9分
（III）由题意得，对任意false，都有false且false．
由（Ⅱ）可得，当false时，存在正整数false，使得false，所以false．
所以若false，则false．
又因为false，所以若false，则false．
所以若false，则false，即false．
下面证明false．
①当false时，对任意false，都有false．
下证对任意false，false．
假设存在正整数false，使得false．
令集合false，则非空集合false存在最小数false．
因为false，所以false．
因为false，所以false．
所以false，与false矛盾．
所以对任意false，false．
所以当false时，false．
②当false时，false．
下证对任意false，false．
假设存在正整数false，使得false．
令集合false，则非空集合false存在最小数false．
因为false，所以false，所以false．
因为false，所以false．
false，且false，
所以false，与false矛盾．
所以当false时，false．
所以当false时，对任意false，都有false．
所以false，即false．
因为false，且false，所以false． 15分