北师大版八年级下册数学 1.4角平分线 同步练习 (Word版含解析)

1.4角平分线 同步练习
一．选择题
1．如图所示，D是∠AOB平分线上的一点，DE⊥OA，DF⊥OB，垂足分别是E，F．下列结论不一定成立的是（　　）
A．DE＝DF B．OE＝OF C．∠ODE＝∠ODF D．OD＝DE+DF
2．P、Q为∠AOB内两点，且∠AOP＝∠POQ＝∠QOB＝∠AOB，PM⊥OA于M，QN⊥OB于N，PQ⊥OP，则下面结论正确的是（　　）
A．PM＞QM B．PM＝QN C．PM＜QN D．PM＝PQ
3．点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，角平分线AD、BE相交于点O，则四边形OECD的面积为（　　）
A．5 B． C． D．8
5．已知如图，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF于H，若∠AFB＝40°，∠BCF的度数为（　　）
A．40° B．50° C．55° D．60°
6．∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为3，Q是OB上任一点，则（　　）
A．PQ＞3 B．PQ≥3 C．PQ＜3 D．PQ≤3
7．在锐角三角形ABC中，AD是它的角平分线，AB＝8cm，AC＝6cm，则S△ABD：S△ACD等于（　　）
A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：16
8．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为60和48，则△EDF的面积为（　　）
A．4 B．6 C．10 D．12
9．如图，∠BAC和∠BCA的角平分线相交于点N，∠BDE和∠BED的角平分线相交于点M，连接MN．下列说法错误的是（　　）
A．直线MN平分线段AC B．直线MN平分∠ABC
C．∠ANC＝∠DME D．∠ADE+∠DEC＝180°+∠B
10．如图，在△ABC中，P是BC上的点，作PQ∥AC交AB于点Q，分别作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若PR＝PS，则下面三个结论：①AS＝AR②AQ＝PQ③△PQR≌△CPS，其中正确的是（　　）
A．①③ B．①② C．②③ D．①②③
二．填空题
11．AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，若S△ABC＝10，DE＝2，AB＝4，则AC的长是　 　．
12．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝10，DE＝2，AB＝4，则AC长是　 　．
13．在直角△ABC中，已知∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，BC＝12．在△ABC的内部找一点P，使得P到△ACB的三边的距离相等，则这个距离是　 　．
14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D．若AB＝8，BD＝10，则点D到BC的距离是　 　．
15．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，CD＝CB，∠ACB＝∠ACD，AE⊥BC于点E，AE交BD于点F，AC＝DF，CE＝5，BE＝12，则AE＝　 　．
三．解答题
16．如图所示，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，若AC＝7，AD＝6，∠B＝60?，S△ADC＝，求BC和AB的长．
17．如图所示，已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，BC＝4cm，AD是∠CAB的平分线，与BC交于D，DE⊥AB于E，则
（1）图中与线段AC相等的线段是　 　；
（2）与线段CD相等的线段是　 　；
（3）△DEB的周长为　 　cm．
18．如图，△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．
（1）求证：GA平分∠DGB；
（2）若S四边形DGBA＝6，AF＝，求FG的长．
参考答案
一．选择题
1．解：∵D是∠AOB平分线上的一点，DE⊥OA，DF⊥OB，
∴DE＝DF，故A选项成立，
在Rt△ODE和Rt△ODF中，，
∴Rt△ODE≌Rt△ODF（HL），
∴OE＝OF，∠ODE＝∠ODF，故B、C选项成立，
OD＝DE+DF无法证明，不一定成立．
故选：D．
2．解：作PC⊥OQ于C，
∵∠AOP＝∠POQ＝∠QOB，
∴MP＝CP，PQ＝NQ，
∵在Rt△PCQ中，PC＜PQ，
∴PM＜QN．
故选：C．
3．解：如图所示，过O作OE⊥AB，OF⊥AC，连接AO，
∵点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，
∴OE＝OD＝OF，
∵△ABC的面积是12，周长是8，
∴AB×OE+BC×OD+AC×OF＝12，
即×8×OD＝12，
即OD＝3，
故选：C．
4．解：如图，作OM⊥AB于M，OJ⊥BC于J，OK⊥AC于K，DH⊥BC于H，连接OC．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∵点O是△ABC的内心，
∴OM＝OJ＝OK＝＝2，
∵∠DCA＝∠DHA＝90°，AD＝AD，∠DAC＝∠DAH，
∴△DAC≌△DAH（AAS），
∴CD＝DH，AC＝AH＝8，
∴BH＝10﹣8＝2，设CD＝DH＝x，
在Rt△BDH中，∵BD2＝BH2+DH2，
∴（6﹣x）2＝x2+22，
∴x＝，
同法可求：EC＝3，
∴S四边形CDOE＝S△COD+S△COE＝?CD?OJ+?EC?OK＝××2+×3×2＝，
故选：C．
5．解：作FZ⊥AE于Z，FY⊥CB于Y，FW⊥AB于W，
∵AF平分∠BAC，FZ⊥AE，FW⊥AB，
∴FZ＝FW，
同理FW＝FY，
∴FZ＝FY，FZ⊥AE，FY⊥CB，
∴∠FCZ＝∠FCY，
∵∠AFB＝40°，
∴∠ACB＝80°，
∴∠ZCY＝100°，
∴∠BCF＝50°．
故选：B．
6．解：如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵OP是∠AOB的平分线，
∴PD＝PE＝3，
∵Q是OB上任一点，
∴PQ≥PE，
∴PQ≥3．
故选：B．
7．解：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴S△ABD：S△ACD＝8：6＝4：3，
故选：A．
8．解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF＝DH，
在Rt△ADF和Rt△ADH中，，
∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），
∴SRt△ADF＝SRt△ADH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴SRt△DEF＝SRt△DGH，
∵△ADG和△AED的面积分别为60和48，
∴48+SRt△DEF＝60﹣SRt△DGH，
∴SRt△DEF＝6．
故选：B．
9．解：A．只有当AB＝BC时，直线MN才平分线段AC，根据已知条件不能推出直线MN平分线段AC，故本选项符合题意；
B．过N作NG⊥BC于G，NH⊥AC于H，NF⊥AB于F，
∵∠BAC和∠BCA的角平分线相交于点N，
∴NF＝NH，NH＝NG，
∴NF＝NG，
∴BN平分∠ABC，
即直线MN平分∠ABC，故本选项不符合题意；
C．∵∠BAC和∠BCA的角平分线相交于点N，
∴∠NAC＝BAC，∠NCA＝BCA，
∵∠ABC+∠BCA+∠BAC＝180°，
∴∠NAC+∠NCA＝（∠BAC+∠BCA）＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣ABC，
∴∠ANC＝180°﹣（∠NAC+∠NCA）＝180°﹣（90°﹣ABC）＝90°+ABC，
同理，∠DME＝90°+ABC，
∴∠ANC＝∠DME，故本选项不符合题意；
D．∵∠ADE＝∠ABC+∠BED，∠DEC＝∠ABC+∠BDE，∠ABC+∠BDE+∠BED＝180°，
∴∠ADE+∠DEC＝∠ABC+∠BED+∠ABC+∠BDE＝180°+∠ABC，故本选项不符合题意；
故选：A．
10．解：连接AP，∵PR＝PS，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，
∴AP是∠BAC的平分线，∠1＝∠2，∠ARP＝∠ASP＝90°，
∴PR＝PS，
∴△APR≌△APS，
∴AS＝AR，
故①正确；
又QP∥AC，
∴∠2＝∠3，
又∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AQ＝PQ，故②正确；
没有办法证明△PQR≌△CPS，③不成立．
故选：B．
二．填空题
11．解：作DF⊥AC交AC于点F，
∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，
∴DF＝DE＝2．
又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝4，
∴10＝×4×2+×AC×2，
∴AC＝6．
故答案为：6
12．解：过点D作DF⊥AC于F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE＝2，
∵S△ABC＝10，
∴×AB×DE+×AC×DF＝10，即×4×2+×AC×2＝10，
解得，AC＝6，
故答案为：6．
13．解：设P到△ACB的三边的距离为x，
由三角形的面积公式得，×5×12＝×5×x+×12×x+×13×x，
解得，x＝2，
故答案为：2．
14．解：如图，过点D作DE⊥BC于E，
∵AB＝8，BD＝10，∠A＝90°，
∴AD＝＝＝6，
∵∠A＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝AD＝6，
即点D到BC的距离是6．
故答案为：6．
15．解：∵CD＝CB，∠ACB＝∠ACD，CA＝CA，
∴△CAB≌△CAD（SAS），
∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD＝90°，
∴∠DAC＝∠BAC＝45°，
∵CD＝CB，AD＝AB，
∴AC垂直平分线段BD，
∴DG＝BG＝AG，
∵AC＝DF，
∴CG＝GF，设CG＝GF＝x，AG＝BG＝DG＝y．
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝∠BGC＝∠AGF＝90°，
∴∠BCG+∠CBG＝90°，∠BCG+∠FAG＝90°，
∴∠CBG＝∠FAG，∵BG＝AG，
∴△BGC≌△AGF（ASA），
∴AF＝BC＝CE+BE＝5+12＝17，
则有x2+y2＝172①，
由△BEF∽△AGF，可得＝，
∴＝，
∴12×17＝y（y﹣x） ②，
①×12得到：172×12＝12x2+12y2，
②×17得到172×12＝17y2﹣17xy，
∴12x2+12y2＝17y2﹣17xy，
∴12x2+17xy﹣5y2＝0，
∴（3x+5y）（4x﹣y）＝0，
∵3x+5y≠0
∴y＝4x，
∴12×17＝4x×3x，
∴x2＝17，连接CF，可得CF2＝2x2＝34，
∴EF＝＝＝3，
∴AE＝EF+AF＝3+17＝20，
故答案为20．
三．解答题
16．解：过C点作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F，如图，
∵S△ADC＝，
∴×AD×CE＝，
∴CE＝＝，
∵AC平分∠DAB，CE⊥AD于E，CF⊥AB于F，
∴CF＝CE＝，
∵∠B＝60°，
∴BF＝CF＝×＝，
∴BC＝2BF＝5，
在Rt△ACF中，AF＝＝，
∴AB＝AF+BF＝+＝8．
即BC的长为5，AB的长为8．
17．解：（1）在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED，
∴AE＝AC，
故答案为：AE；
（2）∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝CD，
故答案为：DE；
（3）∵AB＝5cm，AC＝3cm，AE＝AC，
∴BE＝AB﹣AE＝2cm，
∴△DEB的周长＝DE+DB+BE＝CD+DB+BE＝CB+BE＝6cm，
故答案为：6．
18．解：（1）过点A作AH⊥BC于H，
∵△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴S△ABC＝S△AED，
又∵AF⊥DE，
即×DE×AF＝×BC×AH，
∴AF＝AH，
又∵AF⊥DE，AH⊥BC，AG＝AG，
∴Rt△AFG≌Rt△AHG（HL），
∴∠AGF＝∠AGH，
即GA平分∠DGB；
（2）∵△ABC≌△ADE，
∴AD＝AB，
又∵AF⊥DE，AH⊥BC，AF＝AH，
∴Rt△ADF≌Rt△ABH（HL），
∴S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝6，
∵Rt△AFG≌Rt△AHG，
∴Rt△AFG的面积＝3，
∵AF＝，
∴×FG×＝3，
解得FG＝4．