北京市东城区2021届高三上学期期末考试数学试题 Word版含答案

东城区2020-2021学难度第一学期期末统一检测
高三数学
2021.1
本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知集合false，false，则false
A.false B.false C.false D.false
2.已知false是公差为d的等差数列，false为其前n项和.若false，则false
A.false B.false C.1 D.2
3.下列函数中，既是奇函数，又在区间false上单调递增的是
A.false B.false C.false D.false
4.将正方体去掉一个四棱锥，得到的几何体如图所示，该几何体的侧（左）视图为

A. B.
C. D.
5.与圆false相切于点false的直线的斜率为
A.false B.false C.false D.2
6.函数false（false，false）的部分图象如图所示，则false

A.false B.false C.false D.false
7.设false，false是两个不同线向量，则“false与false的夹角为锐角”是“false”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
8.十二生肖，又叫属相，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪.现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三名同学从中各选一个，甲没有选择马，乙、丙二人恰有一人选择羊，则不同的选法有
A.242种 B.220种 C.200种 D.110种
9.已知抛物线false（false）的焦点F到准线的距离为2，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且false，则点A到y轴的距离为（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
10.某公园门票单价30元，相关优惠政策如下：
①10人（含）以上团体购票9折优惠；
②50人（含）以上团体购票8折优惠；
③100人（含）以上团体购票7折优惠；
④购票总额每满500元减100元（单张票价不优惠）.
现购买47张门票，合理地设计购票方案，则门票费用最少为
A.1090元 B.1171元 C.1200元 D.1210元
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.复数false________.
12.函数false的定义域是________.
13.已知false，false，则false________，false________.
14.已知双曲线M：false（false，false），false为等边三角形.若点A在y轴上，点B，C在双曲线M上，且双曲线M的实轴为false的中位线，则双曲线M的离心率为________.
15.已知函数false，false，其中false表示不超过x的最大整数.
例如：false，false，false.
①false________；
②若false对任意false都成立，则实数a的取值范围是________.
三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16.（本小题13分）
如图，在四棱锥false中，false平面false，false，底面false是边长为2的正方形，E，F分别为false，false的中点.

（Ⅰ）求证：平面false平面false；
（Ⅱ）求直线false与平面false所成角的正弦值.
17.（本小题13分）
已知函数false，false，在从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）false的最小正周期；
（Ⅱ）false在区间false上的最大值.
条件①：false；
条件②：false.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
18.（本小题14分）
为了解果园某种水果产量情况，随机抽取100个水果测量质量，样本数据分组为false，false，false，false，false，false（单位：克），其频率分布直方图如图所示：

（Ⅰ）用分层抽样的方法从样本里质量在false，false的水果中抽取6个，求质量在false的水果数量；
（Ⅱ）从（Ⅰ）中得到的6个水果中随机抽取3个，记X为质量在false的水果数量，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）果园现有该种水果越20000个，其等级规则及销售价格如下表所示：
质量m（单位：克）
false
false
false
等级规格
二等
一等
特等
价格（元/个）
4
7
10
试估计果园该种水果的销售收入.
19.（本小题15分）
已知椭圆C：false（false）过点false，false，且离心率为false.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C有且仅有一个公共点E，且与x轴交于点G（E，G不重合），false轴，垂足为T，求证：false.
20.（本小题15分）
已知函数false，false.
（Ⅰ）若曲线false在点false处的切线平行于直线false，求该切线方程；
（Ⅱ）若false，求证：当false时，false；
（Ⅲ）若false恰有两个零点，求a的值.
21.（本小题15分）
给定正整数m，t（false），若数列A：false满足：false，false，false，则称数列A具有性质false.
对于两个数列B：false；C：false，
定义数列false；false
（Ⅰ）设数列A具有性质false，数列false的通项公式为false（false），求数列false的前四项和；
（Ⅱ）设数列false（false）具有性质false，数列B满足false，false，false，false且false（false）.若存在一组数列false，使得false为常数列，求出m所有可能的值；
（Ⅲ）设数列false（false）具有性质false（常数false），数列B满足false且false（false）.若存在一组数列false，使得false为常数列，求k的最小值.（只需写出结论）
东城区2020-2021学年度第一学期期末统一检测
高三数学参考答案及评分标准
2021.1
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1.D 2.C 3.D 4.B 5.A
6.A 7.B 8.C 9.C 10.B
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11.false 12.false
13.false false 14.false
15.false false
三、解答题（共6小题，共85分）
16.（共13分）
解：（Ⅰ）因为false平面false，
所以false.
因为底面false是正方形，
所以false.
因为false，
所以false平面false.
又因为false平面false，
所以平面false平面false.

（Ⅱ）因为false底面false，
所以false，false.
因为底面false是正方形，所以false.
如图建立空间直角坐标系false.
因为false，底面false为边长为2的正方形，
所以false，false，false，false，false，false，false.
则false，false，false.
设平面false的法向量false，
由false，可得false.
令false，则false，false.
所以false.
设直线false与平面false所成角为false，
则false.
所以直线false与平面false所成角的正弦值为false.

18.（共14分）
解：（Ⅰ）质量在false，false的该水果的频率分别为false，
false，其比为false，
所以按分层抽样从质量在false，false的这种水果中随机抽取6个，
质量在false的该种水果有4个.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，6个水果中由2个质量在false，
所以X的所有可能取值为0，1，2.
false，false，false.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
false
false
false
故X的数学期望false.
（Ⅲ）由频率分布直方图可知，质量在false，false，false，false，false，false的该种水果的频率分别为0.1，0.1，0.15，0.4，0.2，0.05.
所以估计20000个水果中，二等品有false个；
一等品有false个；
特等品有false个.
果园该种水果的销售收入为false（元）.
19.（共15分）
解：（Ⅰ）依题意，得false
解得false，false.
所以椭圆C的方程为false.
（Ⅱ）由题设知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：false（false）.
由false消去y，整理得false.
依题意，有false，解得false.
设false，false，则false，false.
因为false轴，所以false.
所以false.
又因为false，
所以false.
20.（共15分）
解：（Ⅰ）因为false，所以false，故false.
所以false.
所求切线方程为false，即false.
（Ⅱ）当false时，false，false.
当false时，false；当false时，false.
所以false在区间false上单调递减，在区间false上单调递增.
所以false的最小值为false.
故false时，false.
（Ⅲ）对于函数false，false.
（i）当false时，false，false没有零点；
（ii）当false时，false.
当false时，false，所以false在区间false上单调递增；
当false时，false，所以false在区间false上单调递减；
当false时，false，所以false在区间false上单调递增.
所以false是false的极大值，false是false的极小值.
因为false，
所以false在false上有且只有一个零点.
由于false，
①若false，即false，false在区间false上没有零点；
②若false，即false，false在区间false上只有一个零点；
③若false，即false，由于false，所以false在区间false上有一个零点.
21.（共13分）
解：选条件①：false；
（Ⅰ）false
false
false
false
false
false.
所以false的最小正周期是false.
（Ⅱ）因为false，
所以false.
所以false.
所以false.
当false，即false时，false有最大值false.
选条件②：false.
（Ⅰ）false
false
false
false.
所以false的最小正周期是false.
（Ⅱ）因为false，
所以false.
所以false，
当false，即false时，false有最大值1.
由（Ⅱ）知，当false时，false，
所以false.
故false在区间false上有一个零点.
因此false时，false在区间false上有两个零点.
综上，当false有两个零点时，false.
22.（共15分）
（Ⅰ）数列false的前四项和为A的前四项和与B的前四项和之和，为false.
（Ⅱ）由题知false，数列false（false）满足：false，false（false），所以只考虑数列false和B的前四项.
取false为1，0，0，0；1，0，0，0；1，0，0，0；0，1，0，0；0，1，0，0；0，0，1，0，可使false的前四项为4，4，4，4，所以false成立；
取false，false，false为1，1，0，0；1，1，0，0；1，0，1，0，可使false的前四项为4，4，4，4，
所以false成立；
取false为1，1，1，0；1，1，1，0；1，1，0，1；1，1，1，0；1，0，1，1；1，1，0，1，可使false的前四项为7，7，7，7，所以false成立；
当false时，false前四项是1，1，1，1，所以对任意的k，false不会是常数列；
综上，false，2，3.
（Ⅲ）false.