北京市西城区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含答案

北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷
高二数学 2021.1
本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题 共50分）
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项。
（1）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数
（A） （B） （C） （D）
（2）在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则
（A） （B） （C） （D）
（3）椭圆的焦点坐标为
（A）， （B），
（C）， （D），
（4）已知直线，．若，则实数
（A）或 （B）或
（C）或 （D）或
（5）已知平面平面，．下列结论中正确的是
（A）若直线平面，则 （B）若平面平面，则
（C）若直线直线，则 （D）若平面直线，则
（6）将张座位编号分别为的电影票全部分给人，每人至少张．如果分给 同一人的张电影票具有连续的编号，那么不同的分法种数是
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知双曲线的两个焦点是，点在双曲线上．若的离心率为，且，则
（A）或 （B）或
（C）或 （D）或
（8）在正三棱锥中，，，则直线与平面所成角的大小为
（A） （B）
（C） （D）
（9）已知圆的方程为，圆的方程为，其中．那么这两个圆的位置关系不可能为
（A）外离 （B）外切
（C）内含 （D）内切
（10）点在直线上，若椭圆上存在两点，使得是等 腰三角形，则称椭圆具有性质．下列结论中正确的是
（A）对于直线上的所有点，椭圆都不具有性质 （B）直线上仅有有限个点，使椭圆具有性质
（C）直线上有无穷多个点（但不是所有的点），使椭圆具有性质
（D）对于直线上的所有点，椭圆都具有性质
第二部分（非选择题 共100分）
二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。
（11）已知复数，则___．

（12）若双曲线的焦距为，则___；的渐近线方程为___．

（13）设，则___．
（14）在空间直角坐标系中，已知点，则直线
与所成角的大小是___．
（15）已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，于点．若
是锐角三角形，则点的横坐标的取值范围是___．

（16）如图，正方体的棱长为，分别为的中点，是底
面上一点．若平面，则长度的最小值是___；最大值是___．
三、解答题共6小题，共76分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（17）（本小题10分）
生物兴趣小组有名学生，其中正、副组长各名，组员名．现从该小组选派名同学参加生物学科知识竞赛．
（Ⅰ）如果正、副组长人中有且只有人入选，共有多少种不同的选派方法？
（Ⅱ）如果正、副组长人中至少有人入选，且组员甲没有入选，共有多少种不同的选
派方法？
（18）（本小题12分）
已知圆过原点和点，圆心在直线上．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）直线经过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程．
（19）（本小题13分）
如图，在正三棱柱中，，分别是的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面．
（20）（本小题13分）
如图，设点在轴上，且关于原点对称．点满足，
且的面积为．
（Ⅰ）求点的坐标；
（Ⅱ）以为焦点，且过点的椭圆记为．设是上一点，且，
求的取值范围．
（21）（本小题14分）
如图，在四棱锥中，平面，为的中点，底面是边长为的正方形，且二面角的余弦值为．
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）求点到平面的距离．
（22）（本小题14分）
已知椭圆的一个焦点为，，，且．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线交椭圆于点．记和的面积分别为和．
当时，求直线的方程．
北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷
高二数学参考答案 2021.1
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）
（1）A （2）C （3）B （4）C （5）D
（6）B （7）A （8）A （9）C （10）D
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
（11） （12）
（13） （14）
（15） （16）
注：（12）、（16）题每空2分。
三、解答题（共6小题，共76分）
（17）（共10分）
解：（Ⅰ）正、副组长2人中有且只有1人入选，
选派方法数为． ……3分
（Ⅱ）正、副组长2人都入选，且组员甲没有入选，
选派方法数为． ……6分
正、副组长2人中有且只有1人入选，且组员甲没有入选，选派方法数为
． ……9分
所以正、副组长人中至少有人入选，且组员甲没有入选，选派方法数为
． ……10分
（18）（共12分）
解：（Ⅰ）设圆的圆心坐标为． ……1分
依题意，有， ……3分
解得． ……4分
从而圆的半径为， ……5分
所以圆的方程为． ……6分
（Ⅱ）依题意，圆的圆心到直线的距离为． ……7分
显然直线符合题意． ……8分
当直线的斜率存在时，设其方程为，即． ……9分
所以， ……10分
解得． ……11分
所以直线的方程为． ……12分
综上，直线的方程为或．
（19）（共13分）
解：（Ⅰ）设，连接．
因为为正三棱柱，且，
所以侧面为正方形． …… 1分
因为分别是的中点，
所以是的中点． …… 2分
又因为是的中点，
所以． …… 4分
因为平面，平面， …… 5分
所以平面． …… 6分
（Ⅱ）因为为正三角形，
所以． …… 7分
又平面，
所以． …… 8分
所以平面． …… 9分
所以． …… 10分
连接．
因为侧面为正方形，
所以． …… 11分
所以． …… 12分
所以平面． …… 13分
（20）（共13分）
解：（Ⅰ）设．
则直线的方程为，直线的方程为． …… 2分
由 解得
所以． …… 3分
故的面积． …… 4分
所以，
解得． ……5分
所以点的坐标为． ……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
所以， ． ……8分
设以为焦点且过点的椭圆方程为．
则，又， ……10分
所以椭圆的方程为． ……11分
所以， 即．
因为，所以．
所以． ……12分
所以的取值范围是． ……13分
（21）（共14分）
解：（Ⅰ）依题意，两两互相垂直，如图
建立空间直角坐标系． ……1分
设．
由题意得，，．
所以，．
设平面的法向量为，
则　即 ……4分
令，则，．
于是． ……6分
又因为平面，
所以平面的一个法向量为． ……7分
依题意，有， ……9分
解得，
所以． ……10分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，平面的法向量为． ……11分
又，
所以． ……12分
所以点到平面的距离为． ……14分
（22）（共14分）
解：（Ⅰ）依题意，椭圆的半焦距， ……1分
所以．
解得． ……2分
所以． ……3分
所以椭圆的方程为． ……4分
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，其方程为．
此时，或．
所以，，即，不合题意． ……5分
当直线的斜率存在时，设其方程为．
由 得． ……6分
设，则，． ……8分
因为，，
所以 ……10分

． ……12分
令， 解得． ……13分
所以直线的方程为，或． ……14分
北京市西城区2020—2021学年度第一学期期末试卷 高二数学 第11页（共11页）