2020-2021学年上海市宝山区九年级上学期期中数学试卷 （Word版 含解析）

2020-2021学年上海市宝山区九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共6小题）.
1．（4分）如果4x﹣5y＝0，那么的值是（　　）
A． B． C． D．4
2．（4分）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、BC上，下列条件中，不能判定DE∥AC的条件是（　　）
A． B． C． D．
3．（4分）在直角坐标平面内有一点P（2，3），OP与x轴正半轴的夹角α的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
4．（4分）已知线段a、b、c，求作线段x，使x＝，则下列作法中（其中EF∥MN），正确的示意图是（　　）
A． B．
C． D．
5．（4分）已知是一个单位向量，、是非零向量，那么下列等式正确的是（　　）
A．||＝ B．||＝ C．＝ D．＝
6．（4分）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是（　　）
A．∠A＝55°，∠D＝35°
B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8
C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8
D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9
二、填空题（共12小题）.
7．（4分）已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，那么线段a和线段c的比例中项b＝　 　厘米．
8．（4分）在比例尺为1：10000的地图上，如果点A与点B两点间的距离为5厘米，那么点A、B分别表示的两地间相距　 　米．
9．（4分）已知点M是线段AB的黄金分割点，线段AB的长度为12cm，那么较长的线段AM的长是　 　cm．
10．（4分）如图，△ABC中，点D在BC边上，如果要判定△ACD∽△BCA，那么需要增加的一个条件可以是　 　．
11．（4分）已知向量关系式3+4（）＝，那么用向量、表示向量＝　 　．
12．（4分）已知α是锐角，且sin（α+15°）＝，那么tanα＝　 　．
13．（4分）如图，已知直线l1∥l2∥l3，如果DE：EF＝2：3，AC＝15，那么BC＝　 　．
14．（4分）如图，把一张矩形纸片沿着一条对称轴翻折，所得到的矩形ABCD与原矩形相似，已知原矩形纸片较短的边长为a，那么其较长边用含a的代数式表示为　 　．
15．（4分）如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是　 　．
16．（4分）如图，在△ABC中，CE：EB＝1：2，DE∥AC，已知S△ABC＝m，那么S△AED＝　 　．
17．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，sinA＝，AD＝6，BC＝CD，AB＝CD，那么BC＝　 　．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE∥BC，分别交边AB、AC于点D、E，且S△ADE＝S△ABC．把△ADE沿直线DE翻折，点A落在点F处，联结DF交BC于点G，那么的值为　 　．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）求的值．
20．（10分）如图，已知向量、，先化简，再求作向量2+（﹣）．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）
21．（10分）如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上．
（1）如果＝，且AD+DE+AE＝15，求△ABC的周长；
（2）如果DE∥BC，过点D作DF∥AC，交BC于点F，且AE＝7，CE＝3，BF＝，求FC的值．
22．（10分）如图，已知△ABC中，AD⊥BC，tanB＝2，∠C＝45°，AB＝，点G是△ABC的重心，AG延长线交BC于点E．
（1）求BC的长；
（2）求证：DG∥AB．
23．（12分）如图，已知点M是平行四边形ABCD的对角线BD上的一点，射线AM与BC交于点F，与DC延长线交于点H．
（1）求证：AM2＝MF?MH；
（2）如果CF：FB＝1：2，求的值．
24．（12分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，AE＝ED，AF＝BF．
（1）求证：△AEF∽△BFC；
（2）求cos∠ECF的值；
（3）联结BD，交CF于点M，交CE于点N，求的值．
25．（14分）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AD＝3，BC＝6，CD＝4．点M是边BC上一个动点（不与点B重合），在边AB上取点E，连接DM、ME．
（1）若点M是BC的中点，且∠EMD＝90°，求tan∠EDM的值；
（2）若∠EMD＝∠B，设CM＝x，BE＝y，求y关于x的函数关系式；
（3）在（2）条件下，当△DME为等腰三角形时，求CM的长．
参考答案
一、选择题（共6小题）.
1．（4分）如果4x﹣5y＝0，那么的值是（　　）
A． B． C． D．4
解：∵4x﹣5y＝0，
∴＝，
∴＝﹣1＝﹣1＝；
故选：C．
2．（4分）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、BC上，下列条件中，不能判定DE∥AC的条件是（　　）
A． B． C． D．
解：A、∵，不能判定DE∥AC，选项符合题意；
B、∵，∴DE∥AC，选项不符合题意；
C、∵，∴，∴DE∥AC，选项不符合题意；
D、∵，∴，∴DE∥AC，选项不符合题意；
故选：A．
3．（4分）在直角坐标平面内有一点P（2，3），OP与x轴正半轴的夹角α的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
解：如图，作PE⊥x轴于E．
∵P（2，3），
∴OE＝2，PE＝3，
∴OP＝＝＝，
∴sinα＝＝＝，
故选：D．
4．（4分）已知线段a、b、c，求作线段x，使x＝，则下列作法中（其中EF∥MN），正确的示意图是（　　）
A． B．
C． D．
解：∵已知线段a、b、c，x＝，
可得：，
故选：D．
5．（4分）已知是一个单位向量，、是非零向量，那么下列等式正确的是（　　）
A．||＝ B．||＝ C．＝ D．＝
解：A、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故本选项错误；
B、符合向量的长度及方向，故本选项正确；
C、得出的是a的方向不是单位向量，故本选项错误；
D、左边得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相同，故本选项错误．
故选：B．
6．（4分）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是（　　）
A．∠A＝55°，∠D＝35°
B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8
C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8
D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9
解：A、相似：∵∠A＝55°∴∠B＝90°﹣55°＝35°∵∠D＝35°∴∠B＝∠D∵∠C＝∠F∴△ABC∽△DEF；
B、相似：∵AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8，∴，∵∠C＝∠F∴△ABC∽△DEF；
C、有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似；
D、相似：由题意AB＝10，AC＝8，可得BC＝6，∵DE＝15，EF＝9，∴，∵∠B＝∠E，∴△ABC∽△DEF；
故选：C．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，那么线段a和线段c的比例中项b＝　4　厘米．
解：∵线段b是a、c的比例中项，
∴b2＝ac＝16，
解得：b＝±4，
又∵线段是正数，
∴b＝4（厘米）．
故答案为：4．
8．（4分）在比例尺为1：10000的地图上，如果点A与点B两点间的距离为5厘米，那么点A、B分别表示的两地间相距　500　米．
解：设两地间的实际距离是x厘米，
∵比例尺为1：10000，量得两地间的距离为5厘米，
∴，
解得：x＝50000，
∵50000厘米＝500米，
∴两地间的实际距离是500米．
故答案为：500．
9．（4分）已知点M是线段AB的黄金分割点，线段AB的长度为12cm，那么较长的线段AM的长是　（6﹣6）　cm．
解：∵点M是线段AB的黄金分割点，AM＞BM，
∴AM＝AB＝（6﹣6）厘米，
故答案为：（6﹣6）．
10．（4分）如图，△ABC中，点D在BC边上，如果要判定△ACD∽△BCA，那么需要增加的一个条件可以是　∠DAC＝∠ABC或∠ADC＝∠BAC或　．
解：∵从图中可知∠C为公共角，
∴如果再加上∠DAC＝∠ABC或∠ADC＝∠BAC或都可判定△ADE∽△ABC，
故答案为：∠DAC＝∠ABC或∠ADC＝∠BAC或．
11．（4分）已知向量关系式3+4（）＝，那么用向量、表示向量＝　+　．
解：∵3+4（）＝，
∴＝+，
故答案为：+．
12．（4分）已知α是锐角，且sin（α+15°）＝，那么tanα＝　1　．
解：∵sin60°＝，
∴α+15°＝60°，
解得，α＝45°，
∴tanα＝tan45°＝1，
故答案为：1．
13．（4分）如图，已知直线l1∥l2∥l3，如果DE：EF＝2：3，AC＝15，那么BC＝　9　．
解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∴，
∵AC＝15，
∴BC＝9，
故答案为：9．
14．（4分）如图，把一张矩形纸片沿着一条对称轴翻折，所得到的矩形ABCD与原矩形相似，已知原矩形纸片较短的边长为a，那么其较长边用含a的代数式表示为　a　．
解：设较长边为b，
∵所得到的矩形ABCD与原矩形相似，
∴＝，
整理得，b2＝2a2，
解得，b＝a，
故答案为：a．
15．（4分）如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是　　．
解：连接AB，
∵OA2＝12+32＝10，AB2＝12+32＝10，OB2＝22+42＝20，
∴OA2+AB2＝OB2，OA＝AB，
∴△AOB是等腰直角三角形，即∠OAB＝90°，
∴∠AOB＝45°，
∴cos∠AOB＝cos45°＝．
故答案为：．
16．（4分）如图，在△ABC中，CE：EB＝1：2，DE∥AC，已知S△ABC＝m，那么S△AED＝　m　．
解：∵CE：EB＝1：2，设CE＝k，则EB＝2k，
∵DE∥AC，
∴BE：BC＝2k：3k＝2：3，
∴＝（）2，
∴S△BDE＝m，
∵DE∥AC，
∴＝＝，
∴＝＝，
则S△ADE＝S△BDE＝m．
故答案为m．
17．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，sinA＝，AD＝6，BC＝CD，AB＝CD，那么BC＝　　．
解：作BE⊥AD于E，连接BD，如图所示：
设BC＝CD＝x，则AB＝x，
∵sinA＝＝，
∴BE＝AB＝x，
∴AE＝＝＝x，
∵BC＝CD，∠C＝90°，
∴BD＝BC＝x，
∴BD＝AB，
∵BE⊥AD，
∴AE＝DE＝AD＝3，
∴x＝3，
解得：x＝，
即BC＝，
故答案为：．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE∥BC，分别交边AB、AC于点D、E，且S△ADE＝S△ABC．把△ADE沿直线DE翻折，点A落在点F处，联结DF交BC于点G，那么的值为　2+2　．
解：如图，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2，
∵S△ADE＝S△ABC，
∴，
∴AE＝AC，
∴EC＝AC﹣AE＝AC，
∵△ADE∽△ABC，
∴，
∴DE＝BC，
∵把△ADE沿直线DE翻折，
∴AE＝EF＝AC，
∴CF＝EF﹣EC＝AC，
∵GC∥DE，
∴△GCF∽△DEF，
∴，
∴＝2﹣，
∴GC＝BC，
∴BG＝BC﹣GC＝BC，
∴＝2+2，
故答案为：2+2．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）求的值．
解：原式＝
＝
＝2﹣．
20．（10分）如图，已知向量、，先化简，再求作向量2+（﹣）．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）
解：2+（﹣）
＝2+﹣
＝+．
如图，即为所求．
21．（10分）如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上．
（1）如果＝，且AD+DE+AE＝15，求△ABC的周长；
（2）如果DE∥BC，过点D作DF∥AC，交BC于点F，且AE＝7，CE＝3，BF＝，求FC的值．
解：（1）∵＝，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∵AD+DE+AE＝15，
∴AB+AC+BC＝25，
∴△ABC的周长为25；
（2）如图，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴DF＝EC＝3，
∵DF∥AC，
∴△DFB∽△ACB，
∴，
∴＝，
∴BC＝6，
∴FC＝BC﹣BF＝6﹣＝．
22．（10分）如图，已知△ABC中，AD⊥BC，tanB＝2，∠C＝45°，AB＝，点G是△ABC的重心，AG延长线交BC于点E．
（1）求BC的长；
（2）求证：DG∥AB．
【解答】（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，∵tanB＝＝2，
∴AD＝2BD，
∵BD2+AD2＝AB2，
∴BD2+4BD2＝（）2，解得BD＝1，
∴AD＝2，
在Rt△ADC中，∵∠C＝45°，
∴CD＝AD＝2，
∴BC＝BD+CD＝1+2＝3；
（2）解：∵点G是△ABC的重心，
∴AG＝2GE，BE＝CE＝BC＝，
∴DE＝BE﹣BD＝﹣1＝，
∵＝，＝＝，
∴＝，
而∠DEG＝∠BEA，
∴△EDG∽△EBA，
∴∠EDG＝∠B，
∴DG∥AB．
23．（12分）如图，已知点M是平行四边形ABCD的对角线BD上的一点，射线AM与BC交于点F，与DC延长线交于点H．
（1）求证：AM2＝MF?MH；
（2）如果CF：FB＝1：2，求的值．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，BC∥AD，
∴△ABM∽△HDM，△BFM∽△DAM，
∴，，
∴，
∴AM2＝MF?MH；
（2）∵CF：FB＝1：2，
∴＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ADC＝∠ABC，
∴∠H＝∠BAF，
∴△BAF∽△DHA，
∴＝（）2＝．
24．（12分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，AE＝ED，AF＝BF．
（1）求证：△AEF∽△BFC；
（2）求cos∠ECF的值；
（3）联结BD，交CF于点M，交CE于点N，求的值．
【解答】（1）证明：设正方形的边长为4a，
∵四边形ABCD为正方形，
设正方形的边长为4a，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
AD＝AB＝BC＝4a，
∵AE＝ED＝a，AF＝BF＝2a，
∴＝＝，＝＝，
∴＝，
而∠A＝∠FBC，
∴△AEF∽△BFC；
（2）解：在Rt△AEF中，EF＝＝a，
在Rt△BCF中，CF＝＝2a，
在Rt△DEC中，CE＝＝5a，
∵EF2+CF2＝CE2，
∴△CEF为直角三角形，∠EFC＝90°，
∴cos∠ECF＝＝＝；
（3）解：∵BF∥CD，
∴△BMF∽△DMC，
∴＝＝＝，
即BM＝DM，
∴BM＝BD，
∵DE∥BC，
∴△DEN∽△BCN，
∴＝＝＝，
∴DN＝BN＝BD，
∴MN＝BD﹣BM﹣DN＝BD﹣BD﹣BD＝BD，
∴＝．
25．（14分）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AD＝3，BC＝6，CD＝4．点M是边BC上一个动点（不与点B重合），在边AB上取点E，连接DM、ME．
（1）若点M是BC的中点，且∠EMD＝90°，求tan∠EDM的值；
（2）若∠EMD＝∠B，设CM＝x，BE＝y，求y关于x的函数关系式；
（3）在（2）条件下，当△DME为等腰三角形时，求CM的长．
解：（1）如图1，
∵点M是BC的中点，BC＝6，
∴BM＝CM＝3，
∴MD＝＝＝5，
∵AD＝BM＝3，AD∥BC，
∴四边形ABMD是平行四边形，
∴S平行四边形ABMD＝BM×CD＝MD×EM，
∴3×4＝5EM，
∴EM＝，
∴tan∠EDM＝＝＝；
（2）如图2，过点M作MN⊥AB于N，
∵CM＝x，BC＝6，
∴BM＝6﹣x，
由（1）可知sinB＝＝，
∴sinB＝＝，cosB＝，
∴MN＝（6﹣x），BN＝（6﹣x），
∵∠EMC＝∠B+∠BEM＝∠EMD+∠DMC，∠B＝∠EMD，
∴∠BEM＝∠DMC，
又∵∠C＝∠ENM，
∴△ENM∽△MCD，
∴，
∴＝，
∴y＝﹣+x+；
（3）当EM＝DM时，
∵△ENM∽△MCD，
∴，
∴＝1，
∴x＝1，
∴CM＝1，
当EM＝DE时，如图3，过点E作EH⊥DM，
∴MH＝DH，
∵cosB＝cos∠DME＝，
∴＝，
∵△ENM∽△MCD，
∴，
∴＝，
∴x＝，
∴CM＝；
当DE＝DM时，如图4，过点D作DH⊥EM于H，
∴EH＝HM，
∵cosB＝cos∠DME＝＝，
∴＝＝，
∵△ENM∽△MCD，
∴，
∴＝，
∴x＝0（不合题意），
综上所述：CM＝1或．