苏教版高中数学必修5教案学案全集（精品）

第9课 线性规划应用题
分层训练
1.若点P满足(x+2y－1) (x－y+3)≥0, 求P到原点的最小距离为 。.
考试热点
2一家饮料厂生产甲、乙两种果汁饮料, 甲种饮料主要西方是每3份李子汁加1份苹果汁, 乙种饮料的西方是李子汁和苹果汁各一半. 该厂每天能获得的原料是2000L李子汁和1000L苹果汁, 又厂方的利润是生产1L甲种饮料得3元, 生产1L乙种饮料得4元. 那么厂方每天生产甲、乙两种饮料各多少, 才能获利最大
拓展延伸
3.有粮食和石油两种物资, 可用轮船与飞机两种方式运输, 每天每艘轮船和每架飞机运输效率如下表示:
轮船运输费(t) 飞机运输费(t)
粮食 300 150
石油 250 100
现在要在一天内运输2000吨粮食和1500吨石油, 需怎样安排轮船和飞机，使轮船和飞机总数最少
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑3.4基本不等式的证明(1)
【学习导航】
知识网络
学习要求
　1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系.
2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种方法证明基本不等式.
　　　　3.理解基本不等式的意义, 并掌握基本不等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等.
【课堂互动】
自学评价
算术平均数：　　　　　　　　 　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
几何平均数　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
设a≥0,b≥0则与的关系为　　　　　　　　　　　　　
基本不等式的证明方法：　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【精典范例】
例1．.设a、b为正数, 求证明：
点评：
１．不等式证明的方法：(1)作差比较法(2)分析法(3)综合法
２．本题对a≥0,b≥０时仍成立，且题中等号当且仅当a=b时成立．
３．把不等式 (a≥0,b≥0)称为基本不等式
4.由本题可知，两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当两数相等时两者相等
5.基本不等式的几何解释：半径不小于半弦．
例2. 利用基本不等式证明下列不等式：
已知a>0,求证 a+
(2).已知a, b, c∈R , 求证: a2+b2+c2≥ab+bc+ac .
(3).已知x , y , z是互不相等的正数, 且x+y+z=1 , 求证: (
点评：1..基本不等式的变形公式：
(1)
(2)
(3)
(4)
2.学会多次运用和创造条件运用基本不等式证题，尤其是不等式两边均为三项，可将一边变成六项，分成三组．对每一组用基本不等式．
３．注意严格不等式的证明方法．
思维点拔：
1.上面两例在于：(1)揭示基本不等式的内容与证法．(2)举例说明利用基本不等式证题的方法技巧，以让学生初步领会不等式证明的基本方法．
２．基本不等式的推广：n个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．即若ai≥0(i=1,2,…,n),则(n>1,nN)
追踪训练
１．设Ｐ为正数，求下列各组数的算术平均数与几何平均数．
（１）２与８
（２）３与１２
（３）Ｐ与９Ｐ
（４）２与２
２．已知a>1求证a+≥3
３．已知a+b+c=1,求证a2+b2+c2≥
４．已知a , b , c不全相等的三个正数, 且abc=1 , 求证: ．
学习札记
内容及证法
算术平均数和几何平均数
基本不等式
变形及证明其它不等式
几何解释
学习札记
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第二章 数列答案
第1课时 数列的概念及其通项公式
1．（１），（2）
2．5
3．（１）
（２）
（3）
（４）
4. 解：(1) ＝2n＋1；
(2) ＝；
(3) ＝；
(4) 将数列变形为1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, ……,
∴＝n＋；
(5) 将数列变形为1×2, －2×3, 3×4, －4×5, 5×6,……，
∴ ＝(－1)n(n＋1)
５．（1）
　 （2）323是这个数列的第17项
６．（1）
（2）当时，取最小的值
第2课时 数列的概念及其通项公式
1．C
2．
3．∵,,
∴,,,,
∴
4．解：(1) ＝0, ＝1, ＝4,
＝9, ＝16,
∴ ＝(n－1);
(2) ＝1,＝,＝,
＝, ＝,
∴ ＝;
5．（１）
（２）
（3）
（４）
（5）
6．设,则,解得,∴,∴,
又∵,,,,即为5,9,13,17,…,∴
第3课时 等差数列的概念和通项公式
1.C 2.A 3.D 4. C 5. 6.8
7.10 8.3
9.由题意知,由,得,∴52不是该数列中的项.
又由解得,∴是数列中的第项.
10. (1)
(2)
第4课时 等差数列的概念和通项公式
D 2.B 3. A
4. 24
5. 2
6. 3:1
7.21
8. 解：∵ {an }是等差数列
∴ +=+ =9=9－=9－7=2
∴ d=－=7－2=5
∴ =+(9－4)d=7+5*5=32 ∴ =2, =32
9.解：当n≥2时, （取数列中的任意相邻两项与（n≥2））
为常数
∴{}是等差数列，首项，公差为p.
10.∵，，∴，∴是以2为首项，为公差的等差数列，∴，∴.
第5课时 等差数列的概念和通项公式
1.B 2.C 3.B 4.D 5.B
6. 3：4：5 7. 或或或
8.共40项;
9．中间三个齿轮的齿数为16，20，24
10.(1)每一行与每一列都成等差数列 (2)
第6课时等差数列的前n项和（1）
1. C 2. D 3. A 4.B
5．
6．0
7．6
8. 876
9．∵，,∴由得,∴
∴.
10．
第7课时等差数列的前n项和（2）
D 2. B 3. A 4.
5. 6
6．24
7．1650
8．-110
9. 147
10． ①∵,∴
解得,,②由,
又∵∴是递减数列,
∴中最大.
第8课时等差数列的前n项和（3）
1. A 2.C 3.A 4.C 5. B
6. 113, -22
7. 20
8.20
9．前18、19项和相等且最大；最大值略
10. （1）第100行是199个数的和，这些数的和是10000
（2）第ｎ行的值
第9课时 等比数列的概念和通项公式
1.A 2.D 3. A 4. C 5.B 6. 7. 8. 证明略
9. 9，6，4，2或25，－10，4，18
10. 证明略
第10课时 等比数列的概念和通项公式
1.D 2.B 3. A 4. C
5.4 6. 7.5 8.①②③
9. 平均每年至多只能减少8公顷
10．(1)Ａ1Ｂ1=，Ａ2Ｂ2=，
Ａ3Ｂ3=
(2) ＡnＢn=
第11课时 等比数列的概念和通项公式
1. C 2. B 3. C 4. C
5.4
6.
7.
8. 20%
9.∵在等比数列中, ,,也成等比数列,∵，∴
10. 解：（1）an+1 = Sn+1 –Sn
,
∴8 an+1 =,
∴,
∴（an+1 + an）（a n+1 – a n – 4）=0，
∵an∈N*，∴an+1 + an≠0，
∴a n+1 – a n – 4=0，即a n+1 – a n = 4，
∴数列{an}是等差数列.
（2）由a n+1 – a n = 4，由题知
Bn+1 = 5Bn – 4 Bn–1
Bn+1 – Bn = 4（Bn – Bn–1）
bn+1 = 4bn（n≥2）
又已知b1 = 1，b2 = 4.
故{bn}是首项为1，公比为4的等比数列.
an =4n –1 （n∈N+）
第12课时 等比数列的
前n项和(1)
1.B 2.C 3.D 4.C 5.B 6.D 7. 8. 9.27 10.
11. 由,又得, 是方程的两根,解这个方程得,或,由得或.
12.∵等比数列中,,,……仍成等比数列,∴,,,……也成等比数列,而则是这个等比数列中的第5项,由,得∴这个等比数列即是:2,4,8,16,32,……,∴.
第13课时 等比数列的
前n项和(2)
1.A 2.B 3.C 4.A 5.C
6.
7. 8
8.解： 　 ∵
　
数列{bn}的前n项和：
＝ ＝
9.解：设将其每一项拆开再重新组合得
（分组）
当a＝1时，
＝（分组求和）
当时，
＝
10．解：设，则
＝
第14课时 等比数列的
前n项和(3)
1.D 2.D 3.C 4.C 5. A
6.
7. 2046
8.
9.【解】∵ , 解得＝5, d＝3,
∴ ＝3n＋2, ＝＝3×＋2,
＝(3×2＋2)＋ (3×＋2)＋ (3×＋2)＋……＋(3×＋2)
＝3·＋2n＝7·－6.（分组求和法）
10. 甲方案的总利润万元
乙方案的总利润万元
甲方案优
第15课时 数列复习课练习(1)
（1）C （2）A （3）B （4）D （5）D （6）－1
（7）120 （8）54 （9）92
（10）
（11）① ，不能一次性还清贷款；②617.4万元
（12;.
第16课时 数列复习课练习(2)
（1）D .（2）C. （3）C. （4）B.（5）A.（6）C.（7）D.（8）3000.
（9）10，11，12.　　　（10）25.　　
（11）提示：利用等差中项的概念.
（12）提示:设求得,.
第2章数列数列单元测试
1、B 2、 B 3、 C 4、 A 5、 120° 6、 10，3 7、 11，17 8、 12，18 324
9、13，10（略）11、解：由 得由解出
所以.
12、（1）an=-2m=10；（2）；（3）m=7
13、A 14、B 15、D 16、C 17、B 18、 19、
20、54
21、2 22、;观察图4,不难发现第堆最底层（第一层）的乒乓球数 ,第堆的乒乓球总数相当于堆乒乓球的底层数之和,即
23、解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3.
又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2),②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1),即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0 , ∴an－an－1=5 (n≥2).
当a1=3时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n－3.
24、（I）证明：
是以为首项，2为公比的等比数列。
（II）解：由（I）得
　　
（III）证明：
　　　　　　　　 ①
　　②
②－①，得
即　　　　　③
　　　　　④
④－③，得
即
是等差数列。第３课 一元二次不等式（２）
分层训练
1.若0A. {x|}
C. {x|x<－或x>－t} D. {x|t2.不等式ax2+bx－1>0的解集为{x|3考试热点
3.若A={x|≤－1}, B={x|x≤a}, 且A∩B=, 则满足条件的a的集合是__________．
4.当a<0时,的解集为 .
5.当a<0时,的解集为 .
6.已知二次函数y=x2+px+q , 当y<0时, 有－0 .
7.已知集合A={x|x2－4>0}, B={x|2x2+x－6>0}, 求A∪( B) 与 A∩( B).
拓展延伸
8.解关于x的不等式(x－2)(x－a2－a)≤0 .
9.如果关于x的不等式 ax2+bx+c<0的解集为{ x | x < m或x > n } ( m < n < 0 ) , 求不等式cx2－bx+a>0的解集.
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑
R
R第8课时　简单的线性规划问题
【学习导航】
知识网络
学习要求
1.了解线性规划相关概念，掌握简单线性规划求解方法.
2.培养学生的数学应用意识和数形结合的能力．
【课堂互动】
自学评价
线性条件与线性约束条件　　见书　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
目标函数与线性目标函数：　　　　
　　　　　　　见书　　　　　　　　　　　
可行域：　　　　　　　　　　　　
见书
线性规划：　　　　　　　　　　　
见书
【精典范例】
例1．在约束条件 下, 求P=2x+y的最大值与最小值.
【解】
见书．
变式１．在例１条件下，求P=2x+y+20的最大值与最小值
变式２．在例１条件下，求P=2x-y的最大值与最小值
变式3．在例１条件下，求P=4x+3y的最大值与最小值
解：变式１：设：，平移类同例１，得Ｐ最大值为27.5, Ｐ最小值为2０．
变式２：设：，平移类同例１，得Ｐ最大值为５, Ｐ最小值为．
变式３：设：，平移类同例１，得Ｐ最大值为２０， Ｐ最小值为０．
思维点拔：
1.在线性约束条件下求目标函数z=ax+by+c的最大值或最小值的求解步骤：
(1)作出可行域；(2)作出直线l0:ax+by=0；(3) 平移l0使其过最优解对应点；(4)解相关方程组，求出最优解从而求出目标函数最值．
2.线性规划问题主要借助于图形求解，故作图要尽可能地准确，尤其对于l0的斜率与平面区域边界线的斜率大小关系要搞清．从而准确地确定最优解对应点的位置．
３. 最优解有时会有无数个．
追踪训练一
1. 已知 , 则目标函数Z=x+2y的最大值是_____６______ .
２．已知, 则4a－2b取值范围是_［－１，10］
３．给出平面区域如图所示, 若使目标函数Z=ax+y (a>0), 取得最大值的最优解有无数个, 则a值为 ( B )
A. B.
C. 4 D.
例2.设变量x , y满足条件, 求S=5x+4y的最大值.
略解:因可行域内只有3个整点(1,1), (2,1), (1,2)，显然当x=2,y=1时，Ｓ的最大值为14．
思维点拔：
求整点最优解的方法：
(1)作网格线法(特殊点可验证处理)求出的整数点逐一代入目标函数，求出目标函数的最值．
(2)作网格线，确定整点，然后设作l0让其平移确定最优整点解，再求最值．
追踪训练二
设变量x , y满足条件 , 求S=3x+2y的最值.
略解:作平面区域后，再作网格线，定出整点，然后设作l0：3x+2y=0,平移l0使其过点（１，２）时，Ｓ的最大值为14．
平移l0使其过点（０，０）时，Ｓ的最小值为０．
听课随笔
线性约束条件，目标函数，可行域等
相关概念
简单的线性规划问题
线性规划求解
整数线性规划求解
一般线性规划求解
y
x
O
B(1,1)
C(1,
22
5
)
A(5,2)
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
听课随笔1.3 正、余弦定理的应用
第1课时
【学习导航】
知识网络
学习要求
综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方 法解决与测量学、航海等有关的实际问题
分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念
将实际问题转化为解三角形问题
【课堂互动】
自学评价
1．正弦定理、余弦定理及其变形形式，
（1）正弦定理、三角形面积公式：
__________________________________；
（2）正弦定理的变形：
；
；
．
（3）余弦定理：1）______________________
变形：2）______________________
2．运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤是：
①分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；
②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；
③求解：利用正弦定理、余弦定理解这些三角形，求得数学模型的解；
④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。
【精典范例】
【例1】为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边取点，测得，，，，.设在同一平面内，试求之间的距离（精确到）.
【解】
【例2】某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为，距离为的处，并测得渔轮正沿方位角为的方向，以的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到，时间精确到）.
【解】
【例3】某海岛上一观察哨在上午时测得一轮船在海岛北偏东的处，时分测得轮船在海岛北偏西的处，时分轮船到达海岛正西方的港口.如果轮船始终匀速前进，求船速.
【解】
追踪训练一
曲柄连杆机构示意图如图所示．当曲柄ＯＡ在水平位置ＯＢ时，连杆端点Ｐ在Ｑ的位置．当ＯＡ自ＯＢ按顺时针方向旋转α角时，Ｐ和Ｑ之间的距离是xｃｍ．已知ＯＡ＝２５ｃｍ，ＡＰ＝１２５ｃｍ，根据下列条件，求ｘ的值（精确到０．１ｃｍ）：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１）α＝５０°；　（２）α＝１３５°.
2．如图，货轮在海上以４０ｎｍｉｌｅ／ｈ的速度由Ｂ向Ｃ航行，航行的方位角∠ＮＢＣ＝１４０°，Ａ处有灯塔，其方位角∠ＮＢＡ＝１１０°，在Ｃ处观察灯塔Ａ的方位角∠Ｎ′ＣＡ＝３５°，由Ｂ到Ｃ需航行０．５ｈ，求Ｃ到灯塔Ａ的距离．　
3.如图，某人在高出海面６００ｍ的山上Ｐ处，测得海面上的航标Ａ在正东，俯角为３０°，航标Ｂ在南偏东６０°，俯角为４５°，求这两个航标间的距离．
【选修延伸】
【例4】ΔABC中有两个角分别为300和450， ，求⊿ABC的面积。
【解】
追踪训练二
1．在⊿ABC中，已知A=，且，则C的值为（ ）
A 4 B 9 C 4或9 D 无解
2．有一广告气球，直径为6m，放在公司大楼的上空，当行人仰望气球中心的仰角为300时，测得气球的视角，若很小时可取，则估算该气球离地高度为（ ）
A 72 m B 86 m
C 102 m D 118 m
3．在锐角三角形ABC中，，，则边的取值范围是 （ ）
A B
C D
4．在⊿ABC中，若
，则B= __ .
听课随笔
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第三章 不等式
一、知识结构
二、重点难点
重点：一元二次不等式的解法；二元一次不等式组表示的平面区域及线性规划问题；利用基本不等式进行不等式证明与求函数的最值．
难点：含参不等式的解法，线性规划中最优整数解的求法，不等式证明．
3.1 不等关系
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．通过具体情境, 感受在观察现实世界时和日常生活中存在着的大量不等关系, 了解不等式(组)的实际背景．
2．经历由实际问题建立数学模型的过程, 体会其基本方法.
3．总结建立不等式模型的基本思路．
4．提高观察、抽象的能力．
【课堂互动】
自学评价
1．不等号有哪些？
【答】
2．不等关系的含义：
【答】
【精典范例】
例1：某博物馆的门票每位10元, 20人以上(含20人)的团体标8折优惠, 那么不足20人时, 应该选择怎样的购票策略
【解】
点评:列式的前提是：设自变量，找不等关系.
例2：某杂志以每本2元的价格发行时, 发行量为10万册, 经过调查, 若价格每提高0.2元, 发行量就减少5000册, 要使杂志社的销售收入大于22.4万元, 每本杂志的价格应定在怎样的范围内.
【解】
点评：若设每本杂志价格为x元，则有
x[10-(x-2)]>22.4，化简略．
例３.下表给出了X、Y、Z三种食物的维生素的含量及成本:
维生素A(单位/kg) 维生素B(单位/kg) 成本(元/kg)
X 300 700 5
Y 500 100 4
Z 300 300 3
某人欲将这三种食物混合成100kg的食品, 要使混合食品中至少含35000单位的维生素A及40000单位的维生素B , 设X , Y这两种食物各取x kg , ykg , 那么x , y应满足怎样的关系
点评：列出的是二元一次不等式组，事实上，这里的x，y与100–x - y还都应该大于等于０．
思维点拔：
不等式(组)是刻画不等关系的数学模型．
建立不等式模型的基本思路：
(1)找出不等关系
(2)语言化不等关系
(3)设变量后，数量化不等关系(列出不等式(组))
追踪训练
1. b克糖水中有a克糖 (b>a>0) , 若再添上m克糖 (m>0), 则糖水变甜了, 还是变淡了
2. 时代超市将进货单价为80元的商品按90元一个出售时能卖400个, 经过调查, 己知这种商品每个涨价1元, 其销售量就减少20个, 要使时代超市销售此商品的收入大于4320元, 商品价格应定在怎样的范围内
学习札记
与另两个＂二次＂的关系
不等式的解法
一元二次不等式
不等式的应用
表示的平面区域
二元一次不等式(组）
不等式(组)
不等关系
线性规划
证明不等式
求函数最值
基本不等式
实际应用
实际问题
寻找不等关系
二次不等式
用不等式表示
一元二次不等式
二元一次不等式组
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第14课时 等比数列的
前n项和(3)
【分层训练】
1．已知数列的通项公式为,则数列的前5项和( )
A. B.62 C. D.682
2．已知等比数列的通项公式为，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和( )
A. B.
C. D.
3.等比数列中,,前三项和,则公比q的值为（ ）
A.1 B.
C.1或 D.或
4.在公比为整数的等比数列中，如果, ,则这个数列的前8项之和( )
A.513 B.512 C.510 D.
5．数列
的前99项和为（ ）
A. B.
C. D.
6. 数列满足,,,…, 是以1为首项，为公比的等比数列，则的通项公式 .
7. 已知lgx+lgx2+…+lgx10=110，则lgx+lg2x+…+lg10x= .
8. 某工厂月生产总值的平均增长率为,则年平增长率为 .
【拓展延伸】
9．已知等差数列{}的第二项为8，前十项的和为185，从数列{}中，依次取出第2项、第4项、第8项、……、第项按原来的顺序排成一个新数列{}，求数列{}的通项公式和前项和公式
10. 某人自己创业，向银行贷款，有两种方案．
甲方案：一次性贷款10万元，第一年可获利１万元，以后每年比上一年增加30％的利润．
乙方案：每年贷款１万元，第一年可获利１万元，以后每年都比上一年增加利润0.5万元．
两种方案使用期都是10年，到期一次性还本付息．若银行贷款利率均按年息10％的复利计算，试比较两种方案的优劣．
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第10课 基本不等式的证明（1）
分层训练
1.若a>b>1 , P=, Q =(lga+lgb), R=lg, 则 ( )
A. RC. Q2.若b>a>0 , 则下列不等式一定成立的是 ( )
A. a>b
B. b>a
C. b>a
D. b>a>
考试热点
3.求证: (≤
4.设a , b∈(0 , +∞), 求证:
5.求证: (1) x2+1
(2)
6.已知a , b , c∈R+, 且a+b+c=1, 求证:
拓展延伸
7.求证: log()≤a+b－1
8.已知x , y∈R+ 且x+y=1 , 求证: ≥3+2
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑第8课时 正余弦定理的应用（2）
分层训练
1．已知山顶有一座高为30m的铁塔，在塔底测得山下A点处的俯角为300，在塔顶测得A点处的俯角为320，则山相对于A点的水平高度为（精确到1m） （ ）
A 252m B 181m C 327m D 397m
2．一只汽球在2250m的高空飞行，汽球上的工作人员测得前方一座山顶上A点处的俯角为180，汽球水平向前飞行了2000m后，又测得A点处的俯角为820，则山的高度为（精确到1m）（ ）
A 1988 B 2096 C 3125 D 2451
3． 一飞艇在8000m 的高空飞行，发现前下方地面有一大型神秘建筑，测得该建筑前后的俯角分别为310和270，则建筑物前后的长为（精确到1m）
4．已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A向北偏东250方向，B向西偏北200方向，若A的航行速度为25n mile/h ，B的速度是A的倍，问：过了三小时，A、B的距离是
5．一颗卫星探测器到达X星球的入射角（与星球表面的垂直线所成的角）是600，如果它的入射速度是v，在X星球引力作用下的速度是v，求它此刻实际运行的方向和速度。
6．某人家住五楼，他家后面有一座电视塔，他测得电视塔底的俯角为150，塔顶的仰角为750，如果他家离地面的高度为15m，求电视塔的高。
7．一位登山者在山脚下测得山顶的仰角为450，他沿300的斜坡向上直行了200m，此时，他又测得山顶的仰角为600，求山的高（精确到1m）。
拓展延伸
8．在上海浦西要测浦东两建筑物A、B之间的距离，在外滩取两点C、D，测得∠ACD=470，∠ADC=1250，∠BDC=600，∠BCD =1100，CD=70m，试求A、B间的距离。
学生质疑
教师释疑
9.已知△ABC中三内角A、B、C所对的边分别为、、，且,
(1)求tan的值。
(2)求证:2cot= cotA+cotC。
本节学习疑点：第3课时　
【学习导航】
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学习要求
1.了解线性规划相关概念，掌握简单线性规划求解方法.
2.培养学生的数学应用意识和数形结合的能力．
【课堂互动】
自学评价
线性条件与线性约束条件　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
目标函数与线性目标函数：　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
可行域：　　　　　　　　　　　　
线性规划：　　　　　　　　　　　
【精典范例】
例1．在约束条件 下, 求P=2x+y的最大值与最小值.
【解】
变式１．在例１条件下，求P=2x+y+20的最大值与最小值
变式２．在例１条件下，求P=2x-y的最大值与最小值
变式3．在例１条件下，求P=4x+3y的最大值与最小值
思维点拔：
1.在线性约束条件下求目标函数z=ax+by+c的最大值或最小值的求解步骤：
(1)作出可行域；(2)作出直线l0:ax+by=0；(3) 平移l0使其过最优解对应点；(4)解相关方程组，求出最优解从而求出目标函数最值．
2.线性规划问题主要借助于图形求解，故作图要尽可能地准确，尤其对于l0的斜率与平面区域边界线的斜率大小关系要搞清．从而准确地确定最优解对应点的位置．
３. 最优解有时会有无数个．
追踪训练一
1. 已知 , 则目标函数Z=x+2y的最大值是___________ .
２．已知, 则4a－2b取值范围是__________
３．给出平面区域如图所示, 若使目标函数Z=ax+y (a>0), 取得最大值的最优解有无数个, 则a值为 ( )
A. B.
C. 4 D.
例2.设变量x , y满足条件, 求S=5x+4y的最大值.
思维点拔：
求整点最优解的方法：
(1)作网格线法(特殊点可验证处理)求出的整数点逐一代入目标函数，求出目标函数的最值．
(2)作网格线，确定整点，然后设作l0让其平移确定最优整点解，再求最值．
追踪训练二
设变量x , y满足条件 , 求S=3x+2y的最值.
学习札记
线性约束条件，目标函数，可行域等
相关概念
简单的线性规划问题
线性规划求解
整数线性规划求解
一般线性规划求解
y
x
O
B(1,1)
C(1,
22
5
)
A(5,2)
学习札记
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第11课 基本不等式的证明（2）
分层训练
1.下列不等式的证明过程正确的是( )
A.若a , b∈R , 则
B.若x、y是正实数, 则lgx+lgy≥2 C.若x是负实数, 则x+≥2=4
D.若a , b∈R且ab<0 , 则
2.(1)若x>0时, y=+3x的最小值为________.
(2)若x<0时, y=+3x的最大值为_________.
3.函数y=x+(x>3)的最小值为__________.
考试热点
4.已知x , y∈R+ 且x+2y=1 , 则的最小值为______________
5.已知函数y=tanθ+, θ∈(0 , ), 求函数y的最小值.
6.求函数y=x+ (x≠0)的值域.
7.求函数y=(x>1)的最小值.
8.设x , y为正实数, 且2x+5y=20 , 求u=lgx+lgy的最大值.
拓展延伸
9．若，，，求的最小值．
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑第5课时 余弦定理（2）
【学习导航】
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学习要求
1．能把一些简单的实际问题转化为数学问题；
2．余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；
3．初步利用定理判断三角形的形状。
【课堂互动】
自学评价
1．余弦定理：
(1)，，.
(2) 变形：，，
2．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：
（１）已知三边，求三个角；
（２）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
【精典范例】
【例1】在长江某渡口处，江水以的速度向东流，一渡船在江南岸的码头出发，预定要在后到达江北岸码头，设为正北方向，已知码头在码头的北偏东，并与码头相距．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到，速度精确到）？
【解】如图，船按方向开出，方向为水流方向，以为一边、为对角线作平行四边形，其中．
在中，由余弦定理，得
所以 ．
因此，船的航行速度为．
在中，由正弦定理，得 所以
所以
答：渡船应按北偏西的方向，并以的速度航行．
【例2】在中，已知，试判断该三角形的形状．
【解】由正弦定理及余弦定理，得，
所以 ，整理得
因为，所以．因此，为等腰三角形．
【例3】如图，是中边上的中线，求证：．
【证明】
设，则．在中，由余弦定理，得
．
在中，由余弦定理，得因为
，
所以，
因此， ．
追踪训练一
1. 在△ＡＢＣ中，如果＝２∶３∶４，那么ｃｏｓＣ等于（　Ｄ　）．
Ａ．　Ｂ．　Ｃ．　Ｄ．
2.如图，长７ｍ的梯子ＢＣ靠在斜壁上，梯脚与壁基相距１．５ｍ，梯顶在沿着壁向上６ｍ的地方，求壁面和地面所成的角α（精确到０.１°）．
略解：
3. 在△ＡＢＣ中，已知ａ＝２，ｂ＝３，Ｃ＝６０°，试证明此三角形为锐角三角形．
【选修延伸】
【例4】在△ABC中，设，且，请判断三角形的形状。
【解】由,即而，得
而由得
而，
∴三角形为等边三角形。
追踪训练二
1．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则等于( B　)
A． B． C． D．
2．在△ＡＢＣ中，设，，且｜｜＝２，｜｜＝，·＝－，求ＡＢ的长．
略解：
3.用余弦定理证明：在△ＡＢＣ中，　　
（１）ａ＝ｂｃｏｓＣ＋ｃｃｏｓＢ；　　
（２）ｂ＝ｃｃｏｓＡ＋ａｃｏｓＣ；
（３）ｃ＝ａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡ．
听课随笔
听课随笔
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第13课 基本不等式的应用(1)
分层训练
1.如果log3m+log3n≥4, 那么m+n的最小值是 ( )
A. 4 B. 4
C. 9 D. 18
2.已知正数x , y满足x+2y=1 , 则的最小值为_____________
3.已知x>0 , y>0 , 且, 则lgx+lgy的最大值为_________
4.将一段圆木制成横截面是矩形的柱子, 若使横截面面积最大, 则横截面的形状是________
5.周长为l的矩形的面积的最大值为_________ , 对角线长的最小值为___________ .
考试热点
6.某种汽车购车时费用为10万元, 每年的保险、养路、汽油费用共9千元, 汽车的年维修费逐年以等差数列递增, 第1年为2千元, 第2年为4千元, 第3年为6千元, ……则这种汽车使用几年后报废最合算 (即汽车的年平均费用最低)
7.如图, 电路中电源的电动势为E , 内电阻为r , R1为固定电阻, R2是一个滑动变阻器, R2调至何值时, 其消耗的电功率P最大 最大电功率是多少 (P=I2R)
拓展延伸
8.投资生产某种产品, 并用广告方式促销, 已知生产这种产品的年固定投资为10万元, 每生产1万件产品还需投入18万元, 又知年销量W(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为W=(x≥0), 且知投入广告费1万元时, 可多销售2万件产品. 预计此种产品年销售收入M(万元)等于年成本(万元)(年成本中不含广告费用)的150%与年广告费用50%的和.
(1)试将年利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数;
(2)当年广告费为多少万元时, 年利润最大 最大年利润是多少万元
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑
E
r
R1
R2第2章数列单元测试
基础检测
1．如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（ ）
A 为常数数列 B 为非零的常数数列
C 存在且唯一 D 不存在
2．在等差数列中，已知++=39，++=33，则++=（ ）
A 30 B 27 C 24 D 21
3.若lga,lgb,lgc成等差数列，则（ ）
A b= B b=(lga+lgc)
C a,b,c成等比数列 D a,b,c成等差数列
4.在等比数列中,则( )
A B C D
5.在△ABC中，若三内角成等差数列，则最大内角与最小内角之和为______.
6．已知数列的通项公式为，那么是这个数列的第________项．
7. 等比数列的公比为2, 且前4项之和等于1, 那么前8项之和等于 .
8．已知数列的通项公式,则取最小值时= ,此时= .
9．已知三个数成等差数列，首末两项之积为中项的5倍，后两项的和为第一项的8倍，求这三个数。
10．已知一个数列前项和=，求它的通项公式，它是等差数列吗？
11．在等比数列中，Sn 为其前n 项的和。设.
求的值。
12．数列{an}中，a1=8，a4=2且满足an+2=2an+1-an（n∈N+）
求数列{an}通项公式；
设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|，求Sn；
设（n∈N+）Tn=b1+b2+…+bn，是否存在最大的整数m，使得对于任意的n∈N+，均有成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。
选修检测
13．在等比数列中, >0，且+2+=25，那么+=（ ）
A 5 B 10 C 15 D 20
14．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次，(一个分裂成二个)则经过3小时， 由1个这种细菌可以繁殖成（ ）
A 511个 B 512个 C 1023个 D 1024个15.在等差数列中，已知，那么它的前8项和S8等于 （ ）
A 12 B 24 C 36 D 48
16． 已知等比数列{a n }的首项为1，公比为q，前n项和为Sn, 则数列{}的前n项和为 （ ）
A B C D
17．已知等差数列{an}中，|a3|=|a9|，公差d<0，则使前n项和Sn取最大值的正整数n是（ ）
A 4或5 B 5或6
C 6或7 D 8或9
18．在数列中，若，，则该数列的通项 。
19．若数列满足：，2，3….则　　　　　　.
20．设为等差数列的前n项和，＝14，－＝30，则＝　　　　.
21．若不等于1的三个正数a，b，c成等比数列，则(2-logba)(1+logca)=________。
22．在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层（第一层）分别按如图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则；（答案用表示）.
23．已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}
的通项an
24．已知数列满足
（I）证明：数列是等比数列；
（II）求数列的通项公式；
（III）若数列满足
证明是等差数列.
…第4课时　
【学习导航】
知识网络
学习要求
　1. 能够将实际问题抽象概括为线性规划问题，明确解题步骤与整点最优解的求法
2. 培养应用线性规划的知识解决实际问题的能力.
【课堂互动】
【精典范例】
例1．投资生产A产品时, 每生产100t需要资金200万元, 需场地200m2, 可获利润300万元; 投资生产B产品时, 每生产100米需资金300万元, 需场地100m2, 可获利润200万元, 现某单位可使用资金1400万元, 场地900m2, 问: 应作怎样的组合投资, 可使获利最大
【解】
例2. 某运输公司向某地区运送物资, 每天至少运送180t , 该公司有8辆载重为6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车, 有10名驾驶员每辆卡车每天往返次数为A型车4次, B型车3次, 每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元, B型车为504元, 试为该公司设计调配车辆方案, 使公司花费的成本最低.
思维点拔：
1.线性规划应用题的解题步骤：
　　　(1)分析后将题中数据整理成一个表格；
　　　(2)设自变量（通常为x,y,z等）；
(3)列式(约束条件和目标函数)；
(4)作可行域；
(5)作直线l0 :ax+by=0平移l0使其过最　　　　　　优解的点；
(6)解相关方程组得最优解(根据需要可求出最值)；
(7)作答．
2.整点最优解的求法：
　(1)网格线法
(2)先求非整点最优解，然后定出目标函数的取值范围，再改变目标函数取值，定出整点最优解．
追踪训练
1. 某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品１t，需矿石4t，煤3t，生产乙种产品１t，需矿石5t，煤10t，每1t甲种产品的利润是7万元，每1t乙种产品的利润是12万元，工厂在生产这两种产品的计划中，要求消耗矿石不超过200t，煤不超过300t，则甲、乙两种产品应各生产多少，能使利润总额达到最大？
　
2.要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格, 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板块数如下表示:
A规格 B规格 C规格
第一种钢板 2 1 1
第二种钢板 1 2 3
今需A、B、C三种规格的成品分别为15 , 18 , 27块, 问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品, 且使所用钢板张数最少？
3．已知函数，若
，，求的取值范围．
学习札记
线性规划的实际应用
审题分析
建立模型
解题步骤
画图求解
还原作答
规格类型
钢板类型
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
学习札记数列单元综合检测
一、选择题：（每小题5分，共60分）
1．已知数列，，，，3，…，那么7是这个数列的第 （ ）项。
(A) 23 (B) 24 (C) 19 (D) 25
2．在等差数列{an}中，a7＝9，a13＝－2，则a25＝ （ ）
(A) －22 (B) －24 (C) 60 (D) 64
3．在等差数列{an}中，若a2＋a6＋a10＋a14＝20，则a8＝ （ ）
(A) 10 (B) 5 (C) 2.5 (D) 1.25
4．在正数等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝1，a7＋a8＋a9＝4，则此等比数列的前15项的和为 （ ）
(A) 31 (B) 32 (C) 30 (D) 33
5．设数列{an}的的前n项和为Sn=n2+2n＋1，则数列{an}是 （ ）
(A) 等差数列 (B) 等比数列
(C) 从第二项起是等比数列 (D) 从第二项起是等差数列
6．已知1是a2和b2的等比中项，又是和的等差中项，则的值是 ( )
(A) 1或 (B) 1或－ (C) 1或 (D) 1或 －
7．正项等比数列{an}中，S2=7， S6=91 ，则 S4为 （ ）
(A) 28 (B) 32 (C) 35 (D) 49
8．等差数列{an}的的前n项和为Sn，且a3＋a5＋a7＝15，则 S9等于 （ ）
(A) 18 (B) 36 (C) 45 (D) 60
9．已知等比数列{an}的的前n项和为Sn，如果S3∶S2＝3∶2，则公比q的值为( )
(A) 1或 － (B) 1 (C) － (D) －1或
10. 已知{an}为等比数列，若＝2，S4=4，则 S8的值等于 （ ）
(A) 12 (B) 24 (C) 16 (D) 32
11．数列{an}的的前n项和Sn= ，则a3等于 （ ）
(A) (B) (C) (D)
12．在等比数列{an}中，若a1＋a2＋…＋an＝2n－1 , 那么a12＋a22＋…＋an2 ＝（ ）
(A) 4n－1 (B) ( 4n－1) (C) ( 2n－1) 2 (D) ( 2n－1) 2
二、填空题（每小题4分，共16分）
1 2
0.5 1
a
b
c
13 . 在右面表格中，每一格填上一个数字后，使每一横行成
等差数列，每一竖行成等比数列，则a+b+c的值为 。
14．已知数列{an}对于任意的正整数n都有an+1－an=－3,
a1＝3 , 则a81＝ .
15 . {an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q= .
16根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初的12个月内累计的需求量Sn（万件）近似地满足Sn=（21n－n2－5）(n=1 , 2 , 3 , … , 12 ) , 按此预测，在本年度内需求量超过1.5万件地月份是 。
三、解答题（共74分）
17．（12分）已知a , b , c 成等差数列 , a+1 , b+1 , c+4 成等比数列 , 且a+b+c=15,求a , b , c的值
18 . (12分）三个不同的实数a , b , c 成等差数列 , 且a , c , b成等比数列 ,
求a∶b∶c .
19 .（12分） {an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列 ，Sn , Tn分别是{an}与{bn}的前n项和，若a1＝b1＝1 , a2＋a4=b3 , b2 b4＝a3 , 求S10 , T10
20 . （12分）已知 {an}是等差数列，且a1＝2 ， a1＋a2＋a3＝12 ，
（1）求{an}的通项公式;
(2) 令bn＝an·3n , 求{bn}的前n项和Sn。
an , n为偶数
21 。设数列{an}的首项a1＝a≠ , an+1=
an+ , n为奇数
记bn＝a2n－1－（n＝1，2，3，…）
（1）。求a2 ，a3 ；（2）判断{bn}是否为等比数列，并证明你的结论。
22．（14分）设数列{an}的的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且
(5n－8)Sn+1－(5n+2) Sn=An+B , (n=1，2，3，…）其中A、B为常数。
求A与B的值；
证明：数列{an}是等差数列
数列单元综合检测参考答案
选择题：（每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B B A D D A C A A C B
填空题（每小题4分，共16分）
13． 1 . 14 . －237 .
15 . 1 . 16 . 7或8 .
三、17． 2b=a+c ①
解：依题意可得 (b+1)2=(a+1)(c+4) ②
a+b+c=15 ③
a+c=10
由①、③可得b=5 ，代入①、②化简得
ac+4a+c－32=0
c=8 c=－1
∴ 或 ∴a , b , c的值分别是2，5，8或11，5，－1 。
a=2 a=11
2b=a+c ①
18．解：依题意可得 由①、②可得2c2－ac－a2=0 ，又∵a≠0
c2=ab ②
∴2()2－－1=0 , ∴=1或 =－ , 又∵a≠b≠c , ∴=－
即a=－2c , 代入①可得b=－c , ∴a∶b∶c=4∶1∶(－2)
19．解：由{an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列 ，
∴a2＋a4＝2 a3 ， b2 b4＝b32 ， 又∵a2＋a4=b3 , b2 b4＝a3 ∴2 a3＝b3 ，b32＝a3
解得b3＝，a3＝，又∵a1= b1＝1，∴{an}的公差d=－ , {bn}的公比q=
∴S10=10a1+d=10+45×(－)=－
T10== .
20. 解：（1）∵{an}是等差数列，且a1＝2 ， a1＋a2＋a3＝12 ，∴公差d=2
∴{an}的通项公式为an＝2n。
（2）∵bn＝an·3n＝2n·3n，∴Sn=2×31+2×2×32+2×3×33+2×4×34+…＋2×(n－1)×3n-1+2×n×3n .
∴3 Sn=2×32+2×2×33+2×3×34+2×4×35＋…＋2×(n－1)×3n+2×n×3n+1
∴Sn－3 Sn=2×3+2×32+2×33+2×34＋…＋2×3n－2×n×3n+1
∴－2 Sn=2(3+32+33+34＋…＋3n)－2×n×3n+1
∴Sn= n×3n+1－(3+32+33+34＋…＋3n)
= n×3n+1－= （n－）3n+1＋
21．解：（1）依题意可得a2= a1＋＝a＋ ， a3＝a2＝a＋
（2）a4= a3＋＝a＋ ， a5＝a4＝a＋
b1＝a1－＝a－ ， b2＝a3－＝（a－），b3＝a5－＝（a－） 。
∴猜想{bn}是公比为的等比数列，证明如下：
∵bn＋1＝a2n＋1－＝a2n－＝（a2n－1＋）－
＝（a2n－1－）＝bn（n＝1，2，3，…）
∴{bn}是首项为a－，公比为的等比数列
22．解：（1）依题意可得S1= a1＝1，S2= a1＋a2＝7， S2= a1＋a2＋a3＝18
∴a1＝1，a2＝6 , a3＝11 ,
又知(5n－8)Sn+1－(5n+2) Sn=An+B , 故当n＝1时，3S2－7S1=A+B ,
当n＝2时，2S3－12S2=2A+B ,联立解得A＝－20 ，B＝－8。
（2）由（1）得(5n－8)Sn+1－(5n+2) Sn=－20n－8…… ①
(5n－3)Sn+2－(5n+7) Sn＋1=－20n－28……②
②－①得
(5n－3)Sn+2－(10n－1) Sn＋1＋(5n+2) Sn=－20……③
∴(5n＋2)Sn+3－(10n＋9) Sn＋2＋(5n+7) Sn＋1=－20……④
④－③得
(5n＋2)Sn+3－(15n＋6) Sn＋2＋(15n+6) Sn＋1－(5n+2) Sn=0
∵an＋1＝Sn+1－Sn ，
∴(5n＋2)an+3+(5n＋2) an＋1－(10n+4) an＋2=0
又∵5n＋2≠0 , ∴an+3+ an＋1－2an＋2=0
∴an+3－an＋2= an＋2－an＋1 (n≧1).
又a2－a1= a3－a2 =5
∴数列{an}是以a1＝1为首项，以d=5为公差的等差数列
PAGE第1章解三角形单元测试
基础检测
1．在△ABC中，A∶B∶C=3∶1∶2，则a∶b∶c= （ ）A． B．
C． D．
2．在△ABC中，若BC=5，CA=7，AB=8，则△ABC的最大角与最小角之和是 （ ）
A．90° B．120 C．135° D．150°
3．在△中，若，，，则等于 （ ）
A． B．
C．或 D．
4．若三条线段的长分别为7、8、9，则用这三条线段（ ）
A．能组成直角三角形
B．能组成锐角三角形
C．能组成钝角三角形
D．不能组成三角形
5．根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）
A．，，，有两解
B．，，，有一解
C．，，，无解
D．，，，有一解
6．一飞机沿水平方向飞行，在位置A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°，向前飞行了10000米，到达位置B时测得正前下方地面目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标的距离为 米．
7．在△ABC中，在下列表达式中恒为定值的是 ．
①
②
③
④
8．在平行四边形ABCD中，已知AB=1，AD=2，，则= ．
9．在△ABC中，已知AB=2，∠C=50°，当∠B= 时，BC的长取得最大值．
10．在△中，已知，，则△的形状是 ．
11．在△中，，，面积为cm2，周长为20 cm，求此三角形的各边长．
12．在△中，已知，，且，求△的各内角的大小．
13．已知△中，，△的外接圆半径为．
⑴ 求角；⑵求△的面积的最大值．
14．如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进km到达D，看到A在他的北偏东45°方向，B在其的北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．
选修检测
15．在△ABC中，若a=2bsinA,则B为 （ ）
A. B.
C. 或 D. 或
16．△ABC中，∠A、∠B的对边分别为a、b，，且∠A=60°，那么满足条件的△ABC（ ）
A．有一个解 B．有两个解
C．无解 D．不能确定
17．△ABC的内角A满足则A的取值范围是（ ）
A．（0，） B．（，）
C．（，） D．（，）
18．关于x的方程有一个根为1，则△ABC一定是（ ）
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰三角形
19．在△ABC 中，，则A= ；
20．在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线，那么BC= ；
21．在△ABC中，A=60°, b=1, 面积为，则= ；
22．在锐角△ABC中，已知，则的取值范围是 ．
23．在△ABC中，已知，c=1，，求a，A，C．
10．△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设的值。3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题
第1课时
【学习导航】
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学习要求
了解二元一次不等式的几何意义，会作出二元一次不等式表示的平面区域．
由二元一次不等式表示的平面区域能写出对应的不等式
进一步体会数形结合的思想方法，开拓数学视野．
【课堂互动】
自学评价
二元一次方程表示的图形是　　　　
二元一次不等式表示平面区域的含义：　　　　
　　　　　　 。
3.不等式x+y-1>0表示的平面区域：　　　
　 。
【精典范例】
例1．画出下列不等式所表示的平面区域
(1)y>－2x+1
(2)x－y+2>0
(3)y≤－2x+3
【解】
例2. 已知P(x0 , y0)与点A(1 , 2)在直线l : 3x+2y－8=0两侧, 则 ( )
A. 3x0+2y0>0
B. 3x0+2y0<0
C. 3x0+2y0>8
D. 3x0+2y0<8
思维点拔：
1.画平面区域的步骤：
先画不等式对应的方程所表示的直线（包括直线时，把直线画成实线，不包括直线时，把直线画成虚线）简称＂画线＂．
再通过选点法判定在直线的哪一侧．选点法中所选点常常为(0,0),(1,0)或(0,1)等，简称＂定侧＂
2.规律揭示
(1)直线y=kx+b把平面分成两个区域：y>kx+b表示直线上方的平面区域；
y＜kx+b表示直线下方的平面区域．
(2)对于Ａx+Ｂy+Ｃ＞０（或＜０）表示的区域：
当B>0时，Ａx+Ｂy+Ｃ＞０表示直线Ａx+Ｂy+Ｃ＝０上方的平面区域；
当B>0时，Ａx+Ｂy+Ｃ＜０表示直线Ａx+Ｂy+Ｃ＝０下方的平面区域．
追踪训练一
1．判断下列命题是否正确
点(0,0)在平面区域x+y≥0内　 (　 )
点(0,0)在平面区域x+y+1<0内 （　）
点(1,0)在平面区域y>2x内 （　）
点(0,1)在平面区域x-y+1>0内　（　）
2.不等式x+4y-9≥0表示直线 x+4y-9=0　　　　　　　 （　　）
A.上方的平面区域　
B. 下方的平面区域
C. 上方的平面区域(包括直线)
D. 下方的平面区域(包括直线)
３．用＂上方＂或＂下方＂填空
若Ｂ＜０，不等式Ａx+Ｂy＋Ｃ＞０表示的区域在直线Ａx+Ｂy＋Ｃ＝０的　　　　；
不等式Ａx+Ｂy＋Ｃ＜０表示的区域在直线Ａx+Ｂy＋Ｃ＝０的　　　　　
4.画出下列不等式表示的平面区域
(1)y≤x-1　　　　　 (2)y<0
(3)3x-2y+6>0　　　　(4)x>2
5.已知两个点Ａ(-3，-1)和Ｂ(4，-6)分布在直线-3x+2y+a=0的两侧，则a的取值范围为 　　　　　 ．
例3.将下列各图中的平面区域(阴影部分)用不等式表示出来. (图(1)中不包括y轴)
(1) (2)
(3)
思维点拔：
有关画平面区域的逆向问题．需要注意如下两方面问题：　(1)注意边界是虚线还是实线以确定不等式是否有＂＝＂．(2)选点法或用结论定侧，以确定不等式中的符号方向．
追踪训练二
将下列各图中的平面区域(阴影部分)用不等式表示出来. (图(1)中不包括y轴)
(1)
(2)
(3)
学习札记
作平面区域步骤
含义
二元一次不等式表示的平面区域
逆向问题
定侧方法
y
x
O
6x+5y=22
y
O
x
y
x
O
y=x
学习札记
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
x
-1
y
1
y
x
2x+y=0
O
y
x- y-2=0
O
x第4课时
【学习导航】
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学习要求
1．掌握等差数列前n项和公式及其推导过程．
2．会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题
【自学评价】
1. 等差数列的前项和：
公式1：___________________
公式2：___________________；
2.若数列｛an｝的前n项和Sn＝An2＋Bn，则数列｛an｝为 ________________.
3.若已知等差数列{an}的前n项和为Sn,则an可用Sn表示: ________________
【精典范例】
【例1】　在等差数列｛an｝中，
（１）已知，，求；
（２）已知，，求．
【解】
在等差数列｛an｝中，已知，，，求及n.
【解】
点评: 　在等差数列的通项公式与前ｎ项和公式中，含有，ｄ，ｎ，，五个量，只要已知其中的三个量，就可以求出余下的两个量．
【例3】在等差数列｛an｝中，已知第１项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和．
【解】
思维点拔
数列{an}是等差数列,前项和是,那么仍成等差数列,公差为(为确定的正整数)
【例4】根据数列｛an｝的前n项和公式，判断下列数列是否是等差数列.
(1)Sn＝2n2－n
(2)Sn＝2n2－n＋1
【解】
点评： 已知Sn，求an，要注意a1＝S1，当n≥2时an＝Sn－Sn－1，
因此an＝.
【追踪训练一】：
1.在等差数列｛an｝中，若S12=8S4,则等于( )
A. B. C.2 D.
2.在等差数列｛an｝和｛bn｝中，a1=25,b1=75,a100+b100=100,则数列｛an+bn｝的前100项的和为( )
A.0 B.100 C.1000 D.10000
3.一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么( )
A.它的首项是－2，公差是3
B.它的首项是2，公差是－3
C.它的首项是－3，公差是2
D.它的首项是3，公差是－2
4. 在等差数列｛an｝中，已知a11=10,则S21=_________
5. 已知数列{an}的前n项和为Sn=4n2
－n+2,则该数列的通项公式为( )
A.an=8n+5(n∈N*)
B.an=
C.an=8n+5(n≥2)
D.an=8n－5(n≥1).
【选修延伸】
【例5】设是等差数列，求证：以为通项公式的数列是等差数列。
【证明】
点评：本问题即是在a1、d、n、an、Sn中知三求二问题，但在解方程的过程中体现出了较高的技巧；本题有多种解法，也可考虑设Sn＝An2＋Bn或成等差数列去求解.
【追踪训练二】
1.等差数列{an}的前n项和Sn=2n2+n，那么它的通项公式是( )
A.an=2n－1 B.an=2n+1
C.an=4n－1 D.an=4n+1
2.数列1，，…的前100项的和为( )
A.13 B.13 C.14 D.14
3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+5,则a6+a7+a8=______.
4. 一个等差数列，前项的和为25，前项的和为100，求前项的和.
学习札记
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第5课时
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学习要求
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.
2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题
【自学评价】
1. 等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，那么数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k ，(k∈N*)成_____________，公差为________.
2.在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn存在______.若a1＜0,d＞0，则Sn存在最小值.
3.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
(1)利用:当>0，d<0，前n项和有最大值可由
≥0，且≤0，求得n的值
当<0，d>0，前n项和有最小值可由 ≤0，且≥0，求得n的值
(2)利用：由二次函数配方法求得最值时n的值
【精典范例】
【例1】已知一个等差数列的前四项和为21，末四项和为67，前项和为286，求数列的项数。
分析 条件中的8项可分为4组，每组中的两项与数列的首、尾两项等距。
【解】
【例2】已知两个等差数列｛an｝、｛bn｝，它们的前n项和分别是Sn、Sn′，若,求.
【解法一】
【解法二】
【例3】数列｛an｝是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负.
(1)求数列的公差.
(2)求前n项和Sn的最大值.
(3)当Sn＞0时，求n的最大值.
【解】
点评： 可将本题中的公差为整数的条件去掉，再考虑当n为何值时，数列{an}的前n项和取到最大值.
【例4】等差数列中，该数列的前多少项和最小？
思路1：
求出的函数解析式（n的二次函数, ），再求函数取得最小值时的n值.
思路2：
公差不为0的等差数前n项和最小的条件为：
思路3：
由s9=s12得s12-s9=a10+a11+a12=0得a11=0.
思维点拔：
说明：根据项的值判断前 项和的最值有以下结论：
①当时，，
则最小；
②当时，，
则最大；
③当时，，
则最小；
④当时，
，
则最大
【追踪训练一】
1. 已知在等差数列｛an｝中，a1＜0，S25＝S45，若Sn最小，则n为（ ）
A.25 B.35 C.36 D.45
2. 两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3.在等差数列｛an｝中，已知a14＋a15＋a17＋a18＝82，则S31＝__________.
4.在等差数列{an}中，已知前4项和是1，前8项和是4，则a17+a18+a19+a20等于______.
5.在等差数列{an}中，an=n－,当n为何值时，前n项和Sn取得最小值？
【选修延伸】
【例5】 已知数列的前项和，求数列的前项和.
【解】
【追踪训练二】
1. 在等差数列{an}中，已知S15=90,那么a8等于（ ）
A.3 B.4 C.6 D.12
2.在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（ ）
A.9 B.10 C.11 D.12
3.等差数列{an}的通项公式是an=2n+1,由bn= (n∈N*)确定的数列{bn}的前n项和是（ ）
A. n(n+5) B. n(n+4)
C. n(2n+7) D.n(n+2)
4.一个等差数列的前12项的和为354，前12项中，偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d等于______.
5.已知数列｛an｝的前n项和是Sn=32n－n2,求数列｛｜an｜｝的前n项和Sn′.
听课随笔
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑翠园中学必修5第一章《解三角形》练习题
班级__________姓名__________学号__________
一、选择题
1．在中，，，，则的面积是（　　）
A．　　　　　B．　　　　 C．　　　 　D．
2．在中，若，则的值为（　　）
A．　　 　　B． 　　　　 C．　　　 D．
3．在中，若，则这个三角形中角的值是（　　）
A．或　　　B．或　　　C．或　　　D．或
4．在中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（　　）
A．，，　　　　B．，，　
C．，，　　　　 　D．，，　
5．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程的根，则第三边长是（　　）
A．　　　　　B．　　　　 C．　　　 　D．
6．在中，如果，那么角等于（　　）
A．　　　　　B．　　　　 C．　　 　D．
7．在中，若，，此三角形面积，则的值是（　　）
A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　 D．
8．在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为（ ）
A． 　 　B． C． D．
9．在中，若，，，则（　　）
A．　　B． C．　 D．
10．如果满足，，的△ABC恰有一个，那么的取值范围是（　　）
A． 　B． 　C． 　D．或
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11．在中，若，则最大角的余弦值等于_________________．
12．在中，，，，则此三角形的最大边的长为____________________．
13．在中，已知，，，则__________________．
14．在中，，，，则_______________，_______________．
三、解答题
15．△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60o，∠ADC＝150o，求AC的长及△ABC的面积．
16．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosB＋ccosC＝acosA，试判断△ABC的形状．
17. 如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁。一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B在北偏东75°，航行8海里到达C处，望见小岛B在北端东60°。若此舰不改变舰行的方向继续前进，问此舰有没有角礁的危险？
18．如图，货轮在海上以35n mile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152o的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为122o．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为32o．求此时货轮与灯塔之间的距离．
19. 航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10000m,速度为180km（千米）/h（小时）飞机先看到山顶的俯角为150，经过420s（秒）后又看到山顶的俯角为450，求山顶的海拔高度（取＝1.4,＝1.7）．
20． 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南
方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时间有多少小时？
翠园中学必修5第一章《解三角形》练习题参考答案
CBDDB　　　BDB A D　
11． 12、 13、6或3 14、，　
15．在△ABC中，∠BAD＝150o－60o＝90o，∴AD＝2sin60o＝．
在△ACD中，AD2＝()2＋12－2××1×cos150o＝7，∴AC＝．
∴AB＝2cos60o＝1．S△ABC＝×1×3×sin60o＝．
16．∵ bcosB＋ccosC＝acosA，由正弦定理得：sinBcosB＋sinCcosC＝sinAcosA，
即sin2B＋sin2C＝2sinAcosA，∴2sin(B＋C)cos(B－C)＝2sinAcosA．∵A＋B＋C＝π，
∴sin(B＋C)＝sinA．而sinA≠0，∴cos(B－C)＝cosA，即cos(B－C)＋cos(B＋C)＝0，
∴2cosBcosC＝0．∵ 0＜B＜π，0＜C＜π，∴B＝或C＝，即△ABC是直角三角形．
17、解：过点B作BD⊥AE交AE于D
由已知，AC=8，∠ABD=75°，∠CBD=60°
在Rt△ABD中，
AD=BD·tan∠ABD=BD·tan 75°
在Rt△CBD中，
CD=BD·tan∠CBD=BD·tan60°
∴AD－CD=BD（tan75°－tan60°）=AC=8,…9分
∴
∴该军舰没有触礁的危险。
18．在△ABC中，∠B＝152o－122o＝30o，∠C＝180o－152o＋32o＝60o，∠A＝180o－30o－60o＝90o，BC＝，∴AC＝sin30o＝．
答：船与灯塔间的距离为n mile．
19. 解：如图 ∵150　450　　　
∴300，
AB= 180km（千米）/h（小时）420s（秒）
= 21000(m )
∴在中
∴
∴
∵，
∴
　　　＝
　　　＝＝
　　　＝7350
山顶的海拔高度＝10000-7350=2650(米)
20．解：设经过t小时台风中心移动到Q点时，台风边沿恰经过O城，
由题意可得：OP=300，PQ=20t，OQ=r(t)=60+10t
因为，α=θ-45°,所以，
由余弦定理可得：OQ2=OP2+PQ2-2·OP·PQ·
即 (60+10t)2=3002+(20t)2-2·300·20t·
即，
解得,
答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭，受到台风的侵袭的时间有12小时？
A
C
B
北
北
152o
32 o
122o
PAGE第7课时 正余弦定理的应用（1）
分层训练
1．在⊿ABC中，，则∠C= （ ）
A 600 B 300
C 1200 D 600或1200
2．在⊿ABC中，如果给定则⊿ABC为 （ ）
A 等边三角形 B 等腰三角形
C 直角三角形 D 等腰或直角三角形
3．已知锐角三角形的三边长分别为2、3、，则的取值范围是
4．在⊿ABC中，，∠C=300，则∠A=
5．在⊿ABC中，∠A=2∠B，且，，则= = （精确到）。
6．在⊿ABC中，若，求的值。
学生质疑
教师释疑
拓展延伸
7．在⊿ABC中，已知，，试求最长边与最短边的比。
8．如果一个三角形的三边是连续的三个自然数，求所有这些三角形中的最大角的度数（精确到）。
÷
本节学习疑点：第15、16课时 数列复习课(2课时)
一、
二、数列知识回顾
（一）数列的概念
数列的定义（一般定义，数列与函数）、数列的表示法。
数列的通项公式。
求数列通项公式的一个重要方法：
对于任一数列,其通项和它的前n项和之间的关系是
（二）等差数列和等比数列
1. 等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质
等差数列 等比数列
定义
通项公式 =+（n-1）d=+（n-k）d=+-d
求和公式
中项公式 A= 推广：2= 。推广：
性质 1 若m+n=p+q则 若m+n=p+q，则。
2 若成A.P（其中）则也为A.P。 若成等比数列 （其中），则成等比数列。
3 成等差数列。 成等比数列。
4
2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：
(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。
(2)通项公式法。
(3)中项公式法:验证都成立。
3. 在等差数列｛｝中,有关Sn 的最值问题：
(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值。
(2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
（三）、数列求和的常用方法：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等。
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。
3.错位相减法:适用于其中{ }是等差数列，是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法。
5.常用结论
1）: 1+2+3+...+n =
2） 1+3+5+...+(2n-1) =
3）
4）
5）
6）
【精典范例】
一 函数方程思想在研究数列问题中的运用
函数作为高中数学最重要的内容，几乎贯穿中学数学的始终，数列作为特殊的函数，与函数有着千丝万缕的联系：
数列的通项公式及前n项和公式都是关于n的函数，当d≠0时，等差数列的通项是关于n的一次函数，前n项和是关于n的一元二次函数；等比数列的通项公式及前n项和公式都与指数函数有关。
在解决数学问题的过程中，把变量之间的制约关系用函数关系反映出来，便形成了函数思想；把众多待求量通过列方程、解方程来确定，便形成了方程思想，函数与方程之间的辩证思维便形成了函数方程思想。
因此，我们可以借助于函数的有关性质来研究数列问题。
例1（1）首项为正数的等差数列｛a｝，其中S=S，问此数列前几项和最大？
（2）等差数列｛a｝中，S=100，S=300，求 S。
（3）等差数列的公差不为0，a=15,a,a,a成等比数列，求S。
分析 （1）等差数列前n项和S=n+(a－)n(d≠0)是关于n的二次函数且常数项为0，故可设S=An+B,运用配方法求最值；
（2）由S=An+B及S=100，S=300，求出A、B后再求S。
（3）求S的关键，在于求a,由a=dn+(a－d)(d≠0)知，它是关于n的一次函数，故可设a= An+B，由条件列出方程组求A、B。
【解】（1）设S= An+B（A≠0），
∵S=S，
∴9A+3B=121A+11B，即14A+B=0。
又∵S= An+B=A（n+）－,
∴当n=－=7时，S有最大值S。
另解由S=S，得a+a+a+a+a+a+a+a=0,
又∵a+ a= a+ a= a+ a= a+a,
∴4(a+a)=0, a+a=0.
由于a＞0,据题意知a=－a＞0，a＜0
因此，前7项和最大。
（2）设S=An+Bn(A≠0)
∵S=100，S=300,
∴
∴S=900×+30×5=600。
另解 ∵S=100，S=300，又S，S－S，S－S成等差数列。
∴S－S=2（S－S）－S
∴S=600
（3）设a=An+B(A≠0)
∵a=15,a=a·a,
∴
∴
a=2n－1
∴S=(2×1－1)+(2×2－1)+…+（2×n－1）
=2×(1+2+…+n)－n
=n(n+1)－n=n.
评析 从函数角度考察等差数列中的通项公式，前n项和公式，从而把数列问题转化为函数解决，体现了函数的思想和方法的应用。
二 求数列的通项公式
数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究其性质等；而有了数列的通项公式便可求出任一项及前n项和等，看来，求数列的通项往往是解题的突破口、关键点，现将求数列通项公式的几种题目类型及方法总结如下。
观察法
观察法就是观察数列特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式。
例2写出下面各数列的一个通项公式
（1），…；
（2）1，－…；
（3）…；
（4）21，203，2005，20007，…；
（5）0.2,0.22,0.222,0.2222,…；
（6）1，0，1，0，…；
（7）1，…
【解】（1）注意各项的分子分别是1，2，3，4，…，分母比分子大1，
∴数列的通项公式为a=.
(2)奇数项为正，偶然项为负，各项分母可看作2－1=1，2－1=3，2－1=7，2－1=15，2－1=31，…，各项分子均为1。
∴数列的通项公式为a=（－1）·
（3）各项的分母分别是2，2，2，2，…分子比分母小1。
∴数列的通项公式为a=
（4）各项可看作21=2×10+1203=2×100+32005=2×1000+5
20007=2×10000+7，
∴数列的通项公式为a=2×10+（2n－1）.
(5)把各项适当变形0.2=2×0.1=×0.9=×(1－),0.22=2×0.11=×0.99=×(1－),0.222=×(1－),0.222=×(1－),…，
∴数列的通项公式为a=·（1－）。
（6）奇数项皆为1，偶然项为0，
∴数列的通项公式为a=
（7）各项可看作1=1+0，=+1，=+0，=+1，=+0，=+1，…，∴数列的通项公式为a=+.
评析 用观察法写数列的通项公式，一般考虑如下几点：
观察数列各项符号变化，考虑通项公式中是否有（－1）或者（－1）部分，如本例中（2），（6），（7）也有所涉及。
分解分子分母的因数（式），考虑其变化规律与序号的关系，应注意根据某些变化规律较明显的项，“猜”出某些因式约分后规律表现得不那么明显的项，同时要特别注意等差，等比关系，如本例（2），（3），（4）等。
考虑分子、分母与一些特殊数列如2，3，n,n等的关系，如本例（1），（2），（3）等。
已知S求a或已知S与a的关系求a
已知数列｛a｝的前n项和S求a时，要注意运用a和S的关系，即
例3已知下列各数列｛a｝的前n项和S的公式，求｛a｝的通项公式。
S=10－1；（2）S=10+1；
【解】（1）当n=1时，a=S=9,
当n≥2时，a= S－S=（10－1）－（10－1）=10－10=9·10，
且n=1时，a=9也适合上式，∴a=9·10（n）.
(2)当n=1时，a=S=10+1=11,
当n≥2时，a= S－S=（10+1）－（10+1）=9·10，
而n=1时，a=11，不适合上式，
∴
评析 已知｛a｝的前n项和S求a时应注意以下三点：
应重视分类类讨论的应用，要先分n=1和n≥2两种情况讨论，特别注意由S－S= a推导的通项a中的n≥2。
由S－S= a，推得的a且当n=1时，a也适合“a式”，则需统一“合写”。
由S－S= a推得的a，当n=1时，a不适合“a式”，则数列的通项应分段表示（“分号”），即 如本例中（2），（3）。请观察本例中（1）与（2）的差异及联系。
累差法
若数列｛a｝满足a－a=f(n)(n),其中｛f(n)｝是易求和数列，那么可用累差法求a。（请你复习求等差数列通项公式的部分）
例4求数列1，3，7，13，21，…的一个通项公式。
【解】 ∵a－a=3－1=2,
a－a=7－3=4,
a－a=13－7=6,
…
a－a=2(n－1)
以上n－1个等式左右两边分别相加，得
a－a=2[1+2+3+…+（n－1）]=（n－1）n，
∴a=n－n+1.
且n=1时，a=1适合上式。
∴a=n－n+1.
评析 我们应验证n=1时a=1适合a=n－n+1式，这是什么原因。
累商法
若数列｛a｝满足=f(n)( n),其中数列｛f(n)｝前n项积可求，则可用累商法求a.
例5在数列｛a｝中，a=2，a= a,求通项a。
【解】 ∵a=2，a= a,
∴=，
=，
……
=。
以上n－1个等式左右两边分别相乘得
=n, a=2n.
且n=1时，a=2也适合上式。
∴a=2n .
构造法
直接求通项a较难求，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差或等比数列，从而将问题转化为较易求解的问题，进一步求出通项a。
例6各项非零的数列｛a｝，首项a=1,且2S=2aS－a,n≥2,求数列的通项a。
【解】 ∵a=1，2S=2aS－a, n≥2,又a= S－S.
∴2S=2S－2 SS－S+ S，
∴－=2 （n≥2）（怎么得到的？）
∴数列｛｝是以=1为首项，以2为公差的等差数列，
∴=1+（n－1）·2=2n－1, S=.
∴a= S－S=－= (n≥2)
又a=S=1,不适合上式，
∴
有些求通项的题目可能要综合应用几种方法和技巧；当然了，有些题可能有多种解法。
评析 构造法解决问题希大家尽量掌握，这对于提高我们的数学素质大有帮助。
注意 求数列通项公式的问题是最为常见的试题，特别要注意已知S求a的问题。
三 数列求和
数列求和是数列部分的重要内容，求和问题也是很常见的试题，对于等差数列，等比数列的求和主要是运用公式；某些既不是等差数，也不是等比数列的求和问题，一般有以下四种常用求和技巧和方法。
1.公式法
能直接应用等差数列或等比数列的求和公式以及正整数平方和，立方和公式寻求和的方法。
例7数列｛a｝的通项a=n－n，求前n项和S。
【解】 S=（1－1）+（2－2）+…+（n－n）
=（1+2+…+n）－（1+2+…+n）
=－
=。
2.倒序求和法
3.错项求和法
【例2】求和S=+++…+。
请你独立完成，相信你会有更深的体会。
答案 S=3－。
4.裂拆项法
例8在数列｛a｝中，a=10+2n－1,求S
【解】 S=（10+2×1－1）+（10+2×2－1）+…（10+2n－1）
=（10+10+…+10）+2×（1+2+…+n）－n
=+n(n+1)－n
=(10－1)+n.
注意 把通项进行合理地分拆与组合，转化为易求和的数列的求和问题。
练习：求数列1，1+2，1+2+3，…的前n项的和。
答案 S=。
例9已知数列｛a｝：，，，…，…，求它的前n项和。
分析 我们先看通项a==，然后想什么办法求S呢？将通项分裂成两项之差如何？
【解】∵a==2（）， （为什么呢？）
∴S=a+a+a+…+a
=2[(1－)+(－)+(－)+…+（）]
=2（1－）=。 （成功了！）
评析 如果数列的通项公式可转化为f(n+1)－f(n)形式，常采用裂项求和的方法，特别地，当数列的通项公式是关于n的分式形式时，可尝试采用此法。
常用的裂项技巧如：=（）；
=（－）等。
使用裂项法时要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项；你是否注意到由于数列｛a｝中每一项a均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多的，切不可漏写未被消去的项。
四、等差、等比数列的综合问题
例10已知数列的前n项和=4+2(n∈N＋)，a=1.
(1)设=-2,求证：数列为等比数列，
(2)设Cn=,求证：是等差数列.
选题意图：本题考查等差、等比数列的定义及逻辑推理能力.
证明：(1) =4+2, =4+2,相减得=4-4,
∴是以3为首项，2为公比的等比数列，∴=3×２?.
(2) ∵
∴是以为首项，为公差的等差数列.
说明：一个表达式中既含有又含有Ｓｎ，一般要利用
＝－（ｎ≥２），消去或，这里是消去了.
例11在等比数列中，，求的范围.
解：∵，∴
又∵，且，∴，
∴解之：
当时，，∴
（∵）
当时，，
∵且必须为偶数
∴，（∵）
例12 设{}, {}都是等差数列，它们的前n项和分别为, , 已知,求⑴；⑵
⑴ 解法1：＝＝
＝.
⑴解法2：∵{}, {}都是等差数列
∴可设＝kn(5n+3), =kn(2n-1)
∴=-= k[n(5n+3)-(n-1)(5(n-1)+3)]=kn(10n-2),
=-=k[n(2n-1)-(n-1)(2(n-1)-1)] =kn(4n-3),
∴==
⑵解：由⑴解法2，有
=-= k[n(5n+3)-(n-1)(5(n-1)+3)]=kn(10n-2),
=-=k[n(2n-1)-(n-1)(2(n-1)-1)] =kn(4n-3),
∴＝k5(105-2)=240k
＝k8(48-3)=232k
∴ =
【追踪训练】
1．一等差数列共有9项，第1项等于1，各项之和等于369，一等比数列也有9项，并且它的第1项和最末一项与已知的等差数列的对应项相等，求等比数列的第7项。
解：设等差数列为｛an｝，公差为d，等比数列为｛bn｝,公比为q.
由已知得：a=b=1,?
又b＝ａ，∴ｑ＝81，∴ｑ＝３，
∴b＝ｂｑ＝27，即等比数列的第7项为27.
说明：本题涉及的量较多，解答要理清关系，以免出错.?
2．已知, a, , …, , …构成一等差数列，其前n项和为＝n, 设＝, 记{}的前n项和为, (1) 求数列{}的通项公式；(2) 证明：<1.
解：(1) ＝＝1, 当n≥2时, ＝－＝2n－1;
由于n＝1时符合公式，∴ ＝2n－1 (n≥1).
(2) ＝,
∴ ＝,
两式相减得
＝＋＝＋(1－)－,
∴ ＝＋(1－)－<1.
3．已知等差数列{}的前n项和为，＝, 且＝,＋＝21, (1) 求数列{bn}的通项公式；(2) 求证：＋＋＋……＋<2.
解：(1)设等差数列{}的首项为, 公差为d,则＝(＋2d)·＝,
＋＝8＋13d＝21, 解得 ＝1, d＝1,
∴ ＝n, ＝, ＝;
(2) ＋＋＋……＋
＝2·[(1－)＋(－)＋……＋()]<2.
4．已知数列，，
（1）求通项公式；
（2）若，求数列的最小项的值；
（3）数列的前项和为，求数列前项的和．
5．等差数列中，，，依次抽出这个数列的第项，组成数列，求数列的通项公式和前项和公式．
6．已知函数f (x)＝(x－1), 数列{}是公差为d的等差数列，数列{}是公比为q的等比数列(q∈R, q≠1, q≠0),
若＝f (d－1), ＝f (d＋1), ＝f (q－1), ＝f (q＋1),
(1) 求数列{}, {}的通项公式；
(2) 设数列{}对任意的自然数n均有
成立，求＋＋＋……＋的值.
解：(1) ＝f (d－1)＝(d－2), ＝f (d＋1)＝d,
∴ －＝2d, 即d－(d－2)＝2d,
解得d＝2, ∴ ＝0, ＝2(n－1),
又＝f (q－1)＝(q－2), ＝f (q＋1)＝q, ＝q,
∴ ＝q,
∵q ≠1, ∴ q＝3, ∴＝1, ＝3
(2) 设＝(n∈N), 数列{}的前n项和为,
则＝＝2n, ＝＝2(n－1),
∴－＝2, 即＝2, ∴ ＝2＝2·3
∴＋＋＋……＋
＝2＋2·3＋……＋2·3＝＝
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听课随笔第8课 简单的线性规划问题
分层训练
１．若 , 则目标函数Z=x+2y的取值范围 ( )
A. [2 , 6] B. [2 , 5]
C. [3 , 6] D. [3 , 5]
２.目标函数Z=2x－y , 将其看成直线方程时, Z的意义是 ( )
A.该直线的截距 B.该直线的纵截距
C.该直线纵截距的相反数 D.该直线的横截距
３.△ABC中, A(2 , 4) , B(－1 , 2) , C(1 , 0), 点P在△ABC内部及其边界上运动, 则W=y－x的取值范围是 ( )
A. [1 , 3] B. [－3 , 1]
C. [－1 , 3] D. [－3 , －1]
考试热点
４.不等式组表示的平面区域的确面积为________
5.约束条件, 所表示的区域中, 整点其有________个.
6．设变量满足约束条件，则的最大值为
7.若, 则Z=2x+y的最大值为___________ , 最小值为___________ .
8.写出不等式组 所表示的平面区域内整点坐标.
拓展延伸
9.求Z=2x+y的最大值和最小值, 其中x , y满足约束条件.
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑第13课时 等比数列的
前n项和(2)
【学习导航】
知识网络
学习要求
1. 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式；
2. 了解杂数列求和基本思想，解决简单的杂数列求和问题。
【自学评价】
1．常见的数列的前n项的和：
（１）=
　　即 =
（2）
（3）
2． 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列．若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即能分别求和，然后再合并这种方法叫做分组求和法．
3．错位相减法：适用于{}的前项和，其中是等差数列， 是等比数列；
4．裂项法：求的前项和时，若能将拆分为=－，则
5．倒序相加法
6.在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，
【精典范例】
【例1】求数列，，，．．．的前n项和.
分析：这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和，因此可以分组求和法．
【解】
（）+（）+．．．+（）
＝（１＋２＋３＋．．．＋ｎ）
　　＋（）
=
【例2】设数列为,,
求此数列前项的和.
分析：这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的积，因此可以用错项相减法．
【解】
①
②
由①②得
，
当时，
当时，
追踪训练一
求和
【答案】2076
2．求和
【答案】
3．若数列的通项公式为，则前项和为( B )
A. B. C. D.
4．数列1，，，…，的前项和为( B )
A. B.
C. D.
5．求和1－2+3－4+5－6+…+(－1)n+1n.
【解】 设n=2k,则(1－2)+(3－4)+…+［(2k－1)－(2k)］=－k=－
设n=2k－1,则(1－2)+(3－4)+…+［(2k－3)－(2k－2)］+2k－1=－(k－1)+2k－1=k=
∴1－2+3－4+5－6+…+(－1)nn+1
=
【选修延伸】
【例3】已知数列｛an｝中， an＋1＝an＋2n，
a1＝3，求an.
【解】 由an＋1＝an＋2n
得an＝an－1＋2n－1即
∴an－a1＝＝2n－2
因此an＝2n－2＋a1＝2n＋1
点评:利用数列的求和,可求出一些递推关系为an＋1＝an＋f(n)的数列的通项公式.
【例4】已知{}为等比数列，且=a，=b，（ab≠0），求.
【解】设等比数列的公比为q.
若q=1（此时数列为常数列），则=n=a，=b，
从而有2a=b ∴（或）
若q≠1（即2a≠b），由已知
＝a ①
＝b ②
又ab0, ②/①得
, ③
将③代入①，得
∴＝＝
＝
＝
追踪训练二
1．等比数列｛an｝的首项为1，公比为q,前n项和为S，则数列｛｝的前n项之和为（ C ）
A. B.S C. D.
2．在等比数列｛an｝中，已知a1=,前三项的和S3=,则公比q的值为___ 1或－2___.
3．在等比数列｛an｝中，a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，则S6=___140___.
4．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列是等和数列，且，公和为5，求的值及这个数列的前项和.
【解】 是等和数列，，公和为5，，则知，
。数列形如，。
答 3；当为偶数时；当为奇数时，.
听课随笔
听课随笔
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第9课时　线性规划应用题
【学习导航】
知识网络
学习要求
　1. 能够将实际问题抽象概括为线性规划问题，明确解题步骤与整点最优解的求法
2. 培养应用线性规划的知识解决实际问题的能力.
【课堂互动】
【精典范例】
例1．投资生产A产品时, 每生产100t需要资金200万元, 需场地200m2, 可获利润300万元; 投资生产B产品时, 每生产100米需资金300万元, 需场地100m2, 可获利润200万元, 现某单位可使用资金1400万元, 场地900m2, 问: 应作怎样的组合投资, 可使获利最大
【解】
见书．
例2. 某运输公司向某地区运送物资, 每天至少运送180t , 该公司有8辆载重为6t的A型卡车与4辆载重为10t的B型卡车, 有10名驾驶员每辆卡车每天往返次数为A型车4次, B型车3次, 每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元, B型车为504元, 试为该公司设计调配车辆方案, 使公司花费的成本最低.
见书．
思维点拔：
1.线性规划应用题的解题步骤：
　　　(1)分析后将题中数据整理成一个表格；
　　　(2)设自变量（通常为x,y,z等）；
(3)列式(约束条件和目标函数)；
(4)作可行域；
(5)作直线l0 :ax+by=0平移l0使其过最　　　　　　优解的点；
(6)解相关方程组得最优解(根据需要可求出最值)；
(7)作答．
2.整点最优解的求法：
　(1)网格线法
(2)先求非整点最优解，然后定出目标函数的取值范围，再改变目标函数取值，定出整点最优解．
追踪训练
1. 某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品１t，需矿石4t，煤3t，生产乙种产品１t，需矿石5t，煤10t，每1t甲种产品的利润是7万元，每1t乙种产品的利润是12万元，工厂在生产这两种产品的计划中，要求消耗矿石不超过200t，煤不超过300t，则甲、乙两种产品应各生产多少，能使利润总额达到最大？
略解：设甲、乙两种产品分别生产xt,yt,
则约束条件为　　，
利润目标函数为，利用现性规划知识求解，可得当时， 取得最大值．答略．
2.要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格, 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板块数如下表示:
A规格 B规格 C规格
第一种钢板 2 1 1
第二种钢板 1 2 3
今需A、B、C三种规格的成品分别为15 , 18 , 27块, 问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品, 且使所用钢板张数最少？
略解：设需要第一种钢板x张, 需要第二种钢板y张L,钢板总数z张
则约束条件为：
　．
目标函数为，利用现性规划知识求解，可得当或时， 取得最小值12．答略．
3．已知函数，若
，，求的取值范围．
答案：．
听课随笔
线性规划的实际应用
审题分析
建立模型
解题步骤
画图求解
还原作答
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
听课随笔
规格类型
钢板类型第10课时基本不等式的证明(1)
【学习导航】
知识网络
学习要求
　1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系.
2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种方法证明基本不等式.
　　　　3.理解基本不等式的意义, 并掌握基本不等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等.
【课堂互动】
自学评价
算术平均数：　　　　　　　　 　
　　　　　　　　见书　　　　　　　　　　
几何平均数　　　　　　　　　
　　　　　　　　见书　　　　　　　　　　
设a≥0,b≥0则与的关系为　　　　　　≥　　　　　　　
基本不等式的证明方法：　比较法　　　
　　　分析法，综合法．　　　　　　　　　　　　　　　
【精典范例】
例1．.设a、b为正数, 求证明：
见书（共有三个方法）．
点评：
１．不等式证明的方法：(1)作差比较法(2)分析法(3)综合法
２．本题对a≥0,b≥０时仍成立，且题中等号当且仅当a=b时成立．
３．把不等式 (a≥0,b≥0)称为基本不等式
4.由本题可知，两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当两数相等时两者相等
5.基本不等式的几何解释：半径不小于半弦．
例2. 利用基本不等式证明下列不等式：
已知a>0,求证 a+
(2).已知a, b, c∈R , 求证: a2+b2+c2≥ab+bc+ac .
(3).已知x , y , z是互不相等的正数, 且x+y+z=1 , 求证: (
证明：因为题目简单，证略．
点评：1..基本不等式的变形公式：
(1)
(2)
(3)
(4)
2.学会多次运用和创造条件运用基本不等式证题，尤其是不等式两边均为三项，可将一边变成六项，分成三组．对每一组用基本不等式．
３．注意严格不等式的证明方法．
思维点拔：
1.上面两例在于：(1)揭示基本不等式的内容与证法．(2)举例说明利用基本不等式证题的方法技巧，以让学生初步领会不等式证明的基本方法．
２．基本不等式的推广：n个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．即若ai≥0(i=1,2,…,n),则(n>1,nN)
追踪训练
１．设Ｐ为正数，求下列各组数的算术平均数与几何平均数．
（１）２与８　　　　　答案：５，４
（２）３与１２　　　　答案：７.５，6
（３）Ｐ与９Ｐ　　　　答案：５p，3p
（４）２与２　　　答案：p2+1，2p
２．已知a>1求证a+≥3
略证．
３．已知a+b+c=1,求证a2+b2+c2≥
提示：只要证3(a2+b2+c2）≥1即可．
４．已知a , b , c不全相等的三个正数, 且abc=1 , 求证:
注意：利用基本不等式证明时要交代等号为何不能成立．
听课随笔
内容及证法
算术平均数和几何平均数
基本不等式
变形及证明其它不等式
几何解释
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
听课随笔第1课时 正弦定理（1）
分层训练
1．满足=4，A=，B=的△ABC的边的值为（ ）
A B
C D
2．△ABC中，，A=，则边= （ ）
A 6 B 12 C 6或12 D
3．在△ABC中，已知，，
∠A=，则∠B=
4．在△ABC中，，则∠A= ____
5．在三角形ABC中，、、所对的角分别为A、B、C，且，则△ABC是 三角形。
6．已知△ABC中，A=，，，则B=
学生质疑
教师释疑
拓展延伸
7．已知在△ABC中，=10，∠A=，
∠C=，求，和∠B
8．在△ABC中，，∠B=，=1，求和∠A、∠C
9．在△ABC中，=15，=10，A=，CE、CF三等分∠C，求CE、CF的长。
本节学习疑点：解三角形
【知识结构】
【重点难点】
　　重点：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
难点：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题
1.1 正弦定理
第1课时
【学习导航】
知识网络
直角三角形的边角关系→任意三角形的边角关系→正弦定理
学习要求
1．正弦定理的证明方法有几种，但重点要突出向量证法；
2．正弦定理重点运用于三角形中“已知两角一边”、“已知两边一对角”等的相关问题
【课堂互动】
自学评价
1．正弦定理：在△ABC中，______,
2．正弦定理可解决两类问题：
（1）________________________________；
（2）_________________________________
________________________________
【精典范例】
【例1】在中，，，，求，．
分析：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题．
【解】
【例2】根据下列条件解三角形：
（1）；
（2）．
分析：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题．
【解】
追踪训练一
1．在△ABC中，，，，则的值为（ ）
A B
C 10 D
2．在△ABC中，已知，，，则= （ ）
A B C D 1
3．在△ABC中，
（1）已知，，，求，；
（2）已知，，，求，.
4．根据下列条件解三角形：
（1），，；
（2），，。
【选修延伸】
【例3】在锐角三角形ABC中，A=2B，、、所对的角分别为A、B、C，试求的范围。
分析：本题由条件锐角三角形得到B的范围，从而得出的范围。
【解】
【例4】在△ABC中，设
，求的值。
【解】
追踪训练二
（1）在中，已知，，，则 ， ．
（2）在中，如果，，，那么 ，的面积是 ．
（3）在中，，，则 ．
听课随笔
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑3.2 一元二次不等式
第1课时
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系
2．会解简单的一元二次不等式及简单应用．
【课堂互动】
自学评价
1．一元二次不等式：
．
2．当a>0时，填写下表：.
△=b2－4ac △>0 △=0 △<0
y=ax2+bx+c的图象
ax2+bx+c=0的根的情况
ax2+bx+c>0的解集
ax2+bx+c<0的解集
３．思考：当a<0时，怎么办呢？
【精典范例】
例1.解下列不等式
(1)x2－7x+12>0
(2)－x2－2x+3≥0
(3)x2－2x+1<0
(4)x2－2x+2<0
【解】
点评:不等式的解与方程的根是密切相关的．
例2：解下列不等式
(1).1(2)(x2+4x-5)(x2-2x+2)>0
(3) (x2+4x-5)(x2-4x+4)>0
(4)x4-x2-6≥０
(5) >0
(6) ≤0
【解】
点评：“”符号的使用可使表达简洁，另外端点是否包含在内特别要小心谨慎．
思维点拔：
当a>0时ax2+bx+c>0的解集为两根之外或R，ax2+bx+c<0解集为两根之内或φ。
解一元二次不等式的方法：图象法，结论法。
解一元二次不等式的步骤：一看x2系数，二求方程的根，三写出结论。
不等式的解要写成解集的形式，即用集合或区间表示。
学会用化归的思想解决一些可化为一元二次不等式的问题。
追踪训练一
1. 函数y=的定义域为____________
2. 函数y=lg(2x2+3x-1)的定义域为_____________
３. 函数y=lg(-x2+5x+24)的值小于１，则x的取值范围为________ _____
４．设k∈R , x1 , x2是方程x2－2kx+1－k2=0的两个实数根, 则x+x的最小值为
（　　）
A. —2 　 B. 0 　　 C. 1 D. 2
【选修延伸】
高次不等式的解法
解下列不等式：
（1）
（2）
思维点拨
解高次不等式的方法步骤：
方法：序轴标根法．
步骤：①化一边为零且让最高次数系数为正；
②把根标在数轴上；
③右上方向起画曲线，让曲线依次穿过标在数轴上的各个根；
④根据“大于0在上方，小于0在下方”写出解集。
注：①重根问题处理方法：“奇过偶不过”．
②分式不等式转化为高次不等式求解．
追踪训练一
设（为实常数），且方程有两个实数根为，，
求函数的解析式．
（２）设，解关于的不等式．
学习札记
解法(不含字母的)
简单应用
学习札记
学习札记
一元二次不等式
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
定义第14课时 等比数列的
前n项和(3)
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式；
2．提高分析、解决问题能力，能用等比数列的知识解决某些实际问题。
【自学评价】
1．对于分期付款，银行有如下规定：
（１）分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款；
（２）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和．
2．若是等比数列，且公比，则数列 ，…是等比数列;
当，且为偶数时，数列
，…是常数数列0，它不是等比数列.
3. 当时，，这里，但，这是等比数列前项和公式特征，据此判断数列是否为等比数列
【精典范例】
【例1】水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题．全国9100万亩的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占７０％．国家确定2000年西部地区退耕土地面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增１２％，那么从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有多少万亩（精确到万亩）？
【解】根据题意，每年退耕还林的面积比上一年增长的百分比相同，所以从2000年起，每年退耕还林的面积（单位：万亩）组成一个等比数列，其中
＝515，ｑ＝１＋１２％＝1.12，ｎ＝６，
则
答　从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有4179万亩．
【例2】某人2004年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房，月利率
3.375‰，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷．如果10年还清，那么每月应还贷多少元？
分析：对于分期付款，银行有如下规定：
（１）分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款；
（２）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和．
为解决上述问题，我们先考察一般情形．设某商品一次性付款的金额为ａ元，以分期付款的形式等额地分成ｎ次付清，每期期末所付款是ｘ元，则分期付款方式可表示为：
从而有
运用等比数列求和公式，化简得
这就是分期付款的数学模型．
【解】　设每月应还贷ｘ元，共付款
12×10=120次，则有
化简得
答　每月应还贷款2029.66元．
追踪训练一
回答我国古代用诗歌形式提出的一个数列问题：
远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，
共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？
【答案】塔顶3盏灯
2．我国1980年底人口以十亿计算．
（１）若我国人口年增长率为1.2％，则到2005年底我国约有多少人口？
（２）要使我国到2010年底人口不超过14亿，那么人口的年平均增长率最高是多少？
【答案】
（1）2005年底我国约有13.5亿人口
（2）人口的年平均增长率最高是1.1％
顾客采用分期付款的方式购买一件5000元的商品，在购买一个月后第一次付款，且每月等额付款一次，在购买后的第12个月将货款全部付清，月利率0.5％．按复利计算，该顾客每月应付款多少元？
【答案】顾客每月应付款430元
4．某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营能使年资金平均增长率达到50%，但每年底都要扣除消费基金x万元，余下资金投入再生产，为实现经过5年资金达到2000万元（扣除消费基金后），那么每年应扣除消费基金多少万元（精确到万元）？
【解】设逐年扣除消费基金后的资金数组成一个数列，则
a1=1000×（1+50%）－x=1000×－x；
a2=(1000×－x)(1+50%)－x
=1000×()2－(1+)x;
依次类推得a5=1000×()5－[1++()2+()3+()4]x.
由题意知：
1000×()5－[1++()2+()3+()4]x
=2000
解得x≈424万元
【选修延伸】
【例3】设数列 的首项a1=1,前n项的和Sn满足关系式3tSn－(2t+3)Sn－1=3t(t为常数,且t>0, n=2,3,4,……)。
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)设 的公比为f(t)，作数列，使得b1=1,bn=f() (n=2,3,4,…)，求的通项公式。
(3)求和：b1 b2－b2b3+b3b4－…+b2n－1b2n－b2nb2n+1
【解】(1)求得a1=S1=1 S2=a1+a2=1+a2,代入关系式，得 ,又3tSn－(2t+3)Sn－1=3t, 3tSn－1－(2t+3)Sn－2=3t, 两式相减得3tan－(2t+3)an－1=0,
∴
(2)由f(t)=
得bn=f
由此可得
(3)原式
=b2(b1－b3)+b4(b3－b5)+…+b2n(b2n－1－b2n+1)
=
【例4】在数列中，求数列的前n项和Sn.
分析：要分成偶数项和奇数项之和分别求解。
【解】当n=2k(k∈N+)时，a1 ,a3,a5,…，a2k－1，…，成等差数列，公有效差为4，首项为1；而a2,a4，…，a2k，…成等比数列，公比为q，首项为a2=9,
.
将k=代入得
当n=2k－1时，由S2k－1=S2k－a2k，得.
追踪训练二
1．已知等比数列｛an｝中，前n项和Sn=54,S2n=60,则S3n等于（ C ）
A.64 B.66 C.60 D.66
2．已知｛an是公比为的等比数列｝，若a1+a4+a7+…+a97=100,则a3+a6+a9+…+a99的值是（ A ）
A.25 B.50 C.75 D.125
3.数列1，1+2,1+2+22，…，(1+2+22+…+2n－1)，…，前n项和等于（ B ）
A.2n+1－n B.2n+1－n－2
C.2n－n D.2n
4．等比数列｛an｝共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q=___2___.
5．若等比数列｛an｝中，S4＝2，S8＝6，则a17＋a18＋a19+a20的值等于__32____.
听课随笔
听课随笔
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑邳州市第一中学高一必修5第一章《解三角形》练习题
班级__________姓名__________
一、选择题
1．在中，，，，则的面积是 。
2．在中，若，则的值为 。
3．在中，若，则这个三角形中角的值是 。
4．在中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是 。
A．，，　　　　B．，，　
C．，，　　　　 　D．，，　
5．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程的根，则第三边长是 。
6．在中，如果，那么角等于 。
7．在中，若，，此三角形面积，则的值是 。
8．在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为 。
9．在中，若，，，则b= , c= .
10．如果满足，，的△ABC恰有一个，那么的取值范围是 .
A． 　B． 　C． 　D．或
11．在中，若，则最大角的余弦值等于_________________．
12．在中，，，，则此三角形的最大边的长为____________________．
13．在中，已知，，，则__________________．
14．在中，，，，则_______________，_______________．
三、解答题
15．△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60o，∠ADC＝150o，求AC的长及△ABC的面积．
16．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosB＋ccosC＝acosA，试判断△ABC的形状．
17. 如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁。一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B在北偏东75°，航行8海里到达C处，望见小岛B在北端东60°。若此舰不改变舰行的方向继续前进，问此舰有没有角礁的危险？
18．如图，货轮在海上以35n mile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152o的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为122o．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为32o．求此时货轮与灯塔之间的距离．
19. 航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10000m,速度为180km（千米）/h（小时）飞机先看到山顶的俯角为150，经过420s（秒）后又看到山顶的俯角为450，求山顶的海拔高度（取＝1.4,＝1.7）．
20． 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南
方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时间有多少小时？
A
C
B
北
北
152o
32 o
122o
PAGE第3课时
知识网络
学习要求
1．掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形；
2．熟记正弦定理及其变形形式；
3．判断△ＡＢＣ的形状.
【课堂互动】
自学评价
1．正弦定理：在△ABC中，,
2R
为的_______________
2．三角形的面积公式：
（1）s=_______=_______=_______
（2）s=__________________
（3）s=____________
【精典范例】
【例1】在△ＡＢＣ中，已知＝＝，试判断△ＡＢＣ的形状．
【解】
点评: 　通过正弦定理，可以实现边角互化．
【例2】在△ＡＢＣ中，ＡＤ是∠ＢＡＣ的平分线，用正弦定理证明＝．
【证】　
【例3】根据下列条件，判断有没有解？若有解，判断解的个数．
（1），，，求；
（2），，，求；
（3），，，求；
（4），，，求；
（5），，，求．
【解】
追踪训练一
1. 在△ABC中，已知b = 6，c = 10，B = 30°，则解此三角形的结果是 （　 ）
A.无解 B.一解
C.两解 D.解的个数不能确定
2. 在△ABC中，若，则等于（ ）
A． B．
C． D．
3. 在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ）
A.直角三角形 B.等腰或直角三角形
C.不能确定 D.等腰三角形
【选修延伸】
【例4】如图所示，在等边三角形中，为三角形的中心，过的直线交于，交于，
求的最大值和最小值．
【解】
追踪训练二
1.在中，，则 ( )
A． B．
C． D．
2.在中，若，且，则 ， ，
．
3.已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶∶2，则A∶B∶C等于(　 )
A．1∶2∶3 B．2∶3∶1 C．1∶3∶2 D．3∶1∶2
4.如图，△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为( )
A.75° B.60° C.50° D.45
5．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(1-2k)∶3k(k≠0)，则k的取值范围为 ( 　)
A．(2，＋∞) B．(，)
C． D．
6．在△ABC中，
证明：.
听课随笔
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第7课时正、余弦定理的应用（1）
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学习要求
综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方 法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题
分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念
将实际问题转化为解三角形问题
【课堂互动】
自学评价
1．正弦定理、余弦定理及其变形形式，
（1）正弦定理、三角形面积公式：
；
（2）正弦定理的变形：
；
；
．
（3）余弦定理：1）
变形：2）
2．运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤是：
①分析：理解题意，弄清清与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；
②建模：根据书籍条件与求解目标，把书籍量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；
③求解：利用正弦定理、余弦定理理解这些三角形，求得数学模型的解；
④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。
【精典范例】
【例1】为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边取点，测得，，，，.设在同一平面内，试求之间的距离（精确到）.
【解】
在中，，，则.又，
由正弦定理，得
.在中，，，
则.又，
由正弦定理，得
在中，
由余弦定理，得
，
所以
答 两点之间的距离约为.
【例2】某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为，距离为的处，并测得渔轮正沿方位角为的方向，以的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到，时间精确到）.
【解】设舰艇收到信号后在处靠拢渔轮，
则，，又，.
由余弦定理，得
，
即
化简，得
，
解得（负值舍去）.
由正弦定理，得
所以，
方位角为.
答 舰艇应沿着方向角的方向航行，经过就可靠近渔轮.
【例3】某海岛上一观察哨在上午时测得一轮船在海岛北偏东的处，时分测得轮船在海岛北偏西的处，时分轮船到达海岛正西方的港口.如果轮船始终匀速前进，求船速.
【解】设，船的速度为，则，.
在中，，.
在中，，
.
在中，，
，
，
船的速度.
追踪训练一
曲柄连杆机构示意图如图所示．当曲柄ＯＡ在水平位置ＯＢ时，连杆端点Ｐ在Ｑ的位置．当ＯＡ自ＯＢ按顺时针方向旋转α角时，Ｐ和Ｑ之间的距离是xｃｍ．已知ＯＡ＝２５ｃｍ，ＡＰ＝１２５ｃｍ，根据下列条件，求ｘ的值（精确到０．１ｃｍ）：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１）α＝５０°；　（２）α＝１３５°.
答案：（１）ｃｍ
（２）ｃｍ
2．如图，货轮在海上以４０ｎｍｉｌｅ／ｈ的速度由Ｂ向Ｃ航行，航行的方位角∠ＮＢＣ＝１４０°，Ａ处有灯塔，其方位角∠ＮＢＡ＝１１０°，在Ｃ处观察灯塔Ａ的方位角∠Ｎ′ＣＡ＝３５°，由Ｂ到Ｃ需航行０．５ｈ，求Ｃ到灯塔Ａ的距离．　
答案：ｎｍｉｌｅ
3．如图，某人在高出海面６００ｍ的山上Ｐ处，测得海面上的航标Ａ在正东，俯角为３０°，航标Ｂ在南偏东６０°，俯角为４５°，求这两个航标间的距离．
　　
答案：这两个航标间的距离是600m.
【选修延伸】
【例4】三角形ABC中有两个角分别为300和450， ，求⊿ABC的面积。
【解】由条件知三角形的第三个角为1050，设三角形外接圆半径为，则
.
追踪训练二
1．在⊿ABC中，已知A=，且，则C的值为（ C ）
A 4 B 9 C 4或9 D 无解
2．有一广告气球，直径为6m，放在公司大楼的上空，当行人仰望气球中心的仰角为300时，测得气球的视角，若很小时可取，则估算该气球离地高度为（ B ）
A 72 m B 86 m
C 102 m D 118 m
3．在锐角三角形ABC中，，，则边的取值范围是 （ C ）
A B
C D
提示：分边是最大边和不是最大边两种情况讨论，用余弦定理。
4．在⊿ABC中，若
，则B= 600 。
提示：由条件知，
，
听课随笔
听课随笔
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第9课时等比数列的概念和通项公式
【学习导航】
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学习要求
1.体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念，
2.类比等差数列的通项公式,探索发现等比数列的通项公式, 掌握求等比数列通项公式的方法,
3. 掌握等比数列的通项公式,并能运用公式解决一些简单的实际问题.
【自学评价】
1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）
注:1“从第二项起”与“前一项”之比为常数q
｛｝成等比数列=q（,q≠0）
2 隐含：任一项
3 q= 1时，{an}为常数列.
2.等比数列的通项公式
①
②
3．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．
4.等比中项的定义：如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.且
5．证明数列为等比数列：
①定义：证明=常数，
②中项性质：；
【精典范例】
【例1】判断下列数列是否为等比数列：
（１）１，１，１，１，１；
（２）０，１，２，４，８；
（３）1，，，，.
【解】
（１）所给数列是首项为１，公比为１的等比数列．
（２）因为０不能作除数，所以这个数列不是等比数列．
（３）所给数列是首项为１，公比为的等比数列．
【例2】求出下列等比数列中的未知项：
（１）２，ａ，８；
（２）－４，ｂ，ｃ，．
【解】
根据题意，得
所以ａ＝４或ａ＝－４．
根据题意，得
解得
所以ｂ＝２，ｃ＝－１．
【例3】在等比数列{an}中，
（１）已知ａ１＝３，ｑ＝－２，求ａ６；
（２）已知ａ３＝20，ａ６＝160，求ａｎ．
【解】
（１）由等比数列的通项公式，得
（２）设等比数列的公比为ｑ，那么
所以
【例4】在243和３中间插入３个数，使这５个数成等比数列．
【解】设插入的三个数为，，，由题意知243，，，，3成等比数列．
设公比为ｑ，则
因此，所求三个数为８１，２７，９，
或－８１，２７，－９．
追踪训练一
1. 求下列等比数列的公比、第５项和第ｎ项：
（1）２，６，１８，５４，…；　
（2）7，，，
（3）0.3，－0.09，0.027，－0.0081，…；
（4）5，　，，.
【答案】
(1)
(2)
(3)
(4)
2. 数列m,m,m,…m, ( C )
A. 一定是等比数列
B.既是等差数列又是等比数列
C.一定是等差数列不一定是等比数列
D.既不是等差数列，又不是等比数列
3.已知数列{an}是公比q≠±1的等比数列，则在{an+an+1},{an+1－an}，{}{nan}这四个数列中，是等比数列的有(C )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【选修延伸】
【例5】成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数.
【解】设这三个数分别为
解得
这三个数为
故由题意又可得
解得
这三个数为3，5，7
【例6】已知数列｛an｝满足：lgan＝3n＋5，试用定义证明｛an｝是等比数列.
【证明】 由lgan＝3n＋5，得an＝103n+5 ＝1000
∴数列｛an｝是公比为1000的等比数列.
【点评】 若｛an｝是等差数列，bn＝ban可以证明数列｛bn｝为等比数列，反之若｛an｝为等比数列且an＞0，则可证明｛lgan｝为等差数列.
追踪训练二
1．在等比数列｛an｝中，a3·a4·a5＝3，a6·a7·a8＝24，则a9·a10·a11的值等于(D )
A.48 B.72 C.144 D.192
2．在等比数列中，已知首项为，末项为,公比为，则项数n等于___4___.
3．已知等比数列{an}的公比q=－,则=___－3___.
4．已知数列｛an｝为等比数列，
(1)若an＞0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，
求a3＋a5.
(2)a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.
【解】
(1)由已知an＞0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25知a12q4＋2a12q6＋a12q8＝25
即a12q4(1＋q2)2＝25
∴a1q2(1＋q2)＝5
因此a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(1＋q2)＝5
(2)由已知a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8知
①÷②得即2q2－5q＋2＝0 解得q＝2或q＝
当q＝2时，a1＝1 ∴an＝2n－1当q＝时，a1＝4 ∴an＝23－n
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教师释疑
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①②第3课 正弦定理（3）
分层训练
1．在△ABC中，A∶B∶C=3∶1∶2，则
a∶b∶c= （ ）
A． B． C． D．
2．在△中，若，，，则等于 （ ）
A． B．
C．或 D．
3．根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是 （ ）
A．，，，有两解
B．，，，有一解
C．，，，无解 D．，，，有一解
4． 在中，若，则是（ ）
直角三角形 等边三角形
钝角三角形 等腰直角三角形
5．中，，的周长为_________________
6．一飞机沿水平方向飞行，在位置A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°，向前飞行了10000米，到达位置B时测得正前下方地面目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标的距离为 米．
7．在△ABC中，A为最小角，C为最大角，已知cos(2A+C)=－，sinB=，则cos2(B+C)=__________ ( http: / / www. / wxc / )
8．在△ABC中，已知tan(A+B)=1,且最长边为1,tanA＞tanB,tanB=，求角C的大小及△ABC最短边的长.
拓展延伸
9．在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为60°的C处。
(1)求船的航行速度是每小时多少千米；
(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？
10．在正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，在这种情况下，若要使AD最小，求AD∶AB的值 ( http: / / www. / wxc / )
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教师释疑第6课时
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学习要求
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；
2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；
3．利用等差数列解决相关的实际问题。
【自学评价】
等差数列的性质：
1．当公差时，等差数列的通项公式是关于的_______函数，且斜率为公差；前和是关于的_____________函数.
2．若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。
3．当时,则有_____________，
特别地，当时，则有__________
4．在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列是_______．
5．若、是等差数列，
，…成__________
6．在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，
，
（这里即）；。
7．若等差数列、的前项和分别为、，且，则
.
8．如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的____________.
注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究.
【精典范例】
【例1】某剧场有２０排座位，后一排比前一排多２个座位，最后一排有６０个座位，这个剧场共有多少个座位？
【解】　
【例2】某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径４０ｍｍ，满盘时直径１２０ｍｍ已知卫生纸的厚度为０．１ｍｍ，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米（精确到１ｍ）？
【解】
【例3】）教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税．教育储蓄的对象为在校小学四年级（含四年级）以上的学生．假设零存整取３年期教育储蓄的月利率为2.1‰．
（１）欲在３年后一次支取本息合计２万元，每月大约存入多少元？
（２）零存整取３年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时３年后本息合计约为多少（精确到１元）？
【解】
追踪训练一
1. 已知an = (n∈N*), 则数列{an}的最大项是（ ）
A．第12项 B．第13项
C．第12项或第13项 D．不存在
2. 已知等差数列｛ａｎ｝满足ａ１＋ａ２＋…＋ａ１０１＝０，则有（　　）．
Ａ．＞０　Ｂ．＜０
Ｃ．＝０　Ｄ．
3. 已知一个凸多边形的内角度数组成公差为５°的等差数列，且最小角为１２０°，问它是几边形．
4．某钢材库新到２００根相同的圆钢，要把它们堆放成正三角形垛（如图），并使剩余的圆钢尽可能地少，那么将剩余多少根圆钢？
5．时钟在１点钟的时候敲一下，在２点钟的时候敲２下……在１２点钟的时候敲１２下，中间每半点钟也敲一下．一昼夜内它一共敲多少下？
【选修延伸】
【例4】已知数列的通项公式为
＝，求它的前项和．
分析：我们先看通项＝，然后将其分裂成，再求和．
【解】
点评: 如果数列的通项公式可转化为形式，常采用裂项求和的方法．特别地，当数列形如，其中是等差数列，可尝试采用此法．
常用裂项技巧如：，等．
【例5】已知数列满足，，求.
【解】
追踪训练二
1．在等差数列中，前n项的和为Sn,若Sm=2n,Sn=2m,(m、n∈N且m≠n)，则公差d的值为（ ）
A.－ B.－
C.－ D. －
2．三角形三个边长组成等差数列，周长为36，内切圆周长为6π，则此三角形是（ ）A．正三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形，但不是直角三角形
D．直角三角形，但不是等腰三角形
3．设，利用课本中推导等差数列前项和方法，求…的值为 .
4．已知数列满足，，求.
5．已知， ，求.
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教师释疑第3课时 等差数列的概念和通项公式
【分层训练】
1． 1.是数列中的第（ ）项.
A. B. C. D.
2.若数列的通项公式为，则此数列是（ ）
A.公差为的等差数列
B. 公差为的等差数列
C.首项为的等差数列
D. 公差为的等差数列
3．等差数列的一个通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
4．若是等差数列，则，，，，，是（ ）
A.一定不是等差数列
B. 一定是递增数列
C.一定是等差数列
D. 一定是递减数列
5．已知等差数列中，的等差中项为，的等差中项为，则 .
6. 如果等差数列的第项为，第项为，则此数列的第个负数项是第 项.
7. 等差数列中，，，则 .
8．若｛an｝是等差数列，a3,a10是方程x2-3x-5=0的两根，则a5+a8= .
【拓展延伸】
9．判断数，是否是等差数列:中的项，若是，是第几项？
10. 在等差数列中，
（１）已知＝31，＝76，求和ｄ；
（２）已知＋＝12，＝７，求．
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学生质疑
教师释疑2.3等比数列
第1课时
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学习要求
1.体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念；
2.类比等差数列的通项公式,探索发现等比数列的通项公式, 掌握求等比数列通项公式的方法；
3. 掌握等比数列的通项公式,并能运用公式解决一些简单的实际问题.
【自学评价】
1．等比数列：一般地，如果一个数列从__________，每一项与它的前一项的比等于________，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的_____；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）
注:⑴“从第二项起”与“前一项”之比为常数q ,｛｝成等比数列=q（,q≠0）
⑵ 隐含：任一项
⑶______________时，{an}为常数列.
2.等比数列的通项公式：
⑴ ______________________
⑵
3．既是等差又是等比数列的数列：_______．
4.等比中项的定义：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.且
5．证明数列为等比数列：
⑴定义：证明=常数；
⑵中项性质：；
【精典范例】
【例1】判断下列数列是否为等比数列：
（１）１，１，１，１，１；
（２）０，１，２，４，８；
（３）1，，，，.
【解】
【例2】求出下列等比数列中的未知项：
（１）２，ａ，８；
（２）－４，ｂ，ｃ，．
【解】
【例3】在等比数列{an}中，
（１）已知ａ１＝３，ｑ＝－２，求ａ６；
（２）已知ａ３＝20，ａ６＝160，求ａｎ．
【解】
【例4】在243和３中间插入３个数，使这５个数成等比数列．
【解】
追踪训练一
1. 求下列等比数列的公比、第５项和第ｎ项：
（1）２，６，１８，５４，…；　
（2）7，，，
（3）0.3，－0.09，0.027，－0.0081，…；
（4）5，　，，.
2. 数列m,m,m,…m, ( )
A. 一定是等比数列
B.既是等差数列又是等比数列
C.一定是等差数列，不一定是等比数列
D.既不是等差数列，又不是等比数列
3.已知数列{an}是公比q≠±1的等比数列，则在{an+an+1},{an+1－an}，{}nan这四个数列中，是等比数列的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【选修延伸】
【例5】成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数.
【解】
【例6】已知数列｛an｝满足：lgan＝3n＋5，试用定义证明｛an｝是等比数列.
【证明】
【点评】 若｛an｝是等差数列，bn＝ban可以证明数列｛bn｝为等比数列，反之若｛an｝为等比数列且an＞0，则可证明｛lgan｝为等差数列.
追踪训练二
1．在等比数列｛an｝中，a3·a4·a5＝3，a6·a7·a8＝24，则a9·a10·a11的值等于( )
A.48 B.72 C.144 D.192
2．在等比数列中，已知首项为，末项为,公比为，则项数n等于___ __.
3．已知等比数列{an}的公比q=－,则=___ ___.
4．已知数列｛an｝为等比数列，
(1)若an＞0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，
求a3＋a5.
(2)a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.
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教师释疑第14课 基本不等式的应用（2）
分层训练
1.当点(x , y)在直线x+y－4=0上移动时, 函数y=3x+3y的最小值是 （ ）
A 10 B 6
C 4 D 18
考试热点
2. 函数y=的最小值是________ .
3.若a , b∈R+, 且满足ab=a+b+3 , 则ab的取值范围是_________________
4.若关于x的方程9x+(4+a)·3x+4=0有解, 则a的取值范围为______________
5. 用一块矩形木板紧贴一墙脚围成一个直三棱柱空间堆放谷物, 已知木板的长为a , 宽为b (a>b) , 墙角的两堵墙面和地面两两互相垂直, 如何放置木板使这个空间最大
6. 半径为1的球内切于一个圆锥, 当圆锥的底面半径为多少时, 圆锥的体积最小
拓展延伸
7.某学校为了解决教职工的住房问题, 计划征用一块地盖一幢总建筑面积为A m2的宿舍楼. 已知土地的征用费用为2388元/m2, 且每层的建筑面积相同, 土地的征用面积为第一层的2.5倍, 经工程技术人员核算, 第一、二层的建筑费用相同, 同为445元/m2, 以后每增高一层, 其建筑费用就增加30元/m2, 试设计这幢宿舍楼的楼层数, 使总费用最少, 并求其最少总费用. (总费用为建筑费用和征地费用之和) .
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑第4课时
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学习要求
1．掌握用“错位相减”的方法推导等比数列的前n项和公式，掌握等比数列的前n项和公式
2．会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题
【自学评价】
1.等比数列｛an｝的前n项和为Sn
当时，_________________ ①
或________________________②
当q=1时，_____________
当已知, q, n 时用公式①；
当已知, q, 时，用公式②.
2.若数列｛an｝的前n项和Sn＝p(1－qn)，且p≠0，q≠1，则数列｛an｝是___________.
【精典范例】
【例1】在等比数列｛an｝中，
（１）已知＝－4，＝12，求；
（２）已知＝１，＝243，
＝3，求．
【解】
【例2】在等比数列｛an｝中，，求an.
【解】
点评:等比数列中五个基本量a1、q、an、n、Sn，知三可求二.
追踪训练一
1．某厂去年的产值记为１，计划在今后五年内每年的产值比上年增长１０％，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为（ ）
Ａ．　 Ｂ．
Ｃ．　Ｄ．
2．求下列等比数列的各项和：
（１）１，３，９，…，2187；
（２）１，，，，…，.
3．等比数列｛an｝的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项和是（ ）
A.179 B.211 C.243 D.275
4．若等比数列｛an｝的前n项和Sn=3n+a,则a等于（ ）
A.3 B.1 C.0 D.－1
5．已知等比数列的公比为2，若前4项和等于1，则前8项之和等于（ ）
A.15 B.17 C.19 D.21
【选修延伸】
【例3】是等比数列，是其前n项和，数列 （）是否仍成等比数列？
【解】
追踪训练二
1.在等比数列｛an｝中，Sn表示前n项和，若a3=2S2＋1，a4=2S3+1,则公比q等于（ ）
A.3 B.－3 C.－1 D.1
2.等比数列｛an｝中，a3=7,前 3项之和S3=21, 则公比q的值为（ ）
A.1 B.－
C.1或－ D.－1或
3.在公比为整数的等比数列｛an｝中，已知a1＋a4＝18，a2＋a 3＝12，那么a5＋a6＋a7＋a8等于（ ）
A.480 B.493 C.495 D.498
4.在14与之间插入n个数，使这n+2个数组成等比数列，若各项的和为,则此数列的项数为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
5.在等比数列｛an｝中，公比q=2,log2a1+log2a2+…+log2a10=25,则a1+a2+…+a10=____________.
6. 已知等比数列｛an｝的各项均为正数，Sn＝80，S2n＝6560，且在前n项中最大项为54，求此数列的公比q和项数n.
7.一个有穷等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，求这个数列的公比及项数.
听课随笔
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第7课时等差数列的前n项和（2）
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学习要求
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.
2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题
【自学评价】
1. 等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，那么数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k……(k∈N*)成等差数列，公差为k2d.
2.在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值.若a1＜0,d＞0，则Sn存在最小值.
3.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:
(1)利用:当>0，d<0，前n项和有最大值可由
≥0，且≤0，求得n的值
当<0，d>0，前n项和有最小值可由 ≤0，且≥0，求得n的值
(2)利用：由二次函数配方法求得最值时n的值
【精典范例】
【例1】已知一个等差数列的前四项和为21，末四项和为67，前项和为286，求数列的项数。
分析 条件中的8项可分为4组，每组中的两项与数列的首、尾两项等距。
【解】 ，，
。
【例2】已知两个等差数列｛an｝、｛bn｝，它们的前n项和分别是Sn、Sn′，若,求.
【解法一】 ∵2a9=a1+a17,
2b9=b1+b17,∴S17==17a9,
S17′==17b9,∴.
【解法二】 ∵｛an｝、｛bn｝是等差数列，∴可设Sn=An2+Bn,Sn′=A’n2+B′
n(A、B、A′、B′∈R),∵,
进而可设Sn=(2n2+3n)t,
Sn′=(3n2－n)t(t∈R,t≠0),∴an=Sn－Sn－1=(2n2+3n)t－［2(n－1)2+3(n－1)t］=(4n+1)t,
∴a9＝37t.
同理可得bn=Sn′－Sn－1′=(3n2－n)t－［3(n－1)2－(n－1)］t =(6n－4)t,
∴b9=50t,∴.
【例3】数列｛an｝是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负.
(1)求数列的公差.
(2)求前n项和Sn的最大值.
(3)当Sn＞0时，求n的最大值.
【解】 (1)由已知a6=a1+5d=23+5d＞0,a7=a1+6d=23+6d＜0,
解得:－＜d＜－,又d∈Z,∴d=－4
(2)∵d＜0，∴{an}是递减数列，又a6＞0，a7＜0∴当n=6时，Sn取得最大值，S6=6×23+ (－4)=78
(3)Sn=23n+ (－4)＞0，整理得： n(50－4n)＞0 ∴0＜n＜,又n∈N*,
所求n的最大值为12.
点评： 可将本题中的公差为整数的条件去掉，再考虑当n为何值时，数列{an}的前n项和取到最大值.
【例4】等差数列中，该数列的前多少项和最小？
思路1：
求出的函数解析式（n的二次函数, ），再求函数取得最小值时的n值.
思路2：
公差不为0的等差数列等差数列前n项和最小的条件为：
思路3：
由s9=s12得s12-s9=a10+a11+a12=0得a11=0.
思维点拔：
说明：根据项的值判断前 项和的最值有以下结论：
①当时，，
则最小；
②当时，，
则最大；
③当时，，
则最小；
④当时，
，
则最大
【追踪训练一】
1. 已知在等差数列｛an｝中，a1＜0，S25＝S45，若Sn最小，则n为（ B ）
A.25 B.35 C.36 D.45
2.等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项的和为（ C ）
A.130 B.170 C.210 D.260
3. 两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比，则的值是（ B ）
A． B． C． D．
4.在等差数列｛an｝中，已知a14＋a15＋a17＋a18＝82，则S31＝.
5.在等差数列{an}中，已知前4项和是1，前8项和是4，则a17+a18+a19+a20等于___9__.
6.在等差数列{an}中，an=n－,当n为何值时，前n项和Sn取得最小值？
【解法一】 由可解得6≤n≤7，可知前6项都是正数，第7项为0，因此S6=S7为Sn的最小值.
【解法二】 由an=知Sn=a1+a2+…+an==
∴当n=6或n=7时,Sn取得最小值.
【选修延伸】
【例5】 已知数列的前项和，求数列的前项和。
分析 ：由知是关于的无常数项的二次函数（），可知为等差数列，可求出，然后再判断哪些项为正，那些项为负，求出。
【解】当时，；
当，
。
时适合上式，
的通项公式为。
由，得，
即当时，；
当时，。
（1）当时，
（2）当时，
.
。
【追踪训练二】
1. 在等差数列{an}中，已知S15=90,那么a8等于（ C ）
A.3 B.4 C.6 D.12
2.在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（ B ）
A.9 B.10 C.11 D.12
3.等差数列{an}的通项公式是an=2n+1,由bn= (n∈N*)确定的数列{bn}的前n项和是（ A ）
A. n(n+5) B. n(n+4)
C. n(2n+7) D.n(n+2)
4.一个等差数列的前12项的和为354，前12项中，偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d等于___5___.
【解析】由已知，又S偶+S奇=354
∴S偶=(S偶+S奇)=192 S奇=162 d==5 【答案】5
5.已知数列｛an｝的前n项和是Sn=32n－n2,求数列｛｜an｜｝的前n项和Sn′.
【解】 ∵a1=S1=32×1－12=31,当n≥2时，an=Sn－Sn－1=33－2n,
又由an＞0，得n＜16.5,即｛an｝前16项为正，以后皆负.
∴当n≤16时，Sn′=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜=a1+a2+…+an=33n－n2.
当n＞16时，Sn′=a1+a2+…+a16－a17－a18－…－an=S16－(Sn－S16)＝2S16－Sn＝512－32n＋n2.
∴
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【师生互动】
学生质疑
教师释疑第1课 不等关系
分层训练
1．1.建筑学规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板的面积,但按采光标准, 窗户面积与地板面积的比应不小于10%,并且这个比越大, 住宅的采光条件越好,如果我们将窗户与地板同时增加相等的一个面积数,那么住宅的采光条件是变还了还是变坏了 答: .
2.已知,则与的大小关系为 .
3.某种植物适宜生长在温度为18℃~20℃的山区, 已知山区海拔每升高100m , 气温下降0.55℃, 现测得山脚下的平均气温为22℃, 该植物种在山区多高处为宜
考试热点
4.某商品进货单位为40元, 若按50元一个销售, 能卖出50个, 若销售单位每涨1元销售量就减少一个, 为了获得最大利润, 该商品的最佳售价为多少元
5.制作一个高为20cm的长方体容器, 底面矩形的长比宽多10cm , 并且容积不少于4000cm3, 问: 底面矩形的宽至少应为多少
拓展延伸
6.某化工厂制定明年某产品的生产计划, 受下面条件的制约: 生产此产品的工人数不超过200人; 每个工人年工作约计2100h , 预计此产品明年销售量至少80000袋; 每袋需用4h ; 每袋需用原料20kg ; 年底库存原料600t , 明年可补充1200t , 试根据这些数据预测明年的产量.
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑第9课时 等比数列的概念和通项公式
【分层训练】
1.在数列中，对任意，都有，则等于（ ）
　A B C D 1
2.是公比为2的等比数列，且,则等于（ ）
　 A 25　 B 50　 C 125　 D 400
3.已知依次成等比数列，那么函数的图象与轴的交点的个数为（ ）
A 0　　 B 1　　 C 2　　 D 1或2
4. 若是等差数列，公差，成等比数列，则公比为（ ）
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
5.设，那么（ ）.
　　A 既是等差数列，又是等比数列
　　B 是等差数列，但不是等比数列
　 C 是等比数列，但不是等差数列
　　D 既不是等差数列，也不是等比数列
6.在等比数列中，对任意，都有，则公比____.
7.培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第五代大约可以得到这种新品种的种子________粒（保留两个有效数字）.
8.已知数列是等比数列，，且成等差数列，求证：依次成等比数列.
【拓展延伸】
9.有四个数，前三个数成等比数列，它们的和为19，后三个数成等差数列，它们的和为12.求这四个数.
10.在数列中，其前项和，,求证数列是等比数列.
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第三章 不等式基础检测
１．下列不等式（组）中与不等式的解集相同的是 （ ）
A 　　　　　　　　　　
B
C
D
２．若，则的解集为 （ ）
A 　　　　　　
B
C D
３．已知函数，如果，且，则它的图象是 （ ）
A B
C D
４．若不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是 （ ） A B
C D
５．函数的定义域为　　　　　　　　　　　．
６．函数（的最大值为　　　　　　　　　　　．
７．关于的方程有两个异号实根，则的取值范围是　　　　　．
８．若x,y满足，则的最大值为　　　　　　　　　　　．
９．设，求证：
．
10．在锐角△ＡＢＣ中，求证：
sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC．
11．直角三角形三边之和为２，求这个三角形面积的最大值．
12．设，求函数的最大值．
选修检测
13．若关于的方程+4=0
有解，则实数的取值范围是 （ ）
A B
C D
14．设都是正数，且满足，则的最大值是 （ ）
A 50 B 2 C 1+lg2 D 1
15.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为，另一半时间的速度为，乙车用速度行走了一半路程，用速度行走了另一半路程，若，则两车到达B地的情况是 ( )
A 甲车先到达B地 B甲车先到达B地
C 同时到达 D不能判断
16．实数 满足，
那么的最大值为（ ）
A 　　 　 B
C 　　　D
17．若且，则的最小值是 。
18．不等式的解集为 　　．
19．关于的不等式的解集为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．
20．已知，，则的取值范围为　　　　　　　　　．
21．关于的不等式的解集为A, 关于的不等式的解集为B,若,求实数的取值范围.
22．某家具厂有方木料90,五合板600，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.1，五合板２，生产每个书橱需要方木料0.2，五合板1，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，如果只安排生产书桌，可获利润多少元？只安排生产书橱，可获利润多少元？怎样安排生产可使所获得的利润最大？
学生质疑
教师释疑
23．解关于的不等式　　
24．已知二次函数对一切都有，证明：对一切都有．
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0第2课时
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学习要求
1．进一步理解数列概念，了解数列的分类；
2．理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列；
3．了解递推数列的概念；
【自学评价】
1．数列的一般形式：________________，或简记为_____，其中是数列的第___项。
2．数列的分类：
按的增减分类：
（1）___________：，总有；
（2）___________：，总有；
(3)_____________ ，
有，也有，
例如；
（4）________：，；
（5）____________：存在正整数使；
（6）____________：对任意正整数总存在使．
3．递推数列：如果已知数列的前一项（或前几项），且任意一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，则这个数列叫递推数列，这个公式叫这个数列的递推公式．递推公式是给出数列的一种重要方式．
【精典范例】
【例1】写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）
（3）9，99，999，9999
【解】
【例2】已知数列｛an｝的递推公式是
an＋2＝3an＋1－2an，且a1＝1，a2＝3，求数列的前5项，并推测数列｛an｝的通项公式.
【解】
【例3】设，其中为数列的前项和，已知数列的前项和，求该数列的通项公式。
分析：由于与的关系是因而已知求时，常用的解题策略是先求再将用表示，但由于=只能求出数列的第二项及以后各项，故特别要注意验证的情形是否满足=，若满足，则是关于的一个式子，否则写成分段函数的形式．
【解】
【追踪训练一】
1．已知an+1=an+3，则数列{an}是（ ）
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.摆动数列
2．已知数列{an}满足a1＞0，且an+1=an,则数列{an}是 （　 ）
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.摆动数列
3．数列1，3，6，10，15，……的递推公式是（　 ）
A.
B.
C.
D.
4．设凸n边形的对角线条数为f(n),则f(3)=______;f(n+1)=______用f(n)表示.
【选修延伸】
【例4】已知数列的通项为
,问:
(1).数列中有多少项为负数？
(2).为何值时,有最小值？并求此最小值．
分析：数列的通项公式可看成，利用二次函数的性质解决问题．
【解】
点评:数列的项与项数之间构成特殊的函数关系，用函数的有关知识解决问题时，要考虑定义域为正整数这一约束条件．
【追踪训练二】
1.已知数列{an}的首项a1=1,且
an=2an－1+1(n≥2),则a5为（　 ）
A.7 B.15 C.30 D.31
2.数列｛－2n2+29n+3｝中最大项的值是（　 ）
A.107　　B.108　　C.108　 D.109
3.若数列{an}满足a1=,an=1－,n≥2，n∈N*,则a2003等于（　 ）
A. 　B.－1 　C.2 　　D.1
4.已知数列{an}的递推公式为n∈N*,那么数列{an}的通项公式为______.
项数
数列
数列定义
项
数列有关概念
数列与函数的关系
数列通项公式
通项
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教师释疑第12课时 不等式的证明方法
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学习要求
1.初步学会不等式证明的三种常用方法：比较法，综合法，分析法。
2.了解不等式证明的另三种方法：反证法，换元法，放缩法.
【课堂互动】
自学评价
1.比较法：　利用不等式两边差的正负来　　　　　　　　　　　
证明不等式的方法． ．
２．综合法：　利用某些已证不等式或不等式的性质来证明不等式的方法．　
３．分析法：　利用不断寻找欲证式的充分条件来证明不等式的方法．
【精典范例】
例１．（１）已知且，求证：
（２）已知，求证：
（３）已知，求证：
（４）已知，求证：【解】
（１）比较法：
左－右＝．
比较法
（２）综合法：
由
把上面三个式子相乘即得所证式．
（３）分析法：
欲证原式，只需证：
即证：
此式显然成立．故原式得证．
（４）左＝＋＋
＝＝右．
思维点拔：
１．比较法证题步骤：作差―――变形――――判断．
２．综合法证题模式：Ａ（已知）Ｂ（结论）
３．分析法证题模式：Ｂ （结论）Ａ（已知）
追踪训练一
１．已知且，求证：．
２．已知且，求证：
３．求证：
略证：（１）比较法．
（２）综合法．
（３）分析法．
例２.（１）已知求证：不能都大于．
（２）已知，求证：
（３）求证：
证明：（１）反证法．
（２）三角换元法．
（３）放缩法．
其中（3）为：
左=
=
右．
思维点拨
１．反证法证题的步骤是：（１）假设．（２）归谬．（３）否定假设，肯定原结论．
２．遇到平方和的形式可采用三角换元法．
３．通常通过增或舍去正，负项实现放缩，注意放缩要适度．
追踪训练二
１．用反证法证明：若且，求证：．
易证．
２．已知，求证：
三角换元法易证．
３．求证：
放缩法易证．
听课随笔
比较法
综合法
分析法
不等式的证明方法
反证法
换元法
放缩法
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教师释疑
听课随笔第2课时
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学习要求
1. 理解最值定理的使用条件：
一正二定三相等．
2. 运用基本不等式求解函数最值问题．
【课堂互动】
自学评价
最值定理：
若x、y都是正数，
(1)如果积xy是定值P , 那么当且仅当x=y时, 和x+y有最小值　　　　　．.
(2)如果和x+y是定值S , 那么当且仅当x=y时, 积xy有最大值　　　　　．
２．最值定理中隐含三个条件：　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　．
【精典范例】
例1．(1).已知函数y=x+(x>－2), 求此函数的最小值.
(2)已知x<, 求y=4x－1+的最大值;
(3)已知x>0 , y>0 , 且5x+7y=20 , 求xy的最大值;
(4)已知x , y∈R+ 且x+2y=1 , 求的最小值.
【解】
例2. 错在哪里
（１）求y=(x∈R)的最小值.
解∵y=
∴ y的最小值为2 .
.（２）已知x , y∈R+ 且x+４y=1，求
　的最小值．
法一：由１＝得
所以．
所以原式最小值为８．
法二：由（当且仅当x=y时等号成立）．于是有得x=y=0.2．所以的最小值为5+5=10.
思维点拔：
１．利用基本不等式求最值问题时，一定要交代等号何时成立，只有等号成立了，才能求最值，否则要用其它方法了．而在证明不等式时，不必要交代等号何时成立．
２．例2是常见典型错误，它违背了最值定理使用前提：“一正二定三相等”中的后两条。
追踪训练一
求函数y=4x2+的最小值；
已知x<0 , 求y=的最大值；
已知x , y∈R+, 且+=1 , 求x+y的最小值;
已知x>-2 , 求y=的最大值；
已知x>1 ,0【选修延伸】
利用函数单调性求函数最值.
例3:求函数的最小值.
　
思维点拔：
利用基本不等式求解时,等号不能成立,故改用函数单调性求解.
追踪训练二
求函数的最小值.
学习札记
基本不等式
内容
证明
最值定理
使用条件：
一正二定三相等
作用：求最值
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
学习札记第11课时 等比数列的概念和通项公式
【分层训练】
1．已知公差不为0的等差数列的第4，7，16项恰好是某等比数列的第4，6，8项，那么该等比数列的公比是 （ ）
A． B． C．± D．±
2．已知数列满足
，
则=( )
A．0 B．
C． D．
3．在等差数列{an}与等比数列{bn}中，下列结论正确的是 （ ）
A．a1 + a9 = a10，b1·b9 = b10
B．a1 + a9 = a3 + a6，b1 + b9 = b3 + b6
C．a1 + a9 = a4 + a6，b1·b9 = b3·b6
D．a1 + a9 = 2a5，b1·b9 = 2b5
4．某单位某年12月份产量是同年1月份产值的m倍，那么该单位此年的月平均增长率是（ ）
A． B．
C． D．
5．若方程与的四个实数根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则∶的值为________;
6. 若{an}是等比数列，有a3+a5= – 132，a2a6 = 512，则a7 =_____________;
7. 数列{an}的前n项和Sn满足log2(Sn + 1) = n + 1, 则an =___________;
8. 制造某种产品，预计经过两年使成本降低36%，则平均每年应降低成本的百分比为 ____ .
【拓展延伸】
9．等比数列中，已知，，求.
10. 已知数列{an}，an∈N*，Sn =.
（1）求证：{an}是等差数列；
（2）若b1 =1，b2 =4，{bn}前n项和为Bn，且Bn+1 =（a n+1 – a n + 1）Bn +（a n – a n+1）Bn –1（n≥2）.求{bn}通项公式.
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第2章 数列
【知识结构】
【重点难点】
重点：数列及其通项公式的定义；数列的前n项和与通项公式的关系及其求法；
难点：正确运用数列的递推公式求数列的通项公式；对用递推公式求出的数列的讨论；等差等比数列的应用和性质。
第1课 数列的概念及其通项公式
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学习要求
1．理解数列概念，了解数列的分类；
2．理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列；
3．理解数列的通项公式的概念，并会用通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出它的一个通项公式；
4．提高观察、抽象的能力．
【自学评价】
1．数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做叫做数列(sequence of number).
【注意】⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
思考:简述数列与数集的区别.
数列强调数列中的项是有顺序的，数列中的项可以是相等的，与数集中的无序性和互异性是不同的.
2．数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项(term). 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….
3．数列的分类：
按项分类：有穷数列（项数有限）；无穷数列（项数无限）；
4．数列的通项公式：如果数列的第项与 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式（the formula of general term）.
注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列1，1.4，1.41， 1.414，…；
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是
，
也可以是.
⑶数列通项公式的作用：
①求数列中任意一项；
②检验某数是否是该数列中的一项
5. 数列的图像都是一群孤立的点.
从映射、函数的观点来看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式，因此，数列也可根据其通项公式画出其对应图象．
6．数列的表示形式：列举法，通项公式法和图象法
【精典范例】
已知数列的第ｎ项an 为２ｎ－１，写出这个数列的首项、第２项和第３项．
【解】
首项为ａ１＝２×１－１＝１；
第２项为ａ２＝２×２－１＝３；
第３项为ａ３＝２×３－１＝５?
【例2】根据下面数列的通项公式，写出它的前5项，并作出它的图象：
【解】（1）
(2)
【例3】写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1），-， ，-.
（2）0, 2, 0, 2
分析：写出数列的通项公式，就是寻找与项数的对应关系
【解】(1) 这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式是：
(2) 这个数列的奇数项为0，偶数项为2，所以它的一个通项公式是：
点评:(1)将数列的整数部分和分数部分进行分别处理,然后再整体合并;
(2) 将数列进行整体变形以便能呈现出与序号相关且便于表达的关系.
【追踪训练一】
1．下列解析式中不是数列1，-1，1，-1，1，-1…，的通项公式的是 （ A ）
A. B.
C. D.
2．数列的一个通项公式是 （ B ）
A. B.
C. D.
3．数列的一个通项公式为.
【选修延伸】
【例3】在数列{an}中，a1=2,a17=66，通项公式是项数n的一次函数.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)88是否是数列{an}中的项.
【解】 (1)设an=An+B,由a1=2,a17=66
得
∴an=4n－2
(2)令an=88,即4n－2=88得n=N*
∴88不是数列{an}中的项.
思维点拔:已知数列的通项，怎样判断一个含有参数的代数式是否为数列中的项？
例如：已知数列的通项为，判断是否为数列中的项？
提示：可把化成通项公式的形式，即，因为，所以满足通项公式的意义，所以是数列中的第项．
【追踪训练二】
1．已知数列，，那么是这个数列的第 （ B ）项.
A. B. C. D.
2．数列，是一个函数，则它的定义域为 （ ）
A. 非负整数集 B. 正整数集
C. 正整数集或其子集
D. 正整数集或
3．已知数列，，则 29 .
数 列
定 义
应 用
通项公式
数列求和
等差数列
等比数列
定义
通项公式
等差（比）数列
前n项和公式
性质
听课随笔
项数
数列
数列定义
项
数列有关概念
数列与函数的关系
数列通项公式
通项
听课随笔
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第4课时等差数列的概念和通项公式
【学习导航】
知识网络
学习要求
体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，理解等差数列的概念；
掌握“叠加法”求等差数列通项公式的方法，掌握等差数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题；
【自学评价】
1．等差数列的通项公式：
①普通式：；
②推广式：；
③变式：；
；；
注：等差数列通项公式的特征：等差数列的通项公式为关于项数n的次数不高于一次的多项式函数即an=An+B(若{an}为常数列时,A=0).
2．等差数列的单调性：由等差数列的定义知an+1－an=d,
当d＞0时an+1＞an即{an}为递增数列；
当d=0时，an+1=an即{an}为常数列；
当d＜0时，an+1＜an即{an}为递减数列.
注：等差数列不会是摆动数列.
【精典范例】
【例1】第一届现代奥运会于1986年在希腊雅典举行，此后每４年举行一次．奥运会如因故不能举行，届数照算．
（１）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；
（２）2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？
【解】
（１）由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以１８９６为首项，４为公差的等差数列．这个数列的通项公式为
aｎ＝１８９６＋４（ｎ－１）　　　　
＝１８９２＋４ｎ　（ｎ∈Ｎ?）．
（２）假设aｎ＝２００８，由２００８＝１８９２＋４ｎ，得ｎ＝２９．假设aｎ＝２０５０，２０５０＝１８９２＋４ｎ无正整数解．
答　所求通项公式为aｎ＝１８９２＋４ｎ　（ｎ∈Ｎ?），2008年北京奥运会是第29届奥运会，2050年不举行奥运会．
【例2】在等差数列｛ａｎ｝中，
已知a３＝１０，a９＝２８，求a１２．
【解】
a１２＝４＋（１２－１）×３＝３７
【例3】某滑轮组由直径成等差数列的６个滑轮组成．已知最小和最大的滑轮的直径分别为１５ｃｍ和２５ｃｍ，求中间四个滑轮的直径．
【解】用｛ａｎ｝表示滑轮的直径所构成的等差数列，且ａ１＝１５，ａ６＝２５．由等差数列的通项公式，得
ａ６＝ａ１＋（６－１）ｄ，
即２５＝１５＋５ｄ，解得ｄ＝２．
由此得ａ２＝１７，ａ３＝１９，ａ４＝２１，ａ５＝２３．
答　中间四个滑轮的直径顺次为１７ｃｍ，１９ｃｍ，２１ｃｍ，２３ｃｍ．
【追踪训练一】：
1．已知｛an｝是等差数列，a7+a13=20，则a9+a10+a11=（ ）
A.36 B.30 C.24 D.18
2.等差数列中，的等差中项为，的等差中项为，则 .
３．诺沃尔（Ｋｎｏｗａｌｌ）在１７４０年发现了一颗彗星，并推算出在１８２３年、１９０６年、１９８９年……人们都可以看到这颗彗星，即彗星每隔８３年出现一次．
（１）从发现那次算起，彗星第８次出现是在哪一年？
（２）你认为这颗彗星在２５００年会出现吗？为什么？
【答案】（1）彗星第８次出现是在2321年
（2）不会
４．全国统一鞋号中，成年男鞋有１４种尺码，其中最小的尺码是２３．５ｃｍ，各相邻两个尺码都相差０．５ｃｍ，其中最大的尺码是多少？
【答案】30cm
５．一个等差数列的第４０项等于第２０项与第３０项的和，且公差是－１０，试求首项和第１０项．
【答案】
【选修延伸】
【例4】等差数列｛an｝中，a1=23，公差d为整数，若a6>0,a7<0.
（1）求公差d的值;
（2）求通项an.
【解】
（1）d=-4;（2）an=-4n+27
【例5】甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明:从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡．乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．
请您根据提供的信息说明：
⑴第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；
⑵到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是
缩小了？请说明理由；
⑶哪一年的规模最大？请说明理由．
【解】
【答案】
(1) 第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只
(2) 到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了 (3) 第2年的规模最大
【追踪训练二】：
1.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是 （ D ）
A.d＞ B.d＜3 C. ≤d＜3 D.＜d≤3
2.在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8等于（ C ）
A.45 B.75 C.180 D.300
3.如果等差数列{an}的第5项为5，第10项为－5，那么此数列的第一个负数项是第__8_项.
4.已知等差数列的第10项为23，第25项为－22，则此数列的通项公式为an＝－3n＋53_.
5.已知数列{an}满足an+12=an2+4，且a1=1,an＞0，求an.
【解】 由an+12=a2n+4即an+12－an2=4∴数列{an2}构成等差数列.an2=a12+(n－1)d=12+(n－1)·4=4n－3
又an＞0∴an=
8.若x≠y，两个数列：x，a1，a2，a3，y和x，b1，b2，b3，b4，y都是等差数列，求的值.
【解】 设两个等差数列的公差分别为d1、d2，即求，由已知得
即 解得，
即
听课随笔
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第4课时
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．学会建立一元二次不等式及二次函数模型解决实际问题
2．体会由实际问题建立数学模型的过程和方法
【课堂互动】
精典范例
例1．用一根长为100m的绳子能围成一个面积大于600m2的矩形吗 当长、宽分别为多少米时, 所围成矩形的面积最大
【解】
例２. 某小型服装厂生产一种风衣, 日销货量x件与货价P元/件之间的关系为P=160－2x , 生产x件所需成本为C=500+30x元. 问: 该厂日产量多大时, 日获利不少于1300元？
例3：汽车在行驶中, 由于惯性的作用, 刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住, 我们称这段距离为“刹车距离”, 刹车距离是分析事故的一个重要因素.
在一个限速为40km / h的弯道上 , 甲、乙两辆汽车相向而行 , 发现情况不对 , 同时刹车, 但还是相碰了, 事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m , 乙车的刹车距离略超过10m , 又知甲、乙两种车型的刹车距离s ( m )与车速x ( km / h )之间分别有如下关系 : s甲= 0.1x+0.01x2, s乙=0.05x+0.005x2, 问甲、乙两车有无超速现象
【解】
思维点拔：
解应用题的步骤：
1．审题
2．解题（设，列，解，答）
3．回顾（变量范围与实际情况要一致）
追踪训练
1．制作一个高为20cm的长方体容器，其底面矩形的长比宽多10cm，并且容器的容积不得少于4000，则底面矩形的宽至少应为　　　　　　　　　㎝．
２．某工厂的三年产值的年增长率情况依次为：第一年至少为a%,第二年至少为b%,第三年至少为c%,则这三年的年平均增长率至少为 　　　　 ．
３．某渔业分司年初用98万元购买一艘捕鱼船, 第一年各种费用12万元, 以后每年都增加4万元, 每年捕鱼收益50万元.
(1)问第几年开始获利
(2)若干年后, 有两种处理方案: ①年平均获利最大时, 以26万元出售该渔船; ②总纯收入获利最大时, 以8万元出售该渔船, 问哪种方案最合算
(提供公式: a>0 , x>0时, x+≥2(当且仅当x=时取等号)
【选修延伸】
分段函数模型
某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元, 但每生产100台时又需可变成本0.25万元, 市场对此商品的年需求量为500台, 销售收入函数为R(x)=5x－x2 (万元) (0≤x≤5). 其中x是产品售出的数量(单位: 百台)
(1)把利润表示为年产量的函数;
(2)年产量为多少时, 企业所得的利润最大
(3)年产量为多少时, 企业才不亏本
思维点拔：
不要忽视对x>5的讨论，故建立的是一个分段函数的模型。
学习札记
建立一元二次不等式模型
实际问题
解一元二次不等式模型
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
学习札记高二上学期期中考试
数 学 试 卷
一、填空题答案：
1． D 2． 3 4． 5．84 6． 7． 8 . 9． 3 10． 2 11． 12． 13． 14． (1) 、(2) 、 (3) 。
二、解答题：
17．已知是等差数列，其前n项和为，已知（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前10项和.
解：（1）由得：即解得
所以。
（2）设，得，因为，所以
所以
18． 已知、、分别是的三个内角、、所对的边
(1) 若面积求、的值；
(2)若，且，试判断的形状．
解：（1），，得 ，
由余弦定理得：，
所以 。
（2）由余弦定理得：，
所以 ；
在中，，所以 ，
所以是等腰直角三角形。
19．某小区要建一个面积为500平方米的矩形绿地，四周有小路，绿地长边外路宽5米，短边外路宽9米，怎样设计绿地的长与宽，使绿地和小路所占的总面积最小，并求出最小值。
解：设绿地长边为米，宽为米。
总面积
当且仅当即时，上式取等号。
所以，绿地的长为30米，宽为米时，绿地和小路所占的总面积最小，最小值为1280平方米。
20．已知等差数列的首项，公差，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列的第二项、第三项、第四项。
（1）求数列、的通项公式；
（2）设数列对任意正整数都有，求数列的通项公式。
解：（1）由题意得（a1+d）(a1+13d)=(a1+4d)2(d>0)
即（2+d）(2+13d)=(2+4d)2, 解得d=4.
,
,.
（2）因为对任意正整数都有:①
所以当时, ②
①-②得: ,
,
又当n=1时，,所以
所以,.
21． 已知、为正数，求证：
（1）若，则对于任何大于1的正数，恒有成立；
（2）若对于任何大于1的正数，恒有成立，则。
证明：（1）
，即成立。
（2）设。因为对于任何大于1的正数，恒有成立。
所以，。
。
当且仅当，即时取等号。
故
所以即。
密 ★ 封 ★ 线第5课时一元二次不等式应用题
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．学会建立一元二次不等式及二次函数模型解决实际问题
2．体会由实际问题建立数学模型的过程和方法
【课堂互动】
精典范例
例1．用一根长为100m的绳子能围成一个面积大于600m2的矩形吗 当长、宽分别为多少米时, 所围成矩形的面积最大
【解】
见书．
例２. 某小型服装厂生产一种风衣, 日销货量x件与货价P元/件之间的关系为P=160－2x , 生产x件所需成本为C=500+30x元. 问: 该厂日产量多大时, 日获利不少于1300元？
见书．
例3：汽车在行驶中, 由于惯性的作用, 刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住, 我们称这段距离为“刹车距离”, 刹车距离是分析事故的一个重要因素.
在一个限速为40km / h的弯道上 , 甲、乙两辆汽车相向而行 , 发现情况不对 , 同时刹车, 但还是相碰了, 事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m , 乙车的刹车距离略超过10m , 又知甲、乙两种车型的刹车距离s ( m )与车速x ( km / h )之间分别有如下关系 : s甲= 0.1x+0.01x2, s乙=0.05x+0.005x2, 问甲、乙两车有无超速现象
【解】
见书．
思维点拔：
解应用题的步骤：
1．审题
2．解题（设，列，解，答）
3．回顾（变量范围与实际情况要一致）
追踪训练
1．制作一个高为20cm的长方体容器，其底面矩形的长比宽多10cm，并且容器的容积不得少于4000，则底面矩形的宽至少应为　　　10　　　　　　㎝．
２．某工厂的三年产值的年增长率情况依次为：第一年至少为a%,第二年至少为b%,第三年至少为c%,则这三年的年平均增长率至少为 ．
３．某渔业分司年初用98万元购买一艘捕鱼船, 第一年各种费用12万元, 以后每年都增加4万元, 每年捕鱼收益50万元.
(1)问第几年开始获利
(2)若干年后, 有两种处理方案: ①年平均获利最大时, 以26万元出售该渔船; ②总纯收入获利最大时, 以8万元出售该渔船, 问哪种方案最合算
(提供公式: a>0 , x>0时, x+≥2(当且仅当x=时取等号)
略解:（１）设第n年开始获利,则可得到：,解后知第３年开始获利．
（２）方案一：７年净获利110元．
方案二：10年净获利110元．
故方案一最合算．
【选修延伸】
分段函数模型
某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元, 但每生产100台时又需可变成本0.25万元, 市场对此商品的年需求量为500台, 销售收入函数为R(x)=5x－x2 (万元) (0≤x≤5). 其中x是产品售出的数量(单位: 百台)
(1)把利润表示为年产量的函数;
(2)年产量为多少时, 企业所得的利润最大
(3)年产量为多少时, 企业才不亏本
略解：（１）设利润为，则
（２）当且仅当时，的最大值为万元．
（３）由，解得
即
答：略．
思维点拔：
不要忽视对x>5的讨论，故建立的是一个分段函数的模型。
听课随笔
建立一元二次不等式模型
实际问题
解一元二次不等式模型
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第4课时 余弦定理（1）
知识网络
三角形中的向量关系→余弦定理
学习要求
掌握余弦定理及其证明；
体会向量的工具性；
能初步运用余弦定理解斜三角形．
【课堂互动】
自学评价
1．余弦定理：
(1)，，.
(2) 变形：，，
2．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：
（１）已知三边，求三个角；
（２）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
【精典范例】
【例1】在中，
（1）已知，，，求；
（2）已知，，，求（精确到）．
【解】（1）由余弦定理，得，
所以 ．
（2）由余弦定理，得，
所以，．
点评: 利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（１）已知三边，求三个角；（２）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
【例2】两地之间隔着一个水塘，现选择另一点，测得
，求两地之间的距离（精确到）．
【解】由余弦定理，得
所以，
答 两地之间的距离约为．
【例3】用余弦定理证明：在中，当为锐角时，；当为钝角时，．
【证】当为锐角时，，由余弦定理，得，
即 ．
同理可证，当为钝角时，
点评:余弦定理可以看做是勾股定理的推广．
追踪训练一
１．在△ＡＢＣ中，
（１）已知Ａ＝６０°，ｂ＝４，ｃ＝７，
求a；
（２）已知a＝７，ｂ＝５，ｃ＝３，求Ａ．
略解：（1）a
略解：（2）
２．若三条线段的长为５，６，７，则用这三条线段（　Ｂ　）　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．能组成直角三角形
Ｂ．能组成锐角三角形
Ｃ．能组成钝角三角形　
Ｄ．不能组成三角形
３．在△ＡＢＣ中，已知，试求∠Ｃ的大小．
略解：
４．两游艇自某地同时出发，一艇以１０ｋｍ／ｈ的速度向正北行驶，另一艇以７ｋｍ／ｈ的速度向北偏东４５°的方向行驶，问：经过４０ｍｉｎ，两艇相距多远？
略解：两艇相距4.71km
【选修延伸】
【例4】在△ABC中，=，=，且，是方程的两根，。
求角C的度数；
求的长；
（3）求△ABC的面积。
解：(1)
（2）因为，是方程的两根，所以
（3）
【例5】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，，，证明：
。
证明：由余弦定理知：
，
则
，
整理得:
，
又由正弦定理得:
， ，
追踪训练二
1．在△ABC中，已知，，B=，则 （ B ）
A 2 B
C D
2．在△ABC中，已知AB=5，AC=6，BC=，则A= （ A ）
A B C D
3．在△ABC中，若，，C=，则此三角形有 一 解。
提示：由余弦定理得：
负值不合题意，舍去。
△ABC中，若，
则A= 。
听课随笔
听课随笔
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第15课时 不等式复习课
一、【学习导航】
知识网络
学习要求
1．温故本章内容，使知识系统化，条理化．分清重点，明确难点，再现注意点，达到巩固与知新的效果。
2.体会分类讨论，等价转化，数形结合，函数方程四种数学思想的应用.
【课堂互动】
自学评价
1.不等式组的解集为 （1，2）∪(4,5) ．
2.已知，则的最大值为 　　　14　　　　　　 ．
3.已知，，则的最小值为　　15　　　　　．
4.已知,则下列四个平均数:,,,的大小关系为≤≤≤.
【精典范例】
例1：解关于的不等式：
【解】,
,
，
,
,
例2：设，关于的一元二次方程有两个实根且，求的取值范围．
【解】设
则
解出
例３. 某工厂生产Ａ，Ｂ两种产品，已知生产１千克Ａ产品要用煤９吨，电力４千瓦时，劳动力３个，创造利润７万元，生产１千克Ｂ产品要用煤４吨，电力５千瓦时，劳动力１０个，创造利润１２万元，在这种条件下，应该生产Ａ，Ｂ两种产品各多少千克，才能使所创造的总的经济价值最高？
答案：容易解得当x=20,y=24时，目标函数z=7x+12y取得最大值428万元。
例4数列由下列条件确定：，当时，求证：
（１）　　　（２）
证明：（1）先说明，然后用基本不等式易证．
（2）作差比较法易证．
例5.要使不等式对所有正数都成立，求的最小值．
解：可解出：
令u=.
则
（当且仅当时取等号）
所以当时，的最大值为，所以，所以的最小值为．
本章总结回顾：
1．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，会用函数思想来研究方程和不等式．
２．二元一次不等式(组)表示平面区域与线性规划问题是数形结合思想的运用。画平面区域是线性规划的基础，常用选点法定侧，注意边界是否在区域内。解线性规划应用题时要注意规范解题，写全解题步骤。
３．利用基本不等式求最值或证明不等式，运用时往往需作适当的变形，创造条件应用基本不等式，常用变换技巧是“拆添项”“配凑因子”和“平方”等。应用基本不等式求最值时，要注意考虑三要素，即“一正二定三相等”。
【选修延伸】
柯西不等式
内容：
≥．
证明：设
．
当＝０，即
时，柯西不等式显然成立．
当≠０，即
＞０时，
由于
恒成立．
于是,　　化简变形即得
≥．
【精典范例】
已知，且，求证：
证明：由
＝
而得，代入上式并变形知原式成立．
追踪训练
已知，且，求证：
证明略．类似于范例的证明．
听课随笔
与另两个＂二次＂的关系
听课随笔
不等式的解法
一元二次不等式
不等式的应用
表示的平面区域
二次不等式组
不等式组
不等关系
线性规划
证明不等式
求函数最值
基本不等式
实际应用
听课随笔
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第8课时正、余弦定理的应用（2）
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．利用正弦定理和余弦定理解决有关测量问题时，要注意分清仰角、俯角、张角和方位角等概念。
2. 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过这些三角形，得出实际问题的解。
【课堂互动】
自学评价
运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤是：
①分析：理解题意，弄清清与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；
②建模：根据书籍条件与求解目标，把书籍量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；
③求解：利用正弦定理、余弦定理理解这些三角形，求得数学模型的解；
④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。
【精典范例】
【例1】作用在同一点的三个力平衡.已知，，与之间的夹角是，求的大小与方向（精确到）.
【解】应和合力平衡，所以和在同一直线上，
并且大小相等，方向相反.
如图1-3-3，在中，由余弦定理，得
再由正弦定理，得
，
所以，从而.
答 为，与之间的夹角是.
【例2】半圆的直径为，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.问：点在什么位置时，四边形面积最大？
分析：四边形的面积由点的位置唯一确定，而点由唯一确定，因此可设，再用的三角函数来表示四边形的面积.
【解】设.在中，由余弦定理，得.
于是，四边形的面积为
.
因为，所以当时，，即时，四边形的面积最大.
追踪训练一
1. 如图，用两根绳子牵引重为Ｆ１＝１００Ｎ的物体，两根绳子拉力分别为Ｆ２，Ｆ３，保持平衡．如果Ｆ２＝８０Ｎ，Ｆ２与Ｆ３夹角α＝１３５°．
（１）求Ｆ３的大小（精确到１Ｎ）；
（２）求Ｆ３与Ｆ１的夹角β的值
（精确到０.１°）．
答案：（１）
（２）
2. 从２００ｍ高的电视塔顶Ａ测得地面上某两点Ｂ，Ｃ的俯角分别为３０°和
４５°，∠ＢＡＣ＝４５°，求这两个点之间的距离．
答案：
3．在△ABC中，若，B=450，△ABC的面积为2，那么，△ABC的外接圆直径为
【选修延伸】
【例3】中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，
求最大角的余弦值；
② 求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.
【解】①设三边， 且，
∵为钝角，
∴，
解得，
∵， ∴或，但时不能构成三角形应舍去，
当时，；
②设夹角的两边为，，
所以，，当时，．
追踪训练二
1．我国潜艇外出执行任务，在向正东方向航行时，测得某国的雷达站在潜艇的东偏北300方向的100n mile处，已知该国的雷达扫描半径为70n mile，若我国潜艇不改变航向，则行驶多少路程后会有暴露目标？（ B ）
A 50 B
C D
2．在△ABC中，若，则与的大小关系是 （ A ）
A 大于 B 大于等于
C 小于 D 小于等于
解：
3．两艘快艇在水面上一前一后前进，后一艘快艇的速度是前一艘的两倍，前一艘快艇突然向与原前进方向成300角行驶，若后一快艇需想在最短的时间内赶上前艇，则它行驶的方向应与原方向的夹角为
听课随笔
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第2课时 正弦定理（2）
【学习导航】
知识网络
正弦定理→测量问题中的应用
学习要求
1．正弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；
2．学会用计算器，计算三角形中数据。
【课堂互动】
自学评价
1．正弦定理：在△ABC中，,
变形：（1），，
（2），，
2．三角形的面积公式：
（1）==
（2）s=
（3）
【精典范例】
如图，某登山队在山脚Ａ处测得山顶Ｂ的仰角为３５°，沿倾斜角为２０°的斜坡前进１０００ｍ后到达Ｄ处，又测得山顶的仰角为６５°，求山的高度ＢＣ（精确到１ｍ）．
分析：要求ＢＣ，只要求ＡＢ，为此考虑
解△ＡＢＤ．
【解】
过点Ｄ 作ＤＥ ∥ＡＣ 交ＢＣ 于Ｅ，因为 ∠ＤＡＣ ＝２０°，所以∠ＡＤＥ＝１６０°，于是∠ＡＤＢ＝３６０°－１６０°－６５°＝１３５°．又∠ＢＡＤ＝３５°－２０°＝１５°，所以∠ＡＢＤ＝３０°．
在△ＡＢＤ中，由正弦定理，得（ｍ）．
在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＢＣ＝ＡＢｓｉｎ３５°＝１000ｓｉｎ３５°≈８１１（ｍ）．
答　山的高度约为８１１ｍ．
【例2】在埃及，有许多金字塔形的王陵，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了，考古人员在研究中测得一座金字塔的横截面如图（顶部已经坍塌了），∠A=，∠B=，AB=120m，如何求得它的高？
（）
分析：本题可以转化成：（1）解三角形，确定顶点C；
（2）求三角形的高。
【解】
（1）先分别沿A、B延长断边，确定交点C，∠C=1800-∠A-∠B，用正弦定理算出AC或BC；
（2）设高为h，则
【例3】一座拦水坝的横断面为梯形，如图所示，求拦水坝的横断面面积。（请用计算器解答，精确到）
【解】
连接BD，设∠BDC=，则由正弦定理知
，即
，从而有
，
，由
于，即
，
而梯形的高
所以有
注：本题也可以构造直角三角形来解，过C作CE⊥AB于E，过D作DF⊥AB于F即可。
【例4】已知、、是△ABC中∠A、
∠B、∠C的对边，是△ABC的面积，若=4，=5，=，求的长度。
【解】
由三角形的面积公式得：
，
追踪训练一
1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是 ( D )
A.10海里 B.海里
C. 5海里? D.5海里
2．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长( A )
A. 1公里 B. sin10°公里
C. cos10°公里 D. cos20°公里
3．如图：在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100m后，又从点B测得斜度为45，假设建筑物高50m，求此山对于地平面的斜度
【解】在△ABC中，AB = 100m , CAB = 15, ACB = 4515 = 30
由正弦定理： ∴BC = 200sin15
在△DBC中，CD = 50m , CBD = 45, CDB = 90 +
由正弦定理：cos =,
∴ = 4294
【选修延伸】
【例5】在湖面上高h处，测得云彩仰角为，而湖中云彩影的俯角为，求云彩高.
【解】C、C’关于点B对称，设云高CE = x，
则CD = x h，C’D = x + h，
在Rt△ACD中，
在Rt△AC’D中，,
∴
解得 .
追踪训练二
1．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°， 另一灯塔在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时 ( C )
A.5海里? B.5海里
C.10海里? D.10海里
2．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离与第二辆车与第三辆车的距离d2之间的关系为 ( C )
A. B.
C. D. 不能确定大小
听课随笔
听课随笔
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第7课 二元一次不等式组表示的平面区域
分层训练
1.不等式组 表示的平面区域是一个 ( )
A.三角形 B.直角梯形
C.梯形 D.矩形
2.如图所示表示区域的不等式是 ( )
A. y≤x
B. |y|≤|x|
C. x(y－x)≤0
D. y(y－x)≤0
3.二元一次不等式组 表示的平面区域内整点坐标为_____________ .
考试热点
4.不等式 表示的平面区域的面积为____________ .
5.画出下列不等式组所表示的平面区域
(1)
(2)
根据下列条件求的值：（1）直线的斜率为1；（2）直线经过定点．
拓展延伸
6.用不等式组表示下列各图中阴影区域
(1)
（2）
（3）
（4）
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑
y
x
O
x
y
x+y=0
x-y=0
O
O
y
x
2x+y=6
x+2y=5
y=2
y
x
O
x-y=-2
x-y=2
x+y=6
x+y=2
y
x
O
C(3,0)
A(1,3)
(-1,0)
B第12课时 等比数列的
前n项和(1)
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．掌握用“错位相减”的方法推导等比数列的前n项和公式，掌握等比数列的前n项和公式
2．会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题
【自学评价】
1.等比数列｛an｝的前n项和为Sn
当时， ①
或 ②
当q=1时，
当已知, q, n 时用公式①；
当已知, q, 时，用公式②.
2.若数列｛an｝的前n项和Sn＝p(1－qn)，且p≠0，q≠1，则数列｛an｝是等比数列.
【精典范例】
【例1】在等比数列｛an｝中，
（１）已知＝－4，＝12，求；
（２）已知＝１，＝243，
＝3，求．
【解】
（1）根据等比数列的前ｎ项和公式，得
（2）根据等比数列的前ｎ项和公式，得
【例2】在等比数列｛an｝中，，求an.
【解】若ｑ＝１，则Ｓ６＝２Ｓ３，这与已知是矛盾的，所以ｑ≠１．从而
将上面两个等式的两边分别相除，得
所以ｑ＝２，由此可得，因此
点评:等比数列中五个基本量a1、q、an、n、Sn，知三可求二.
【例3】在等比数列｛an｝中，a1+an=66,a2·an－1=128,且前n项和Sn=126,求n及公比q.
【解】 ∵a1an=a2an－1=128,又a1+an=66,
∴a1、an是方程x2－66x+128=0的两根，
解方程得x1=2,x2=64,
∴a1=2,an=64或a1=64,an=2,显然q≠1.
若a1=2,an=64,由=126
得2－64q=126－126q,
∴q=2,
由an=a1qn－1得2n－1=32,
∴n=6.
若a1=64,an=2,同理可求得q=,n=6.
综上所述，n的值为6，公比q=2或.
点评:等比数列中五个基本量a1、q、an、n、Sn，知三可求二，列方程组是求解的常用方法.解本题的关键是利用a1an＝a2an－1，进而求出a1、an，要注意a1、an是两组解.
追踪训练一
1．某厂去年的产值记为１，计划在今后五年内每年的产值比上年增长１０％，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为（Ｃ）．
Ａ．　 Ｂ．
Ｃ．　Ｄ．
2．求下列等比数列的各项和：
（１）１，３，９，…，2187；
（２）１，，，，…，.
【答案】（1）3280；（2）
3．等比数列｛an｝的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项和是（ B ）
A.179 B.211 C.243 D.275
4．若等比数列｛an｝的前n项之和Sn=3n+a,则a等于（ D ）
A.3 B.1 C.0 D.－1
5．已知等比数列的公比为2，若前4项之和等于1，则前8项之和等于（ B ）
A.15 B.17 C.19 D.21
【选修延伸】
【例4】是等比数列，是其前n项和，数列 （）是否仍成等比数列？
【解】
设首项是，公比为q,
①当q=－1且k为偶数时，不是等比数列.
∵此时， =0.
例如：数列1,－1,1,－1,…是公比为－1的等比数列，S2=0,
②当q≠－1或k为奇数时，
＝
＝
＝
（）成等比数列
追踪训练二
1.在等比数列｛an｝中，Sn表示前n项和，若a3=2S2＋1，a4=2S3+1,则公比q等于（ A ）
A.3 B.－3 C.－1 D.1
2.等比数列｛an｝中，a3=7,前 3项之和S3=21, 则公比q的值为（ C ）
A.1 B.－
C.1或－ D.－1或
3.在公比为整数的等比数列｛an｝中，已知a1＋a4＝18，a2＋a 3＝12，那么a5＋a6＋a7＋a8等于（ A ）
A.480 B.493 C.495 D.498
4.在14与之间插入n个数，使这n+2个数组成等比数列，若各项的和为,则此数列的项数为（ B ）
A.4 B.5 C.6 D.7
5.在等比数列｛an｝中，公比q=2,log2a1+log2a2+…+log2a10=25,则a1+a2+…+a10=.
6. 已知等比数列｛an｝的各项均为正数，Sn＝80，S2n＝6560，且在前n项中最大项为54，求此数列的公比q和项数n.
【解】 由S2n≠2Sn知，q≠1
②÷①得：1＋qn＝82，即qn＝81 ③
∴q＞1 则a1qn－1＝54 ④
③÷④得:，即a1＝q ⑤
将③、⑤代入①得q＝3
∴n＝4
7.一个有穷等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，求这个数列的公比及项数.
【解】 设此数列的公比为q,项数为2n.
由题意得：
q=2,2n=8
故此数列的公比为2，项数为8.
听课随笔
听课随笔
根据已知
①
②
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第3课时 正弦定理（3）
知识网络
学习要求
1．掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形；
2．熟记正弦定理及其变形形式；
3．判断△ＡＢＣ的形状.
【课堂互动】
自学评价
1．正弦定理：在△ABC中，,
为的外接圆的半径
2．三角形的面积公式：
（1）s===
（2）s=
（3）s=
【精典范例】
【例1】在△ＡＢＣ中，已知＝＝，试判断△ＡＢＣ的形状．
【解】令＝ｋ，由正弦定理，得
代入已知条件，得＝＝　　，即tanＡ＝tanＢ＝tanＣ．
又Ａ，Ｂ，Ｃ∈ （０，π），
所以Ａ＝Ｂ＝Ｃ，从而△ＡＢＣ为正三角形．
点评: 　通过正弦定理，可以实现边角互化．
【例2】在△ＡＢＣ中，ＡＤ是∠ＢＡＣ的平分线，用正弦定理证明＝．
【证】　设∠ＢＡＤ＝α，∠ＢＤＡ＝β，则∠ＣＡＤ＝α，∠ＣＤＡ＝１８０°－β．在△ＡＢＤ和△ＡＣＤ中分别运用正弦定理，得＝，＝．又ｓｉｎ（１８０°－β）＝ｓｉｎβ，所以＝，即＝．
【例3】根据下列条件，判断有没有解？若有解，判断解的个数．
（1），，，求；
（2），，，求；
（3），，，求；
（4），，，求；
（5），，，求．
【解】（1）∵，∴只能是锐角，因此仅有一解．
（2）∵，∴只能是锐角，因此仅有一解．
（3）由于为锐角，而，即，因此仅有一解．
（4）由于为锐角，而，即，因此有两解，易解得．
（5）由于为锐角，又，即，
∴无解．
追踪训练一
1. 在△ABC中，已知b = 6，c = 10，B = 30°，则解此三角形的结果是 （　C　 ）
A.无解 B.一解
C.两解 D.解的个数不能确定
2. 在△ABC中，若，则等于（ D ）
A． B．
C． D．
3. 在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ D ）
A．直角三角形 B．等腰或直角三角形
C．不能确定 D．等腰三角形
【选修延伸】
【例4】如图所示，在等边三角形中，为三角形的中心，过的直线交于，交于，
求的最大值和最小值．
【解】由于为正三角形的中心，∴，
，设，则，
在中，由正弦定理得：，
∴，在中，由正弦定理得：，∴，
∵，∴，故当时取得最大值，
所以，当时，此时取得最小值．
追踪训练二
1.在中，，则 ( D )
A． B．
C． D．
2.在中，若，且，则 4 ， 5 ，
6 ．
3.已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶∶2，则A∶B∶C等于(　A )
A．1∶2∶3 B．2∶3∶1 C．1∶3∶2 D．3∶1∶2
4.如图，△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为( C )
A.75° B.60° C.50° D.45
5．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(1-2k)∶3k(k≠0)，则k的取值范围为 ( B　)
A．(2，＋∞) B．(，)
C． D．
6．在△ABC中，
证明：.
证明：
由正弦定理得：
听课随笔
听课随笔
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第7课时二元一次不等式组表示的平面区域
【学习导航】
知识网络
学习要求
1.理解二元一次不等式组表示平面区域的含义，并能准确地作出二元一次不等式组表示的平面区域，还能处理一些逆向问题．
2.学会解决一些简单的整点问题．
【课堂互动】
自学评价
不等式组表示的平面区域　各不等式表示平面区域的公共部分．　.
整点：　坐标都是整数的点　.
【精典范例】
例1．画出下列不等式组所表示的区域
(1)
(2)
【解】
图略（见书）．
例2.如图, △ABC三个顶点A(0 , 4) , B(－2 , 0) , C(2 , 0) , 求△ABC内任一点(x , y)所满足的条件.
见书．
思维点拔：
1.二元一次不等式组表示平面区域的画图步骤：画线(注意虚线还是实线)，定侧，求交．
2.由平面区域写不等式组，一要注意是否有等号，二要注意不要少写不等式．
追踪训练
1. 画出下列不等式组所表示的区域
(1)
(2)
(3)(x-y+1)(x+2y-2)>0
图略．
2.如图所示阴影部分可用二元一次不等式组表示 ( Ｃ )
A.
B.
C.
D.
例3利用平面区域求不等式组 的整数解.
解：法一：画区域后作网格线而知其解为（１，－２），（２，０），（２，－１），（３，－１）．
法二：画区域后求最左最右边界点的横坐标得，故整数x=0,1,2,3.将x=0,1,2,3分别代人原不等式组求出整数y即可．（以下略）．
思维点拔：
方法一：(1)画区域(2)求交点(3)通过定x的范围来确定整数x(4)再通过x的整数值来定y的整数值．
方法二：(1)画区域(2)打网格线(3)特殊点验证．
追踪训练
在坐标平面上, 不等式组所表示的平面区域内整数点个数为 (Ｄ)
A.１ B. ２
C. ３ 　 D. ４
听课随笔
作作平面区域步骤
含义
二元一次不等式(组)表示的平面区域
整点问题
逆向问题
y
x
A
4
B
C
2
-2
O
y
x
2
-1
-2
y=-2
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
听课随笔第２课 一元二次不等式（１）
分层训练
1.不等式(x+5)(3－2x)≥6的解集是　　( )
A. {x|x≤－1或x≥} B. {x|－1≤x≤}
C. {x|x≤－或x≥1} D. {x|－≤x≤1}
2.设集合A={x|x2－6x+8<0} , B={x|4－x≥1}, 则A∩B等于 ( )
A.{x|2≤x≤3} B. {x|－4C. {x|3≤x<4} D.
3.不等式x2≤1的解集为_______________ .
4.不等式1+2x+x2≤0的解集为
__________________ .
5.不等式－x2－2x+8≥0的解集为
____________________ .
6.不等式(x2－x－2)(1+x2)≤0的解集为
_________________ .
7.已知a<0，且方程ax2+bx+c=0的两实数根是－2 , 3 , 那么关于x的二次不等式ax2+bx+c>0的解集是_______________ .
考试热点
8.解下列不等式
(1) －6x2－x2+2<0
(2) 1－4x2>4x+2
(3) x(x+2)(4) (x－2)(x+2)>1
拓展延伸
9.求下列函数的定义域
(1)y=lg(x2－3x+2)
(2) y=
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑第13课时 等比数列的
前n项和(2)
【分层训练】
1．设成等比数列，其公比为2，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
2．数列3，5，9，17，33，…的通项公式等于（ ）
A． B．
C． D．
3．数列的通项公式是，若前n项的和为10，则项数n为（ ）
A．11 B．99 C．120 D．121
4．已知实数满足，那么实数是（ ）
A．等差非等比数列
B．等比非等差数列
C．既是等比又是等差数列
D．既非等差又非等比数列
5．若成等比数列，则关于x的方程（ ）
A．必有两个不等实根
B．必有两个相等实根
C．必无实根
D．以上三种情况均有可能
6. 数列中，，则
7. .在等比数列中，,,前n项和为，则满足的最小自然数n的值是 .
【拓展延伸】
8. 在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.
9．求数列的前n项和：，…
10．求数列
的前n项和.
【师生互动】
学生质疑
教师释疑高二上学期期中考试数 学 试 卷
一、填空题： （每题5分，计70分）
1．不等式表示的平面区域（阴影部分）为 。
2．已知数列满足， ，则此数列的通项等于 。
3．已知，则的最小值为 。
4．在△ABC中，如果，那么cosC等于 。　　　
5．已知的各项均为正数的等比数列，首项，前三项和为21，则= 。
6．等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且，则= 。
7．数列{an}的通项公式是a n =(n∈N*)，若前n项的和为，则项数为 。
8． 小明到文具店想购买2支钢笔或3支圆珠笔，现知6支钢笔和3支圆珠笔的价格之和大于24元，而4支钢笔和5支圆珠笔的价格之和小于22元，若设2支钢笔的价格为元，3支圆珠笔的价格为元，则 a于b的大小关系是 。
9．在等差数列中，，那么_______.
10．设等比数列前三项分别为则
11．如图所示,为圆内接四边形,若∠,
∠,则线段 。
12．图中的平面区域（阴影部分）用不等式组表示为 。
13．各项为正数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值是 。
14．给出下列三个命题
（1）若0（2）若sin2A＋sin2B＝sin2C，则△ABC一定是直角三角形；
（3）若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)＝1，则△ABC一定是等边三角形
以上正确命题的序号是： 。
二、解答题：（共90分）
15．已知是等差数列，其前n项和为，已知（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前10项和.
16． 已知、、分别是的三个内角、、所对的边
(1) 若面积求、的值；
(2)若，且，试判断的形状．
17．某小区要建一个面积为500平方米的矩形绿地，四周有小路，绿地长边外路宽5米，短边外路宽9米，怎样设计绿地的长与宽，使绿地和小路所占的总面积最小，并求出最小值。
18．已知等差数列的首项，公差，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列的第二项、第三项、第四项。
（1）求数列、的通项公式；
（2）设数列对任意正整数都有，求数列的通项公式。
19． 已知、为正数，求证：
（1）若，则对于任何大于1的正数，恒有成立；
（2）若对于任何大于1的正数，恒有成立，则。
班级 姓名 学号
密 ★ 封 ★ 线
A B C D
（ 14题 ）
（ 13题 ）第6课时二元一次不等式表示的平面区域
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学习要求
了解二元一次不等式的几何意义，会作出二元一次不等式表示的平面区域．
由二元一次不等式表示的平面区域能写出对应的不等式
进一步体会数形结合的思想方法，开拓数学视野．
【课堂互动】
自学评价
二元一次方程表示的图形　一条直线　　　
２．二元一次不等式表示平面区域的含义：　　　　
二元一次不等式解对应点构成的图形．
3.不等式x+y-1>0表示的平面区域：是直线x+y-1=0右上方的平面区域．
【精典范例】
例1．画出下列不等式所表示的平面区域
(1)y>－2x+1
(2)x－y+2>0
(3)y≤－2x+3
【解】
略．
例2. 已知P(x0 , y0)与点A(1 , 2)在直线l : 3x+2y－8=0两侧, 则 ( Ｃ )
A. 3x0+2y0>0
B. 3x0+2y0<0
C. 3x0+2y0>8
D. 3x0+2y0<8
思维点拔：
1.画平面区域的步骤：
先画不等式对应的方程所表示的直线（包括直线时，把直线画成实线，不包括直线时，把直线画成虚线）简称＂画线＂．
再通过选点法判定在直线的哪一侧．选点法中所选点常常为(0,0),(1,0)或(0,1)等，简称＂定侧＂
2.规律揭示
(1)直线y=kx+b把平面分成两个区域：y>kx+b表示直线上方的平面区域；
y＜kx+b表示直线下方的平面区域．
(2)对于Ａx+Ｂy+Ｃ＞０（或＜０）表示的区域：
当B>0时，Ａx+Ｂy+Ｃ＞０表示直线Ａx+Ｂy+Ｃ＝０上方的平面区域；
当B>0时，Ａx+Ｂy+Ｃ＜０表示直线Ａx+Ｂy+Ｃ＝０下方的平面区域．
追踪训练
1．判断下列命题是否正确
点(0,0)在平面区域x+y≥0内　 (是)
点(0,0)在平面区域x+y+1<0内 （否）
点(1,0)在平面区域y>2x内 （否）
点(0,1)在平面区域x-y+1>0内　（否）
2.不等式x+4y-9≥0表示直线 x+4y-9=0　　　　　　　 （　Ｃ）
A.上方的平面区域　
B. 下方的平面区域
C. 上方的平面区域(包括直线)
D. 下方的平面区域(包括直线)
３．用＂上方＂或＂下方＂填空
若Ｂ＜０，不等式Ａx+Ｂy＋Ｃ＞０表示的区域在直线Ａx+Ｂy＋Ｃ＝０的　下方　；
不等式Ａx+Ｂy＋Ｃ＜０表示的区域在直线Ａx+Ｂy＋Ｃ＝０的　上方　　．
4.画出下列不等式表示的平面区域
(1)y≤x-1　　　　　 (2)y<0
(3)3x-2y+6>0　　　　(4)x>2
图略．
5.已知两个点Ａ(-3，-1)和Ｂ(4，-6)分布在直线-3x+2y+a=0的两侧，则a的取值范围为 （－７，２４）　　　　　 ．
例２.将下列各图中的平面区域(阴影部分)用不等式表示出来. (图(1)中不包括y轴)
(1) (2)
(3)
解：（１）
（２）
（３）
思维点拔：
有关画平面区域的逆向问题．需要注意如下两方面问题：　(1)注意边界是虚线还是实线以确定不等式是否有＂＝＂．(2)选点法或用结论定侧，以确定不等式中的符号方向．
追踪训练
将下列各图中的平面区域(阴影部分)用不等式表示出来. (图(1)中不包括y轴)
(1)
(2)
(3)
　　　　解：（１）
　　　　　　（２）
（３）
听课随笔
作平面区域步骤
含义
二元一次不等式表示的平面区域
逆向问题
定侧方法
y
x
O
6x+5y=22
y
O
x
y
x
O
y=x
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
听课随笔
x
-1
y
1
y
x
2x+y=0
O
y
x- y-2=0
O
x2.2 等差数列
第1课时
【学习导航】
知识网络
学习要求
体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，理解等差数列的概念；
掌握“叠加法”求等差数列通项公式的方法，掌握等差数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题；
【自学评价】
1．等差数列：一般地，如果一个数列从____________，每一项与它前一项的差等于_____________，这个数列就叫做等差数列
（arithmetic progression），这个常数就叫做
_____________（common difference），常用字母“d”表示。
⑴公差d一定是由______________，而不能用前项减后项来求；
⑵对于数列{},若－=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，d 为公差
2．等差数列的通项公式_______________；
3．如果a,A，b成等差数列，那么A叫做a与b的____________；且__________.
【精典范例】
【例1】根据等差数列的概念，判断下列数列是否是等差数列；
（1）1，1，1，1，1，1
（2）4，7，10，13，16
（3）-3，-2，-1，0，1，2，3
【解】
思考：如果一个数列的通项公式为，其中都是常数，那么这个数列一定是等差数列吗？
__________
【例2】求出下列等差数列中的未知项：
（１）３，ａ，５；
（２）３，ｂ，ｃ，－９．
【解】
【例3】
（1）求等差数列8，5，2…的第20项？
（2）401是不是等差数列5，9，13，…的项？如果是，是第几项？
【解】
【追踪训练一】：
１．判断下列数列是否为等差数列：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１）－１，－１，－１，－１，－１；
（２）１，１２，１３，１４；
（３）１，０，１，０，１，０；
（４）２，４，６，８，１０，１２；
（５）７，１２，１７，２２，２７．
２．目前男子举重比赛共有１０个级别，除108公斤以上级外，其余的９个级别从小到大依次为（单位：ｋｇ）54，59，64，70，76，83，91，99，108，这个数列是等差数列吗？
３．已知下列数列是等差数列，试在括号内填上适当的数：
（１）（　），５，１０；
（２）１，，（　）；
（３）３１，（　），（　），１０．
4．已知数列是等差数列，求未知项的值。
【解】
【选修延伸】
【例4】在等差数列中，已知，，求
分析： 先根据两个独立的条件解出两个量a1和d，进而再写出an的表达式.几个独立的条件就可以解出几个未知量，这是方程组的重要应用.
【解法一】：
思考：在此题中，有，思考，能否不求首项，而将求出？
【解法二】：
思维点拔：
等差数列的通项公式涉及到四个量a1、an、n、d，用方程的观点知三求一。列方程组求基本量是解决等差数列问题的常用方法，注意通项公式更一般的形式：
【例5】若，则成等差数列。
【证明】
思维点拔：
当已知a、b、c成等差数列时，通常采用2b=a+c作为解决问题的出发点.
【追踪训练二】：
1.数列｛an｝的通项公式an＝2n＋5，则此数列（ ）
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为5的等差数列
C.是首项为5的等差数列
D.是公差为n的等差数列
2.等差数列{an}中，a2=－5,d=3，则a1为（ ）
A.－9 B.－8 C.－7 D.－4
3.已知等差数列{an}的前3项依次为a－1,a+1,2a+3，则此数列的通项an为（ ）
A.2n－5 B.2n－3
C.2n－1 D.2n+1
4.在等差数列{an}中，若a3=50,a5=30，则a7=______.
5.在－1和8之间插入两个数a,b，使这四个数成等差数列，则a=______,b=______.
6.已知数列{an}中a3=2,a7=1，又数列{}为等差数列，则a11等于（ ）
A.0 B. C. D.－1
听课随笔
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第8课时等差数列的前n项和（3）
【分层训练】
1．设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，
若＝，则为（ ）
A． B. C. D.
2．从前个正偶数的和中减去前个正奇数的和，其差为（ ）
A. B. C. D.
3.已知等差数列，，那么这个数列的前项和（ ）
A.有最小值且是整数
B. 有最小值且是分数
C. 有最大值且是整数
D. 有最大值且是分数
4．等差数列的前项的和为，前项的和为，则它的前项的和为( )
A. B. C. D.
5．在等差数列中，，，若数列的前项和为，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 等差数列{an}的前10项中，项数为奇数的各项之和为125，项数为偶数的各项之和为15，则首项a1＝_____，公差d＝_____.
7. 在等差数列{an}中，已知a1+a3+a5=18，an-4+an-2+an=108，Sn=420，则n=_________.
8. 一物体从1960ｍ的高空落到地面，如果第１秒降落4.90ｍ，以后每秒比前一秒多降落9.80ｍ,那么经过________秒落到地面.
【拓展延伸】
9．已知等差数列的首项为2，前10项的和为15.
（Ⅰ）记为的前项和，问有无最大值，若有指出是前几项的和，若没有说明理由；
（Ⅱ）记
求的最大值.
10. 观察： １
１＋２＋１
１＋２＋３＋２＋１
１＋２＋３＋４＋３＋２＋１……
（１）第100行是多少个数的和？这些数的和是多少？
（２）计算第ｎ行的值．
【师生互动】
学生质疑
教师释疑复习课
学习要求
掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形；
能利用计算器解决三角形的计算问题。
【课堂互动】
自学评价
1．正弦定理：
(1)形式一：= 2R ；
形式二：；；；（角到边的转换）
形式三：，，；（边到角的转换）
形式四：；（求三角形的面积）
(2)解决以下两类问题：
1）、已知两角和任一边，求其他两边和一角；（唯一解）
2）、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。
(3)若给出那么解的个数为：(A为锐角)
若，则_________；
若，则_________；
若，则__________；
2．余弦定理：
(1)形式一：，，
形式二：，，，（角到边的转换）
(2)解决以下两类问题：
1）、已知三边，求三个角；（唯一解）
2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）
【精典范例】
一、判定三角形的形状
【例1】根据下列条件判断三角形ABC的形状：
a2tanB=b2tanA；
b2sin2C + c2sin2B=2bccosBcosC;
(3)(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1.
【解】
二、三角形中的求角或求边长问题
【例2】△ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=，分别在边AB、BC、CA上取点D、E、F，使△DEF是等边三角形.设∠FEC=α，问sinα为何值时，△DEF的边长最短？并求出最短边的长。
分析：要求最短边的长，需建立边长关于角α的目标函数。
【解】
注：在三角形中，已知两角一边求其它边，自然应联想到正弦定理。
【例3】在△ABC中，已知sinB=,
cosA=, 试求cosC的值。
【解】
【例4】在△ABC中，已知边上的中线BD=，求sinA的值.
分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.
【解】
【例5】在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，且.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求bc的最大值.
【解】
三、解平面几何问题
【例6】已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积。
【解】
注：在应用正弦定理解题时要注意方程思想的运
追踪训练一
1. △ABC中a=6,b=6 A=30°则边C=（ ）
A、6 B、、12 C、6或12 D、6
2. △ABC中若sin(A+B) ，则△ABC是（ ）
A 锐角三角形 B 直角三角形
C 钝角三角形 D 等腰三角形
3. △ABC中若面积S=
则C=（ ）
A B C D
4.△ABC中已知∠A=60°，AB =AC=8：5，面积为10，则其周长为 ;
5.△ABC中A：B：C=1：2：3,
则a：b：c= .
【选修延伸】
四、解实际应用问题
【例7】某观测站C在A城的南偏西20°方向，由A城出发有一条公路定向是南偏东40°，由C处测得距C为31km的公路上B处有1人沿公路向A城以v=5km/h的速度走了4h后到达D处，此时测得C、D间距离为21km。问这人以v的速度至少还要走多少h才能到达A城。
【解】
五、证明三角恒等式
【例8】在△ABC中，
求证： + +=0.
【证明】
追踪训练二
1．△ABC中若面积sinA·cosB－sinB=sinC－sinA·cosC 且周长为12，则其面积最大
值为 ;
2．△ABC中已知sin(A+B)+sin(A+B)=,
cos(A+B)+cos(A+B)= 求角A和B
【解】
3．△ABC中已知∠A=30°cosB=2sinB－
①求证：△ABC是等腰三角形
②设D是△ABC外接圆直径BE与AC的交点,且AB=2 求：的值
【解】
学习札记
学习札记
学习札记
学习札记
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第5课时
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．进一步会用基本不等式解决简单的最大（小）值的实际问题。
2.通过对实际问题的研究，进一步体会数学建模的思想。
3．进一步开拓视野，认识数学的科学价值和人文价值．
【课堂互动】
自学评价
1.设x>0时, y=3－3x－的最大值为______________
2.已知a>b>c , n∈N*, 且, 则n的最大值为__________ .
3.已知x>0且x1, y>0且y1 , 则logyx+logxy的取值范围是______
【精典范例】
例１．过点(1 , 2)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点, 当△AOB的面积最小时, 求直线l的方程
【解】
例２．如图(见书P93) , 一份印刷品的排版面积(矩形)为A , 它的两边都留有宽为a的空白, 顶部和底部都留有宽为b的空白, 如何选择纸张的尺寸, 才能使纸的用量最小
选修延伸：
先建立目标函数，然后创造条件利用基本不等式求解。
追踪训练
1.某汽车运输公司,购买一批豪华大客车投人客运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y万元与营运年数n(n的关系为
y=－n2+12n－25,则每辆客车营运( )年,使其营运年平均利润最大.
A 3 B 4 C 5 D 6
2. 过第一象限内点P(a , b)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点, 当取最小值时, 求直线l的方程.
3.汽车行驶中, 由于惯性作用, 刹车后还要向前滑行一段距离才能停住, 我们把这段距离叫做“刹车距离”, 在某公路上, “刹车距离”S (米)与汽车车速v (米/秒)之间有经验公式: S=+, 为保证安全行驶, 要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加25米, 现假设行驶在这条公路上的汽车在平均车身长5米, 每辆车均以相同的速度v行驶, 并且每两辆之间的间隔均是“安全距离”.
(1)试写出经过观测点A的每辆车之间的时间间隔T与速度v函数关系式;
(2)问v为多少时, 经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大
学习札记
实际问题
数学建模
利用基本不等式
求最值
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
学习札记第12课 不等式的证明方法
分层训练
1．求证：
２．已知，求证：
３．若求证：
４．已知且，求证：
５．已知且不全相等，求证：
考试热点
６．已知，且，求证：
７．已知且，求证：
８．已知且
，求证：中至少有一个小于１．
拓展延伸
９．已知数列且，求证：
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑第2课时
【学习导航】
知识网络
学习要求
1.进一步体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念，
2. 掌握等比数列的通项公式,并能运用公式解决一些简单的实际问题.
【自学评价】
1．如果an≠0，且an+12=anan+2对任意的n∈N*都成立，则数列{an}___________.
2．等比数列的递增和递减性.
在等比数列{an}中
(1)若a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1则数列递增，
(2)若a1＞0,0＜q＜1,或a1＜0，q＞1 ,则数列递减；
(3)若q=1，则数列为_____________；
(4)若q＜0，则数列为____________.
3．对于k、l、m、n∈N*，若，则_________________；
【选修延伸】
【例1】（１）在等比数列{an}中，是否有a2n＝an-1 an+1（ｎ≥２）？
（２）如果数列{an}中，对于任意的正整数ｎ（ｎ≥２），都有a2n＝an-1 an+1，那么，{an}一定是等比数列吗？
【解】
【例2】如图，一个边长为１的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（２），如此继续下去，得图（３）……试求第ｎ个图形的边长和周长．
【解】
追踪训练一
１．三个数成等比数列，它们的积等于２７，它们的平方和等于９１，求这三个数．
２．如图，在边长为１的等边三角形ＡＢＣ中，连结各边中点得△Ａ１Ｂ１Ｃ１，再连结△Ａ１Ｂ１Ｃ１各边中点得△Ａ２Ｂ２Ｃ２……如此继续下去，试证明数列Ｓ△ＡＢＣ，
Ｓ△Ａ１Ｂ１Ｃ１，Ｓ△Ａ２Ｂ２Ｃ２，…是等比数列．
3．在等比数列{an}中，如果a6=6,a9=9，那么a3等于( )
A.4 B. C. D.2
4.等比数列{an}的公比为2，则的值为( )
A. B. C. D.1
【选修延伸】
【例3】数列满足，
⑴求证是等比数列；
⑵求数列的通项公式。
【解】
【例4】在等比数列｛an｝中，
已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，
且公比为整数，求a10.
【解】
【点评】 充分地利用等比数列的性质，灵活地使用等比数列的通项公式，能使解题的过程简捷明快.
追踪训练二
1．已知等比数列中a3=－4,a6=54,
则a9=______________.
2．将20，50，100这三个数加上相同的常数，使它们成为等比数列，则其公比是_____
3．在等比数列{an}中各项都是正数，a6a10+a3a5=41，a4a8=4,则a4+a8=______.
4．在和n+1之间插入n个正数，使这n+2个数依次成等比数列，求所插入的n个数之积.
5．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a1a5－2a3a5+a3a7=36，a2a4+2a2a6+a4a6=100，求数列的通项公式.
听课随笔
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑不等式课时练习参考答案
第1课时 不等关系
1．采光条件变好了．
２．＞．
３．设该植物适宜的种植高度为x米，则18.进而有.
4.设商品销售单价为x元,利润为y元,则(505.设底面矩形宽至少为xcm,则长为x+10(cm),于是有,进而有．
6.设明年的产量为x袋,则进而有8000090000.
第2课时 一元二次不等式(1)
1．D．
2．A．
3．［－1，1］．
4．｛－1｝．
5．［－4，2］．
6．［－1，2］．
7．(－2,3）．
8(1)．．(2)．φ.　 (3)..(4) ．
9(1)．．(2) ［－3，4］．
第3课时 一元二次不等式(2)
1.D
2..
3.
4..
5.
6.
7. ;.
8. (1)当即或时,解集为
(2)当即时,解集为
(3)当即或时,解集为.
9.由条件知:m,n是方程ax2+bx+c=0的两根,则进而有
又因m0变成amnx2+a(m+n)x+a>0,解得
第4课时 一元二次不等式(3)
1.C
2.C
3.A
4.：(－4)：3.
5.
6.
7.
8.(1)解集为{x|x或x} (2)解集为{x|x>1 }.
9.由解得k或k
10.解原式等价于
(1)当即或时,解集为
(2) 当即或时,解集为
(3). 当即时,解集为.
第5课时 一元二次不等式应用题
1. 41.4%
2.
3. 1
4.由(100-10R)×70%112,解得.
5.(1)设下调后的电价为x元/千瓦时,椐题意知,用电量增至,电力部门的收益为 (0.550.75).
(2) 椐题意有解得0.60.75.
6.设S=,则20=k×2500a,所以,于是,进而得
解出 .答:最大车速为23 km/h.
第6课时 二元一次不等式表示的平面区域
1．A
2．Ｄ
3．Ｃ
４．Ａ
５．（－３，２）
６．上方；下方．
７．(1)直线左上方,边界为虚线.(2) 直线左下方,边界为实线(3) 直线右下方,边界为实线.(4)直线右下方. 边界为虚线.(图略).
８．（１） （2）（3）
第7课时 二元一次不等式组表示的平面区域
1.C
2.D
3.(－1,－1)
4.
5.(1)一个四边形.(2)一个五边形.(图略)
6.(1) (2) (3) (4)
第8课时　简单的线性规划问题
1．Ａ
２．Ｃ
３．Ｃ
４．24.
５．18.
６．18.
７． 11; 7.
８．(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).
９．先作平面区域,再设,平移之过A(0,2),得z取最小值2. 平移之过B(2,2),得z取最大值6.
第9课时　线性规划应用题
１．
２．略解：设厂方每天每天生产甲、乙两种饮料分别为xL,yL,则约束条件为　　，利润目标函数为，画出可行域（略），当直线平移后过与的交点（2000，1000）时，取得最大值10000。答每天每天生产甲、乙两种饮料分别为2000L,1000L时，获利最大．
３．略解：设安排x艘轮船,y架飞机,则约束条件为　　，总数目标函数为，画出可行域（略），根据线性规划知识解得当时， 取得最小值７．答略．
第10课时 基本不等式的证明(1)
１．Ｂ
２．Ｃ
３．左＝右．
４．左＝右．
５．（１）略（２）左＝右．（等号当且仅当时取等号．这此时不存在），所以左＞右．
６．左＝＝右
７．左＝＝右
８．左＝＝右．
第11课时 基本不等式的证明(2)
１．Ｄ
２．(1)12. (2)
３．5.
４．
５．当时,取得最小值2.
６．值域为.
７．(当时等号成立),所以最小值为8.
８．(当时等号成立),所以最大值为1.
９．由条件解出，因此当时，有的最小值为．
第12课时 不等式的证明方法
１．略
２．略
３．略
４．略(要交代等号不能成立)
５．略(要交代等号不能成立)
６．由于
=3,所以.
７．令,则左=+=+
==右.
８．反证法:假设中均大于等于１,于是可设则.再由条件,可得
=5,显然这两等式矛盾.
９．由,得=
.又由,易证得
第13课时 基本不等式的应用（1）
１．D
２．9
３．
４．正方形
５．,.
６．设使用第n年报废最合算,记n年的总费用为y千元,则y=100+9n+(2+4+6+2n)=100
+10n+,所以平均费用为S=(当n=10时等号成立).答使用10年最合算.
７．当时,最大电功率是.
８．(1)投入1万元广告费后可销售2万件产品,所以得k=3,.于是年利润年销售收入－年成本－年广告费=+－－=().(2)可化(时取等号),所以当年广告费为5万元时, 年利润最大, 最大年利润是26.5万元.
第14课时 基本不等式的应用(2)
１．D
２．3
３．
４．
５．(设角求解).使木版与两墙面所成角都为时,空间最大.
６．(设角求解).当圆锥的底面半径为时, 圆锥的体积最小(最小值为).
７．设楼高n层,总费用为y元,则征地面积为.征地费用为元.故楼层建筑费用为(445+445+(445+30)+(445+60)+(445+()×30))·=元.所以
元.(当且仅当n=20时等号成立).答:当楼高为20层时,总费用最少,为1000A元.
第15课时 不等式复习课
１．C
２．C
３．A
４．C
５．1.
６．
７．
８．.
９．左==右.
10．利用线性规划知识可解得:.
11．左==右.第６课 二元一次不等式表示的平面区域
分层训练
1.点(1,1)在下面各不等式表示的哪个区域中
　 ( )
A B
C D
２.不在3x+2y<6表示的平面区域内的点是
( )
A. (0 , 0) 　 B. (1 , 1)
C. (0 , 2) D. (2 , 0)
３.不等式x－2y+6>0表示的平面区域在直线x－2y+6=0的 　 ( )
A.右上方 B. 左上方
C. 右下方 D. 左下方
４．原点和点(1,1)在直线的同侧，则的取值范围是　　　　　　（　　）
A 或 B 或
C D
考试热点
５.已知直线l: x－y+a=0, 点P1(1 , －2) , P2(3 , 5)分别位于直线l的两侧, 则a的取值范围_____________ .
６.若B>0 时, 不等式Ax+By+C>0表示的区域是直线Ax+By+C=0的__________ , 若B<0时，不等式Ax+By+C>0表示的区域是直线Ax+By+C=0的__________ ．（填＂上方＂或＂下方＂）．
７.画出下列不等式表示的平面区域
(1)y>2x－3 (2)y≤－x+2 (3)3x－2y+6≥0 (4) x>y+1
拓展延伸
８.将下列各图中平面区域(阴影部分)用不等式表示出来.：
(1) (2)
(3)
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑
y
x
2x+y=0
y
x
-2
O
O
y
x
x-y-2=0
O第13课时 等比数列的
前n项和(2)
【学习导航】
知识网络
学习要求
1. 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式；
2. 了解杂数列求和基本思想，解决简单的杂数列求和问题。
【自学评价】
1．常见的数列的前n项的和：
（１）=_____________
　　即 =______________
（2）
（3）
2． 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列．若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即能分别求和，然后再合并这种方法叫做___________．
3．错位相减法：适用于{}的前项和，其中是等差数列， 是等比数列；
4．裂项法：求的前项和时，若能将拆分为=－，则
5．倒序相加法
6.在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，
【精典范例】
【例1】求数列，，，．．．的前n项和.
分析：这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和，因此可以分组求和法．
【解】
【例2】设数列为,,
求此数列前项的和.
分析：这个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的积，因此可以用错项相减法．
【解】
追踪训练一
求和
2．求和
3．若数列的通项公式为，则前项和为( )
A. B. C. D.
4．数列1，，，…，的前项和为( )
A. B.
C. D.
5．求和1－2+3－4+5－6+…+(－1)n+1n.
【解】

【选修延伸】
【例3】已知数列｛an｝中， an＋1＝an＋2n，
a1＝3，求an.
【解】
点评:利用数列的求和,可求出一些递推关系为an＋1＝an＋f(n)的数列的通项公式.
【例4】已知{}为等比数列，且=a，=b，（ab≠0），求.
【解】
追踪训练二
1．等比数列｛an｝的首项为1，公比为q,前n项和为S，则数列｛｝的前n项之和为（ ）
A. B.S C. D.
2．在等比数列｛an｝中，已知a1=,前三项的和S3=,则公比q的值为__________.
3．在等比数列｛an｝中，a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，则S6=__ ___.
4．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列是等和数列，且，公和为5，求的值及这个数列的前项和.
【解】
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【师生互动】
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教师释疑第2课时
【学习导航】
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学习要求
体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，理解等差数列的概念；
掌握“叠加法”求等差数列通项公式的方法，掌握等差数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题；
【自学评价】
1．等差数列的通项公式：
①普通式：；
②推广式：________________；
③变式：；
；；
注：等差数列通项公式的特征：等差数列的通项公式为关于项数n的次数不高于一次的多项式函数即an=An+B(若{an}为常数列时,A=0).
2．等差数列的单调性：由等差数列的定义知an+1－an=d,
当d＞0时，an+1____an即{an}为递增数列；
当d=0时，an+1_____an即{an}为常数列；
当d＜0时，an+1____an即{an}为递减数列.
注：等差数列不会是摆动数列.
【精典范例】
【例1】第一届现代奥运会于1986年在希腊雅典举行，此后每４年举行一次．奥运会如因故不能举行，届数照算．
（１）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；
（２）2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？
【解】
【例2】在等差数列｛aｎ｝中，
已知a３＝１０，a９＝２８，求a１２．
【解】
【例3】某滑轮组由直径成等差数列的６个滑轮组成．已知最小和最大的滑轮的直径分别为１５ｃｍ和２５ｃｍ，求中间四个滑轮的直径．
【解】
【追踪训练一】：
1．已知｛an｝是等差数列，a7+a13=20，则a9+a10+a11=（ ）
A.36 B.30 C.24 D.18
2.等差数列中，的等差中项为，的等差中项为，则______.
３．诺沃尔（Ｋｎｏｗａｌｌ）在１７４０年发现了一颗彗星，并推算出在１８２３年、１９０６年、１９８９年……人们都可以看到这颗彗星，即彗星每隔８３年出现一次．
（１）从发现那次算起，彗星第８次出现是在哪一年？
（２）你认为这颗彗星在２５００年会出现吗？为什么？
【解】
４．全国统一鞋号中，成年男鞋有１４种尺码，其中最小的尺码是２３．５ｃｍ，各相邻两个尺码都相差０．５ｃｍ，其中最大的尺码是多少？
５．一个等差数列的第４０项等于第２０项与第３０项的和，且公差是－１０，试求首项和第１０项．
【选修延伸】
【例4】等差数列｛an｝中，a1=23，公差d为整数，若a6>0,a7<0.
（1）求公差d的值;
（2）求通项an.
【解】
【例5】甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明:从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡．乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．
请您根据提供的信息说明：
⑴第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；
⑵到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是
缩小了？请说明理由；
⑶哪一年的规模最大？请说明理由．
【解】
【追踪训练二】：
1.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是 （ ）
A.d＞ B.d＜3 C. ≤d＜3 D.＜d≤3
2.在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8等于（ ）
A.45 B.75 C.180 D.300
3.如果等差数列{an}的第5项为5，第10项为－5，那么此数列的第一个负数项是第________项.
4.已知等差数列的第10项为23，第25项为－22，则此数列的通项公式为___________.
5.已知数列{an}满足an+12=an2+4，且a1=1,an＞0，求an.
6.若x≠y，两个数列：x，a1，a2，a3，y和x，b1，b2，b3，b4，y都是等差数列，求的值.
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教师释疑第5课时等差数列的概念和通项公式
【学习导航】
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学习要求
体会等差数列与一次函数的关系；
2．初步通过数列的下标研究数列。
【自学评价】
1．是等差数列
2．已知是等差数列，若，则
【精典范例】
【例1】已知等差数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ＝２ｎ－１，求首项ａ１和公差ｄ，并画出图像。
【解】
【答案】
等差数列的通项公式ａｎ＝２ｎ－１是关于ｎ的一次式，从图象上看，表示这个数列的各点（ｎ，ａｎ）均在直线ｙ＝２ｘ－１上。
【例2】（１）在等差数列｛ａｎ｝中，是否有（ｎ≥２）？
（２）在数列｛ａｎ｝中，如果对于任意的正整数ｎ（ｎ≥２），都有，那么数列｛ａｎ｝一定是等差数列吗？
【解】
【例3】如图，三个正方形的边ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长组成等差数列，且ＡＤ＝２１ｃｍ，这三个正方形的面积之和是１７９ｃｍ２．
（１）求ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长；
（２）以ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长为等差数列的前三项，以第１０项为边长的正方形的面积是多少？
【解】
　（１）设公差为ｄ（ｄ＞０），ＢＣ＝x，则ＡＢ＝x－ｄ，ＣＤ＝x＋ｄ．由题意得
解得或（舍去）
ＡＢ＝３（ｃｍ），ＢＣ＝７（ｃｍ），ＣＤ＝１１（ｃｍ）
（２）正方形的边长组成首项是３，公差是４的等差数列｛ａｎ｝，所以
ａ１０＝３＋（１０－１）×４＝３９．
ａ２１０＝３９２＝１５２１（ｃｍ２）．
所求正方形的面积为１５２１ｃｍ２．
【追踪训练一】：
1．已知等差数列的通项公式为，求它的首项和公差，并画出它的图象．
【答案】略
2. 已知ａ１，ａ２，ａ３，…，ａｎ，ａｎ＋１，…，ａ２ｎ是公差为ｄ的等差数列．
（１）ａｎ，ａｎ－１，…，ａ２，ａ１也成等差数列吗？如果是，公差是多少？
（２）ａ２，ａ４，ａ６，…，ａ２ｎ也成等差数列吗？如果是，公差是多少？
【答案】（1）
（2）
３．已知等差数列｛ａｎ｝的首项为ａ１，公差为ｄ．
（１）将数列｛ａｎ｝中的每一项都乘以常数ａ，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，公差是多少？
（２）由数列｛ａｎ｝中的所有奇数项按原来的顺序组成新数列｛ｃｎ｝是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？
【答案】（1）是等差数列，公差是
（2）是等差数列，首项是，公差是
４．一个直角三角形三边的长组成等差数列，求这个直角三角形三边长的比．
【答案】三边长的比为
５．某货运公司的一种计费标准是：１ｋｍ以内收费５元，以后每１ｋｍ收２.５元．如果运输某批物资８０ｋｍ，那么需支付多少元运费？
【答案】需支付运费202.5元
【选修延伸】
【例4】在等差数列｛ａｎ｝中，已知ａｐ＝ｑ，ａｑ＝ｐ（ｐ≠ｑ），求ａｐ＋ｑ
【解】
【答案】ａｐ＋ｑ=0
【例5】如图（１）是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点，将原三角形剖分成４个三角形（如图（２）），再分别连结图（２）中间的小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成７个三角形（如图（３））．依此类推，第ｎ个图中原三角形被剖分为ａｎ个三角形．
（１）求数列｛ａｎ｝的通项公式；
（２）第１００个图中原三角形被剖分为多少个三角形？
【解】
【答案】（1）
（2）298个三角形
【追踪训练二】：
1. 若｛an｝是等差数列，a3,a10是方程x2-3x-5=0的两根，则a5+a8= 3 .
2. 若关于的方程和的四个根组成首项为的等差数列，则 （ D ）
A. B. C. D.
3. 若三个数a-4,a+2,26-2a，适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列.
【解】
a=6，相应的数列为：2，8，14
a=9，相应的数列为：5，8，11
a=12，相应的数列为：2，8，14
4. 已知， ，求
【解】
听课随笔
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑复习课
一、【学习导航】
知识网络
学习要求
1．温故本章内容，使知识系统化，条理化．分清重点，明确难点，再现注意点，达到巩固与知新的效果。
2.体会分类讨论，等价转化，数形结合，函数方程四种数学思想的应用.
【课堂互动】
自学评价
1.不等式组的解集为 ．
2.已知，则的最大值为 　　　　　　　　　 ．
3.已知，，则的最小值为　　　　　　　．
4.已知,则四个数:,,,的大小关系为 .
【精典范例】
例1：解关于的不等式：
【解】
例2：设，关于的一元二次方程有两个实根且，求的取值范围．
【解】
例３. 某工厂生产Ａ，Ｂ两种产品，已知生产１千克Ａ产品要用煤９吨，电力４千瓦时，劳动力３个，创造利润７万元，生产１千克Ｂ产品要用煤４吨，电力５千瓦时，劳动力１０个，创造利润１２万元，在这种条件下，应该生产Ａ，Ｂ两种产品各多少千克，才能使所创造的总的经济价值最高？
例4.要使不等式对所有正数都成立，求的最小值．
本章总结回顾：
1．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，会用函数思想来研究方程和不等式．
２．二元一次不等式(组)表示平面区域与线性规划问题是数形结合思想的运用。画平面区域是线性规划的基础，常用选点法定侧，注意边界是否在区域内。解线性规划应用题时要注意规范解题，写全解题步骤。
３．利用基本不等式求最值或证明不等式，运用时往往需作适当的变形，创造条件应用基本不等式，常用变换技巧是“拆添项”“配凑因子”和“平方”等。应用基本不等式求最值时，要注意考虑三要素，即“一正二定三相等”。
【选修延伸】
柯西不等式
内容：
≥．
证明：设
．
当＝０，即
时，柯西不等式显然成立．
当≠０，即
＞０时，
由于
恒成立．
于是,　　化简变形即得
≥．
追踪训练
已知，且，求证：
学习札记
与另两个＂二次＂的关系
不等式的解法
一元二次不等式
不等式的应用
表示的平面区域
二次不等式组
不等式组
不等关系
线性规划
证明不等式
求函数最值
基本不等式
实际应用
学习札记
学习札记
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第2课时 正弦定理（2）
分层训练
1．在△ABC中，若，，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B。等腰或直角三角形 C。等腰直角三角形 D。等腰三角形
2．在△ABC中，已知∠B=，,则∠A的值是 （ ）
A． B。 C。 D。或
3．在△ABC中，A=450，B=600，
则
4．在△ABC中，，则
＝
5．已知 A、B、C是一条直路上的三点，且AB=BC=1km，从A点看塔M在北450东，B点看塔M在正东方向，在C点看塔M在南600东，求塔M到这段路的最短距离。
6．在△ABC中，已知cos2(－A)+cosA=，且b+c=a，求cos
学生质疑
教师释疑
7．在△ABC中，=且cos2C+cosC=1－cos(A－B)，试判别其形状。
8．在△ABC中，=，求cos。
拓展延伸
9．已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积，若a=4，b=5，S=，求c的长度。
本节学习疑点：第3课时
【学习导航】
知识网络
学习要求
体会等差数列与一次函数的关系；
2．初步通过数列的下标研究数列。
【自学评价】
1．是等差数列_________________.
2．已知是等差数列，若，则____________________.
【精典范例】
【例1】已知等差数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ＝２ｎ－１，求首项ａ１和公差ｄ，并画出图象。
【解】
等差数列的通项公式ａｎ＝２ｎ－１是关于ｎ的一次式，从图象上看，表示这个数列的各点（ｎ，ａｎ）均在直线ｙ＝２ｘ－１上。
【例2】（１）在等差数列｛ａｎ｝中，是否有（ｎ≥２）？
（２）在数列｛ａｎ｝中，如果对于任意的正整数ｎ（ｎ≥２），都有，那么数列｛ａｎ｝一定是等差数列吗？
【解】
【例3】如图，三个正方形的边ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长组成等差数列，且ＡＤ＝21ｃｍ，这三个正方形的面积之和是179ｃｍ２．
（１）求ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长；
（２）以ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长为等差数列的前三项，以第１０项为边长的正方形的面积是多少？
【解】
　
【追踪训练一】：
1．已知等差数列的通项公式为，求它的首项和公差，并画出它的图象．
2. 已知ａ１，ａ２，ａ３，…，ａｎ，ａｎ＋１，…，ａ２ｎ是公差为ｄ的等差数列．
（１）ａｎ，ａｎ－１，…，ａ２，ａ１也成等差数列吗？如果是，公差是多少？
（２）ａ２，ａ４，ａ６，…，ａ２ｎ也成等差数列吗？如果是，公差是多少？
３．已知等差数列｛ａｎ｝的首项为ａ１，公差为ｄ．
（１）将数列｛ａｎ｝中的每一项都乘以常数ａ，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，公差是多少？
（２）由数列｛ａｎ｝中的所有奇数项按原来的顺序组成新数列｛ｃｎ｝是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？
4．某货运公司的一种计费标准是：１ｋｍ以内收费５元，以后每１ｋｍ收２.５元．如果运输某批物资８０ｋｍ，那么需支付多少元运费？
【选修延伸】
【例4】在等差数列｛ａｎ｝中，已知ａｐ＝ｑ，ａｑ＝ｐ（ｐ≠ｑ），求ａｐ＋ｑ
【解】
【例5】如图（１）是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点，将原三角形剖分成４个三角形（如图（２）），再分别连结图（２）中间的小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成７个三角形（如图（３））．依此类推，第ｎ个图中原三角形被剖分为ａｎ个三角形．
（１）求数列｛ａｎ｝的通项公式；
（２）第100个图中原三角形被剖分为多少个三角形？
【解】
【追踪训练二】：
1. 若｛an｝是等差数列，a3,a10是方程x2-3x-5=0的两根，则a5+a8= .
2. 若关于的方程和的四个根组成首项为的等差数列，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 若三个数a-4,a+2,26-2a，适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列.
4. 已知， ，求
学习札记
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第5课时 等差数列的概念和通项公式
【分层训练】
1．已知等差数列{an}中，a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9等于（ ）
A.30 B.27 C.24 D.21
2．在等差数列中，已知则是（ ）
A.48 B.49 C.50 D.51
3．在公差为正数的等差数列中，若，，则（ ）
A. B. C. D.
4．已知a，b，c成等差数列，则二次函数y=ax2+2bx+c的图象与x轴交点个数是（ ）
0 B、1 C、2 D、1或2
5．已知数列{an}的通项公式是an = 4n2 + 3n + 2(n∈N*)，则47是数列{an}的（ ）
A．第二项 B．第三项
C．第四项 D．第五项
6．一个直角三角形三边的长组成等差数列，则这个直角三角形三边长的比为
7. 三个数成等差数列,它们的和是15,它们的平方和等于83,则这三个数分别为
8.在等差数列中，已知，，则这个数列共有 项在300到400（不含和）之间.
【拓展延伸】
9．一种变速自行车后齿轮组由５个齿轮组成，它们的齿数成等差数列，其中最小和最大的齿轮的齿数分别为１２和２８，求中间三个齿轮的齿数．
10. 10.1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆(sundaram)发现了“正方形筛子”：
4 7 10 13 16
7 12 17 22 27
10 17 24 31 38
13 22 31 40 49
16 27 38 49 60
这个“正方形筛子”的每一行有什么特点？每一列呢？
“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是多少？
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学生质疑
教师释疑第15课时 数列复习课练习(1)
【分层训练】
1.在10到2000之间，形如的各数之和为（ ）.
　（A）1008 （B）2040 （C）2032 （D）2016
2.等比数列中，,那么（ ）.
　（A） （B）－3 （C） （D）3
3.等比数列中，，则等于（ ）.
（A）14　 （B）16　 （C）18 　（D）20
4.某工厂生产总值月平均增长率为，则年平均增长率为（ ）.
（A） （B）
（C） （D）
5.的和为（ ）.
（A）　（B）　
（C）　（D）
6.公比为的等比数列的前项的和为，且，则 .
7.数列的通项公式是，前项的和为10，则项数等于________.
8.是由7个正数组成的等比数列，其前三项的和为26，后三项的和为2106，则第四项等于___________.
9.一个弹球从32米的高处自由落下，每次着地后又跳回原高度的一半再落下，第五次着地时所经过的路程为___________米.
【拓展延伸】
10.已知是公差不为0的等差数列，是公比为的等比数列，且,求数列的前项和.
11.某公司向银行贷款1600万元建设新生产线.
　　①若生产线建成后获得年均纯利润600万元，银行按复利计算，年息为5％，该公司过三年能否一次性还清贷款？
②若公司三年后必须一次性还清贷款，此生产线建成获年均纯利润至少多少万元（精确到0.1万元）？
12.由数列：构成一个新数列,,,,…,…，此数列是首项为1，公比为的等比数列.求数列的通项及前项的和为.
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第10课时等比数列的概念和通项公式
【学习导航】
知识网络
学习要求
1.进一步体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念，
2. 掌握等比数列的通项公式,并能运用公式解决一些简单的实际问题.
【自学评价】
1．如果an≠0，且an+12=anan+2对任意的n∈N*都成立，则数列{an}是等比数列.
2．等比数列的递增和递减性.
在等比数列{an}中
(1)若a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1则数列递增，
(2)若a1＞0,0＜q＜1,或a1＜0，q＞1 ,则数列递减；
(3)若q=1，则数列为常数列；
(4)若q＜0，则数列为摆动数列.
3．对于k、l、m、n∈N*，若，则akal=aman.；
【选修延伸】
【例1】　（１）在等比数列{an}中，是否有a2n＝an-1 an+1（ｎ≥２）？
（２）如果数列{an}中，对于任意的正整数ｎ（ｎ≥２），都有a2n＝an-1 an+1，那么，{an}一定是等比数列吗？
【解】（１）因为{an}是等比数列，所以
∴成立．
（2）不一定．例如对于数列
０，０，０，…，
总有a2n＝an-1 an+1，
但这个数列不是等比数列．
【例2】如图，一个边长为１的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（２），如此继续下去，得图（３）……试求第ｎ个图形的边长和周长．
【解】
这序列图形的边数构成的数列为：
它们的边长构成的数列为：
.
∴第个图形的周长为
追踪训练一
１．三个数成等比数列，它们的积等于２７，它们的平方和等于９１，求这三个数．
【答案】这三个数为1，3，9或-1，3，-9或9，3，1或-9，3，-1
２．如图，在边长为１的等边三角形ＡＢＣ中，连结各边中点得△Ａ１Ｂ１Ｃ１，再连结△Ａ１Ｂ１Ｃ１各边中点得△Ａ２Ｂ２Ｃ２……如此继续下去，试证明数列Ｓ△ＡＢＣ，
Ｓ△Ａ１Ｂ１Ｃ１，Ｓ△Ａ２Ｂ２Ｃ２，…是等比数列．
【答案】 以为首项，为公比的等比数列
3．在等比数列{an}中，如果a6=6,a9=9，那么a3等于( A )
A.4 B. C. D.2
4.等比数列{an}的公比为2，则的值为( A )
A. B. C. D.1
【选修延伸】
【例3】数列满足，
求证是等比数列；
求数列的通项公式。
【解】
①证明：
又
故
是等比数列
②解：是等比数列，且
故
【例4】在等比数列｛an｝中，
已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，
且公比为整数，求a10.
【解】 由a4a7＝－512知，a3a8＝－512
解方程组且q为整数得 (舍去)q＝
∴a10＝a3q7＝－4(－2)7＝512.
【点评】 充分地利用等比数列的性质，灵活地使用等比数列的通项公式，能使解题的过程简捷明快.
追踪训练二
1．已知等比数列中a3=－4,a6=54,
则a9=－729.
2．将20，50，100这三个数加上相同的常数，使它们成为等比数列，则其公比是
3．在等比数列{an}中各项都是正数，a6a10+a3a5=41，a4a8=4,则a4+a8=__7____.
4．在和n+1之间插入n个正数，使这n+2个数依次成等比数列，求所插入的n个数之积.
【解】 设等比数列｛an｝的公比为q，∵a1=,an+2=n+1,∴ =n+1,qn+1=n(n+1),
∵a2·a3·…·an＋1＝a1nq1＋2＋3＋…＋n＝a1n=( =，即插入的n个数之积为.
5．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a1a5－2a3a5+a3a7=36，a2a4+2a2a6+a4a6=100，求数列的通项公式.
【解】 由已知条件a1a5－2a3a5+a3a7=36, a2a4+2a2a6+a4a6=100
知∴即①
或 ②
解①得a3=8,a5=2∴q==,
an=a3()n－3=()n－6
解②得:a3=2,a5=8 q==2,
an=a3(2)n－3=2n－2
听课随笔
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第14课时 基本不等式的应用(2)
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．进一步会用基本不等式解决简单的最大（小）值的实际问题。
2.通过对实际问题的研究，进一步体会数学建模的思想。
3．进一步开拓视野，认识数学的科学价值和人文价值．
【课堂互动】
自学评价
1.设x>0时, y=3－3x－的最大值为
2.已知a>b>c , n∈N*, 且, 则n的最大值为_____4_____ .
3.已知x>0且x1, y>0且y1 , 则logyx+logxy的取值范围是
【精典范例】
例１．过点(1 , 2)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点, 当△AOB的面积最小时, 求直线l的方程
【解】
见书（但设直线方程可有两种方法）．
例２．如图(见书P93) , 一份印刷品的排版面积(矩形)为A , 它的两边都留有宽为a的空白, 顶部和底部都留有宽为b的空白, 如何选择纸张的尺寸, 才能使纸的用量最小
见书．
思维点拔：
先建立目标函数，然后创造条件利用基本不等式求解。
追踪训练
1.某汽车运输公司,购买一批豪华大客车投人客运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y万元与营运年数n(n的关系为
y=－n2+12n－25,则每辆客车营运( Ｃ )年,使其营运年平均利润最大.
A 3 B 4 C 5 D 6
2. 过第一象限内点P(a , b)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点, 当取最小值时, 求直线l的方程.
解：设
则．
所以
＝
＝
（等号当且仅当时成立）
所以取最小值2ab时, 直线l的方程为：．
3.汽车行驶中, 由于惯性作用, 刹车后还要向前滑行一段距离才能停住, 我们把这段距离叫做“刹车距离”, 在某公路上, “刹车距离”S (米)与汽车车速v (米/秒)之间有经验公式: S=+, 为保证安全行驶, 要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加25米, 现假设行驶在这条公路上的汽车在平均车身长5米, 每辆车均以相同的速度v行驶, 并且每两辆之间的间隔均是“安全距离”.
(1)试写出经过观测点A的每辆车之间的时间间隔T与速度v函数关系式;
(2)问v为多少时, 经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大
解：（１）
　　　　　　＝
　（２）车流量＝
　　　　　　　＝（时取等号）
　　答：略．
听课随笔
实际问题
数学建模
利用基本不等式
求最值
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第3课时等差数列的概念和通项公式
【学习导航】
知识网络
学习要求
体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，理解等差数列的概念；
掌握“叠加法”求等差数列通项公式的方法，掌握等差数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题；
【自学评价】
1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列
（arithmetic progression），这个常数就叫做
等差数列的公差（common difference），常用字母“d”表示。
⑴公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵对于数列{},若－=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N，则此数列是等差数列，d 为公差
2．等差数列的通项公式；
4．如果a,A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项；且。
【精典范例】
【例1】根据等差数列的概念，判断下列数列是否是等差数列；
（1）1，1，1，1，1，1
（2）4，7，10，13，16
（3）-3，-2，-1，0，1，2，3
【解】
（1）
（2）
（3）
思考：如果一个数列的通项公式为，其中都是常数，那么这个数列一定是等差数列吗？
是
【例2】求出下列等差数列中的未知项：
（１）３，ａ，５；
（２）３，ｂ，ｃ，－９．
【解】（１）根据题意，得
ａ－３＝５－ａ，
解得ａ＝４．
（２）根据题意，得
ｂ－３＝ｃ－ｂ，
ｃ－ｂ＝－９－ｃ，
解得ｂ＝－１，ｃ＝－５
【例3】
（1）求等差数列8，5，2…的第20项？
（2）401是不是等差数列5，9，13，…的项？如果是，是第几项？
【解】（1）
（2）是，第100项
【追踪训练一】：
１．判断下列数列是否为等差数列：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１）－１，－１，－１，－１，－１；
（２）１，１２，１３，１４；
（３）１，０，１，０，１，０；
（４）２，４，６，８，１０，１２；
（５）７，１２，１７，２２，２７．
２．目前男子举重比赛共有１０个级别，除１０８公斤以上级外，其余的９个级别从小到大依次为（单位：ｋｇ）５４，５９，６４，７０，７６，８３，９１，９９，１０８，这个数列是等差数列吗？
３．已知下列数列是等差数列，试在括号内填上适当的数：
（１）（　），５，１０；
（２）１，，（　）；
（３）３１，（　），（　），１０．
4．已知数列是等差数列，求未知项的值。
【解】
【选修延伸】
【例4】在等差数列中，已知，，求
分析： 先根据两个独立的条件解出两个量a1和d，进而再写出an的表达式.几个独立的条件就可以解出几个未知量，这是方程组的重要应用.
【解法一】：
∵，，则
∴
思考：在此题中，有，思考，能否不求首项，而将求出？
【解法二】：
思维点拔：
等差数列的通项公式涉及到四个量a1、an、n、d，用方程的观点知三求一。列方程组求基本量是解决等差数列问题的常用方法，注意通项公式更一般的形式：
【例5】若，则成等差数列。
【证明】由得
，
即，，
成等差数列。
思维点拔：
当已知a、b、c成等差数列时，通常采用2b=a+c作为解决问题的出发点.
【追踪训练二】：
1.数列｛an｝的通项公式an＝2n＋5，则此数列（ A ）
A.是公差为2的等差数列
B.是公差为5的等差数列
C.是首项为5的等差数列
D.是公差为n的等差数列
2.等差数列{an}中，a2=－5,d=3，则a1为（B）
A.－9 B.－8 C.－7 D.－4
3.已知等差数列{an}的前3项依次为a－1,a+1,2a+3，则此数列的通项an为（ B ）
A.2n－5 B.2n－3
C.2n－1 D.2n+1
4.在等差数列{an}中，若a3=50,a5=30，则a7=______.
【解法一】 d==－10∴a7=a3+(7－3)d=50－40=10
【解法二】 由2a5=a3+a7得a7=2a5－a3=2×30－50=10
【答案】10
5.在－1和8之间插入两个数a,b，使这四个数成等差数列，则a=______,b=______.
【解析】d==3∴a=－1+3=2,b=2+3=5
【答案】2 5
6.已知数列{an}中a3=2,a7=1，又数列{}为等差数列，则a11等于（ B ）
A.0 B. C. D.－1
听课随笔
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第6课时等差数列的前n项和（1）
【分层训练】
1．在等差数列中，公差,则等于（ ）.
　 A 62　 B 64 　 C 84　　 D 100
2．在等差数列中，公差,,
，那么下列各式中与相等的是（ ）.
　　 A 　　 B 　　
C 　　D
3．把正偶数以下列方法分组：（2），
（4，6），（8，10，12），…，其中每一组都比它的前一组多一个数，那么第11组的第2个数是（ ）.
A 114　　 B 134　　 C 132　　 D 112
4．等差数列中，，那么的值是（ ）
A．12 B．24 C．36 D．48
5．已知数列的前项和，则_________.
6. 等差数列中，若，则 .
7. 等差数列中，若，则公差 .
8. 在等差数列中，若，则 .
【拓展延伸】
9．在等差数列中，，，求.
10. 已知数列{an}满足a1=0，an+1+Sn=n2+2n(n∈N*)，其中Sn为{an}的前n项和，求此数列的通项公式.
【师生互动】
学生质疑
教师释疑解三角形
【知识结构】
【重点难点】
　　重点：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
难点：（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题
第1课时 正弦定理（1）
【学习导航】
知识网络
直角三角形的边角关系→任意三角形的边角关系→正弦定理
学习要求
1．正弦定理的证明方法有几种，但重点要突出向量证法；
2．正弦定理重点运用于三角形中“已知两角一边”、“已知两边一对角”等的相关问题
【课堂互动】
自学评价
1．正弦定理：在△ABC中，,
2．正弦定理可解决两类问题：
（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；
（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角
【精典范例】
【例1】在中，，，，求，．
分析：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题．
【解】因为，，所以．因为，
所以，．
因此， ，的长分别为和．
【例2】根据下列条件解三角形：
（1）；
（2）．
分析：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题．
【解】（1），∴，
，∴，∴为锐角， ∴，∴．
（2），∴，∴，
∴当
∴当所以，．
追踪训练一
1．在△ABC中，，，，则的值为（ A ）
A B
C 10 D
2．在△ABC中，已知，，，则= （ C ）
A B C D 1
3．（课本P9练习第2题）在△ABC中，
（1）已知，，，求，；
（2）已知，，，求，。
略解：（1），；
（2），（可以先判断是等腰三角形再解）
4．（课本P9练习第3题）根据下列条件解三角形：
（1），，；
（2），，。
略解：（1）由题意知：
或
，或，（要注意两解的情况）
（2）由题意知：
【选修延伸】
【例3】在锐角三角形ABC中，A=2B，、、所对的角分别为A、B、C，试求的范围。
分析：本题由条件锐角三角形得到B的范围，从而得出的范围。
【解】在锐角三角形ABC中，A、B、C<900，即：，
由正弦定理知：
，
故所求的范围是：。
【例4】在△ABC中，设
，求的值。
【解】由正弦定理得：
又，
。
追踪训练二
（1）在中，已知，，，则 ， ．
（2）在中，如果，，，那么 ，的面积是 ．
（3）在中，，，则 ．
听课随笔
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第16课时 数列复习课练习(2)
【分层训练】
1.有穷数列()的项数是（ ）.
（A）　　（B）　　
（C）　　（D）
2.在等差数列中，若，则的值（ ）.
　（A）20 （B）22　 （C）24　 （D）－8
3.若是等差数列，则有下列关系确定的数列也一定是等差数列的是（ ）
　（A）　　 　 （B）
　（C）　 （D）
4.在等差数列中，,，则201是该数列的（ ）.
（A）第60项　　（B）第61项　　
（C）第62项　　（D）第63项
5.在等差数列的每相邻两项插入一个数，使之成为一个新的等差数列，则新的数列的通项为（ ）.
（A） （B）
（C）（D）
6.设是公差为－2的等差数列，若，则（ ）.
（A）－182（B）－148（C）－82（D）－78
7.设等差数列中，，是第一个比1大的项，则公差的取值范围是（ ）.
　（A） （B）
　（C） （D）
8.四位正整数中，是3的倍数的数共有__个.
9.等差数列中，，，则中的第_ ___项的值介于之间.
【拓展延伸】
10.两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项，问他们共有多少个相同的项.
11.设正数成等差数列，且公差不等于0，
求证,,
也成等差数列.
12.已知是一次函数，其图象过点，又成等差数列，求的值.
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第4课时
【学习导航】
知识网络
学习要求
会用基本不等式解决简单的最大（小）值的实际问题。
2.通过对实际问题的研究，体会数学建模的思想。
3．开拓视野，认识数学的科学价值和人文价值．
【课堂互动】
自学评价
1．求函数最值的方法：　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　．
2．若半圆的半径为R , 则其半圆上的动点到直径两端点距离之和的最大值为　　　．
【精典范例】
例１．用长为4a的铁丝围成一个矩形, 怎样才能使所围矩形的面积最大.(用基本不等式求解)．
【解】
例２．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池, 其容积为4800m3, 深度为3m , 如果池底每1m2的造价为150元, 池壁每1m2的造价为120元, 怎样设计水池能使总造价最低 最低总造价为多少元
例３．某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台, 每批都购入x台(x为正整数), 且每批需付运费400元, 储存购入的电视机全年所付保管费用与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比, 若每批购入400台, 则全年需用去运费和保管费43600元, 现在全年只有24000元资金可用于支付这笔费用, 能否恰好当地安排每批进货的数量, 使资金够用, 写出你的结论, 并说明理由.
选修延伸：
先建目标函数，再用基本不等式求最值，这是一种很常见题型，加以理解和掌握．
追踪训练
１．建造一个容积为8m3, 深为2m的长方体无盖水池, 如果池底的造价为每平方米120元, 池壁的造价为每平方米80元, 求这个水池的最低造价.
２．巨幅壁画画面与地面垂直, 且最高点离地面14米, 最低点离地面2米, 若从离地面1.5米处观赏此画, 问离墙多远时, 视角最大
学习札记
实际问题
数学建模
利用基本不等式
求最值
学习札记
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第2课时 数列的概念及其通项公式
【分层训练】
1．在数列中，等于（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
2．已知数列满足，，则 .
3.已知满足，，试写出该数列的前项，并用观察法写出这个数列的一个通项公式.
【拓展延伸】
4．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式
(1) ＝0, ＝＋(2n－1) (n∈N)；
(2) ＝1, ＝ (n∈N)；
5．写出一个数列的通项公式，使它的前４项分别是下列各数：
（１）2，4，8，16；
（２）1，8，27，64；
（３）a，b，a，b；
（４）1，，，2;
（5）3,-33,333,-3333.
6. 已知数列中，，，通项是项数的一次函数，
①求的通项公式，并求；
②若是由组成，试归纳的一个通项公式.
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第6课时等差数列的前n项和（1）
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．掌握等差数列前n项和公式及其推导过程．
2．会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题
【自学评价】
1. 等差数列的前项和：
公式1：
公式2：；
2.若数列｛an｝的前n项和Sn＝An2＋Bn，则数列｛an｝为 等差数列 .
3.若已知等差数列{an}的前n项和为Sn,则an可用Sn表示:
【精典范例】
【例1】　在等差数列｛an｝中，
（１）已知，，求；
（２）已知，，求．
【解】
（１）根据等差数列前ｎ项和公式，得
（２）根据等差数列前ｎ项和公式，得
在等差数列｛an｝中，已知，，，求及n.
【解】由已知，得
由②，得
代入①后化简，得
点评: 　在等差数列的通项公式与前ｎ项和公式中，含有，ｄ，ｎ，，五个量，只要已知其中的三个量，就可以求出余下的两个量．
【例3】在等差数列｛an｝中，已知第１项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和．
【解】
即
解得
思维点拔
数列{an}是等差数列,前项和是,那么仍成等差数列,公差为(为确定的正整数)
【例4】根据数列｛an｝的前n项和公式，判断下列数列是否是等差数列.
(1)Sn＝2n2－n
(2)Sn＝2n2－n＋1
【解】 (1)a1＝S1＝1
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(2n2－n)－［2(n－1)2－(n－1)］
＝2(2n－1)－1＝4n－3
∵n=1 时也成立，
∴an＝4n－3
an＋1－an＝［4(n＋1)－3］－［4n－3］＝4∴｛an｝成等差数列
(2)a1＝S1＝2
a2＝S2－S1＝5
a3＝S3－S2＝9
∵a2－a1≠a3－a2
∴｛an｝不是等差数列.
点评： 已知Sn，求an，要注意a1＝S1，当n≥2时an＝Sn－Sn－1，
因此an＝.
【追踪训练一】：
1.在等差数列｛an｝中，若S12=8S4,则等于( A )
A. B. C.2 D.
2.在等差数列｛an｝和｛bn｝中，a1=25,b1=75,a100+b100=100,则数列｛an+bn｝的前100项的和为( D )
A.0 B.100 C.1000 D.10000
3.一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么( A )
A.它的首项是－2，公差是3
B.它的首项是2，公差是－3
C.它的首项是－3，公差是2
D.它的首项是3，公差是－2
4. 在等差数列｛an｝中，已知a11=10,则S21=___210___
5. 已知数列{an}的前n项和为Sn=4n2
－n+2,则该数列的通项公式为( B )
A.an=8n+5(n∈N*)
B.an=
C.an=8n+5(n≥2)
D.an=8n－5(n≥1).
【选修延伸】
【例5】设是等差数列，求证：以为通项公式的数列是等差数列。
【证明】设等差数列的公差为，前项的和为，则。
（常数）
（）。是等差数列。
【例6】已知等差数列｛an｝满足：Sp＝q，Sq＝p，求Sp＋q(其中p≠q).
【解】由已知Sp＝q，Sq＝p得
pa1＋ ①
qa1＋ ② ①－②整理得 ＝－1
∴＝(p＋q)＝－(p＋q)
点评：本问题即是在a1、d、n、an、Sn中知三求二问题，但在解方程的过程中体现出了较高的技巧；本题有多种解法，也可考虑设Sn＝An2＋Bn或成等差数列去求解.
【追踪训练二】
1.等差数列{an}的前n项和Sn=2n2+n，那么它的通项公式是( C )
A.an=2n－1 B.an=2n+1
C.an=4n－1 D.an=4n+1
2.数列1，，…的前100项的和为( A )
A.13 B.13 C.14 D.14
3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+5,则a6+a7+a8=__45____.
4. 一个等差数列，前项的和为25，前项的和为100，求前项的和.
【解】
【答案】前项的和为225
听课随笔
听课随笔
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第5课时 余弦定理（2）
分层训练
1．在△ABC中，若a=2bsinA,则B为 （ ）
A. 　 B. 　C. 或 D. 或
2．△ABC中，∠A、∠B的对边分别为a、b，，且∠A=60°，那么满足条件的
△ABC （ ）
A．有一个解 B．有两个解
C．无解 D．不能确定
3．△ABC的内角A满足则A的取值范围是（ ）
A．（0，） B．（，）
C．（，） D．（，）
4．关于x的方程有一个根为1，则△ABC一定是（ ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
5．在中,如果,则的大小为（ ）
或 或
6．已知的动点，则点到距离的乘积的最大值_____________。
7．在中，若 ，且，则的面积等于___________________.
8．在中，有下列关系：
① ② ③ ④
其中可作为充要条件的是___________________（把正确的序号都填上）
拓展延伸
9．自动卸货汽车的车箱采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆ＢＣ的长度（如图）．已知车箱的最大仰角为６０°，油泵顶点Ｂ与车箱支点Ａ之间的距离为１.９５ｍ，ＡＢ与水平线之间的夹角为６°２０′，ＡＣ长为１.４０ｍ，试计算ＢＣ的长（精确到０.０１ｍ）．
10．如图，我炮兵阵地位于Ａ处，两观察所分别设于Ｃ，Ｄ，已知△ＡＣＤ为边长等于ａ的正三角形．当目标出现于Ｂ时，测得∠ＣＤＢ＝４５°，∠ＢＣＤ＝７５°，试求炮击目标的距离ＡＢ．
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第6课时
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式；
2．提高分析、解决问题能力，能用等比数列的知识解决某些实际问题。
【自学评价】
1．对于分期付款，银行有如下规定：
（１）分期付款为_______计息，每期付款数________，且在期末付款；
（２）到最后一次付款时，_______________
_____________等于商品售价的本利之和．
2．若是等比数列，且公比，则数列 ，…是_____;
当，且为偶数时，数列
，…是常数数列0，它不是等比数列.
3. 当时，，这里，但，这是等比数列前项和公式特征，据此判断数列是否为等比数列
【精典范例】
【例1】水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题．全国9100万亩的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占７０％．国家确定2000年西部地区退耕土地面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增１２％，那么从2000年起到2005年底，西部地区退耕还林的面积共有多少万亩（精确到万亩）？
【解】
【例2】某人2004年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房，月利率
3.375‰，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷．如果10年还清，那么每月应还贷多少元？
分析：对于分期付款，银行有如下规定：
（１）分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款；
（２）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和．
为解决上述问题，我们先考察一般情形．设某商品一次性付款的金额为ａ元，以分期付款的形式等额地分成ｎ次付清，每期期末所付款是ｘ元，则分期付款方式可表示为：
从而有
运用等比数列求和公式，化简得
这就是分期付款的数学模型．
【解】　
追踪训练一
回答我国古代用诗歌形式提出的一个数列问题：
远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，
共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？
2．我国1980年底人口以十亿计算．
（１）若我国人口年增长率为1.2％，则到2005年底我国约有多少人口？
（２）要使我国到2010年底人口不超过14亿，那么人口的年平均增长率最高是多少？
顾客采用分期付款的方式购买一件5000元的商品，在购买一个月后第一次付款，且每月等额付款一次，在购买后的第12个月将货款全部付清，月利率0.5％．按复利计算，该顾客每月应付款多少元？
4．某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营能使年资金平均增长率达到50%，但每年底都要扣除消费基金x万元，余下资金投入再生产，为实现经过5年资金达到2000万元（扣除消费基金后），那么每年应扣除消费基金多少万元（精确到万元）？
【解】
【选修延伸】
【例3】设数列 的首项a1=1,前n项的和Sn满足关系式3tSn－(2t+3)Sn－1=3t(t为常数,且t>0, n=2,3,4,……)。
(1)求证：数列 是等比数列；
(2)设 的公比为f(t)，作数列，使得b1=1,bn=f() (n=2,3,4,…)，求的通项公式。
(3)求和：b1 b2－b2b3+b3b4－…+b2n－1b2n－b2nb2n+1
【解】
【例4】在数列中，求数列的前n项和Sn.
分析：要分成偶数项和奇数项之和分别求解。
【解】
追踪训练二
1．已知等比数列｛an｝中，前n项和Sn=54,S2n=60,则S3n等于（ ）
A.64 B.66 C.60 D.66
2.数列1，1+2,1+2+22，…，(1+2+22+…+2n－1)，…，前n项和等于（ ）
A.2n+1－n B.2n+1－n－2
C.2n－n D.2n
3．等比数列｛an｝共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q=___ ___.
学习札记
学习札记
学习札记
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第3课时
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学习要求
1．学会处理含字母系数的一元二次不等式恒成立问题
2．学会处理含字母系数的一元二次不等式实根分布问题
【课堂互动】
自学评价
1．不等式x2+2x+m2>0恒成立，则m取值范围为　　　　　　　　
2．方程x2+(m-3)x+m=0的解集为，则m取值范围为　　　　　　　　
【精典范例】
例1:已知关于x不等式kx2-2x+6k<0的解集为R 求k的取值范围。
【解】
变式：已知关于x不等式kx2-2kx+6<0的解集为，求k的取值范围。
思维点拔：
1。若ax2+bx+c>0恒成立(即解集为R)，则
或
2。若ax2+bx+c>0解集为φ，则
或
追踪训练一
１．当a为何值时, 不等式(a2－3a+2) x2+(a－1)x+2>0恒成立．
2．已知函数f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1,0)是否存在常数a,b,c使不等式x≤f(x)≤对切实数x都成立？若存在，求出a,b,c的值，若不存在，说明理由．
例２. 分别求m的取值范围, 使方程x2－mx－m+3=0 的两根满足下列条件:
(1)两根都大于－5 ;
(2)一根大于0小于1 , 一根大于1小于2 .
例3：已知A={x|x2+(P+2)x+4=0}, M={x|x>0}, 若A∩M=φ, 求实数P的取值范围.
【解】
思维点拔：
１．实根分布问题解题步骤
(1)化方程一边为零;
(2)设非零一边为函数f(x);
(3)画函数f(x)的符合题意的草图；
(4)根据草图列不等式组；
(5)解不等式组．
２．分类讨论不要重复和遗漏．
追踪训练二
方程x2－mx-m+3=0的两根均在(-4,0)内，求m的取值范围．
【选修延伸】
不等式区间 [a,b]上恒成立问题
若不等式x2－２ax+a+６>0在x∈[-2,2]上时总成立，求实数a的取值范围．
思维点拔：
对于不等式f(x)≥M在x[a,b]上恒成立，只需将其转化为f(x)在[a,b]上的最小值f(x)min≥M即可．因此解决此题的关键是求f(x)在区间[a,b]上的最小值．
类似地，对于不等式f(x)≤M在x[a,b]上恒成立，只需将其转化为f(x)在[a,b]上的最大值f(x)max≤M即可．因此解决此题的关键是求f(x)在区间[a,b]上的最大值
追踪训练三
已知不等式1≤－x2＋x+a≤在x[-１,１]上时总成立，求实数a的取值范围．
设不等式mx2－2x－m+1<0对满足|m|≤2的一切m都成立，求实数x的取值范围
学习札记
恒成立问题
一元二次不等式
简单实根分布问题法
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
学习札记第2课时
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学习要求
1.理解二元一次不等式组表示平面区域的含义，并能准确地作出二元一次不等式组表示的平面区域，还能处理一些逆向问题．
2.学会解决一些简单的整点问题．
【课堂互动】
自学评价
不等式组表示的平面区域　　　　
.
整点：　　　 　.
【精典范例】
例1．画出下列不等式组所表示的区域
(1)
(2)
【解】
例2.如图, △ABC三个顶点A(0 , 4) , B(－2 , 0) , C(2 , 0) , 求△ABC内任一点(x , y)所满足的条件.
思维点拔：
1.二元一次不等式组表示平面区域的画图步骤：画线(注意虚线还是实线)，定侧，求交．
2.由平面区域写不等式组，一要注意是否有等号，二要注意不要少写不等式．
追踪训练一
1. 画出下列不等式组所表示的区域
(1)
(2)
(3)(x-y+1)(x+2y-2)>0
2.如图所示阴影部分可用二元一次不等式组表示 ( )
A.
B.
C.
D.
例3利用平面区域求不等式组 的整数解.
思维点拔：
方法一：(1)画区域(2)求交点(3)通过定x的范围来确定整数x(4)再通过x的整数值来定y的整数值．
方法二：(1)画区域(2)打网格线(3)特殊点验证．
追踪训练二
在坐标平面上, 不等式组所表示的平面区域内整数点个数为 ( )
A.１ B. ２
C. ３ 　 D. ４
听课随笔
作作平面区域步骤
含义
二元一次不等式(组)表示的平面区域
整点问题
逆向问题
y
x
A
4
B
C
2
-2
O
y
x
2
-1
-2
y=-2
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
听课随笔第15、16课时
数列复习课(2课时)
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【自学评价】
（一）数列的概念
数列的定义（一般定义，数列与函数）、数列的表示法。
数列的通项公式。
求数列通项公式的一个重要方法：
对于任一数列,其通项和它的前n项和之间的关系是
（二）等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质
1.等差数列
(1)定义
(2)通项公式=+（ ）d=+（ ）d=+-d
(3)求和公式
(4)中项公式A= 推广：2=
(5)性质
①若m+n=p+q则
②若成A.P（其中）则也为A.P。
③ 成 数列。
④
2.等比数列
(1)定义
(2)通项公式
(3)求和公式
(4)中项公式。
推广：
(5)性质
①若m+n=p+q，则
②若成等比数列 （其中），则成等比数列。
③
④
3. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：
(1)定义法:
(2)通项公式法。
(3)中项公式法:
4. 在等差数列中,有关Sn 的最值问题：
(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取 。
(2)当<0,d>0时，满足的项数m使得取 。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
（三）、数列求和的常用方法：
公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等。
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2. :适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。
3. :适用于其中是等差数列，是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法。
5.常用结论
1） 1+2+3+...+n =
2）1+3+5+...+(2n-1) =
3）
4）
5）
6）
【精典范例】
一 函数方程思想在研究数列问题中的运用
【例1】（1）首项为正数的等差数列｛a｝，其中S=S，问此数列前几项和最大？
（2）等差数列｛a｝中，S=100，S=300，求 S。
（3）等差数列的公差不为0，a=15,a,a,a成等比数列，求S。
【解】
二 求数列的通项公式
观察法
观察法就是观察数列特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式。
【例2】写出下面各数列的一个通项公式
（1），…；
（2）1，－…；
（3）…；
（4）21，203，2005，20007，…；
（5）0.2,0.22,0.222,0.2222,…；
（6）1，0，1，0，…；
（7）1，…
【解】
【例3】已知下列各数列｛a｝的前n项和S的公式，求｛a｝的通项公式。
S=10－1；（2）S=10+1；
【解】
评析 已知｛a｝的前n项和S求a时应注意以下三点：
(1)应重视分类类讨论的应用，要先分n=1和n≥2两种情况讨论，特别注意由S－S= a推导的通项a中的n≥2。
(2)由S－S= a，推得的a且当n=1时，a也适合“a式”，则需统一“合写”。
(3)由S－S= a推得的a，当n=1时，a不适合“a式”，则数列的通项应分段表示（“分号”），即 如本例中（2），（3）。请观察本例中（1）与（2）的差异及联系。
累差法
若数列｛a｝满足a－a=f(n)(n),其中｛f(n)｝是易求和数列，那么可用累差法求a。
【例4】求数列1，3，7，13，21，…的一个通项公式。
【解】
累商法
若数列｛a｝满足=f(n)( n),其中数列｛f(n)｝前n项积可求，则可用累商法求a.
【例5】在数列｛a｝中，a=2，a= a,求通项a。
【解】
构造法
直接求通项a较难求，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差或等比数列，从而将问题转化为较易求解的问题，进一步求出通项a。
【例6】各项非零的数列｛a｝，首项a=1,且2S=2aS－a,n≥2,求数列的通项a。
【解】
三 数列求和
数列求和是数列部分的重要内容，求和问题也是很常见的试题，对于等差数列，等比数列的求和主要是运用公式；某些既不是等差数，也不是等比数列的求和问题，一般有以下四种常用求和技巧和方法。
1.公式法
能直接应用等差数列或等比数列的求和公式以及正整数平方和，立方和公式寻求和的方法。
【例7】数列｛a｝的通项a=n－n，求前n项和S。
【解】
2.倒序求和法
3.错项求和法
【例8】求和S=+++…+。
请你独立完成，相信你会有更深的体会。
4.裂拆项法
【例9】在数列｛a｝中，a=10+2n－1,求S
【解】
【例10】已知数列｛a｝：，，
，…，…，求它的前n项和。
【解】
四、等差、等比数列的综合问题
【例11】已知数列的前n项和=4+2(n∈N＋)，a=1.
(1)设=-2,求证：数列为等比数列，
(2)设Cn=,求证：是等差数列.
【解】
【例12】在等比数列中，，求的范围.
【解】
【例13】设{}, {}都是等差数列，它们的前n项和分别为, , 已知,求⑴；⑵
【解】
【追踪训练】
1．一等差数列共有9项，第1项等于1，各项之和等于369，一等比数列也有9项，并且它的第1项和最末一项与已知的等差数列的对应项相等，求等比数列的第7项。
2．已知, a, , …, , …构成一等差数列，其前n项和为＝n, 设＝, 记{}的前n项和为, (1) 求数列{}的通项公式；(2) 证明：<1.
3．已知等差数列{}的前n项和为，＝, 且＝,＋＝21, (1) 求数列{bn}的通项公式；(2) 求证：＋＋＋……＋<2.
4．已知数列，，（1）求通项公式；
（2）若，求数列的最小项的值；
（3）数列的前项和为，求数列前项的和．
5．等差数列中，，，依次抽出这个数列的第项，组成数列，求数列的通项公式和前项和公式．
学习札记
学习札记
学习札记
学习札记
学习札记
学习札记
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第5课 一元二次不等式应用题
分层训练
1.某厂扩建后计划后年的产量不低于今年的2倍, 那么明、后两年每年的平均增长率至少
是 ．（精确到0.1％）.
2．要在长为800米,宽为600米的一块长方形地面上进行绿化,要求四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种草坪,要求草坪的面积不小于总面积的一半,则花卉带宽度x的范围为 .
3.已知半圆的半径为1,其内接等腰梯形的一条底边与半圆的直径重合,则当x= 时,梯形的周长最长.
考试热点
4.国家为了加强对烟酒生产的宏观管理, 实行征收附加税政策, 已知某种酒每瓶70元, 不加收附加税时, 每年大约销售100万瓶; 若政府征收附加税, 每销售100元要征税R元(叫做税率R%), 则每年的销售量将减少10R万瓶, 要使每年在此项经营中所收取的附加税不少于112万, R应怎样确定
5.某地区上年度电价为0.8元/千瓦时,年用电量为a千瓦时,本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间,而用户期望电价为0.4元/千瓦时.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k),该地区电力成本价为0.3元/千瓦时,(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式.
(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20% (注:收益=实际用电量×(实际电价－成本价)).
拓展延伸
6.已知汽车刹车到停车所滑行的距离s (m)与速度v (km/h)的平方及汽车的总重量a(t)的乘积成正比, 设某辆卡车不装货物以50km/h行驶时, 从刹车到停车滑行了20m , 如果这辆车装载着与车身相等重量的货物行驶, 并与前面的车辆距离为15m , 为了保证在前面车辆紧急停车时不与前面车辆相撞, 那么最大车速是多少 (假定卡车司机从发现前面车辆停车到自己刹车需耽搁1s , 答案精确到1km/h . )
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑第10课时 等比数列的概念和通项公式
【分层训练】
1.下列各组数能组成等比数列的是（ ）
A. B.
C. D.
2.等比数列中，，，那么它的公比（ ）
A. B. C. D.
3. 考察下列数列，①a1 =1，an+1 =an + ，b1 =2，bn+1 =bn·2. ②an+1 =an ，bn+1 =2bn. ③an+1 =an+n，b1 =1，bn+1 =(bn)2 ，则{an}是等差数列且{bn}是等比数列的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．0组
4. 等差数列{an}中，an-m = A，an+m =B.等比数列{bn}中，bn-m = A，bn+m =B.则有（ ）
A．an =A + B，bn =A·B
B．an =，bn =
C．an =，bn =±
D．a2n =A + B，b2n =AB
5.等比数列中，首项为，末项为，公比为，则项数等于 .
6.在等比数列中，>，且，则该数列的公比等于 .
7.在等比数列中，>，且，则
.
8.若是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为是 .
① ②
③ ④
【拓展延伸】
9．某地现有耕地１0000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22％，人均粮食占有量比现在提高10％．如果人口年增长率为1％，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到１公顷）？
（注：粮食单产＝总产量/耕地面积，人均粮食占有量＝总产量/总人口数）
10．如图，正方形ABCD的边长为3acm，分别作边AB，BC，CD，DA上的三等分点Ａ1，Ｂ1，Ｃ1，Ｄ1，得正方形Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1，再分别取边Ａ1Ｂ1，Ｂ1Ｃ1，Ｃ1Ｄ1，Ｄ1Ａ1上的三等分点Ａ2，Ｂ2，Ｃ2，Ｄ2，得正方形Ａ2Ｂ2Ｃ2Ｄ2，如此继续下去，得正方形Ａ3Ｂ3Ｃ3Ｄ3……
（１）求边Ａ1Ｂ1，Ａ2Ｂ2，Ａ3Ｂ3的长；　　（２）求正方形ＡnＢnＣnＤn的边长．
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第6课时 余弦定理（3）
分层训练
1．1.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α、β的关系为（ ）
A.α＞β B.α=β
C.α+β=90° D.α+β=180°
2.如图，为了测量障碍物两测A、B间的距离，给定下列四组数据，测量时应当用数据( )
A.α、A、B? B.α、β、A
C.A、B、γ? D.α、β、B
3.海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是( )
A.10海里 B.海里
C. 5海里? D.5海里
4.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南60°西， 另一灯塔在船的南75°西，则这只船的速度是每小时( )
A.5海里? B.5海里
C.10海里? D.10海里
5．.某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里/小时的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是
6．我舰在敌岛A南50°西相距12nmile?的B处，发现敌舰正由岛沿北10°西的方向以10nmile/h的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要速度的大小为 nmile/h
7．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的时间为_________________
8．设是平面直角坐标系内轴、轴正方向上两个单位向量，且，则四边形ABCD的面积是___________
拓展延伸
9．在△ＡＢＣ中，已知２ａ＝ｂ＋ｃ，ｓｉｎ２Ａ＝ｓｉｎＢｓｉｎＣ，试判断△ＡＢＣ的形状．
10．在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300 km的海面P处，并以20 km / h的速度向西偏北的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭。
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第3课时
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．灵活应用等比数列的定义及通项公式；
2．熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法；
3．灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题.
【自学评价】
1. 等比数列的性质：
（1）（）；
(2）对于k、l、m、n∈N*，若，则akal=aman.；
（3）每隔项（）取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列为_________；
4）在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。
2. (1) 若{an}为等比数列，公比为q，则{a2n}也是___________，公比为________.
(2) 若{an}为等比数列，公比为q(q≠－1),则{a2n－1+a2n}也是__________，公比为____.
(3) 若{an}、{bn}是等比数列，则{anbn}也是_____________.
(4) 三个数a、b、c成等比数列的，则_______
【精典范例】
【例1】已知四个数前3个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，前后两数之积为－128，求这四个数.
【解】
【例2】若a、b、c成等比数列，
试证明：a2＋b2，ac＋bc，b2＋c2也成等比数列.
【证明】
【点评】 证明数列成等比数列，可利用等比数列的定义，如证明三个数a，b，c成等比数列，可证明b2＝ac，要注意说明a、b、c全不为零.
追踪训练一
1．在等比数列{an}中，a1=,q=2,则a4与a8的等比中项是( )
A.±4 B.4 C.± D.
2．在等比数列{an}中，已知a5=－2,则这个数列的前9项的乘积等于( )
A.512 B.－512 C.256 D.－256
3．2，x,y,z,162是成等比数列的五个正整数，则z的值等于( )
A.54 B.27 C.9 D.3
4．已知｛an｝是等比数列，且an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于( )
A.5 B.10 C.15 D.20
5．已知等差数列｛an｝的公差d≠0,且a1，a3，a9成等比数列，则的值为_______________.
【选修延伸】
【例3】在中，，试求的通项
【解】
【例4】在中，，试求的通项
【解】
【例5】在中，求｛｝的通项
【解】
追踪训练二
1．在等比数列｛an｝中，若a2·a8=36,a3＋a7＝15，则公比q值的可能个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2．在各项都为正数的等比数列｛an｝中，若a5·a6＝9，则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a10等于( )
A.8 B.10 C.12 D.2＋log35
3．已知一个直角三角形三边的长成等比数列，则( )
A.三边边长之比为3∶4∶5
B.三边边长之比为1∶∶3
C.较小锐角的正弦为
D.较大锐角的正弦为
4．公差不为0的等差数列第二、三、六项构成等比数列，则公比为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5．已知数列满足a1=,且an+1=an+,n∈N*
(1)求证{an－}是等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
【解】
听课随笔
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第2课时
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．利用正弦定理和余弦定理解决有关测量问题时，要注意分清仰角、俯角、张角和方位角等概念。
2. 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过这些三角形，得出实际问题的解。
【课堂互动】
自学评价
运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤是：
①_______：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；
②_______：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；
③_______：利用正弦定理、余弦定理解这些三角形，求得数学模型的解；
④_______：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。
【精典范例】
【例1】作用在同一点的三个力平衡.已知，，与之间的夹角是，求的大小与方向（精确到）.
【解】
【例2】半圆的直径为，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.问：点在什么位置时，四边形面积最大？
分析：四边形的面积由点的位置唯一确定，而点由唯一确定，因此可设，再用的三角函数来表示四边形的面积.
【解】
追踪训练一
1. 如图，用两根绳子牵引重为Ｆ１＝１００Ｎ的物体，两根绳子拉力分别为Ｆ２，Ｆ３，保持平衡．如果Ｆ２＝８０Ｎ，Ｆ２与Ｆ３夹角α＝１３５°．
（１）求Ｆ３的大小（精确到１Ｎ）；
（２）求Ｆ３与Ｆ１的夹角β的值
（精确到０.１°）．
2. 从２００ｍ高的电视塔顶Ａ测得地面上某两点Ｂ，Ｃ的俯角分别为３０°和
４５°，∠ＢＡＣ＝４５°，求这两个点之间的距离．
3．在△ABC中，若，B=45°，△ABC的面积为2，那么，△ABC的外接圆直径为____________
【选修延伸】
【例3】中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，
求最大角的余弦值；
② 求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.
【解】
追踪训练二
1．我国潜艇外出执行任务，在向正东方向航行时，测得某国的雷达站在潜艇的东偏北300方向的100n mile处，已知该国的雷达扫描半径为70n mile，若我国潜艇不改变航向，则行驶多少路程后会暴露目标（ ）
A 50 B
C D
2．在△ABC中，若，则与的大小关系是 （ ）
A 大于 B 大于等于
C 小于 D 小于等于
3．两艘快艇在水面上一前一后前进，后一艘快艇的速度是前一艘的两倍，前一艘快艇突然向与原前进方向成300角行驶，若后一快艇想在最短的时间内赶上前艇，则它行驶的方向与原方向的夹角为_________
听课随笔
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第3课时 一元二次不等式(2)
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．进一步理解三个一元二次之间的关系，掌握一元二次不等式解的逆向问题。
2．会解一些简单的含参数的一元二次不等式．
【课堂互动】
自学评价
1．不等式a(x-1)(x-2)<0的解集为
{x|x<1或x>2}则a与0的关系为： a2．不等式(x-1)(x-a)<0的解集为　当a>1时,(1,a). 当a <1时,(a,1).当a=1时,φ 。
【精典范例】
例1已知不等式x2+ax+b<0的解集为{x|－1【解】
－１，２是方程x2+ax+b＝0的两根，则由韦达定理可求得a=－1,b=－2.再解新不等式得解集为
变式：已知不等式b x2－ax+１ <0的解集为{x| x < －或x>1}, 求不等式x2+ax+b<0的解集．
答案：（１，２）．
思维点拔：
１．不等式与方程的关系是关键．从不等式的解方程的根韦达定理(或将根代入) 新不等式的解．
追踪训练一
１．不等式ax2+bx+2<0的解集为{x| －答案：可先求得a=－12,b=－2,
所以a－b=-10
2．已知关于x不等式ax2+2x+6a<0的解集为{x| x <2或x>3}, 求a的值．
答案： a=－
例２.解关于x的不等式x2－(a+1)x+a>0
解：原式变为：（x－1）(x－a)>0
当a>1时，x<1或x>a
当a1时，x1
当a<1时，x1
所以原式解集为：略．
例3：解关于x的不等式ax2－x+1>0
【解】
当a=0时，x<1
当a<0时，当0
当a=时，x2
当a>时，xR
综述：略．
思维点拔：
1.分类讨论标准的确定
(1).x2系数的正负或者为零的讨论
(2).与０的大小比较
(3).两根大小的比较．
２．分类讨论不要重复和遗漏
追踪训练二
1. 解关于x的不等式ax2－(a+1)x+1>0
答案：
a=0：
a<0：
0：
2. 解关于x的不等式x2－ax+1>0
答案：
当时，
或
当时，xR
当时，．
听课随笔
逆向问题
一元二次不等式
含参数不等式的解法
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑1
数列单元综合检测
姓名 班级
一、填空题：
1．已知数列，，，，3，…，那么7是这个数列的第 项。
2．在等差数列{an}中，a7＝9，a13＝－2，则a25＝ 。
3．在等差数列{an}中，若a2＋a6＋a10＋a14＝20，则a8＝ 。
4．在正数等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝1，a7＋a8＋a9＝4，则此等比数列的前15项的和为 。
5．设数列{an}的的前n项和为Sn=n2+2n＋1，则数列{an}是 。
6．已知1是a2和b2的等比中项，又是和的等差中项，则的值是 。
7．正项等比数列{an}中，S2=7， S6=91 ，则 S4为 。
8．等差数列{an}的的前n项和为Sn，且a3＋a5＋a7＝15，则 S9等于 。
9．已知等比数列{an}的的前n项和为Sn，如果S3∶S2＝3∶2，则公比q的值为 。
10. 已知{an}为等比数列，若＝2，S4=4，则 S8的值等于 。
11．数列{an}的的前n项和Sn= ，则a3等于 。
12．在等比数列{an}中，若a1＋a2＋…＋an＝2n－1 , 那么a12＋a22＋…＋an2 ＝ 。
1 2
0.5 1
a
b
c
13 . 在右面表格中，每一格填上一个数字后，使每一横行成
等差数列，每一竖行成等比数列，则a+b+c的值为 。
14．已知数列{an}对于任意的正整数n都有an+1－an=－3,
a1＝3 , 则a81＝ .
15 . {an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若{Sn}是等差数列，则q= .
16、根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初的12个月内累计的需求量Sn（万件）近似地满足Sn=（21n－n2－5）(n=1 , 2 , 3 , … , 12 ) , 按此预测，在本年度内需求量超过1.5万件地月份是 。
二、解答题
17．已知a , b , c 成等差数列 , a+1 , b+1 , c+4 成等比数列 , 且a+b+c=15,求a , b , c的值
18 .三个不同的实数a , b , c 成等差数列 , 且a , c , b成等比数列 ,
求a∶b∶c .
19 . {an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列 ，Sn , Tn分别是{an}与{bn}的前n项和，若a1＝b1＝1 , a2＋a4=b3 , b2 b4＝a3 , 求S10 , T10
20 .已知 {an}是等差数列，且a1＝2 ， a1＋a2＋a3＝12 ，
（1）求{an}的通项公式;
(2) 令bn＝an·3n , 求{bn}的前n项和Sn。
an , n为偶数
21 。设数列{an}的首项a1＝a≠ , an+1=
an+ , n为奇数
记bn＝a2n－1－（n＝1，2，3，…）
（1）。求a2 ，a3 ；（2）判断{bn}是否为等比数列，并证明你的结论。
22．（14分）设数列{an}的的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且
(5n－8)Sn+1－(5n+2) Sn=An+B , (n=1，2，3，…）其中A、B为常数。
求A与B的值；
证明：数列{an}是等差数列
PAGE第4课时 余弦定理（1）
分层训练
在△ABC中，若，
则∠A=（ ）
A B C D
2．三角形三边的比为，则三角形的形状为（ ）
A 锐角三角形 B 直角三角形
C 钝角三角形 D 都有可能
3．在△ABC中，，，则的最大值为（ ）
A 2 B C 3 D
4．在△ABC的三内角A、B、C的对应边分别为，，，当时，角B的取值范围为
5．△ABC中，若
（，
则△ABC的最小内角为（精确到10）
6．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4，则B的余弦值为 。
7．△ABC中，BC=10，周长为25，则cosA的最小值是 。
8．在△ABC中，已知A>B>C，且，b=4，+=8,求，的长。
学生质疑
教师释疑
9．如图：在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=，∠BCD=，求BC的长。
拓展延伸
10．在△ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角。（1）求最大角；（2）求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积。
11．已知△ABC中，，，证明：△ABC为等边三角形。
本节学习疑点：第三章 不等式
一、知识结构
二、重点难点
重点：一元二次不等式的解法；二元一次不等式组表示的平面区域及线性规划问题；利用基本不等式进行不等式证明与求函数的最值．
难点：含参不等式的解法，线性规划中最优整数解的求法，不等式证明．
第1课时 不等关系
【学习导航】
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学习要求
1．通过具体情境, 感受在观察现实世界时和日常生活中存在着的大量不等关系, 了解不等式(组)的实际背景．
2．经历由实际问题建立数学模型的过程, 体会其基本方法.
3．总结建立不等式模型的基本思路．
4．提高观察、抽象的能力．
【课堂互动】
自学评价
1．不等号有哪些？
【答】 > < ≤ ≥ ≠
2．不等关系的含义：
【答】 见书。
【精典范例】
例1：某博物馆的门票每位10元, 20人以上(含20人)的团体标8折优惠, 那么不足20人时, 应该选择怎样的购票策略
【解】
见书．
点评:列式的前提是：设自变量，找不等关系.
例2：某杂志以每本2元的价格发行时, 发行量为10万册, 经过调查, 若价格每提高0.2元, 发行量就减少5000册, 要使杂志社的销售收入大于22.4万元, 每本杂志的价格应定在怎样的范围内.
【解】
见书．
点评：若设每本杂志价格为x元，则有
x[10-(x-2)]>22.4，化简略．
例３.下表给出了X、Y、Z三种食物的维生素的含量及成本:
维生素A(单位/kg) 维生素B(单位/kg) 成本(元/kg)
X 300 700 5
Y 500 100 4
Z 300 300 3
某人欲将这三种食物混合成100kg的食品, 要使混合食品中至少含35000单位的维生素A及40000单位的维生素B , 设X , Y这两种食物各取x kg , ykg , 那么x , y应满足怎样的关系
见书．
点评：列出的是二元一次不等式组，事实上，这里的x，y与100–x - y还都应该大于等于０．
思维点拔：
不等式(组)是刻画不等关系的数学模型．
建立不等式模型的基本思路：
(1)找出不等关系
(2)语言化不等关系
(3)设变量后，数量化不等关系(列出不等式(组))
追踪训练
1. b克糖水中有a克糖 (b>a>0) , 若再添上m克糖 (m>0), 则糖水变甜了, 还是变淡了
答：变甜。其中隐含不等关系式．
2. 时代超市将进货单价为80元的商品按90元一个出售时能卖400个, 经过调查, 己知这种商品每个涨价1元, 其销售量就减少20个, 要使时代超市销售此商品的收入大于4320元, 商品价格应定在怎样的范围内
解：设商品价格为x元／个，则椐题意得
即
听课随笔
与另两个＂二次＂的关系
不等式的解法
一元二次不等式
不等式的应用
表示的平面区域
二元一次不等式(组）
不等式(组)
不等关系
线性规划
证明不等式
求函数最值
基本不等式
实际应用
实际问题
寻找不等关系
二次不等式
用不等式表示
一元二次不等式
二元一次不等式组
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
听课随笔第4课时 一元二次不等式(3)
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．学会处理含字母系数的一元二次不等式恒成立问题
2．学会处理含字母系数的一元二次不等式实根分布问题
【课堂互动】
自学评价
1．不等式x2+2x+m2>0恒成立，则m取值范围为　　m<－1或m>1　　　　　　
2．方程x2+(m-3)x+m=0的解集为，则m取值范围为　1【精典范例】
例1已知关于x不等式kx2-2x+6k<0的解集为R 求k的取值范围。
【解】
当k=0时不合题。
当时，由
解得 ．
变式：已知关于x不等式kx2-2kx+6<0的解集为，求k的取值范围。
答案：
思维点拔：
1。若ax2+bx+c>0恒成立(即解集为R)，则
或
2。若ax2+bx+c>0解集为φ，则
或
追踪训练一
１．当a为何值时, 不等式(a2－3a+2) x2+(a－1)x+2>0恒成立．
解：或
　解得：
2．已知函数f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1,0)是否存在常数a,b,c使不等式x≤f(x)≤对切实数x都成立？若存在，求出a,b,c的值，若不存在，说明理由．
解：易知f(1)=1.
于是由得
所以
所以恒成立．
所以．
例２. 分别求m的取值范围, 使方程x2－mx－m+3=0 的两根满足下列条件:
(1)两根都大于－5 ;
(2)一根大于0小于1 , 一根大于1小于2 .
解：设作草图后得．
（１）进而得
（２）得
例3：已知A={x|x2+(P+2)x+4=0}, M={x|x>0}, 若A∩M=φ, 求实数P的取值范围.
【解】分Ａ＝与Ａφ两情况，最终可求出．
思维点拔：
１．实根分布问题解题步骤
(1)化方程一边为零;
(2)设非零一边为函数f(x);
(3)画函数f(x)的符合题意的草图；
(4)根据草图列不等式组；
(5)解不等式组．
２．分类讨论不要重复和遗漏．
追踪训练二
方程x2－mx-m+3=0的两根均在(-4,0)内，求m的取值范围．
答案：
【选修延伸】
不等式区间 [a,b]上恒成立问题
若不等式x2－２ax+a+６>0在x∈[-2,2]上时总成立，求实数a的取值范围．
思路：令，
则
椐题意知由得．
思维点拔：
对于不等式f(x)≥M在x[a,b]上恒成立，只需将其转化为f(x)在[a,b]上的最小值f(x)min≥M即可．因此解决此题的关键是求f(x)在区间[a,b]上的最小值．
类似地，对于不等式f(x)≤M在x[a,b]上恒成立，只需将其转化为f(x)在[a,b]上的最大值f(x)max≤M即可．因此解决此题的关键是求f(x)在区间[a,b]上的最大值
追踪训练三
已知不等式1≤－x2＋x+a≤在x[-１,１]上时总成立，求实数a的取值范围．
答案：
２．设不等式mx2－2x－m+1<0对满足|m|≤2的一切m都成立，求实数x的取值范围
答案：设，结合图象知，可解出
听课随笔
恒成立问题
一元二次不等式
简单实根分布问题法
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
听课随笔第4课时 等差数列的概念和通项公式
【分层训练】
1．首项为的等差数列从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
2．等差数列的公差为d，则数列（c为常数，且）是（ ）
A．公差为d的等差数列
B．公差为cd的等差数列
C．非等差数列
D．以上都不对
3．已知则的等差中项为（ ）
A． B． C． D．
4．设{an}为等差数列,且满足a2+a3+a10+a11=48,则a6+a7等于
5．设{an}为等差数列,则在下列数列中①{an2} ②{pan+q} ③{pan} ④{nan}(其中p,q为常数),成等差数列的个数为
6. 已知数列a,x,b,2x依次成等差数列,则b:a=
7. 等差数列中，，，则 .
8. 在等差数列{}中，若+=9, =7, 求 , .
【拓展延伸】
9．已知数列{}的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
10. 10. 已知，，求.
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第3课时
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；
2．能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；
3．进一步运用余弦定理解斜三角形．
【课堂互动】
自学评价
1．余弦定理：
(1)_______________________，_______________________，_______________________.
(2) 变形：____________________，_____________________，_____________________ .
2．判断三角形的形状一般都有______或_________两种思路.
【精典范例】
【例1】在ABC中，求证：
（1）
（2）
【解】
【例2】在中，已知acosA = bcosB用两种方法判断该三角形的形状.
分析：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”。
【解】方法1o
方法2o
点评: 判断三角形的形状一般都有“走边”或“走角”两条路。
【例3】在四边形ABCD中，ADB=BCD=75，ACB=BDC=45，DC=，求：
AB的长
四边形ABCD的面积
【解】
追踪训练一
1. 在△ABC中，，，则下列各式中正确的是（ ）A. B.
C. D.
2. 在△ABC中，若,则△ABC的形状是______________
3. 如图，已知圆内接四边形ＡＢＣＤ的边长分别为ＡＢ＝２，ＢＣ＝６，ＡＤ ＝ＣＤ＝４，如何求出四边形ＡＢＣＤ的面积？
【选修延伸】
【例4】如图：在四边形ABCD中，∠B=∠D=750，∠C=，AB=3，AD=4，求对角线AC的长。
分析：此题涉及两个三角形，AC是公共边。
【解】
追踪训练二
1．在△ABC中，若c4-2(a2＋b2)c2＋a4＋a2b2＋b4＝0，则∠C等于( )
A．90° B．120°
C．60° D．120°或60°
2．在锐角中，若，则边长的取值范围是____________
3．已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S.
听课随笔
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑1.2 余弦定理
第1课时
知识网络
三角形中的向量关系→余弦定理
学习要求
掌握余弦定理及其证明；
体会向量的工具性；
能初步运用余弦定理解斜三角形．
【课堂互动】
自学评价
1．余弦定理：
(1)，______________________，______________________.
(2) 变形：，___________________，___________________ .
2．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：
（１）_______________________________；
（２）_______________________________．
【精典范例】
【例1】在中，
（1）已知，，，求；
（2）已知，，，求（精确到）．
【解】
点评: 利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（１）已知三边，求三个角；（２）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
【例2】两地之间隔着一个水塘，现选择另一点，测
，求两地之间的距离（精确到）．
【解】
【例3】用余弦定理证明：在中，当为锐角时，；当为钝角时，．
【证】
点评:余弦定理可以看做是勾股定理的推广．
追踪训练一
１．在△ＡＢＣ中，
（１）已知Ａ＝６０°，ｂ＝４，ｃ＝７，
求a；
（２）已知a＝７，ｂ＝５，ｃ＝３，求Ａ．
２．若三条线段的长为５，６，７，则用这三条线段（　 　）　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．能组成直角三角形
Ｂ．能组成锐角三角形
Ｃ．能组成钝角三角形　
Ｄ．不能组成三角形
３．在△ＡＢＣ中，已知，试求∠Ｃ的大小．
４．两游艇自某地同时出发，一艇以１０ｋｍ／ｈ的速度向正北行驶，另一艇以７ｋｍ／ｈ的速度向北偏东４５°的方向行驶，问：经过４０ｍｉｎ，两艇相距多远？
【选修延伸】
【例4】在△ABC中，=，=，且，是方程的两根，。
求角C的度数；
求的长；
（3）求△ABC的面积。
【解】
【例5】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，，，证明：
。
追踪训练二
1．在△ABC中，已知，，B=，则 （ ）
A 2 B
C D
2．在△ABC中，已知AB=5，AC=6，BC=，则A= （ ）
A B C D
3．在△ABC中，若，，C=，则此三角形有 解。
△ABC中，若，
则A= _______ .
听课随笔
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑课外作业参考答案
第1课时 正弦定理（1）
1．A 2．C 3．450或1350 4．300或1500 5．等边 6．
7．解：由正弦定理知：，
8．解：由正弦定理知：
解得 或1500，因为 A+B+C=1800，所以 C=1500不合题意，舍去。
从而有 A=900， 。
9．解：如图，
第2课时 正弦定理（2）
1 C 2 D 3 4 1 （提示：由知 ，再将原式化简即可。）
5．解：易知，∠BMA=450，∠CMB=300。
在△ABM中=
在△BCM中，=。
∴=， 又∠CMA=450+300=750，
∴22=2+2－2··cos750。2=·sin750， ∴=
答：塔M到路的最短距离为km
6．解：由已知，+cosA=，即 cos2A－cosA+=0，
∴cosA= A= ∵b+c=a ∴由正弦定理得：sinB+sinC=sinA=
2sincos= ∴cos=
7．解：由已知==， ∴ ①
又， 即。
亦即， ②
由①、②， ，该三角形为Rt△
8．解：在△ABC中，，即：
，
。
9．解：由三角形的面积公式得：
，
第3课时 正弦定理（3）
1.D 2.C 3.D 4. B
5.
6.
7.
8.解：由已知得A+B=,C=.又tanA＞tanB,∴B是△ABC的最小内角.又tanB=,∴sinB=.
∵=,∴b=·sinB=.
∴C=,其最短边长为.
9. 解 ( http: / / www. / wxc / ) (1)在Rt△PAB中，∠APB=60° PA=1，∴AB= (千米)
在Rt△PAC中，∠APC=30°，
∴AC= (千米)
在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°
(2)∠DAC=90°－60°=30°
sinDCA=sin(180°－∠ACB)=sin∠ACB=
sin∠CDA=sin(∠ACB－30°)=sin∠ACB·cos30°－cos∠ACB·sin30° ( http: / / www. / wxc / )
在△ACD中，据正弦定理得，
答 ( http: / / www. / wxc / ) 此时船距岛A为千米 ( http: / / www. / wxc / )
10. 解 ( http: / / www. / wxc / ) 按题意，设折叠后A点落在边BC上改称P点，显然A、P两点关于折线DE对称，又设∠BAP=θ，∴∠DPA=θ，∠BDP=2θ，
再设AB=a，AD=x，∴DP=x ( http: / / www. / wxc / ) 在△ABC中，
∠APB=180°－∠ABP－∠BAP=120°－θ，
由正弦定理知 ( http: / / www. / wxc / ) ( http: / / www. / wxc / )
∴BP=
在△PBD中，
∵0°≤θ≤60°，
∴60°≤60°+2θ≤180°，
∴当60°+2θ=90°，即θ=15°时，
sin(60°+2θ)=1，此时x取得最小值a，即AD最小，
∴AD∶DB=2－3 ( http: / / www. / wxc / )
第4课时 余弦定理（1）
1．C 2．C 3．D 4． 5．220 6． 7．
8．解：由正弦定理及
得， 从而有
，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，。
9．解：在⊿ABD中，设，由余弦定理得
，。即BD=16，在⊿CBD中，
∠CDB=，由正弦定理得
10．解：（1）设这三个数为n，n+1，n+2，最大角为，则，
化简得：，，
（2）设此平行四边形的一边长为a，则夹角的另一边长为4-a，平行四边形的面积为：
当且仅当a=2时，。
11．证明：在△ABC中，A+B+C=1800，因为2B=A+C，故有B=600
，
，
所以△ABC为等边三角形。
第5课时 余弦定理（2）
1.C 2.A 3.C 4.D 5.A
6．
7．
8．①②④
9．ＢＣ的长约为
10．炮击目标的距离ＡＢ为
第6课时 余弦定理（3）
1．B 2．C 3．D 4．C
5．小时
6．14
7．1 h
8．30
9．等腰三角形
10．设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km)
若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则由余弦定理知
由于PO=300,PQ=20t
故
因此,
解得
第7课时 正、余弦定理的应用1
1．C 2．D 3． （提示：以为最大边和不是最大边讨论）
4．300 5．
6．解： ∴
即
。
7．解：，，∴
，∴
∴ ∴最长边与最短边的比为∶3。
8．解：设这三个连续的自然数为n-1，n，n+1，最大的角为，则
是[00，1800]内的减函数，∴要求的最大值即求的最小值，且，
从而有
因此，当n=3时， ，所以的最大值为。
第8课时 正、余弦定理的应用2
1．D 2．B 3．2387m 4．90.8n mile
5．解：设实际运行速度为，由平行四边形法则可得
设探测器实际运行的方向与星球表面的垂直线所成的角为，则
。
答：探测器的实际运行速度为，实际运行方向与星球表面垂直线所成的角为。
6．解：设人的位置为A，塔底为B，塔顶为C
过A作BC的垂线，垂足为D，则
，，BD=15m
（m）
（m）
答：电视塔的高为m。
7．解：，
，AB=200m
山高（m）
答：山高为m。
8．解：
如图：，∠DBC=1800-∠BCD-∠BDC=100
从而有
同理可得
（m）
9．解：（1）由正弦定理：
∴ ∴=
∴
（2）
， ，
∴。
第9课时 解三角形复习课
1.B 2.D 3.B 4.B 5. C
6.钝角 7. 8.
9. 解：①由余弦定理
，
. 由a=c及B=60°
可知△ABC为等边三角形.
②由
∴A=B或A+B=90°，
∴△ABC为等腰△或Rt△.
③，由正弦定理：再由余弦定理：
.
④由条件变形为
.
∴△ABC是等腰△或Rt△.
10. 分析：这是一个立体的图形，要注意画图和空间的简单感觉.
解：①如图：所示. OB=OA (千米)，（千米）
则（千米）
（千米/小时）
②由余弦定理得：
再由正弦定理，得OE=1.5（千米），（分钟）.
答：船的速度为千米/小时；如果船的航速不变，它5分钟到达岛的正西方向，此时所在点E离岛1.5千米.
第1章解三角形单元测试
1．D； 2．B； 3．C； 4．B； 5．D．
6．； 7．①②③④； 8．；
9．40°； 10．正三角形．
11．，，．
提示：，，
，即．
12．依据正弦定理，由得，即，由余弦定理得，所以；由余弦定理，可化为，所以或；由得，，．
13．⑴由正弦定理，角化为边，得，由余弦定理得，所以；⑵由题意得，
====，由得，所以当即时，取得最大值．
14．可以推得，，，，．在中，由正弦定理可得；在中，由正弦定理可得；在中，由余弦定理可得．
15.C 16.A 17.C 18.D
19．45°； 20．9；
21．； 22．
23. a＝，A＝105°，C＝30°
24. 解：（Ⅰ）由
由b2=ac及正弦定理得
于是
（Ⅱ）由由余弦定理 b2=a2+c2－2ac+cosB 得a2+c2=b2+2ac·cosB=5.第2章 数列
【知识结构】
【重点难点】
重点：数列及其通项公式的定义；数列的前n项和与通项公式的关系及其求法；
难点：正确运用数列的递推公式求数列的通项公式；对用递推公式求出的数列的讨论；等差等比数列的应用和性质。
第1课 数列的概念及其通项公式
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．理解数列概念，了解数列的分类；
2．理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列；
3．理解数列的通项公式的概念，并会用通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出它的一个通项公式；
4．提高观察、抽象的能力．
【自学评价】
1．数列的定义：___________________叫做数列(sequence of number).
【注意】⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
思考:简述数列与数集的区别.
__________________________________________________________________________.
2．数列的项：_________________都叫做这个数列的项(term). 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….
3．数列的分类：
按项分类：有穷数列（项数有限）；无穷数列（项数无限）.
4．数列的通项公式：如果数列的第项与 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式（the formula of general term）.
注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列1，1.4，1.41， 1.414，…；
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是
，
也可以是；
⑶数列通项公式的作用：
①求数列中任意一项；
②检验某数是否是该数列中的一项.
5. 数列的图像都是一群孤立的点.
从映射、函数的观点来看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式，因此，数列也可根据其通项公式画出其对应图象．
6．数列的表示形式：____________________
____________________________________.
【精典范例】
已知数列的第ｎ项an 为２ｎ－１，写出这个数列的首项、第２项和第３项．
【解】
【例2】根据下面数列的通项公式，写出它的前5项，并作出它的图象：
.
【解】
【例3】写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1），-， ，-；
（2）0, 2, 0, 2
分析：写出数列的通项公式，就是寻找与项数的对应关系
【解】
点评:(1)将数列的整数部分和分数部分进行分别处理,然后再整体合并;
(2) 将数列进行整体变形以便能呈现出与序号相关且便于表达的关系.
【追踪训练一】
1．下列解析式中不是数列1，-1，1，-1，1，-1，…的通项公式的是 （ ）
A. B.
C. D.
2．数列的一个通项公式是 （ ）
A. B.
C. D.
3．数列的一个通项公式为___________________.
【选修延伸】
【例3】在数列{an}中，a1=2,a17=66，通项公式是项数n的一次函数.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)88是否是数列{an}中的项.
【解】
思维点拔:已知数列的通项，怎样判断一个含有参数的代数式是否为数列中的项？
例如：已知数列的通项为，判断是否为数列中的项？
提示：可把化成通项公式的形式，即，因为，所以满足通项公式的意义，所以是数列中的第项．
【追踪训练二】
1．已知数列，，那么是这个数列的第 （ ）项.
A. B. C. D.
2．数列，是一个函数，则它的定义域为 （ ）
A. 非负整数集
B. 正整数集
C. 正整数集或其子集
D. 正整数集或
3．已知数列，，
则 .
学习札记
数 列
定 义
应 用
通项公式
数列求和
等差数列
等比数列
定义
通项公式
等差（比）数列
前n项和公式
性质
项数
数列
数列定义
项
数列有关概念
数列与函数的关系
数列通项公式
通项
学习札记
学习札记
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第2课时 数列的概念及其通项公式
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．进一步理解数列概念，了解数列的分类；
2．理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列；
3．了解地推数列的概念；
【自学评价】
1．数列的一般形式：，或简记为 ，其中是数列的第n项。
4．数列的分类：
按的增减分类：
（i） 递增数列：，总有；
（ii）递减数列：，总有；
(iii) 摆动数列 ，
有，也有，
例如；
（iv） 常数列：，；
（v）有界数列：存在正整数使；
（vi）无界数列：对任意正整数总存在使．
5．递推数列：如果已知数列的前一项（或前几项），且任意一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，则这个数列叫递推数列，这个公式叫这个数列的递推公式．递推公式是给出数列的一种重要方式．
【精典范例】
【例1】写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）
（3）9，99，999，9999
【解】(1)这个数列的前4项的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，所以它的一个通项公式是： ；
(2) 这个数列的前4项每一项都可以分为整数部分与分数部分的和, 所以它的一个通项公式是：
(3) 这个数列的前4项每一项加1后变成所以它的一个通项公式是：
【例2】已知数列｛an｝的递推公式是
an＋2＝3an＋1－2an，且a1＝1，a2＝3，求数列的前5项，并推测数列｛an｝的通项公式.
【解】由a1=1,a2=3,an+2=3an+1－2an得
a3＝3a2－2a1＝3×3－2×1＝7 a4＝3 a3－2a2＝3×7－2×3＝15 a5＝3a4－2a3＝3×5－2×7＝31
…… 可推测an＝2n－1.
【例3】设，其中为数列的前项和，已知数列的前项和，求该数列的通项公式。
分析：由于与的关系是因而已知求时，常用的解题策略是先求再将用表示，但由于=只能求出数列的第二项及以后各项，故特别要注意验证的情形是否满足=，若满足，则是关于的一个式子，否则写成分段函数的形式．
【解】
【追踪训练一】
1．已知an+1=an+3，则数列{an}是（ A ）
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.摆动数列
2．已知数列{an}满足a1＞0，且an+1=an,则数列{an}是 （　B ）
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.摆动数列
3．数列1，3，6，10，15，……的递推公式是（　B ）
A.
B.
C.
D.
4．设凸n边形的对角线条数为f(n),则f(3)=______;f(n+1)=______(用f(n)表示).
【解析】显然f(3)=0f(n+1)=f(n)+(n－1)
【答案】0 f(n)+n－1
【选修延伸】
【例4】已知数列的通项为
,问:
(1).数列中有多少项为负数？
(2).为何值时,有最小值？并求此最小值．
分析：数列的通项公式可看成，利用二次函数的性质解决问题．
【解】（1）n=2或3共2项
（1）n=2或3时有最小值-2
点评:数列的项与项数之间构成特殊的函数关系，用函数的有关知识解决问题时，要考虑定义域为正整数这一约束条件．
【追踪训练二】
1.已知数列{an}的首项，a1=1,且an=2an－1+1(n≥2),则a5为（　D ）
A.7 B.15 C.30 D.31
2.数列｛－2n2+29n+3｝中最大项的值是（　B ）
A.107　　B.108　　C.108　 D.109
3.若数列{an}满足a1=,an=1－,n≥2，n∈N*,则a2003等于（　B ）
A. 　B.－1 　C.2 　　D.1
4.已知数列{an}的递推公式为n∈N*,那么数列{an}的通项公式为______.
【解析】由a1=1,且an+1=知a2=,a3=,a4=∴an=
【答案】an=
项数
数列
数列定义
项
数列有关概念
数列与函数的关系
数列通项公式
通项
听课随笔
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第1课时 数列的概念及其通项公式
【分层训练】
1．观察下面数列的特点，用适当的数填空
（1） ，， ，，；
（2），， ，，， .
2. 已知，，则的第五项为 .
3. 写出一个数列的通项公式，使它的前４项分别是下列各数：
（１）－１，２，－３，４；
（２）２，４，６，８；
（３）１，４，９，１６；
（４），，，
【拓展延伸】
4. 根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1) 3, 5, 9, 17, 33,……；
(2) , , , , , ……；
(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……；
(4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；
(5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,…….
5．已知数列｛n(n+2)｝．
（１）写出这个数列的第８项和第２０项；（２）323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？
6. 已知数列｛｝的通项公式是．
（１）写出这个数列的前５项，并作出前５项的图象；
（２）这个数列所有项中有没有最小的项？
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第7课时等差数列的前n项和（2）
【分层训练】
1．数列0，1，0，-1，0，1，0，-1，…的一个通项公式是( )
A. B.cos
C.cos D.cos
2．若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,则m的范围是( )
A.(1,2) B.(2,+∞) C.[3,+∞) D.(3,+∞)
3．一群羊中，每只羊的重量数均为整千克数，其总重量为65千克，已知最轻的一只羊重7千克，除去一只10千克的羊外，其余各只羊的千克数恰能组成一等差数列，则这群羊共有（ ）
A.6只 B.5只 C.8只 D.7只
4．等差数列的后200项的和等于___________.
5．若两个等差数列和的前项和分别为和，且满足，则 .
6. 数列{an}的通项公式为an=2n-49，Sn达到最小时，n等于_______________.
7.在小于的正整数中，被除余的数的和是 .
8. 等差数列的前项和为，且，则_______.
【拓展延伸】
9．设等差数列的前项和为，
求的值.
10. 设等差数列的前项和为，已知，>，<，
①求公差的取值范围；
②中哪一个值最大？并说明理由.
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第9课时 解三角形复习课
【分层训练】
1、ΔABC中,a=1,b=, ∠A=30°,则∠B等于( ) （ ）
A．60° B．60°或120°
C．30°或150° D．120°
2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ）
A．a=1,b=2 ,c=3
B．a=1,b= ,∠A=30°
C．a=1,b=2,∠A=100°
C．b=c=1, ∠B=45°
3、在锐角三角形ABC中，有 （ ）
A．cosA>sinB且cosB>sinA B．cosAC．cosA>sinB且cosBD．cosAsinA
4、若(a+b+c)(b+c－a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是 （ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
5、两灯塔A,B与海洋观察站C的距离都等于a(km), 灯塔A在C北偏东30°,B在C南偏东60°,则A,B之间的相距( ) （ ）
A．a (km) B．a(km)
C．a(km) D．2a (km)
6、A为ΔABC的一个内角,且sinA+cosA=, 则ΔABC是______三角形.
7、在ΔABC中，A=60°, c:b=8:5,内切圆的面积为12π,则外接圆的半径为_____.
8、在ΔABC中，a =5,b = 4,cos(A－B)=,则cosC=_______.
【拓展延伸】
9、在ΔABC中,求分别满足下列条件的三角形形状：
①B=60°,b2=ac； ②b2tanA=a2tanB；
③sinC=
④ (a2－b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A－B).
10、海岛O上有一座海拨1000米的山,山顶上设有一个观察站A,上午11时,测得一 轮船在岛北60°东C处,俯角30°,11时10分,又测得该船在岛的北60°西B处, 俯角60°.
①这船的速度每小时多少千米？
②如果船的航速不变,它何时到达岛的正西方向？此时所在点E离岛多少千 米？
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第6课时 余弦定理（3）
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；
2．能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；
3．进一步运用余弦定理解斜三角形．
【课堂互动】
自学评价
1．余弦定理：
(1)，，.
(2) 变形：，，
2．判断该三角形的形状一般都有角化边或边化角两种思路.
【精典范例】
【例1】在ABC中，求证：
（1）
（2）
分析：
【解】
（1）根据正弦定理，可设
= = = k
显然 k0，所以
左边=
==右边
（2）根据余弦定理的推论，
右边=2(bc+ca+ab) =(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c)
=a+b+c=左边
【例2】在中，已知acosA = bcosB用两种方法判断该三角形的形状.
分析：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”。
【解】方法1o（余弦定理）得
a=b
c=
是等腰三角形或直角三角形.
方法2o（正弦定理）得
sinAcosA=sinBcosB,
sin2A=sin2B,
2A=2B,或2A+2B=180
A=B或A+B=90
是等腰三角形或直角三角形.
点评: 判断该三角形的形状一般都有“走边”或“走角”两条路。
【例3】在四边形ABCD中，ADB=BCD=75，ACB=BDC=45，DC=，求：
AB的长
四边形ABCD的面积
【解】（1）因为BCD=75，ACB=45，
所以ACD=30 ，又因为BDC=45，
所以DAC=180-（75+ 45+ 30）=30，
所以， AD=DC=
在BCD中，CBD=180-（75+ 45）=60，所以= ，
BD = =
在ABD中，AB=AD+ BD-2ADBDcos75= 5,
所以， AB=
S=ADBDsin75
=
同理， S=
所以四边形ABCD的面积S=
追踪训练一
1. 在△ABC中，，，则下列各式中正确的是（ D ）A. B.
C. D.
2. 在△ABC中，若,则△ABC的形状是____直角三角形_____
3. 如图，已知圆内接四边形ＡＢＣＤ的边长分别为ＡＢ＝２，ＢＣ＝６，ＡＤ ＝ＣＤ＝４，如何求出四边形ＡＢＣＤ的面积？
答案：S=8
【选修延伸】
【例4】如图：在四边形ABCD中，∠B=∠D=750，∠C=，AB=3，AD=4，求对角线AC的长。
分析：此题涉及两个三角形，AC是公共边。
【解】设∠DCA=，AC=，则
追踪训练二
1．在△ABC中，若c4-2(a2＋b2)c2＋a4＋a2b2＋b4＝0，则∠C等于( D )
A．90° B．120°
C．60° D．120°或60°
2．在锐角中，若，则边长的取值范围是
3．已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S.
答案：a=6,S=9;a=12,S=18
听课随笔
听课随笔
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第3课时
【学习导航】
知识网络
学习要求
1.初步学会不等式证明的三种常用方法：比较法，综合法，分析法。
2.了解不等式证明的另三种方法：反证法，换元法，放缩法.
【课堂互动】
自学评价
1.比较法：　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　．
２．综合法：　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　．
３．分析法：　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　．
【精典范例】
例１．（１）已知且，求证：
（２）已知，求证：
（３）已知，求证：
（４）已知，求证：【解】
思维点拔：
１．比较法证题步骤：作差―――变形――――判断．
２．综合法证题模式：Ａ（已知）Ｂ（结论）
３．分析法证题模式：Ｂ （结论）Ａ（已知）
追踪训练一
已知且，求证：．
２．已知且，求证：
３．求证：
例２.（１）已知求证：不能都大于．
（２）已知，求证：
（３）求证：
追踪训练二
１．用反证法证明：若且，求证：．
２．已知，求证：
３．求证：
学习札记
比较法
综合法
分析法
不等式的证明方法
反证法
换元法
放缩法
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
学习札记第15课 直线的方程（3）
分层训练
1．对于任意实数x，不等式ax2+2ax–(a+2)<0恒成立，则实数a的取值范围是　　　（　　）
Ａ　　　　Ｂ　　　
Ｃ　　　　Ｄ
２．不等式的解集为（　）
ＡＢ CＤ以上答案都不对
３．已知，则目标函数的取值范围为　　 （　 　）
Ａ［２，６］ Ｂ［２，５］
Ｃ［３，６］ 　 Ｄ［３，５］
４．已知，，且
，则的最小值为（　）
Ａ　２　Ｂ　３　　Ｃ　　４　　Ｄ　５
考试热点
５．已知Ａ＝，Ｂ＝，，则Ｍ的面积为　　　　　　　　　　　　．
６．若点Ｐ满足不等式
，则的最小值为　　　　　．
７．若，且满足，则的取值范围为　　　　　．
8．△ABC中,A(3,-1),B(-1,1),C(1,3),写出△ABC所在区域表示的二元一次不等式组(包括边界).
9．若，求证：
．
10．已知函数，满足，求的取值范围．
拓展延伸
11．已知，求证：．
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑第11课时等比数列的概念和通项公式
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．灵活应用等比数列的定义及通项公式；
2．熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法；
3．灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题.
【自学评价】
1. 等比数列的性质：
（1）（）；
(2）对于k、l、m、n∈N*，若，则akal=aman.；
（3）每隔项（）取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列为等比数列；
4）在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。
2. (1) 若{an}为等比数列，公比为q，则{a2n}也是等比数列，公比为q2.
(2) 若{an}为等比数列，公比为q(q≠－1),则{a2n－1+a2n}也是等比数列，公比为q2.
(3) 若{an}、{bn}是等比数列，则{anbn}也是等比数列.
(4) 三个数a、b、c成等比数列的，则
【精典范例】
【例1】已知四个数前3个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，前后两数之积为－128，求这四个数.
【解】 设所求四个数为
－aq，，aq，aq3
由①得a2＝16 ∴a＝4或a＝－4由②得2a2q2－a2q4＝－128
将a2＝16代入整理得
q4－2q2－8＝0解得q2＝4
∴q＝2或q＝－2
因此所求的四个数为
－4，2，8，32或4，－2，－8，－32.
【点评】 根据四个数前3个成等差，后三个成等比，列方程可利用a、q表示四个数，根据中间两数之积为16，将中间两个数设为，aq这样既可使未知量减少，同时解方程也较为方便.
【例2】若a、b、c成等比数列，
试证：a2＋b2，ac＋bc，b2＋c2也成等比数列.
【证明】 由a、b、c成等比数列，
则a·b·c≠0且b2＝ac
(a2＋b2)(b2＋c2)＝(a2＋ac)(ac＋c2)＝ac(a＋c)2＝b2(a＋c)2＝(ab＋bc)2
显然a2＋b2、b2＋c2都不等零，
且ab＋bc≠0∴a2＋b2，ab＋bc，b2＋c2成等比数列.
【点评】 证明数列成等比数列，可利用等比数列的定义，而证明三个数a，b，c成等比，可证明b2＝ac，要注意说明a、b、c全不为零.
追踪训练一
1．在等比数列{an}中，a1=,q=2,则a4与a8的等比中项是( B )
A.±4 B.4 C.± D.
2．在等比数列{an}中，已知a5=－2,则这个数列的前9项的乘积等于( B )
A.512 B.－512 C.256 D.－256
3．2，x,y,z,162是成等比数列的五个正整数，则z的值等于( A )
A.54 B.27 C.9 D.3
4．已知｛an｝是等比数列，且an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于( A )
A.5 B.10 C.15 D.20
5．已知等差数列｛an｝的公差d≠0,且a1，a3，a9成等比数列，则的值为.
【选修延伸】
【例3】在中，，试求的通项
【解】设则
可得＝1
，
为等比数列，首项为=2,公比为3
，
【例4】在中，，试求的通项
【解】原式可变为：，
可构造为
为等比数列，首项，公比3
，
【例5】在中，求｛｝的通项
【解】法一：
原式变形为：，设，
即，
，
即，
为等比数列，首项＝，公比
，
　法二：
设，即
即，
为等比数列，
首项＝，公比，
，
追踪训练二
1．在等比数列｛an｝中，若a2·a8=36,a3＋a7＝15，则公比q值的可能个数为( D )
A.1 B.2 C.3 D.4
2．在各项都为正数的等比数列｛an｝中，若a5·a6＝9，则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a10等于( B )
A.8 B.10 C.12 D.2＋log35
3．已知一个直角三角形三边的长成等比数列，则( C )
A.三边边长之比为3∶4∶5
B.三边边长之比为1∶∶3
C.较小锐角的正弦为
D.较大锐角的正弦为
4．公差不为0的等差数列第二、三、六项构成等比数列，则公比为 ( C )
A.1 B.2 C.3 D.4
5．已知数列满足a1=,且an+1=an+,n∈N*
(1)求证{an－}是等比数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
【解】
(1)【证明】 由an+1 =an+得
an+1－又an－≠0
∴
即，数列{an－}构成等比数列.
(2)由(1)知an－=(a1－)（）n－1,
且a1=
即an=(a1－n－1+
==
听课随笔
①
②
则由已知
听课随笔
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第12课时 等比数列的
前n项和(1)
【分层训练】
1.等比数列的各项都是正数，若,,则它的前5项和是( )
A.179 B.211 C.243 D.275
2.等比数列中,, 前3项和,则公比q为( )
A.3 B. 4
C.3或 4 D. 3或4
3.等比数列的前n项和,则等于( )
A.3 B.1 C.0 D. 1
4.已知等比数列的前项和,前项和,则前项和( )
A.64 B.66 C. D.
5.等比数列中,,,则
( )
A.12 B.10 C.8 D.
6.若是等比数列,前n项和,则( )
A B.
C. D.
7.等比数列4， 2，1， 的前10项和是 .
8. .
9.在等比数列中,,,则 .
10.若三角形三边成等比数列，则公比q 的范围是 .
【拓展延伸】
11.在等比数列中,,
,且前n项和，
求n以及公比q.
12.等比数列中前n项和为,,,求的值.
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第2课时
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．能把一些简单的实际问题转化为数学问题；
2．余弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；
3．初步利用定理判断三角形的形状。
【课堂互动】
自学评价
1．余弦定理：
(1)_______________________，_______________________，_______________________.
(2) 变形：____________________，_____________________，_____________________ .
2．利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：
（１）_______________________________；
（２）______________________________．
【精典范例】
【例1】在长江某渡口处，江水以的速度向东流，一渡船在江南岸的码头出发，预定要在后到达江北岸码头，设为正北方向，已知码头在码头的北偏东，并与码头相距．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到，速度精确到）？
【解】
【例2】在中，已知，试判断该三角形的形状．
【解】
【例3】如图，是中边上的中线，求证：．
【证明】
追踪训练一
1. 在△ＡＢＣ中，如果＝２∶３∶４，那么ｃｏｓＣ等于（　 　）．
Ａ．　Ｂ．　Ｃ．　Ｄ．
2.如图，长７ｍ的梯子ＢＣ靠在斜壁上，梯脚与壁基相距１．５ｍ，梯顶在沿着壁向上６ｍ的地方，求壁面和地面所成的角α（精确到０.１°）．
3. 在△ＡＢＣ中，已知ａ＝２，ｂ＝３，Ｃ＝６０°，试证明此三角形为锐角三角形．
【选修延伸】
【例4】在△ABC中，设，且，请判断三角形的形状。
【解】
追踪训练二
1．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则等于( 　)
A． B． C． D．
2．在△ＡＢＣ中，设，，且｜｜＝２，｜｜＝，·＝－，求ＡＢ的长．
3.用余弦定理证明：在△ＡＢＣ中，　　
（１）ａ＝ｂｃｏｓＣ＋ｃｃｏｓＢ；　　
（２）ｂ＝ｃｃｏｓＡ＋ａｃｏｓＣ；
（３）ｃ＝ａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡ．
听课随笔
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第11课时基本不等式的证明(2)
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学习要求
1. 理解最值定理的使用条件：
一正二定三相等．
2. 运用基本不等式求解函数最值问题．
【课堂互动】
自学评价
最值定理：
若x、y都是正数，
(1)如果积xy是定值P , 那么当且仅当x=y时, 和x+y有最小值　　　　　．.
(2)如果和x+y是定值S , 那么当且仅当x=y时, 积xy有最大值　　　　　．
２．最值定理中隐含三个条件：　一正二定　　　　
　　三相等　　　　　　　．
【精典范例】
例1．(1).已知函数y=x+(x>－2), 求此函数的最小值.
(2)已知x<, 求y=4x－1+的最大值;
(3)已知x>0 , y>0 , 且5x+7y=20 , 求xy的最大值;
(4)已知x , y∈R+ 且x+2y=1 , 求的最小值.
【解】
答案：（1）的最小值为6（x=2）．
（２）的最大值为２(x=1)．
（３）的最大值为(x=2,y=)．
（4）的最小值为
()．
例2. 错在哪里
（１）求y=(x∈R)的最小值.
解∵y=
∴ y的最小值为2 .
.（２）已知x , y∈R+ 且x+４y=1，求
　的最小值．
法一：由１＝得
所以．
所以原式最小值为８．
法二：由（当且仅当x=y时等号成立）．于是有得x=y=0.2．所以的最小值为5+5=10.
思维点拔：
１．利用基本不等式求最值问题时，一定要交代等号何时成立，只有等号成立了，才能求最值，否则要用其它方法了．而在证明不等式时，不必要交代等号何时成立．
２．例2是常见典型错误，它违背了最值定理使用前提：“一正二定三相等”中的后两条。
追踪训练一
求函数y=4x2+的最小值；
已知x<0 , 求y=的最大值；
已知x , y∈R+, 且+=1 , 求x+y的最小值;
已知x>-2 , 求y=的最大值；
已知x>1 ,0答案：
（1）的最小值为１２（x=）．
（２）的最大值为－２（x=）．
（３）x+的最小值为16（x=）．
（4）的最大值为２（x=）．
（5）．
【选修延伸】
利用函数单调性求函数最值.
例3:求函数的最小值.
　
略解：令，则且，椐单调性定义可证：关于t的函数y在上为增函数，所以当时，的最小值为．
思维点拔：
利用基本不等式求解时,等号不能成立,故改用函数单调性求解.
追踪训练二
求函数的最小值.
答案：的最小值为５．
听课随笔
基本不等式
内容
证明
最值定理
使用条件：
一正二定三相等
作用：求最值
【师生互动】
学生质疑
教师释疑
听课随笔第2课时
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正弦定理→测量问题中的应用
学习要求
1．正弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；
2．学会用计算器，计算三角形中数据。
【课堂互动】
自学评价
1．正弦定理：在△ABC中，,
变形：（1），_____________，________________.
（2），______________，________________.
2．三角形的面积公式：
（1）=_________=_________
（2）s=
（3）
【精典范例】
如图，某登山队在山脚Ａ处测得山顶Ｂ的仰角为３５°，沿倾斜角为２０°的斜坡前进１０００ｍ后到达Ｄ处，又测得山顶的仰角为６５°，求山的高度ＢＣ（精确到１ｍ）．
分析：要求ＢＣ，只要求ＡＢ，为此考虑
解△ＡＢＤ．
【解】
【例2】在埃及，有许多金字塔形的王陵，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了，考古人员在研究中测得一座金字塔的横截面如图（顶部已经坍塌了），∠A=，∠B=，AB=120m，如何求得它的高？
（）
分析：本题可以转化成：（1）解三角形，确定顶点C；
（2）求三角形的高。
【解】
【例3】一座拦水坝的横断面为梯形，如图所示，求拦水坝的横断面面积。（请用计算器解答，精确到）
【解】
注：本题也可以构造直角三角形来解，过C作CE⊥AB于E，过D作DF⊥AB于F即可。
【例4】已知、、是△ABC中∠A、
∠B、∠C的对边，是△ABC的面积，若=4，=5，=，求的长度。
【解】
追踪训练一
1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是 ( )
A.10海里 B.海里
C. 5海里? D.5海里
2．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长( )
A. 1公里 B. sin10°公里
C. cos10°公里 D. cos20°公里
3．如图：在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100m后，又从点B测得斜度为45，假设建筑物高50m，求此山对于地平面的斜度
【解】
【选修延伸】
【例5】在湖面上高h处，测得云彩仰角为，而湖中云彩影的俯角为，求云彩高.
【解】
追踪训练二
1．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°， 另一灯塔在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时 ( )
A.5海里? B.5海里
C.10海里? D.10海里
2．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离与第二辆车与第三辆车的距离d2之间的关系为 ( )
A. B.
C. D. 不能确定大小
听课随笔
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第2课时
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学习要求
1．进一步理解三个一元二次之间的关系，掌握一元二次不等式解的逆向问题。
2．会解一些简单的含参数的一元二次不等式．
【课堂互动】
自学评价
1．不等式a(x-1)(x-2)<0的解集为
{x|x<1或x>2}则a与0的关系为：
2．不等式(x-1)(x-a)<0的解集为　　　　
　 。
【精典范例】
例1已知不等式x2+ax+b<0的解集为{x|－1【解】
变式：已知不等式b x2－ax+１ <0的解集为{x| x < －或x>1}, 求不等式x2+ax+b<0的解集．
思维点拔：
不等式与方程的关系是关键．从不等式的解方程的根韦达定理(或将根代入) 新不等式的解．
追踪训练一
１．不等式ax2+bx+2<0的解集为{x| －2．已知关于x的不等式ax2+2x+6a<0的解集为{x| x <2或x>3}, 求a的值．
例２.解关于x的不等式x2－(a+1)x+a>0
例3：解关于x的不等式ax2－x+1>0
【解】
思维点拔：
1.分类讨论标准的确定
(1).x2系数的正负或者为零的讨论
(2).与０的大小比较
(3).两根大小的比较．
２．分类讨论不要重复和遗漏
追踪训练二
1. 解关于x的不等式ax2－(a+1)x+1>0
2. 解关于x的不等式x2－ax+1>0
学习札记
逆向问题
一元二次不等式
含参数不等式的解法
学习札记
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第13课时基本不等式的应用（1）
【学习导航】
知识网络
学习要求
会用基本不等式解决简单的最大（小）值的实际问题。
2.通过对实际问题的研究，体会数学建模的思想。
3．开拓视野，认识数学的科学价值和人文价值．
【课堂互动】
自学评价
1．求函数最值的方法：　证法很多，里面应包含利用基本不等式的方法．
2．若半圆的半径为R , 则其半圆上的动点到直径两端点距离之和的最大值为　．
【精典范例】
例１．用长为4a的铁丝围成一个矩形, 怎样才能使所围矩形的面积最大.(用基本不等式求解)．
【解】
见书．
.
例２．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池, 其容积为4800m3, 深度为3m , 如果池底每1m2的造价为150元, 池壁每1m2的造价为120元, 怎样设计水池能使总造价最低 最低总造价为多少元
见书．
例３．某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台, 每批都购入x台(x为正整数), 且每批需付运费400元, 储存购入的电视机全年所付保管费用与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比, 若每批购入400台, 则全年需用去运费和保管费43600元, 现在全年只有24000元资金可用于支付这笔费用, 能否恰好当地安排每批进货的数量, 使资金够用, 写出你的结论, 并说明理由.
解：设总费用为元，保管费用与电视机总价值的比例系数为k（k>0）,每批购入x台，则．
由于当时，解得
．
所以元．
此为所需最低费用．
当且仅当x=120时，取得等号．
因此只需每批购入120台,可使资金够用.
思维点拔：
先建目标函数，再用基本不等式求最值，这是一种很常见题型，加以理解和掌握．
追踪训练
１．建造一个容积为8m3, 深为2m的长方体无盖水池, 如果池底的造价为每平方米120元, 池壁的造价为每平方米80元, 求这个水池的最低造价.
略解：类似于例２，可求得当水池为正方体时，造价最低，为1760元.
２．巨幅壁画画面与地面垂直, 且最高点离地面14米, 最低点离地面2米, 若从离地面1.5米处观赏此画, 问离墙多远时, 视角最大
略解:设离墙x米,视角为ψ,
则=
(当x=2.5时等号成立)
答：略．
听课随笔
实际问题
数学建模
利用基本不等式
求最值
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑第9课时 解三角形复习课
(1)、(2)
学习要求
掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形；
能利用计算器解决三角形的计算问题。
【课堂互动】
自学评价
1．正弦定理：
(1)形式一：= 2R ；
形式二：；；；（角到边的转换）
形式三：，，；（边到角的转换）
形式四：；（求三角形的面积）
(2)解决以下两类问题：
1）、已知两角和任一边，求其他两边和一角；（唯一解）
2）、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。
(3)若给出那么解的个数为：
若，则无解；
若，则一解；
若，则两解；
2．余弦定理：
(1)形式一：，，
形式二：，，，（角到边的转换）
(2)解决以下两类问题：
1）、已知三边，求三个角；（唯一解）
2）、已知两边和它们得夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）
【精典范例】
一、判定三角形的形状
【例1】根据下列条件判断三角形ABC的形状：
若a2tanB=b2tanA；
b2sin2C + c2sin2B=2bccosBcosC;
(3)(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1.
【解】(1)由已知及正弦定理得
(2RsinA)2 = (2RsinB)2
2sinAcosA=2sinBcosBsin2A=sin2B
2cos(A + B)sin(A – B)=0
∴ A + B=90o 或 A – B=0
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.
(2)由正弦定理得
sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC
∵ sinBsinC≠0,
∴ sinBsinC=cosBcosC,
即 cos(B + C)=0, ∴ B + C=90o, A=90o,
故△ABC是直角三角形.
(3)(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1 [2sincos+ sin(A + B)] – [2coscos+ 2cos2- 1]=0
[2sincos+ sin(A + B)] – 2coscos - 2sin2=0(sin- cos)(cos- sin)=0sin( - )sinsin=0
△ABC是Rt△.
二、三角形中的求角或求边长问题
【例2】△ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=，分别在边AB、BC、CA上取点D、E、F，使△DEF是等边三角形.设∠FEC=α，问sinα为何值时，△DEF的边长最短？并求出最短边的长。
分析：要求最短边的长，需建立边长关于角α的目标函数。
【解】设△DEF的边长为x，显然∠C=90°，∠B=60°，故EC=x·cosα。因为∠DEC=∠DEF+α=∠EDB+∠B，所以∠EDB=α。在△BDE中，由正弦定理得，
所以 ，因为BE+EC=BC，所以，
所以
当，。
注：在三角形中，已知两角一边求其它边，自然应联想到正弦定理。
【例3】在△ABC中，已知sinB=,
cosA=, 试求cosC的值。
【解】由cosA=，得sinA=,
∵ sinB∴ cosB=,
又 cosC= - cos(A + B)=sinAsinB – cosAcosB=.
【例4】在△ABC中，已知边上的中线BD=，求sinA的值.
分析：本题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形
的技能和运算能力.
【解】设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且DE=
在△BDE中利用余弦定理可得：
BD2=BE2+ED2－2BE·EDcosBED，
【例5】在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，且.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求bc的最大值.
【解】(Ⅰ) =
=
= =
(Ⅱ) ∵
∴,
又∵
∴
当且仅当 b=c=时,bc=,故bc的最大值是.
三、解平面几何问题
【例6】已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积。
分析：连结对角线BD，将四边形面积转化为三角形面积来求，而要求三角形面积，需求出∠A、∠C，这可由余弦定理列方程求得。
【解】
四边形ABCD的面积S=.
注：在应用正弦定理解题时要注意方程思想的运
追踪训练一
1. △ABC中a=6,b=6 A=30°则边C=（ C ）
A、6 B、、12 C、6或12 D、6
2. △ABC中若sin(A+B) ，则△ABC是（ B ）
A 锐角三角形 B 直角三角形
C 钝角三角形 D 等腰三角形
3. △ABC中若面积S=
则C=（ C ）
A B C D
4.△ABC中已知∠A=60°，AB =AC=8：5，面积为10，则其周长为 20 ;
5.△ABC中A：B：C=1：2：3则a：b：c= 1::2 .
【选修延伸】
四、解实际应用问题
【例7】某观测站C在A城的南偏西20°方向，由A城出发有一条公路定向是南偏东40°，由C处测得距C为31km的公路上B处有1人沿公路向A城以v=5km/h的速度走了4h后到达D处，此时测得C、D间距离为21km。问这人以v的速度至少还要走多少h才能到达A城。
【解】由已知得CD=21，BD=20，CB=31，
∠CAD=60°。设AD=x，AC=y。在△ACB和△ACD中，分别由余弦定理得，
人以v的速度至少还要走3h才能到达A城。
五、证明三角恒等式
【例8】在△ABC中，
求证： + +=0.
【证明】因为
=
=
==4R2(cosB – cosA),
同理 =4R2(cosC – cosB)
=4R2(cosA – cosC)
.所以左边=4R2(cosB – cosA) + 4R2(cosC – cosB) + 4R2(cosA – cosC)=0 得证.
【例9】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a, b, c, 证明：。
【证明】由余弦定理知，两式相减得。所以，所以。
由正弦定理，，所以=。故等式成立。
追踪训练二
1．△ABC中若面积sinA·cosB－sinB=sinC－sinA·cosC 且周长为12，则其面积最大
值为 36(3－);
2．△ABC中已知sin(A+B)+sin(A+B)=,
cos(A+B)+cos(A+B)= 求角A和B
【解】
3．△ABC中已知∠A=30°cosB=2sinB－
①求证：△ABC是等腰三角形
②设D是△ABC外接圆直径BE与AC的交点,且AB=2 求：的值
【解】
①°
从而
△ABC是顶角为A的等腰三角形。
②在△ABC中由正弦定理
在△BCD中由正弦定理
听课随笔
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【师生互动】
学生质疑
教师释疑第４课 一元二次不等式（3）
分层训练
1.若关于x的不等式ax2+bx+c<0 (a≠0)的解集是空集, 那么 ( )
A. a<0且b2－4ac>0 B. a<0且b2－4ac≤0
C. a>0且b2－4ac≤0 D. a>0且b2－4ac>0
2.设k∈R , x1 , x2是方程x2－2kx+1－k2=0的两个实数根, 则x+x的最小值为 ( )
A. —2 　 B. 0
C. 1 D. 2
3. A={x||x－a|<2} , B={x|}, 若AB,
则 　　　　　　　　　　　　　　 ( )
A. 0≤a≤1 B. 0≤a<1
C. 04.不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<1或x>3}, 则a : b : c=___________ .
考试热点
5.设f(x)=(m+1)x2－mx+m－1, 若方程f(x)=0有实根, 则实数m的取值范围是___________ ;
6.设f(x)=(m+1)x2－mx+m－1, 若不等式f(x)>0的解集为, 则实数m的取值范围是____________ ;
7.设f(x)=(m+1)x2－mx+m－1, 若不等式f(x)>0的解集为R , 则实数m的取值范围是___________ .
8.解不等式:
(1) x4－x2－2≥0
(2) 2x－>1
9.已知不等式x2－2x+k2－1>0对一切实数x恒成立, 求实数k的取值范围.
拓展延伸
10.解关于x的不等式.
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑第2课时 一元二次不等式(1)
【学习导航】
知识网络
学习要求
1．通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系
2．会解简单的一元二次不等式及简单应用．
【课堂互动】
自学评价
1．一元二次不等式： 只含一个未知数且未知数最高次数是2的不等式叫之。 ．
2．当a>0时，填写下表：.
△=b2－4ac △>0 △=0 △<0
y=ax2+bx+c的图象 见书．
ax2+bx+c=0的根的情况
ax2+bx+c>0的解集
ax2+bx+c<0的解集
３．思考：当a<0时，怎么办呢？
答：转化为a＞0的情形或直接画出开口向下的二次函数图象求解．
【精典范例】
例1.解下列不等式
(1)x2－7x+12>0
(2)－x2－2x+3≥0
(3)x2－2x+1<0
(4)x2－2x+2<0
【解】
答案：（１）
（２）
（３）
（４）
点评:不等式的解与方程的根是密切相关的．
例2：解下列不等式
(1).1(2)(x2+4x-5)(x2-2x+2)>0
(3) (x2+4x-5)(x2-4x+4)>0
(4)x4-x2-6≥０
(5) >0
(6) ≤0
【解】
答案：（１）
（２）
（３）
（４）
（５）
（６）
点评：“”符号的使用可使表达简洁，另外端点是否包含在内特别要小心谨慎．
思维点拔：
当a>0时ax2+bx+c>0的解集为两根之外或R，ax2+bx+c<0解集为两根之内或φ。
解一元二次不等式的方法：图象法，结论法。
解一元二次不等式的步骤：一看x2系数，二求方程的根，三写出结论。
不等式的解要写成解集的形式，即用集合或区间表示。
学会用化归的思想解决一些可化为一元二次不等式的问题。
追踪训练一
1. 函数y=的定义域为_____________
2. 函数y=lg(2x2+3x-1)的定义域为_____________
３. 函数y=lg(-x2+5x+24)的值小于１，则x的取值范围为_____________
４．设k∈R , x1 , x2是方程x2－2kx+1－k2=0的两个实数根, 则x+x的最小值为
（　Ｃ　）
A. —2 　 B. 0 　　 C. 1 D. 2
【选修延伸】
高次不等式的解法
解下列不等式：
（1）
（2）
答案：
（３）
（４）
思维点拨
解高次不等式的方法步骤：
方法：序轴标根法．
步骤：①化一边为零且让最高次数系数为正；
②把根标在数轴上；
③右上方向起画曲线，让曲线依次穿过标在数轴上的各个根；
④根据“大于0在上方，小于0在下方”写出解集。
注：①重根问题处理方法：“奇过偶不过”．
②分式不等式转化为高次不等式求解．
追踪训练一
设（为实常数），且方程有两个实数根为，，
（1）求函数的解析式．（２）设，解关于的不等式．
略解：（１）
（２）原式变为
可化为
即
当时，解集为
当时，解集为
当时，解集为
听课随笔
解法(不含字母的)
简单应用
听课随笔第8课时等差数列的前n项和（3）
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学习要求
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；
2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；
3．利用等差数列解决相关的实际问题。
【自学评价】
等差数列的性质：
1．当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和
是关于的常数项为0的二次函数.
2．若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。
3．当时,则有，
特别地，当时，则有
4．在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列是等差数列．
5．若、是等差数列，
，…也成等差数列
6．在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，
，
（这里即）；。
7．若等差数列、的前和分别为、，且，则
.
8．如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.
注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究.
【精典范例】
【例1】某剧场有２０排座位，后一排比前一排多２个座位，最后一排有６０个座位，这个剧场共有多少个座位？
【解】　这个剧场各排的座位数组成等差数列，其中公差ｄ＝２，项数ｎ＝２０，且第２０项是ａ２０＝６０?
由等差数列的通项公式，得
所以
由等差数列的求和公式，得
答　这个剧场共有820个座位.
【例2】某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径４０ｍｍ，满盘时直径１２０ｍｍ已知卫生纸的厚度为０．１ｍｍ，问：满盘时卫生纸的总长度大约是多少米（精确到１ｍ）？
【解】卫生纸的厚度为０．１ｍｍ，可以把绕在盘上的卫生纸近似地看做是一组同心圆，然后分别计算各圆的周长，再求总和．由内向外各圈的半径分别为
20.05，20.15，…，59.95．
因此，各圈的周长分别为
因为各圈半径组成首项为20.05，公差为0.1的等差数列，设圈数为ｎ，则
59.95＝20.05＋（ｎ－１）×0.1，
所以ｎ＝４００．
显然，各圈的周长组成一个首项为４０．１π，公差为０．２π，项数为４００的等差数列．根据等差数列的求和公式，得
答　满盘时卫生纸的长度约为１００ｍ．
【例3】）教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税．教育储蓄的对象为在校小学四年级（含四年级）以上的学生．假设零存整取３年期教育储蓄的月利率为2.1‰．
（１）欲在３年后一次支取本息合计２万元，每月大约存入多少元？
（２）零存整取３年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时３年后本息合计约为多少？（精确到１元）
【解】（１）设每月存Ａ元，则有
Ａ（１＋2.1‰）＋Ａ（１＋２×2.1‰）＋…＋Ａ（１＋３６×2.1‰）=20000
利用等差数列求和公式，得
解得A≈535(元)
（２）由于教育储蓄的存款总额不超过２万元，所以３年期教育储蓄每月至多可存入≈５５５（元）．这样，３年后的本息和为
答　欲在３年后一次支取本息２万元，每月大约存入535元．３年期教育储蓄每月至多存入555元，３年后本息合计约20756元．
追踪训练一
1. 已知an = (n∈N*), 则数列{an}的最大项是（ C ）
A．第12项 B．第13项
C．第12项或第13项 D．不存在
2. 已知等差数列｛ａｎ｝满足ａ１＋ａ２＋…＋ａ１０１＝０，则有（　Ｃ　）．
Ａ．＞０　Ｂ．＜０
Ｃ．＝０　Ｄ．
3. 已知一个凸多边形的内角度数组成公差为５°的等差数列，且最小角为１２０°，问它是几边形．
【答案】9边形
4．某钢材库新到２００根相同的圆钢，要把它们堆放成正三角形垛（如图），并使剩余的圆钢尽可能地少，那么将剩余多少根圆钢？
【答案】将剩余10根圆钢
5．时钟在１点钟的时候敲一下，在２点钟的时候敲２下……在１２点钟的时候敲１２下，中间每半点钟也敲一下．一昼夜内它一共敲多少下？
【答案】一昼夜内它一共敲180下
【选修延伸】
【例4】已知数列的通项公式为＝，求它的前项和．
分析：我们先看通项＝，然后将其分裂成，再求和．
【解】
∵=
∴
=
点评: 如果数列的通项公式可转化为形式，常采用裂项求和的方法．特别地，当数列形如，其中是等差数列，可尝试采用此法．
常用裂项技巧如：，等．
【例5】已知数列满足，，求.
【解】由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即
又，
追踪训练二
1．在等差数列中，前n项的和为Sn,若Sm=2n,Sn=2m,(m、n∈N且m≠n)，则公差d的值为（ A ）
A.－ B.－
C.－ D. －
2．三角形三个边长组成等差数列，周长为36，内切圆周长为6π，则此三角形是（ D ）A．正三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形，但不是直角三角形
D．直角三角形，但不是等腰三角形
3．设，利用课本中推导等差数列前项和方法，求…的值为 5 .
4．已知数列满足，，求.
【解】由条件知：
分别令，代入上式得个等式累加之，即所以
，
5．已知， ，求.
【解】
听课随笔
听课随笔
听课随笔
【师生互动】
学生质疑
教师释疑