北师大版数学八年级下册1.1.2 等腰三角形的特殊性质及等边三角形的性质 课件（25张）

第一章 三角形的证明
1 等腰三角形
课时2 等腰三角形的特殊性质及等边三角形的性质
等腰三角形中相等的线段
等边三角形的性质.（重点、难点）
学习目标
新课导入
等腰三角形有哪些性质？
1．等腰三角形的性质：等边对等角.
2．等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角形
顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相
重合.
新课讲解
知识点1 等腰三角形中相等的线段
在等腰三角形中画出一些线段(如角平分线、中
线、高等)，你能发现其 中一些相等的线段吗？能证
明你的结论吗？
新课讲解
例
典例分析
证明：等腰三角形两底角的平分线相等.已知：如图,在
△ABC中，AB=AC, BD和CE是△ABC的角平分线.求证：
BD = CE.
新课讲解
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB (等边对等角）.
∵BD,CE分别平分∠ABC 和∠ACB ，
∴ ∠1＝∠2.
在△BDC和△CEB中，
∠ ACB＝∠ ABC, BC=CB, ∠1＝∠2,
∴△BDC≌△CEB (ASA).
∴BD＝CE(全等三角形的对应边相等）.
证明：
新课讲解
例
典例分析
求证：等腰三角形两腰上的中线相等．
分析：
先根据命题分析出题设和结论，画出图形，写
出已知和求证，然后利用等腰三角形的性质和
三角形全等的知识证明．
新课讲解
解：
如图，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别是AB
和AC上的中线，
求证：CE＝BD.
∵AB＝AC，CE和BD分别是AB
和AC上的中线，
∴∠ABC＝∠ACB，BE＝CD.
又∵BC＝CB，∴△BEC≌△CDB.
∴CE＝BD.
证明：
新课讲解
练一练
D
在等腰三角形ABC中，AB＝AC，那么下列说法中不正确的是(　　)
A．BC边上的高线和中线互相重合
B．AB和AC边上的中线相等
C．顶点B处的角平分线和顶点C处的角平分线相等
D．AB，BC边上的高线相等
新课讲解
知识点2 等边三角形的性质
1．等边三角形的定义是什么？
2．想一想
等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角
形的内角有什么特征呢?
新课讲解
定理　　
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角
都等于60°.
新课讲解
例
典例分析
已知：如图, 在△ABC中，AB= AC=BC.
求证：∠A= ∠ B = ∠ C = 60°.
∵AB = AC，
∴∠ B = ∠ C (等边对等角).
又∵AC = BC，
∴∠A= ∠ B (等边对等角).
∴∠A= ∠ B = ∠ C.
在△ABC中，∠A+∠ B+∠ C = 180°.
∴∠A= ∠ B = ∠ C = 60°.
新课讲解
A
B
C
等边三角形的定义
三条边都相等的三角形叫做等边三角形(也叫正三角形).
等边三角形是特殊的等腰三角形.
新课讲解
有两边相等的三角形是等腰三角形（定义）
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
满足什么条件的三角形是等边三角形?
满足什么条件的三角形是等腰三角形?
三边都相等的三角形是等边三角形（定义）
三个角都相等的三角形是等边三角形.
方法一：从边看
方法二：从角看
方法一：
方法二：
新课讲解
例
典例分析
如图，已知△ABC是等边三角形，D，E，F分别是三边AB，AC，BC上的点，且DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，计算△DEF各个内角的度数．
分析：
要计算出△DEF各个内角的度数，有两个途径，即证△DEF为等边三角形或直接求各个角的度数，由垂直的定义及等边三角形的性质，显然直接求各个角的度数较易．
新课讲解
因为△ABC是等边三角形，
所以∠A＝∠B＝∠C＝60°.
因为DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，
所以∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°.
所以∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
所以∠EDF＝180°－30°－90°＝60°.
同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°.
即△DEF各个内角的度数都是60°.
解：
新课讲解
例
典例分析
如图，已知△ABC，△BDE都是等边三角形．
求证：AE＝CD.
分析：
要证AE＝CD，可通过证AE，CD所在的两个三角形全等来实现，即证△ABE≌△CBD，条件可从等边三角形中去寻找．
新课讲解
∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°.
在△ABE与△CBD中，
∴△ABE≌△CBD(SAS)．
∴AE＝CD.
证明：
新课讲解
练一练
1.求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数.
解：
如图，在等边三角形ABC中，CE，BF分别是AB，AC边上的中线，且CE与BF相交于点O，
则CE垂直平分AB，BF垂直平分AC，
在Rt△ABF中，∵∠A＝60°，
∴∠ABF＝30°.
在Rt△BEO中，∵∠EBO＝30°，∴∠EOB＝60°，
即等边三角形两条中线相交所成锐角的度数为60°.
新课讲解
2.如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC的度数.
解：
由题意易知，
BD＝DE＝AD，
∴∠DBA＝∠BAD.
又∵∠DBA＋∠BAD＝∠ADE＝60°，
∴∠BAD＝30°.同理可得，∠CAE＝30°，
∴∠BAC＝∠BAD＋∠DAE＋∠CAE
＝30°＋60°＋30°＝120°.
课堂小结
1．等腰三角形的特殊性质：
(1)等腰三角形两底角的平分线相等；
(2)等腰三角形两腰上的高相等；
(3)等腰三角形两腰上的中线相等；
2．等边三角形的性质：
(1) 等边三角形的三边都相等；
(2) 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°；
(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别为三边的垂直平分线；
(4)各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等．
当堂小练
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，下列条件中，不能使BD＝CE的是(　　)
A．BD，CE为AC，AB边上的高
B．BD，CE都为△ABC的角平分线
C．∠ABD＝ ∠ABC，
∠ACE＝ ∠ACB
D．∠ABD＝∠BCE
D
当堂小练
2.下面关于等边三角形的说法正确的有(　　)
①三个角都相等；②三条边都相等；③是一种特殊的等腰三角形；④是一种特殊的直角三角形．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C
拓展与延伸
已知△ABC是等边三角形，设AB，BC，AC边上的中线交于点G，∠BAC，∠ABC，∠ACB的平分线交于点I，AB，BC，AC边上的高交于点H，则下列结论：①点G与点I一定重合；②点G与点H一定重合；③点I与点H一定重合；④点G，点I与点H一定重合．其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D
布置作业
请完成对应习题