北师大版数学八年级下册1.1.3 等腰三角形的判定与反证法 课件（25张ppt）

第一章 三角形的证明
1 等腰三角形
课时3 等腰三角形的判定与反证法
等腰三角形的判定
反证法.（重点、难点）
学习目标
新课导入
D
A
B
C
1、等腰三角形是怎样定义的？
有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形.
①等腰三角形是轴对称图形.
③等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边
上的高重合(也称为“三线合一”).
②等腰三角形的两个底角相等(简写成
“等边对等角”) .
2、等腰三角形有哪些性质？
既是性质又是判定
新课讲解
知识点1 等腰三角形的判定
思考
我们知道，如果一个三角形有两条边相等，
那么它们所对的角相等. 反过来，如果一个三角
形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
新课讲解
如图，在△ABC中，∠B=∠C.
作△ABC的角平分线AD.
在△BAD和△CAD中，
∠1=∠2，
∠B=∠C ，
AD=AD,
∴△BAD ≌△CAD (AAS).
∴ AB=AC.
新课讲解
1．判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角
形．(简称等角对等边)
应用格式：在△ABC中，∵∠B＝∠C, ∴AB＝AC.
2．等腰三角形的判定与性质的异同
相同点：都是在一个三角形中；
区别：判定是由角到边，性质是由边到角．
即： ．
新课讲解
例
典例分析
已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交
于点E. 求证：△AED是等腰三角形.
新课讲解
∵AB＝DC，BD＝CA，AD＝DA，
∴△ABD≌△DCA ( SSS ).
∴ ∠ADB＝DAC (全等三角形的对应角相等).
∴AE＝DE (等角对等边).
∴△AED是等腰三角形.
证明：
新课讲解
例
典例分析
如图，在△ABC中， P是BC边上一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R，若AQ＝AR，则△ABC是等腰三角形吗？请说明理由．
分析：
要说明△ABC为等腰三角形，由图可知即要说明∠B＝∠C，而∠B，∠C分别在两个直角三角形中，因此只要说明∠B，∠C的余角
∠BQP，∠R相等即可．
新课讲解
解：
△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵AQ＝AR，∴∠R＝∠AQR.
又∵∠BQP＝∠AQR，∴∠R＝∠BQP.
∵PR是BC的垂线，∴∠BPQ＝∠CPR＝90°.
在Rt△QPB和Rt△RPC中，∠B＋∠BQP＝90°，
∠C＋∠R＝90°，
∴∠B＝∠C. ∴AB＝AC.
新课讲解
练一练
1.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平分线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由.
解：
△BDE为等腰三角形．
理由如下：因为BD平分∠ABC，
所以∠ABD＝∠DBC.
因为DE∥BC，所以∠EDB＝∠DBC.
所以∠EBD＝∠EDB. 所以EB＝ED.
故△BDE为等腰三角形．
新课讲解
2.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是(　　)
A．∠A＝50°，∠B＝70°
B．∠A＝70°，∠B＝40°
C．∠A＝30°，∠B＝90°
D．∠A＝80°，∠B＝60°
B
新课讲解
知识点2 反证法
想一想
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，
那么这两个角所对的边也不相等.你认为小明这个结
论成立吗？如果成立，你能证明它吗？
新课讲解
小明是这样想的：
如图，在△ABC中，已 知∠B≠∠C,此时AB与AC要么相等，要么不相等.
假设AB＝AC那么根据“等边对等
角”定理可得∠C＝∠B， 这与已知条
件∠B≠∠C相矛盾，因此 AB≠AC．
你能理解他的推理过程吗？　
新课讲解
1．定义
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与
定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，
从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反
证法．
2．利用反证法证明命题的一般步骤
(1)假设命题的结论不成立；
(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
新课讲解
3．适宜用反证法证明的命题
反证法主要用于直接证明比较困难的命题，例如
下面几种常见类型的命题就适宜用反证法：
(1)结论以否定形式出现的命题，如钝角三角形中不
能有两个钝角；
(2)唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点；
(3)命题的结论以“至多”“至少”等形式叙述的命
题，如一个凸多边形中至多有3个锐角．
新课讲解
例
典例分析
用反证法证明命题“等腰三角形的两底角是锐角”时，第一步为______________________________
_______．
分析：
反证法的第一步是假设“命题的结论不成立”，就
是“命题结论的反面是正确的”，理解了命题的结
论和命题结论的反面，问题即可解决．
假设等腰三角形的两底角是直角
或钝角
新课讲解
例
典例分析
用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：△ABC.
求证： ∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角.
证明：
假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设
∠A和∠B是 直角，即 ∠A= 90°，∠B = 90°.
于是 ∠A＋∠B＋∠C = 90°＋ 90°＋ ∠C > 180°.
这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是
直角”的假设不成立.
所以，一个三角形中不能有两个角是直角.
新课讲解
练一练
　 用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设(　　)
A．一个三角形中至少有两个钝角
B．一个三角形中至多有一个钝角
C．一个三角形中至少有一个钝角
D．一个三角形中没有钝角
A
课堂小结
1．等腰三角形的判定是把角相等转化为边相等，但前
提是在同一个三角形内．
2．利用反证法解题的一般步骤：
(1)假设；
(2)归谬：从假设出发，经过推理论证得出与已知、定
理、公理等相矛盾的结果；
(3)结论：肯定命题结论正确.
当堂小练
1.在下列三角形中，若AB＝AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是(　　)
B
当堂小练
2.已知五个正数的和为1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于 .
解：
假设这五个数均小于 ，
不妨设
则有
即
这与已知矛盾，所以假设不成立，原命题成立.
即已知五个正数的和等于1，则这五个数中至少有一个大于或等于
拓展与延伸
如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，求证：∠DAB是一个锐角．
拓展与延伸
假设∠DAB是一个直角或钝角，则∠DAB ≥90°，
∵AB＝AC，AD是BC边上的高，
∴∠DAC＝∠DAB ≥ 90°.
则∠BAC＝∠DAB＋∠DAC ≥ 90°＋90°＝180°，
∴∠B＋∠C＋∠BAC >180°.
这与三角形内角和为180°矛盾，
∴∠DAB是一个直角或钝角的假设不成立．
∴∠DAB是一个锐角．
证明：
布置作业
请完成对应习题