北师大版数学八年级下册1.3.1 线段的垂直平分线 课件（28张）

第一章 三角形的证明
3 线段的垂直平分线
课时1 线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质
线段的垂直平分线的判定.（重点、难点）
学习目标
新课导入
线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
什么叫线段的垂直平分线？
新课讲解
知识点1 线段的垂直平分线的性质
探究
如图, 直线l垂直平分线段
AB，P1, P2, P3, ……是l上的点，请你猜想点P1，P2, P3, …到点
A与点B的距离之间的数量关系.
A
B
l
P1
P2
P3
新课讲解
可以发现，点 P1，P2, P3,…到点A的距离与它们
到点B的距离分别相等.如果把线段AB沿直线l对折，
线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段 P3A与P3B……
都是重合的，因此它们也分别相等.
新课讲解
线段的垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的
距离相等.利用判定两个三角形全等的方法，也可以
证明这个性质.
新课讲解
例
典例分析
如图,直线l⊥AB，垂足为C，AC = CB，点P在
l上.求 证PA=PB.
证明：∵ l ⊥AB，
∠PCA=∠PCB.
又 AC=CB, PC=PC，
∴△ PCA ≌△ PCB (SAS).
∴PA=PB.
A
B
P
C
l
新课讲解
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的
距离相等.
新课讲解
已知：如图,直线MN⊥AB垂足为C，且AC＝BC，P是MN上的任意一点.
求证：PA＝PB
∵MN⊥AB，
∴ ∠PCA ＝∠PCB＝90°.
∵ AC＝BC，PC＝PC,
∴△PCA ≌△PCB ( SAS ).
∴PA＝PB (全等三角形的对应边相等）
证明：
新课讲解
1．性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点
的距离相等；
条件：点在线段的垂直平分线上；
结论：这个点到线段两端点的距离相等．
表达方式：如图，l⊥AB，AO＝BO，点P在l上，则
AP＝BP.
2．作用：可用来证明两线段
相等．
新课讲解
例
典例分析
如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(　　)
A．AB＝AD　　　　　　　　　
B．AC平分∠BCD
C．AB＝BD
D．△BEC≌△DEC
C
新课讲解
分析：
根据线段垂直平分线的性质得出AB与AD的关系，
结合三角形全等进行逐一验证四个选择项求解．
∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD，BC＝CD.
又∵AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC.
∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA.
又∵BC＝DC，CE＝CE，
∴△BEC≌△DEC.
∴选项A，B，D正确．
新课讲解
例
典例分析
如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线DE交AB，AC于点E，D.
(1)若△BCD的周长为8，求BC的长；
(2) 若BC＝4，求△BCD的周长．
分析：
由DE是AB的垂直平分线，得AD＝BD，所以BD与CD的长度和等于AC的长，所以由△BCD的周长可求BC的长，同样由BC的长也可求△BCD的周长．
新课讲解
解：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD.
∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5.
(1)∵△BCD的周长为8，
∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3.
(2)∵BC＝4，
∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.
新课讲解
例
典例分析
如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝90°，线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D，与AC交于点E，则∠BCD＝________．
分析：
在△ABC中，∵∠B＝90°，
∠A＝40°，
∴∠ACB＝50°.
∵MN是线段AC的垂直平分线，
∴DC＝DA.
∴∠DCE＝∠A＝40°.
∴∠BCD＝∠ACB－∠DCA＝50°－40°＝10°.
10°
新课讲解
练一练
1.已知：如图，AB是线段CD的垂直平分线，E，F是AB上的两点. 求证∠ECF＝∠EDF.
证明：
因为AB是线段CD的垂直平分线，
所以EC＝ED，FC＝FD.
在△ECF和△EDF中，
所以△ECF≌△EDF(SSS)．
所以∠ECF＝∠EDF.
新课讲解
2.如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，AC＝CE，点B，D，C，E在同一直线上，则AB＋BD与DE的关系是(　　)
A．AB＋DB＞DE
B．AB＋DB＜DE
C．AB＋DB＝DE
D．不能确定
C
新课讲解
知识点2 线段的垂直平分线的判定
想一想
你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
如果是，请你加以 证明.
新课讲解
定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这
条线段的垂直平分线上
新课讲解
1．判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线
段的垂直平分线上．
2．条件：点到线段两端点距离相等；
3．结论：点在线段垂直平分线上．
4．表达方式：如图，∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂
直平分线上．
5．作用：
①作线段的垂直平分线的依据；
②可用来证线段垂直、相等．
新课讲解
例
典例分析
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC是△ABC内一点，且OB＝OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC.
新课讲解
证明：
∵ AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一条线段
两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直
平分线上）.
同理，点O在线段BC的垂直平分线上.
∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定
一条直线）.
新课讲解
练一练
如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(　　)
A．AB垂直平分CD
B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分
D．以上都不正确
A
课堂小结
线段：在线段垂直平分线上的点到线段两个端点
距离都相等.
判定：与线段两个端点距离相等的点都在线段的
垂直平分线上.
线段垂直平分线的集合定义：
线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离
相等的所有点的集合.
当堂小练
1.如图，已知△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD等于(　　)
A．3
B．4
C．4.8
D．5
D
当堂小练
2.如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC，BD相交于点O，如果AC＝BD，那么下列结论：①AD＝BC；②∠ABC＝∠BAD；③∠DAC＝∠CBD；④点O在线段AB的垂直平分线上．
其中正确的是(　　)
A．①②③　
B．②③④
C．①③④　
D．①②③④
D
拓展与延伸
在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到的锐角为50°，则∠B＝__________.
70°或20°
分析：分情况讨论：如果△ABC是锐角三角形，如图①所示，可得∠A＝40°，所以∠B＝∠C＝70°；如果△ABC是钝角三角形，如图②所示，可得∠EAB＝40°，所以∠B＝∠C＝20°.故∠B＝70°或20°.
布置作业
请完成对应习题