人教新课标A版2.3等差数列的前n项和教学设计 Word版

4227195913765“等差数列的前 n 项和”教案
教学环节
教 师 活 动
学 Th 活 动
活 动
说 明
新课引入
创设情境：首先让学生欣赏一幅美丽的图
片——泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游
景点，传说中陵寝中有一个三角形的图案嵌有大小相同的宝石，共有 100 层，同时提出第一个问题：你能计算出这个图案一共花了多少颗宝石吗？也即计算1+2+3+…..+100=？
问题 2：何老师按揭买房,向银行贷款 25 万元，采取等额本金的还款方式，即每月还款额比上月减少一定的数额。2007 年 1 月，我第一次向银行还款 2348 元，以后每月比上月的还款额减少 5 元，若以 2007 年 1 月银行贷款利率为基准利率,那么到2026 年 12 月最后一次还款为止，何老师
连本带利一共还款多少万元？
现实模型：
① 图片欣赏
② 生活实例
模 型
直 观用实际生活引入 新 课。
探索
公式
首先认识一位伟大的数学家——高 斯，然后提出问题：高斯是如何快速计算1+2+3+4+…..+100？
设等差数列{ an }前 n 项和为 Sn ,则
Sn ? a1 ? a2 ? 公 ? an?1 ? an
问题 1
老师：利用高斯算法如何求等差数列的前
n 项和公式？
老师：但是否刚好配对成功呢？
n 为偶数时：
Sn ? a1 ?公 ? an ? an ?公 ? an
?1
2 2
? S ? n (a ? a )
n 2 1 n
n 为奇数时：
Sn ? a1 ?公 ? an?1 ? an?1 ? an?1 ?公 ? an
?1 ?1
2 2 2
学生：1+100=101，
2+99=101，…..50+51=101
，所以原式=50 ?
（1+101）=5050
学Th：将首末两项配对， 第二项与倒数第二项配 对，以此类推，每一对的和都相等，并且都a1等? an 于 。
学Th：不一定，需要对 n
取值的奇偶进行讨论。
当 n 为偶数时刚好配对成功。
当 n 为奇数时，中间的一项an?1 落单了。
2
高斯求和众所周知， 学生能快速解答。
这里用到了等差数列脚标和性质从 高 斯算法出发， 对 n 进行讨论寻找求和公式思路自然，学生容易想到。对中
1
探
索公式
老师：那么该如何解决落单的an?1 呢？
S ? n ? 1 (a ? a ) ? a 2
n 2 1 n n?1
a 2? a
n ?1 n?1 n?1
? (a1 ? an ) ???2 2
2 2
? n (a ? a ) 2 1 n
同过对 n 取值的讨论，得到了前 n
项和求和公式：S ? n (a ? a )
n 2 1 n
但是对 n 讨论麻烦了，能否有更好的方法求前 n 项和公式呢？接下来给出实际问题：伐木工人是如何快速计算堆放在木场的木头根数呢？
问题 2：如何用倒置的思想求等差数列前
n 项和呢？
方法一：
Sn ? a1 ? a2 ?公 ? an?1 ? an
Sn ? an ? an?1 ?公 ? a2 ? a1
两式相加得： 2Sn ? n(a1 ? an )
? S ? n (a ? a )
n 2 1 n
方法二
同样利用倒序相加求和法，教材做了
如下处理：
Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ???[a1 ? (n ?1)d ]
Sn ? an ? (an ? d ) ??? [an ? (n ?1)d
两式相加得： 2Sn ? n(a1 ? an )
公式1：S ? n (a ? a )
n 2 1 n
引导学生带入等差数列的通项公式， 换掉an 整理得到公式 2。
n(n ? 1)
公式2：Sn ? na1 ? 2 d
例 1：计算
（1）1+2+3+…+n
（2）1+3+5+…+(2n-1)
（可能部分学生在此会遇到困难，老师做适当的引导。）
学Th：观察an?1 的脚标与
2
a1 ? an 脚标的关系，即：
an?1 ? an?1
a ? 2 2 ? a1 ? an n?1 2 2
2
学生观察动画演示，不难发现用倒置的思想来解决此问题。
（由上一问题的解决，学生容易想到倒序相加求和法。）
学Th：利用倒序相加求和
法。
] 将Sn 中的每一项用等
差数列的通项公式进行巧妙的改写，在倒序相加求和时，每一组中的 d 都被正负抵消了。
学生类比方法一与方法二的联系与区别。
间项
an?1
2 的解决办法的过程中， 进一步让学生体会研究数列就是对脚标数学的研究。
倒序相加求和法是重要的数学 思 想，为以后数列求和的学习做好了铺垫。
在等差数列前n 项和公式的推导过程中， 通过问题获得知识， 让学生经 历 “发现
问题—
—提出
问题—
—解决
问题”
5
议练
活动
（3）2+4+6+…+2n
（4）1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n
教师通过动画演示给(1),(2)问一个直观的解释。
变式练习：课前提出的房贷问题。
解:由已知每月还款数成等差数列,设为
?an ?： a1 ? 2348, d ? ?5, n ? 240
? S ? na ? n(n ? 1) d
n 1 2
? 240 ? 2348 ? 240 ? 239 ? (?5)
2
? 420120(元)
问题 3：能否给求和公式一个几何解释
呢？
的过程
学生自己阅读教材，体
会教材的解法是如何运用
通过对
求和公式。
实际问
观察多媒体课件演示。
题的解
决让学
生认识
到数学
来源于
学Th：要求总还款额实际
生活，
就是对一个等差数列求
同时又
和。
服务于
生活
认识公式
教师提示将求和公式与梯形建立联系。
公式1 : S ? n(a1 ? an )
n 2
a1 an

an a1
n(n ? 1)
公式2：Sn ? na1 ? 2 d
a1
n
a1 (n ? 1)d
学Th：将求和公式与梯形
面积公式建立联系，而梯
形面积公式的推导也正是
利用了倒置的思想。
利用数
形结合
学Th：同样将公式 2 与
的思
梯形面积公式建立联系。
想，使
用“割”的思想将梯形分
学生对
做一个平行四边形和一个
两个公
三角形，而梯形面积就是
式有直
这两部分面积之和。
观的认
识，体
．
会数学
的图形
语言。
an ? a1 ? (n ? 1)d
学生讨论：公式中一共含
6
认识公式
公公
剖析公式：
1 S ? n(a1 ? an )
n 2
有五个量，根据三个公式之间的联系，由方程的思想，知三可求二。
例 2 在解决了例 1 的
2 S ? na ? n(n ?1) d
议练
活动
n 1 2
学生讨论分析题目所含的已知量，选取了公式 2 进行运算，利用了方程的思想。需要注意的是学生可能会把公差认为是-4，以及解得 n 的值后未把 n=-3 舍去。
学生进行了分组讨论，然后每组派学生代表进行分析。不少小组首先对已知条件作转化，希望能通过解方程求出首项和公差，但发现条件不够， 不能解出这些基本量，教师做适当的引导。
基础
通项公式：an ? a1 ? (n ?1)d
教师提示，从方程中量的关系入手。
例 2 等差数列-10，-6，-2，2， …前多少项的和为 54？
解：设题中的等差数列是?an ?，前 n 项和为?S n ?：
则a1 ＝－10，d＝－6－（－10）＝4
令?Sn ?＝54，由等差数列前 n 项和公式，得：?10n ? n(n ?1) ? 4 ? 54.
2
解得 n1 ＝9， n2 ＝－3（舍去）
因此,等差数列的前 9 项和是 54
例 3：在等差数列{an }中
(1)已知: a2 ? a5 ? a12 ? a15 ? 36,求S16 (2)已知：a6 ? 20,求S11
解：（1）公 a2 ? a15 ? a5 ? a12 ? a1 ? a16
? a1 ? a16 ? a2 ? a15 ? 18
? S ? 16(a1 ? a16 ) ? 144
16 2
（2） S ? (a1 ?a11 ) ?11
11 2
上，由
浅入
深，深
化了对
公式的
理解，
体现了
方程的
思想。
紧扣
教材，
让学生
体会整
体应用
公式，
类比化
归的思
想方
法，同
时，为
以后综
合问题
的解答
设下伏
笔。
1
? 2a6 ?11 ? 220
2
课堂总结
本小题主要考察了对公式一的整体应用。根据课堂剩余时间，本题作为机动练习，（2）小问留给学生课后完成。
1、教师引导学生归纳总结本节课所学习的主要内容．
2、课后作业：
教材 118 页：1、2、3、5、6、7
课后思考：
等差数列的前 n 项和的求和方法除
了倒序相加法还有没有其它方法呢?
3、对求和史的了解
我国数列求和的概念起源很早，在北朝时，张丘建始创等差数列求和解法。他在《张丘建算经》中给出等差数列求和问题：例如：今有女子不善织布，每天所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，共织三十日，问共织几何？原书的解法是：“并初、末日织布数，半之再乘
以织日数，即得。”
本环节由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容，教师加以补充说明．
回顾从特殊到一般，一般到特殊的研究方法.
体会等差数列的基本元表示方法，倒序相加的算法，及数形结合的数学思想.
掌握等差数列的两个求和公式及简单应 用。
了解我国古代研究等差数列求和的情况。
通过对等差数列求和历史的了解， 渗透数学史和数学文化。
二、教学反思
根据教学经历和学生的反馈信息，笔者对本课有如下五点反思：
根据实际教学情况，学生比较容易掌握本课知识。在教学过程中，我重点突出了学生活动，设计了四个活动环节：(1)公式的探究活动；(2)公式的认识(3)公式的应用
(4)学生课后的拓展学习。
本课特别强调了几何直观，我不仅对求和公式给出了几何解释，也对部分习题给出了几何解释，体现了数形结合的思想方法。
由于高斯求和法众所周知，于是我补充了我国古代研究数列求和的情况，但由
于时间关系不能展开讲解，所以如何在课后引导学生进行了解是一个值得研究的问题。
本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去。
目标达成
提出实际问题
知识与技能目标 1
本课注重在课堂教学活动中实现目标。
例题讲解
知识与技能目标 2
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