排列组合二项式概率专题 Word含答案

排列组合、二项式、概率
1．若国际研究小组由来自3个国家的20人组成，其中A国10人，B国6人，C国4人，按 分层抽样法从中选10人组成联络小组，则不同的选法有（ ）种.
A． B． C． D．
2.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有
A.70种 B. 80种 C. 100种 D.140种
3.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有
A.70种 B. 80种 C. 100种 D.140种
4.（2017全国2理科6）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
5.（2018全国1理科15）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）
6.（2020全国2理科14）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种。
7．若的展开式中的系数是80，则实数a的值为
A．-2 B． C． D．2
8.（2015全国1理科）
9.（2018全国3理科5）的展开式中的系数为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
10.（2019全国3理科）

11.（2020全国1理科8） 的展开式中的系数为
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
12.一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，
记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好
取5次球时停止取球的概率为( )
B． C． D．
13.（2015全国1理科4）
14.（2018全国2理科8）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
B． C． D．
15.（2018全国1理科10）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则
A．p1=p2 B．p1=p3 C．p2=p3 D．p1=p2+p3
16.（2019全国1理科6）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A． B． C． D．
17.（2019全国1理科15）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．
18.（2020全国2理科3）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05,。志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
19.（2018全国3理科8）某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则（ ）
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
20.（2018卷1）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
21．（2020卷1）甲、乙、丙三位进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一轮轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率.
7. （本小题满分13分）
为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情
况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，
已知图中从左到右的前个小组的频率之比为，其中第
小组的频数为.
（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数;
（Ⅱ）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X表示体重超过60公斤
的学生人数，求X的分布列和数学期望.
8．（本小题满分13分）某地区有甲，乙，丙三个单位招聘工作人员，已知一大学生到这三个单位应聘的概率分别是0.4，0.5，0.6，且他是否去哪个单位应聘互不影响，用表示他去应聘过的单位数，求的分布列及数学期望；
9、(本小题满分13分)假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5，记此时教室里敞开的窗户个数为X ．
(Ⅰ)求X的分布列；
(Ⅱ)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y，求Y的数学期望．
10. （本小题满分13分）
按照新课程的要求, 高中学生在每学期都要至少参加一次社会实践活动(以下简称活动). 该校高2012级一班50名学生在上学期参加活动的次数统计如图所示．
（I）求该班学生参加活动的人均次数；
（II）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．
（III）从该班中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．
11. （2011年辽宁理19）（本小题满分12分）
某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验.选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙.
（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；
（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？
附：样本数据x1，x2，…，xa的样本方差，其中为样本平均数.
12. 某选手欲参加“开心辞典”节目，但必须通过一项包含5道试题的达标测试。测试规定：对于提供的5道试题，参加者答对3道题即可通过。为节省测试时间，同时规定：若答题不足5道已通过，则停止答题，若答题不足5道，但已确定不能通过，也停止答题。假设该选手答对每道题的概率均为，且各题对错互不影响。
(Ⅰ) 求该选手恰好答完4道题就通过点的概率；
(Ⅱ)设在一次测试中该选手答题数为，求的分布列和数学期望.
13.（本题满分13分）某市对该市小微企业资金短缺情况统计如下表：
(Ⅰ)试估计该市小微企业资金缺额的平均值；
(Ⅱ)某银行为更好的支持小微企业健康发展，从其第一批注资的A行业4家小微企业和 B行业的3家小微企业中随机选取4家小微企业，进行跟踪调研.设选取的4家小微企业 中是B行业的小微企业的个数为随机变量，求的分布列.
(Ⅰ)解：由统计表得：该市小微企业资金缺额的平均值
（万元）-----4分
(Ⅱ) 的所有可能取值为0，1，2，3
，，，，
所以的分布列为
0 1 2 3
P



------13分
14.（本小题满分13分）
某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的以为圆心的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地指向任一位置（不指向各区域的边界）. 若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券. 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.
（Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；
（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为（元）.求随机变量的分布列和数学期望.
2. 解：(Ⅰ)设指针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C.
则……………………………………3分
若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域.
……………………………………6分
即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是.
（Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次.
随机变量的可能值为0，30，60，90，120. ……………………………7分
………………………………10分
所以，随机变量的分布列为：
0 30 60 90 120





其数学期望
………………………13分
（20）离散形随机分布
1．若国际研究小组由来自3个国家的20人组成，其中A国10人，B国6人，C国4人，按 分层抽样法从中选10人组成联络小组，则不同的选法有（ ）种.
A． B． C． D．
2．若的展开式中的系数是80，则实数a的值为
A．-2 B． C． D．2
3．一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，
记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好
取5次球时停止取球的概率为( )
A． B． C． D．
4.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有
A.70种 B. 80种 C. 100种 D.140种
5、的展开式中的常数项为_________.
6．(本小题满分13分)设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次任取一个，并且取出不再放回，若以表示取出次品的个数. 求的分布列，期望及方差.
解析：的可能值为0，1，2. 若=0表示没有取出次品，其概率为；
同理 ∴的分布为
0 1 2
p


∴，
7. （本小题满分13分）
为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情
况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，
已知图中从左到右的前个小组的频率之比为，其中第
小组的频数为.
（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数;
（Ⅱ）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X表示体重超过60公斤
的学生人数，求X的分布列和数学期望.
解：（Ⅰ）设报考飞行员的人数为,前三小组的频率分别为,
则由条件可得:
解得………………………………………………4分
又因为，故 ……………………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得,一个报考学生体重超过60公斤的概率为
………………………………………………………8分
所以服从二项分布,
随机变量的分布列为：
0 1 2 3





…………………………………………………………………12分
则 ………………………………13分
(或: )
8．（本小题满分13分）某地区有甲，乙，丙三个单位招聘工作人员，已知一大学生到这三个单位应聘的概率分别是0.4，0.5，0.6，且他是否去哪个单位应聘互不影响，用表示他去应聘过的单位数，求的分布列及数学期望；
9、(本小题满分13分)假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0.5，记此时教室里敞开的窗户个数为X ．
(Ⅰ)求X的分布列；
(Ⅱ)若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y，求Y的数学期望．
解：（Ⅰ）∵的所有可能取值为0，1，2，3，4，， 1分
∴，，
，，
， 6分
的分布列为
0 1 2 3 4





7分
（Ⅱ）的所有可能取值为3，4，则 8分
， 9分
， 11分
的期望值.答：的期望值等于. 13分
10. （本小题满分13分）
按照新课程的要求, 高中学生在每学期都要至少参加一次社会实践活动(以下简称活动). 该校高2012级一班50名学生在上学期参加活动的次数统计如图所示．
（I）求该班学生参加活动的人均次数；
（II）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．
（III）从该班中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．
解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为5、25和20． --2分
（I）该班学生参加活动的人均次数为=． --4分
（II）从该班中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为
． --8分
（III）从该班中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件．易知
；
. --10分
的分布列：
0 1 2



的数学期望：． --13分
11. （2011年辽宁理19）（本小题满分12分）
某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验.选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙.
（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；
（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？
附：样本数据x1，x2，…，xa的样本方差，其中为样本平均数.
解析：（I）X可能的取值为0,1,2,3,4,且

即X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P




X的数学期望是：
.
（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别是：
，
.
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别是：
，
，
由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.
12. 某选手欲参加“开心辞典”节目，但必须通过一项包含5道试题的达标测试。测试规定：对于提供的5道试题，参加者答对3道题即可通过。为节省测试时间，同时规定：若答题不足5道已通过，则停止答题，若答题不足5道，但已确定不能通过，也停止答题。假设该选手答对每道题的概率均为，且各题对错互不影响。
(Ⅰ) 求该选手恰好答完4道题就通过点的概率；
(Ⅱ)设在一次测试中该选手答题数为，求的分布列和数学期望.
解：（Ⅰ）该选手恰好答题4道而通过的概率……3分
（Ⅱ）由题意可知，可取的值是……4分


的分布列为
3 4 5
P


…………………………10分
所以的数学期望为
13.（本题满分13分）某市对该市小微企业资金短缺情况统计如下表：
(Ⅰ)试估计该市小微企业资金缺额的平均值；
(Ⅱ)某银行为更好的支持小微企业健康发展，从其第一批注资的A行业4家小微企业和 B行业的3家小微企业中随机选取4家小微企业，进行跟踪调研.设选取的4家小微企业 中是B行业的小微企业的个数为随机变量，求的分布列.
(Ⅰ)解：由统计表得：该市小微企业资金缺额的平均值
（万元）-----4分
(Ⅱ) 的所有可能取值为0，1，2，3
，，，，
所以的分布列为
0 1 2 3
P



------13分
14.（本小题满分13分）
某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的以为圆心的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地指向任一位置（不指向各区域的边界）. 若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券. 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.
（Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；
（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为（元）.求随机变量的分布列和数学期望.
2. 解：(Ⅰ)设指针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C.
则……………………………………3分
若返券金额不低于30元，则指针落在A或B区域.
……………………………………6分
即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是.
（Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次.
随机变量的可能值为0，30，60，90，120. ……………………………7分
………………………………10分
所以，随机变量的分布列为：
0 30 60 90 120





其数学期望
………………………13分