课时分层作业(十二) 从位移、速度、力到向量
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列物理量中，不是向量的是( )
A．力
B．位移
C．质量
D．速度
[答案] C
2．下列说法正确的是( )
A．若a∥b，则a与b的方向相同或相反
B．若a∥b，b∥c，则a∥c
C．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
D．若a＝b，b＝c，则a＝c
[答案] D
3．如图，在四边形ABCD中，若＝，则图中相等的向量是( )
A．与
B．与
C．与
D．与
D [∵＝，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC、BD互相平分，∴＝.]
4．已知向量a与b是两个不平行的向量，若a∥c且b∥c，则c等于( )
A．0
B．a
C．b
D．不存在这样的向量
A [零向量与任一向量是共线向量，故c＝0.]
5．下列说法中正确的个数是( )
(1)单位向量都平行；
(2)若两个单位向量共线，则这两个向量相等；
(3)向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
(4)有相同起点的两个非零向量不平行；
(5)方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．
A．2
B．3
C．4
D．5
A [(1)错误．因为单位向量的方向可以既不相同又不相反．
(2)错误．因为两个单位向量共线，则这两个向量的方向有可能相反．
(3)正确．因为零向量与任一向量共线，所以若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．
(4)错误．有相同起点的两个非零向量方向有可能相同或相反，所以有可能是平行向量．
(5)正确．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量的方向是相反的，所以这两个向量是共线向量．]
二、填空题
6．在正△ABC中，与的夹角等于________．
[答案] 120°
7．在四边形ABCD中，＝且||＝||，则四边形的形状为________．
菱形 [由＝可知四边形ABCD为平行四边形，又||＝||，该四边形为菱形．]
8．给出以下5个条件：
①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________(填序号)．
①③④ [相等向量一定是共线向量，①能使a∥b成立；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a∥b成立；零向量与任一向量平行，④成立．]
三、解答题
9．如图，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．
(1)写出与向量相等的向量；
(2)写出与向量共线的向量．
[解] (1)∵四边形ABDE和四边形ABCD都是平行四边形，
∴＝，＝，
∴＝.
故与向量相等的向量是，.
(2)由共线向量的条件知，与共线的向量有，，，，，，.
10．如图所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{|M，N∈S，且M，N不重合}，试求集合T中元素的个数．
[解] 由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个，即，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.
由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝.
又集合元素具有互异性，故集合T中的元素共有12个．
11．下列说法中，正确的是( )
①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
②向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一条直线上；
③向量与是平行向量；
④任何两个单位向量都是相等向量．
A．①④
B．③
C．①②③
D．②③
B [①错误．由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．
②错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反，并不要求两个向量、必须在同一直线上，因此点A、B、C、D不一定在同一条直线上．
③正确．向量和是长度相等，方向相反的两个向量．
④错误．单位向量不仅有长度，而且有方向；单位向量的方向不一定相同，而相等向量要求长度相等，方向相同．]
12．若向量a与向量b不相等，则a与b一定( )
A．不共线
B．长度不相等
C．不都是单位向量
D．不都是零向量
D [若向量a与向量b不相等，则说明向量a与向量b的方向和长度至少有一个不同．所以a与b有可能共线，有可能长度相等，也有可能都是单位向量，所以A，B，C都是错误的．但是a与b一定不都是零向量．]
13．已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列说法中错误的是( )
A．C?A
B．A∩B＝{a}
C．C?B
D．A∩B?{a}
B [A∩B含有a的相反向量，所以B错误．]
14．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝________.
2 [易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O，则AO＝AB＝1.在Rt△ABO中，易得||＝，∴||＝2||＝2.]
15．如图，在四边形ABCD中，＝，N、M分别是AD、BC上的点，且＝.
求证：＝.
[证明] ∵＝，
∴||＝||且AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴||＝||，且DA∥CB．又∵与的方向相同，
∴＝.∵＝，∴四边形CNAM是平行四边形，
∴＝.
∵||＝||，||＝||，
∴||＝||.
∵DN∥MB且与的方向相同，
∴＝.
PAGE课时分层作业(十三) 向量的加法
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )
A．0
B．
C．
D．
D [＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝.]
2．正方形ABCD的边长为1，则|＋|为( )
A．1
B．
C．3
D．2
B [在正方形ABCD中，AB＝1，易知AC＝，所以|＋|＝||＝.]
3．化简＋＋等于( )
A．
B．
C．0
D．
D [＋＋＝＋＝.]
4.如图所示，在四边形ABCD中，＝＋，则四边形为( )
A．矩形
B．正方形
C．平行四边形
D．菱形
C [∵＝＋，
∴＝＋＝＋＋＝＋＋＝，即＝，
∴四边形ABCD为平行四边形．]
5．已知a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a，b是共线向量且方向相反
C．a＝b
D．a，b无论什么关系均可
[答案] A
二、填空题
6．在平行四边形ABCD中，＋＋＋＝______________________.
[答案] 0
7．如图，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|＝________.
2 [∵＋＋＝＋＋＝，∴|＋＋|＝||＝2.]
8．已知||＝3，||＝3，∠AOB＝60°，则|＋|等于________．
3 [如图，∵||＝||＝3，
∴四边形OACB为菱形．
连接OC、AB，则OC⊥AB，设垂足为D．
∵∠AOB＝60°，∴AB＝||＝3.
∴在Rt△BDC中，CD＝.
∴||＝|＋|＝
×2＝3.]
三、解答题
9．如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋.
[解] (1)＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝.
(2)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.
10．如图，用两根绳子把重10
N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计)
[解] 如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10
N的重力用表示，则＋＝.
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°，
∴||＝||cos
30°＝10×
＝5(N)，
||＝||cos
60°＝10×
＝5(N)．
∴A处所受的力为5
N，B处所受的力为5
N.
11．若在△ABC中，AB＝AC＝1，|＋|＝，则△ABC的形状是( )
A．正三角形
B．锐角三角形
C．斜三角形
D．等腰直角三角形
D [以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，
∵AB＝AC＝1，AD＝，∴∠ABD＝90°，该四边形为正方形，
∴∠BAC＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形，故选D．]
12．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋等于( )
A．
B．
C．
D．
C [设a＝＋，利用平行四边形法则作出向量＋，再平移即发现a＝.]
13．设非零向量a，b，c，若p＝＋＋，则|p|的取值范围为( )
A．[0,1]
B．[0,2]
C．[0,3]
D．[1,2]
C [因为，，是三个单位向量，因此当三个向量同向时，|p|取最大值3.当三个向量两两成120°角时，它们的和为0，故|p|的最小值为0.]
14．若菱形ABCD的边长为2，则|＋＋|等于____________________．
2 [|＋＋|＝||＝2.]
15．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝QC．
求证：＋＝＋.
[证明] ∵＝＋，＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
又∵BP＝QC且与方向相反，
∴＋＝0，
∴＋＝＋，即＋＝＋.
课时分层作业(十四) 向量的减法
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．在平行四边形ABCD中，－等于( )
A．
B．
C．
D．
A [－＝＝.]
2．下列等式中，正确的个数为( )
①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；⑥a－(－a)＝0.
A．3
B．4
C．5
D．6
C [根据相反向量的概念知①②③④⑤正确，所以正确的个数为5.故选C．]
3．在△ABC中，D是BC边上的一点，则－等于( )
A．
B．
C．
D．
C [由向量的减法的三角形法则得－＝.]
4．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( )
A．－＝0
B．－＝
C．－＝
D．＋＝0
C [∵＝，∴－＝0，A正确；
∵－＝＋＝，B正确；
∵－＝＋＝，C错误；
∵＝，∴＝－，∴＋＝0，D正确．]
5．非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是( )
A．m－n＝0
B．m＋n＝0
C．|m|＝|n|
D．方向相反
A [非零向量m与n是相反向量，则有m＝－n，|m|＝|n|]．
二、填空题
6.＋－＝________.
[＋－＝＋＝.]
7．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，则－－＋＋＝________.
[－－＋＋＝－＋＝.]
8．若向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，则|a＋b|的最小值为________，|a－b|的最大值为________．
1 5 [当a与b方向相反时，|a＋b|取得最小值，其值为3－2＝1；这时|a－b|取得最大值，其值为3＋2＝5.]
三、解答题
9．若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求向量a与a＋b的夹角．
[解] 设＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，如图所示，则a－b＝，
∵|a|＝|b|＝|a－b|，
∴||＝||＝||，
∴△OAB是等边三角形，∴∠BOA＝60°.
∵＝a＋b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA．
∴a与a＋b的夹角为30°.
10．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？
[解] 由向量加法的平行四边形法则，得＝a＋b，
同样，由向量的减法知＝－＝a－b.
当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；
当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形；
当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．
11．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则( )
A．＋＋＝0
B．－＋＝0
C．＋－＝0
D．－－＝0
A [＋＋＝＋＋＝(＋＋)＝0.]
12．在平行四边形ABCD中，|＋|＝|－|，则有( )
A．＝0
B．＝0或＝0
C．ABCD是矩形
D．ABCD是菱形
C [＋与－分别是平行四边形ABCD的两条对角线，且|＋|＝|－|，∴ABCD是矩形．]
13．边长为1的正△ABC中，|－|的值为________．
[如图所示，延长CB到点D，使BD＝1，连接AD，
则－＝＋＝＋＝.
在△ABD中，AB＝BD＝1，∠ABD＝120°，
易求AD＝，
∴|－|＝.]
14.如图，在正六边形ABCDEF中，与－＋相等的向量有________．
①；②；③；④－＋；⑤＋；⑥－；⑦＋.
①④ [因为四边形ACDF是平行四边形，
所以－＋＝＋＝，
－＋＝＋＋＝，
＋＝＋＝，－＝，
因为四边形ABDE是平行四边形，
所以＋＝，
综上知与－＋相等的向量是①④.]
15．如图，O是△ABC的外心，H为垂心，求证：＝＋＋.
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[证明] 作圆的直径BD，
连接DA、DC，则＝－，AD⊥AB，DC⊥BC，连接AH、CH，
因为H是△ABC的垂心，故有AH⊥BC，CH⊥AB．
∴CH∥AD，AH∥CD，
则四边形AHCD为平行四边形．
∴＝＝－＝＋，
∴＝＋＝＋＋.
PAGE课时分层作业(十五) 向量的数乘运算
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)的结果为( )
A．－a
B．－4b
C．c
D．a－b
A [3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6－6－2)b－2c＝a－2(b＋c)＝a－2a＝－a.]
2．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则＝( )
A．b＋c
B．c－b
C．b－c
D．b＋c
A [∵＝2，∴－＝2(－)，
∴3＝2＋
∴＝＋＝b＋c.]
3．在△ABC中，M是BC的中点，则＋等于( )
A．
B．
C．2
D．
C [作平行四边形ABEC，则M是对角线的交点，故M是AE的中点，由题意知，＋＝＝2，故选C．]
4．已知a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则3a－b＝( )
A．4e2
B．4e1
C．3e1＋6e2
D．8e2
D [3a－b＝3(e1＋2e2)－(3e1－2e2)＝3e1＋6e2－3e1＋2e2＝8e2.]
5．若点O为平行四边形ABCD的中心，＝2e1，＝3e2，则e2－e1＝( )
A．
B．
C．
D．
A [因为＝－＝－＝3e2－2e1，所以＝＝e2－e1.]
二、填空题
6．4(a－b)－3(a＋b)－b等于________．
a－8b [原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b.]
7．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________.(用a，b表示)
b－a [＝＋＋＝－b－a＋＝－b－a＋(a＋b)＝b－a.]
8．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于________．
30° [由＋＋＝0得，＋＝，
结合向量加法的几何意义知四边形OACB为平行四边形，又OA＝OB，
则四边形OACB为菱形，
所以△OAC是正三角形，
所以∠CAO＝60°
所以∠CAB＝∠CAO＝30°]
三、解答题
9．如图，四边形ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量．
(1)；(2).
[解] 因为∥，||＝2||，所以
＝2，＝.
(1)＝＋＝e2＋e1.
(2)＝＋＋＝－－＋＝－e1－e2＋e1＝e1－e2.
10．已知E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示.
[解] 如图所示，取AB的中点P，连接EP，FP.
在△ABC中，EP是中位线，
所以＝＝a.
在△ABD中，FP是中位线，所以＝＝－＝－b.
在△EFP中，＝＋＝－＋＝－a－b＝－(a＋b)．
11．设D，E，F分别是△ABC三边BC，CA，AB的中点，则＋2＋3＝( )
A．
B．
C．
D．
D [∵D，E，F分别是△ABC三边BC，CA，AB的中点，
∴＋2＋3
＝＋2＋3
＝＋＋＋＋＋＝＋＋＝＋＝]
12．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于( )
A．a＋b
B．a＋b
C．a＋b
D．a＋b
D [∵△DEF∽△BEA，∴＝＝，
∴DF＝AB，∴＝＋＝＋.
∵＝＋＝a，＝－＝b，
联立得：＝(a－b)，＝(a＋b)，
∴＝(a＋b)＋(a－b)＝a＋b.]
13．设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( )
A．|a|＝|b|且a∥b
B．a＝－b
C．a∥b
D．a＝2b
D [由a＝2b，得＝＝＝，故选D．]
14．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ的值为________．
[＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.]
15．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，试用，表示.
[解] 连接CD，OD，如图所示．
∵点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，
∴AC＝CD，∠CAD＝∠DAB＝×90°＝30°.
∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO＝30°.
由此可得∠CAD＝∠ADO＝30°，
∴AC∥DO.
由AC＝CD，得∠CDA＝∠CAD＝30°，
∴∠CDA＝∠DAO，
∴CD∥AO，
∴四边形ACDO为平行四边形，
∴＝＋＝＋.
课时分层作业(十六) 向量的数乘与向量共线的关系
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列说法中正确的个数是( )
①λa与a的方向不是相同就是相反
②当且仅当a与b共线时，a与a＋b共线
③若|b|＝2|a|，则b＝±2a，
④若b＝±2a，则|b|＝2|a|
A．1
B．2
C．3
D．4
B [②④正确．]
2．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( )
A．矩形
B．平行四边形
C．梯形
D．以上都不对
C [由已知＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2.
∴∥，又与不平行，
∴四边形ABCD是梯形．]
3．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于( )
A．a
B．b
C．c
D．0
D [∵a＋b与c共线，∴存在实数λ1，使得a＋b＝λ1c.①
又∵b＋c与a共线，
∴存在实数λ2，使得b＋c＝λ2a.②
由①得，b＝λ1c－a.
∴b＋c＝λ1c－a＋c＝(λ1＋1)c－a＝λ2a，
∴即
∴a＋b＋c＝－c＋c＝0.]
4．点P满足向量＝2－，则点P与AB的位置关系是( )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的延长线上
C．点P在线段AB的反向延长线上
D．点P在直线AB外
C [∵＝2－，
∴－＝－，
∴＝，
∴点P在线段AB的反向延长线上，故选C．]
5．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件是( )
A．λ＋μ＝2
B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1
D．λμ＝1
D [由＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)及A，B，C三点共线得：＝t，所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即可得所以λμ＝1.故选D．]
二、填空题
6．已知e1，e2是平面内不共线的两个向量，a＝2e1－3e2，b＝λe1＋6e2，若a，b共线，则λ等于________．
－4 [由a，b共线知，?m∈R，使得a＝mb，
于是2e1－3e2＝m(λe1＋6e2)，即(2－mλ)e1＝(6m＋3)e2，
由于e1，e2不共线，所以所以λ＝－4.]
7．若＝e，＝－2e，则四边形ABCD是________．
梯形 [由题意知＝－2，所以∥，且||≠||.]
8．如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则＝________.(用、表示)
－ [＝－，＝＋.
∵E为BC的中点，F为AE的中点，
∴＝，＝，
∴＝－＝－＝(＋)－＝＋－，
又＝，∴＝－.]
三、解答题
9．在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记、分别为a、b，用a、b表示.
[解] ＝b＋a，＝a－b，设＝λ，则＝λa－λb，
∴＝＋＝λa＋b，
∵与共线且a、b不共线，
∴＝，解得λ＝，
∴＝a＋b.
10．如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD．求证：M，N，C三点共线.
[证明] 设＝a，＝b，
则由向量减法的三角形法则可知：＝－＝－＝a－b.
又∵N在BD上且BD＝3BN，
∴＝＝(＋)＝(a＋b)，
∴＝－＝(a＋b)－b＝a－b＝，
∴＝，又∵与的公共点为C，
∴M，N，C三点共线．
11．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
B [原式可化为－＝λ(e1＋e2)，其中e1，e2分别是，方向上的单位向量．
∴＝λ(e1＋e2)，(λ≥0)，
因此，AP平分∠BAC，
∴P点必落在∠A的平分线上，即P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选B．]
12．给出下列两个命题：
①若a与b共线，则存在唯一实数λ，使a＝λb；
②若不存在实数λ，使a＝λb，则a与b不共线．
对这两个命题判断正确的是( )
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题
D．①、②都是假命题
D [当a≠0，b＝0时，a与b共线，但不存在实数λ使a＝λb，故①为假命题；
当a≠0，b＝0时，不存在实数λ使a＝λb，但a与b共线，故②也为假命题．]
13．(多选)平面上点P与不共线的三点A、B、C满足关系：＋＋＝，则下列结论错误的是( )
A．P在CA上，且＝2
B．P在AB上，且＝2
C．P在BC上，且＝2
D．P点为△ABC的重心
BCD [＋＋＝＋＝－＋＝＝2∥P在CA上．]
14．设a，b不共线，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p＝________.
－1 [∵＝a＋b，＝a－2b，
∴＝＋＝2a－b.又∵A，B，D三点共线，∴，共线．
设＝λ，
∴2a＋pb＝λ(2a－b)，
∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.]
15．如图，在△OBC中，点A是BC的中点，点D是OB上靠近点B的一个三等分点，DC和OA交于点E.设＝a，＝b.
(1)用向量a，b表示，；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
[解] (1)由＝(＋)，得＝2－＝2a－b，＝－＝－＝2a－b.
(2)∵D，E，C三点共线，
∴可设＝m＝2ma－mb.①
在△ODE中，＝－＝λ－＝λa－b.②
由①②得2ma－mb＝λa－b，即(2m－λ)a＝b.
又a，b不共线，
∴∴λ＝.
PAGE课时分层作业(十七) 平面向量基本定理
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基的是( )
A．①②
B．①③
C．①④
D．③④
B [由基的定义知，①③中两向量不共线，可以作为基．]
2．在矩形ABCD中，O是其对角线的交点，＝5e1，＝3e2，则等于( )
A．(5e1＋3e2)
B．(5e1－3e2)
C．(3e2－5e1)
D．(5e2－3e1)
A [＝＝(－)＝(5e1＋3e2)．]
3．设一直线上三点A，B，P满足＝m(m≠－1)，O是直线所在平面内一点，则用，表示为( )
A．＝＋m
B．＝m＋(1－m)
C．＝
D．＝＋
C [由＝m得－＝m(－)，
∴＋m＝＋m，∴＝.]
4．已知AD是△ABC的中线，＝a，＝b，以a，b为基表示，则＝( )
A．(a－b)
B．2b－a
C．(b－a)
D．2b＋a
B [如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而＝(＋)，则＝2－＝2b－a.]
5．如图，＝2，＝2，＝m，＝n，若m＝，那么n＝( )
A．
B．
C．
D．
A [法一：由＝2，＝2，知C是AB的中点，P是OC的中点，所以＝(＋)，
则＝(＋)，又＝，＝n，
从而＝－＝n－，＝－＝(＋)－＝－，
又点M，P，N共线，
所以存在实数λ，使＝λ成立，即n－＝λ，
又因为，不共线，
所以有，解得n＝，故选A．
法二：设＝λ，∵＝，＝n，
∴＝＋＝＋λ(－)＝＋λ＝(1－λ)＋nλ，
又知＝2，∴＝＝＋，
∴
解得λ＝，n＝，故选A．]
二、填空题
6．如图所示，向量可用向量e1，e2表示为________．
4e1＋3e2 [由题图可知，＝4e1＋3e2.]
7．已知e1、e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a、b能作为平面内的一组基，则实数λ的取值范围为________．
(－∞，4)∪(4，＋∞) [若能作为平面内的一组基，则a与b不共线．
a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，
由a≠kb得λ≠4.]
8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
[易知＝＋＝＋(－)＝－＋，所以λ1＋λ2＝.]
三、解答题
9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基；
(2)以a，b为基，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
[解] (1)证明：设a＝λb(λ∈R)，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线得
即
∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基．
(2)设c＝ma＋nb(m、n∈R)，则
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴即
∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴即
故所求λ、μ的值分别为3和1.
10．如图所示，P是△ABC内一点，且满足＋2＋3＝0，设Q为CP延长线与AB的交点，求证：＝2.
[证明] ∵＝＋，＝＋，
∴(＋)＋2(＋)＋3＝0，
∴＋3＋2＋3＝0，
又∵A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线，
∴＝λ，＝μ，
∴λ＋3＋2＋3μ＝0，
∴(λ＋2)＋(3＋3μ)＝0.而，为不共线向量，
∴
∴λ＝－2，μ＝－1.
∴＝－＝.
故＝＋＝2.
11．设向量e1和e2是某一平面内所有向量的一组基，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数y的值为( )
A．3
B．4
C．－
D．－
B [因为3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，
所以(3x－4y＋7)e1＋(10－y－2x)e2＝0，
又因为e1和e2是某一平面内所有向量的一组基，
所以解得故选B．]
12．若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为( )
A．
B．
C．
D．
C [∵＝4＝r＋s，
∴＝＝(－)＝r＋s，
∴r＝，s＝－.
∴3r＋s＝－＝.]
13．如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)．设＝m1＋n2，且点P落在第Ⅲ部分，则实数m，n满足( )
A．m＞0，n＞0
B．m＞0，n＜0
C．m＜0，n＞0
D．m＜0，n＜0
B [由题意及平面向量基本定理易得在＝m1＋n2中，m＞0，n＜0.]
14．在△ABC所在平面上有一点P，满足＋＋4＝，则△PBC与△PAB的面积比为________．
1∶2 [＋＋4＝＝＋，所以4＝2，即P在AC边上，且AP＝2PC，所以△PBC与△PAB的面积比为1∶2.]
15．如图所示，在△OAB中，＝a，＝b，M，N分别是边OA，OB上的点，且＝a，＝b，设与交于点P，以a、b为基表示.
[解] ∵＝＋，＝＋，设＝m，＝n，
则＝＋m＝a＋m＝(1－m)a＋mb，＝＋n＝(1－n)b＋na.
∵a与b不共线，
∴n＝，m＝，
∴＝a＋b.
课时分层作业(十八) 平面向量及运算的坐标表示
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量等于( )
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
A [＝(3,1)，＝(－4，－3)，＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．]
2．已知向量a＝(－1,2)，b＝(1,0)，那么向量3b－a的坐标是( )
A．(－4,2)
B．(－4，－2)
C．(4,2)
D．(4，－2)
D [3b－a＝3(1,0)－(－1,2)＝(3,0)－(－1,2)＝(3＋1,0－2)＝(4，－2)．]
3．已知a－b＝(1,2)，a＋b＝(4，－10)，则a等于( )
A．(－2，－2)
B．(2,2)
C．(－2,2)
D．(2，－2)
[答案] D
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为( )
A．－2,1
B．1，－2
C．2，－1
D．－1,2
D [由解得]
5．已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与同向的单位向量是( )
A．
B．
C．
D．
A [∵A(4,1)，B(7，－3)，＝(3，－4)，∴与同向的单位向量为＝.]
二、填空题
6．已知A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2,0)，D(x，y)，且＝2，则x＋y＝________.
[∵＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，又∵2＝，即(2x－4,2y－6)＝(－1,2)，
∴解得
∴x＋y＝.]
7．已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．
(3,3) [法一：由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，
则＝－＝(4λ－4,4λ)．
又＝－＝(－2,6)，由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，
所以＝＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)．
法二：设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4,4)，且与共线，
所以＝，即x＝y.
又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且与共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，
所以点P的坐标为(3,3)．]
8．已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(－2,1)，(－1,3)，(3,4)，则顶点D的坐标为________．
(2,2) [设顶点D的坐标为(x，y)，
∵＝(－1,3)－(－2,1)＝(1,2)，＝(3,4)－(x，y)＝(3－x,4－y)，
∴由＝，得(1,2)＝(3－x,4－y)，
即，解得
∴平行四边形ABCD顶点D的坐标为(2,2)．]
三、解答题
9．已知点A(－1,2)，B(2,8)，且＝，＝－，求点C，D和的坐标．
[解] 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由题意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．
∵＝，＝－，
∴(x1＋1，y1－2)＝(3,6)＝(1,2)，(－1－x2,2－y2)＝－(－3，－6)＝(1,2)，
则有和
解得和
∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，
∴＝(－2，－4)．
10．已知A(1,1)、B(3，－1)、C(a，b)．
(1)若A、B、C三点共线，求a、b的关系式；
(2)若＝2，求点C的坐标．
[解] (1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，
∵A、B、C三点共线，∴∥，
∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.
(2)∵＝2，
∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)，
∴，解得，
∴点C的坐标为(5，－3)．
11．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
D [c＝(k,1)，d＝(1，－1)，
由c∥d，得－k－1＝0，∴k＝－1，
∴c＝(－1,1)＝－d，
∴c与d反向．]
12．若α，β是一组基，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基α，β下的坐标．现已知向量a在基p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为( )
A．(2,0)
B．(0，－2)
C．(－2,0)
D．(0,2)
D [∵a在基p，q下的坐标为(－2,2)，
∴a＝－2p＋2q＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)．
令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，
∴解得
∴a在基m，n下的坐标为(0,2)．]
13．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为( )
A．(2,6)
B．(－2,6)
C．(2，－6)
D．(－2，－6)
D [由题意知4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，
∴d＝－6a－4b＋4c＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)
＝(－6＋8－4,18－16－8)＝(－2，－6)．]
14．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.
－1 [a＋b＝(1，m－1)，
∵(a＋b)∥c，∴1×2－(－1)·(m－1)＝0，∴m＝－1.]
15．如图，已知在△AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
[解] ∵＝＝(0,5)＝，∴C.
∵＝＝(4,3)＝，∴D.
设M(x，y)，则＝(x，y－5)．
∵＝＝，A，M，D三点共线，
∴设＝λ(λ∈R)，即(x，y－5)＝λ，
∴①
∵＝，＝，C，M，B三点共线，
∴设＝μ(μ∈R)，即＝μ，
∴②
联立①②，解得x＝，y＝2，故点M的坐标为.
PAGE课时分层作业(十九) 向量的数量积
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下面给出的关系式中正确的个数是( )
①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
A．1
B．2
C．3
D．4
C [①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a|·|b|cos
θ)2＝a2·b2cos2
θ≠a2·b2，选C．]
2．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于( )
A．1
B．2
C．3
D．5
A [|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，
将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，
∴a·b＝1.]
3．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
C [由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋b2＝0，
设a与b的夹角为θ，∴2|a||b|cos
θ＋|b|2＝0.
∴cos
θ＝－＝－＝－，∵0°≤θ≤180°，
∴θ＝120°.]
4．设向量a·b＝40，|b|＝10，则a在b方向上的投影数量为( )
A．4
B．4
C．4
D．8＋
A [a在b方向上的投影数量为|a|cos〈a，b〉．
由a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝40且|b|＝10，得|a|cos〈a，b〉＝4.]
5．已知a，b是两个相互垂直的单位向量，而|c|＝13，c·a＝3，c·b＝4.则对于任意实数t1，t2，|c－t1a－t2b|的最小值是( )
A．
5
B．7
C．
12
D．13
C [由条件可得
2
＝
2－6t1
－8t2
＋
t
＋
t
＝169＋(t1－3)2＋(t2－4)2－25
＝144＋(t1－3)2＋(t2－4)2≥144.
当t1＝3，t2＝4时，2＝144.
所以|c－t1a－t2b|的最小值是12.]
二、填空题
6．单位向量i，j相互垂直，向量a＝3i－4j，则|a|＝________.
5 [因为|a|2＝a2＝(3i－4j)2＝9i2－24i·j＋16j2＝9＋16＝25，所以|a|＝5.]
7．已知a⊥b，(3a＋2b)⊥(ka－b)，若|a|＝2，|b|＝3，则实数k的值为________．
[由已知得a·b＝0，a2＝4，b2＝9，由(3a＋2b)·(ka－b)＝03ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0，
∴12k－18＝0，∴k＝.]
8．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________.
2 [b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝ta·b＋(1－t)b2＝t＋1－t＝1－t＝0，解得t＝2.]
三、解答题
9．设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．
[解] ∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°，
∴m·n＝|m||n|cos
60°＝1×1×
＝.
|a|＝|2m＋n|＝＝＝
＝，
|b|＝|2n－3m|＝＝＝
＝，
a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2＝－6×1＋2×1＝－.
设a与b的夹角为θ，则cos
θ＝＝＝－.
又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°，故a与b的夹角为120°.
10．已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的投影数量．
[解] (2a－b)·(a＋b)＝2a2＋2a·b－a·b－b2＝2a2＋a·b－b2＝2×12＋1×1×cos
120°－12＝.
|a＋b|＝＝＝＝1.
设向量2a－b与向量a＋b的夹角为θ，
∴|2a－b|cos
θ＝|2a－b|·＝＝.
∴向量2a－b在向量a＋b方向上的投影数量为.
11．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则a与b的夹角θ为( )
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
B [由|a|＝|b|＝|c|且a＋b＝c，得|a＋b|＝|b|，平方得|a|2＋|b|2＋2a·b＝|b|22a·b＝－|a|22|a|·|b|·cos
θ＝－|a|2cos
θ＝－θ＝120°.]
12．设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|b＋ta|的最小值为1．
( )
A．若θ确定，则|a|唯一确定
B．若θ确定，则|b|唯一确定
C．若|a|确定，则θ唯一确定
D．若|b|确定，则θ唯一确定
B [|b＋ta|2＝b2＋2a·b·t＋t2a2＝|a|2t2＋2|a|·|b|cos
θ·t＋|b|2.
因为|b＋ta|min＝1，
所以＝|b|2(1－cos2θ)＝1.
所以|b|2sin2θ＝1，
所以|b|sin
θ＝1，即|b|＝.
即θ确定，|b|唯一确定．]
13．在△ABC中，(＋)·＝0，则△ABC一定是( )
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．直角三角形
B [由已知得：(＋)·(－)＝0，∴2－2＝0，∴||＝||.]
14．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．
[因为E为CD的中点，所以＝＋＝－＝－，＝＋.因为·＝1，所以·＝·(＋)＝2－2＋·＝1，即1－2＋||cos
60°＝1，所以－2＋||＝0，解得||＝.]
15．已知单位向量e1，e2的夹角为，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角．
[解] ∵e1，e2为单位向量且夹角为，
∴e1·e2＝1×1×cos＝.
∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)＝－2－e1·e2＋1＝－2－＋1＝－，
|a|＝＝＝＝，
|b|＝＝＝＝，
∴cos
θ＝＝－
×
＝－.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.∴a与b的夹角为.
PAGE课时分层作业(二十) 向量数量积的坐标表示利用数量积计算长度与角度
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x＝( )
A．3
B．－3
C．
D．－
A [a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.]
2．已知a＝(－，－1)，b＝(1，)，那么a，b的夹角θ＝( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
D [cos
θ＝＝－，又因为θ∈[0°，180°]，所以θ＝150°.]
3．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则a与b( )
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向
D．平行且反向
A [∵a·b＝－5×6＋6×5＝0，∴a⊥b.]
4．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是( )
A．x＝－
B．x＝1
C．x＝5
D．x＝0
D [a⊥b(x－1)·2＋2×1＝0x＝0，故选D．]
5．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于( )
A．1
B．
C．2
D．4
C [∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，
∴n＝±.
∴|a|＝＝2.]
二、填空题
6．已知向量a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________.
2 [由题意，得－2×3＋3m＝0，∴m＝2.]
7．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影数量是________．
[a·b＝13，|b|＝，
|a|cos
θ＝＝＝＝.]
8．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.
8 [∵a＝(2,4)，b＝(－1,2)，
∴a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，
∴c＝a－6b，
∴c2＝a2－12a·b＋36b2＝20－12×6＋36×5＝128.
∴|c|＝8.]
三、解答题
9．已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．
(1)求a与b的夹角θ的余弦值；
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．
[解] (1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，|a|＝＝5，|b|＝＝，
∴cos
θ＝＝＝.
(2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)，又(a－λb)⊥(2a＋b)，
∴(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，
∴λ＝.
10．在平面直角坐标系xOy中，O是原点(如图)．已知点A(16,12)，B(－5,15)．
(1)求||，||；
(2)求∠OAB．
[解] (1)由＝(16,12)，＝(－5－16,15－12)＝(－21,3)，
得||＝＝20，
||＝＝15.
(2)cos∠OAB＝.
其中·＝－·＝－(16,12)·(－21,3)＝－[16×(－21)＋12×3]＝300，
故cos∠OAB＝＝.
∴∠OAB＝45°.
11．设A(a,1)、B(2，b)、C(4,5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影数量相同，则a与b满足的关系式为( )
A．4a－5b＝3
B．5a－4b＝3
C．4a＋5b＝14
D．5a＋4b＝14
A [依定义知，＝，
∴·－·＝0，∴·＝0，
∴4(a－2)＋5(1－b)＝0，即4a－5b＝3.]
12．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于( )
A．
B．2
C．4
D．12
B [a＝(2,0)，|b|＝1，
∴|a|＝2，a·b＝2×1×cos
60°＝1.
∴|a＋2b|＝＝2.]
13．已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
A [∵＝(1,1)，＝(－3,3)，
∴·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，∴∠BAC＝90°.即△ABC为直角三角形．]
14．在平面直角坐标系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2,2)．若∠ABO＝90°，则实数t的值为________．
5 [∵∠ABO＝90°，∴⊥，∴·＝0.
又＝－＝(2,2)－(－1，t)＝(3,2－t)，
∴(2,2)·(3,2－t)＝6＋2(2－t)＝0.
∴t＝5.]
15．已知平面向量a＝(，－1)，b＝.
(1)证明：a⊥b；
(2)若存在不同时为零的实数k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，试求函数关系式k＝f(t)．
[解] (1)证明：∵a·b＝×－1×＝0，∴a⊥b.
(2)∵c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d.
∴c·d＝[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝－ka2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]a·b＝0，
又a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，a·b＝0，
∴c·d＝－4k＋t3－3t＝0，
∴k＝f(t)＝(t≠0)．
PAGE课时分层作业(二十一) 余弦定理与正弦定理
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则的值是( )
A．
B．
C．
D．
A [根据正弦定理，得＝＝.]
2．已知a、b、c是△ABC的三边，B＝60°，则a2－ac＋c2－b2的值是( )
A．大于0
B．小于0
C．等于0
D．不确定
C [由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos
60°＝a2＋c2－ac，
所以a2－ac＋c2－b2＝－b2＝b2－b2＝0.]
3．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝＋，且∠A＝75°，则b＝( )
A．2
B．4＋2
C．4－2
D．－
A [在△ABC中，易知∠B＝30°，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos
30°＝4.∴b＝2.
]
4．在△ABC中，a＝bsin
A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
B [由题意有＝b＝，则sin
B＝1，
又B∈(0，π)，故角B为直角，
故△ABC是直角三角形．]
5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，B＝120°，则a等于( )
A．
B．2
C．
D．
D [由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2ac·cos
B，∴6＝a2＋2＋a∴a＝或－2(舍去)．]
二、填空题
6．△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asin
AsinB＋bcos2A＝a，则________.
[由正弦定理得，sin2Asin
B＋sin
Bcos2A＝sin
A，即sin
B(sin2A＋cos2A)＝sin
A，故sin
B＝sin
A，所以＝.]
7．已知锐角三角形的边长分别为1,3，a，则a的取值范围是________．
(2，) [只需让3和a所对的角均为锐角即可．
故解得2
8．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________.
1 [由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos
C，
∴a2＋1＋a＝3，即a2＋a－2＝0，
解得a＝1或a＝－2(舍)．]
三、解答题
9．已知△ABC的边长满足等式＝1，求A．
[解] 由＝1，得b2＋c2－a2＝bc，
所以cos
A＝＝＝，又0所以A＝.
10．在△ABC中，∠A的平分线AD与边BC相交于点D，求证：＝.
[证明] 如图在△ABD和△CAD中，由正弦定理，得＝，
＝＝，
两式相除得＝.
11．在△ABC中，已知a＝2，则bcos
C＋ccos
B等于( )
A．1
B．
C．2
D．4
C [bcos
C＋ccos
B＝b·＋c·＝＝a＝2.]
12．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos
B等于( )
A．
B．
C．
D．
B [∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，∴cos
B＝＝＝.]
13．若△ABC为钝角三角形，三边长分别为2,3，x，则x的取值范围是( )
A．(1，)
B．(，5)
C．(，)
D．(1，)∪(，5)
D [(1)若x>3，则x对角的余弦值<0且2＋3>x，解得(2)若x<3，则3对角的余弦值<0且x＋2>3，解得1故x的取值范围是(1，)∪(，5)．]
14．在△ABC中，若＝，则C的值为________．
45° [由正弦定理知＝，
∴＝，∴cos
C＝sin
C，∴tan
C＝1，
又∵C∈(0，π)，∴C＝45°.]
15．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acos
B＝3，bsin
A＝4.
(1)求边长a；
(2)若△ABC的面积S＝10，求△ABC的周长．
[解] (1)由已知得acos
B＝3，bsin
A＝4，
∴＝，即·＝.①
由正弦定理知＝代入①式得：·＝，∴sin
B＝cos
B．
由acos
B＝3＞0知：B为锐角．
根据sin2B＋cos2B＝1，得＋cos2B＝1，
∴cos
B＝，∴sin
B＝，
∴a＝＝5.
(2)设△ABC底边BC上的高为h，则h＝csin
B，
∴三角形ABC的面积S＝·BC·h＝·a·csin
B，
∴acsin
B＝10，∴c＝＝5.
根据余弦定理b2＝a2＋c2－2accos
B＝52＋52－2×5×5×＝20，
∴b＝2，
∴△ABC的周长l＝a＋b＋c＝10＋2.
PAGE课时分层作业(二十二) 用余弦定理、正弦定理解三角形
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asin
A＋bsin
BC，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
C [根据正弦定理可得a2＋b2由余弦定理得cos
C＝<0，故C是钝角，△ABC是钝角三角形．]
2．△ABC中，a＝，b＝，sin
B＝，则符合条件的三角形有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．0个
B [∵asin
B＝，∴asin
B∴符合条件的三角形有2个．]
3．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( )
A．75°
B．60°
C．45°
D．30°
B [S△ABC＝×3×4sin
C＝3，∴sin
C＝.
∵△ABC是锐角三角形，∴C＝60°.]
4．在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cos
C的最小值为( )
A．
B．
C．
D．－
C [由余弦定理知cos
C＝＝＝≥＝，故选C．]
5．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为( )
A．
B．
C．
D．
B [∵a＞b＞c，∴C为最小角，由余弦定理得
cos
C＝＝＝，
∴C＝.]
二、填空题
6．在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积是________
.
2或 [sin
C＝＝，于是C＝60°或120°，故A＝90°或30°，
由S△ABC＝AB·AC·sin
A，可得答案为2或.]
7．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________.
[作出单位圆的内接正六边形，如图，则OA＝OB＝AB＝1，S6＝6××12×sin
60°＝.]
8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b－c＝a,2sin
B＝3sin
C，则cos
A的值为________．
－ [由2sin
B＝3sin
C，得2b＝3c，代入到b－c＝a，可得a∶b∶c＝4∶3∶2，不妨设a＝4k，b＝3k，c＝2k，则cos
A＝＝＝－.]
三、解答题
9．在△ABC
中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c
，已知△ABC的面积为3
，b－c＝2，cos
A＝－，
求a的值．
[解] S△ABC＝bcsin
A＝3，又sin
A＝＝，
代入可得bc＝24，
再由b－c＝2，可得
a2＝b2＋c2－2bccos
A＝2＋2bc－2bccos
A＝64，
所以a＝8.
10．已知△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cos
A＝.
(1)求·；
(2)若c－b＝1，求a的值．
[解] (1)在△ABC中，cos
A＝，
∴A为锐角，且sin
A＝，
∴S△ABC＝bcsin
A＝bc·＝30，
∴bc＝156.∴·＝||||·cos
A＝bccos
A＝156×＝144.
(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos
A＝(b－c)2＋2bc(1－cos
A)＝1＋2×156×＝25.∴a＝5.
11．已知△ABC的外接圆半径为R，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sin
B，那么角C的大小为( )
A．
B．
C．
D．
C [由正弦定理得，a2－c2＝ab－b2，
∴cos
C＝＝，
∵012．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b2＝a2＋bc，A＝，则C＝( )
A．
B．
C．
D．
或
B [由b2＝a2＋bc可得：a2＝b2－bc，
∵a2＝b2＋c2－2bccos
A，
∴b2－bc＝b2＋c2－2bccos
A，
∴c＝b.
代入到b2＝a2＋bc，可得：a2＝b2－b2，
∴a＝b＝b＝b，
∴a∶b∶c＝∶1∶－1，
∴cos
C＝＝＝，
∴C＝.]
13．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝2，且三角形有两解，则角A的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
A [法一：由条件知bsin
A即2sin
A<2，∴sin
A<，
∵a法二：如图，AC＝2，以C为圆心2为半径作⊙C，则⊙C上任一点(⊙C与直线AC交点除外)可为点B构成△ABC，当AB与⊙C相切时，AB＝2，∠BAC＝，当AB与⊙C相交时，∠BAC<，因为三角形有两解，所以直线AB与⊙C应相交，∴0<∠BAC<.]
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos
B＝3，bsin
A＝4，则a＝_________.
5 [由正弦定理得，＝，
∴asin
B＝bsin
A＝4，又∵acos
B＝3，
∴(asin
B)2＋(acos
B)2＝42＋32＝25，
∴a2＝25，∴a＝5.]
15．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC＝，求其角平分线AD的长．
[解] 由余弦定理，得cos
A＝＝＝，
又A∈，
∴A＝.又S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，
∴bcsin
A＝b×AD×sin∠CAD＋c×AD×sin∠BAD，
即×5×6×sin＝×5×AD×sin＋×6×AD×sin，
∴＝＋，
解得AD＝.
PAGE课时分层作业(二十三) 余弦定理与正弦定理的应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若P在Q的北偏东44°50′，则Q在P的( )
A．西偏南44°50′
B．
西偏北45°10′
C．南偏西44°50′
D．
南偏东45°10′
C [由方向角的定义知选项C正确．]
2．如图所示，在河岸AC测量河的宽度BC，图中所标的数据a，b，c，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是( )
A．c和α
B．c和b
C．c和β
D．b和α
D [b在岸上比较好测量，α和β任选其一测量即可．]
3．在△ABC中，B＝，BC边上的高为BC，则sin
A等于( )
A．
B．
C．
D．
D [设BC边上的高AD交BC于点D，AD为x，
又B＝，∴BD＝x，
DC＝2x，则BC＝3x，AC＝x，
由正弦定理得：＝，
则sin∠BAC＝＝＝.]
4．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4
m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为( )
A．12
m
B．8
m
C．3
m
D．4
m
D [由题意知，∠A＝∠B＝30°，所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，
由正弦定理，得＝，即AB＝＝＝4.]
5．若平行四边形两邻边的长分别是和，它们的夹角是45°，则这个平行四边形的两条对角线的长分别是( )
A．和
B．2和2
C．和
D．和
C [如图所示，设AB＝，AD＝，∠DAB＝45°，
则在△ABD中，BD2＝AD2＋AB2－2AD·AB·cos
45°
＝3＋6－2×××＝3，即BD＝，
在△ADC中，AC2＝DA2＋DC2－2×DA×DC×cos
135°
＝3＋6－2×××＝15，即AC＝.]
二、填空题
6．在△ABC中，三个角A、B、C的对边边长分别为a＝3，b＝4，c＝6，则bccos
A＋accos
B＋abcos
C的值为________．
[bccos
A＋cacos
B＋abcos
C＝bc·＋ca·＋ab·＝＝＝.]
7．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一块三角形的沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为________平方千米．
21 [设在△ABC中，a＝13里，b＝14里，c＝15里，
所以cos
C＝＝＝＝，
所以sin
C＝，
故△ABC的面积为×13×14××5002×＝21(平方千米)．]
8．若平行四边形两邻边的长分别是4和4，它们的夹角是45°，则这个平行四边形较长的那条对角线的长是________．
4 [较长的对角线长为
＝4.]
三、解答题
9．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，求AD的长度.
[解] 在△ABC中，由余弦定理，有
cos
C＝＝＝，
则C＝30°.
在△ACD中，由正弦定理，有＝，
∴AD＝＝＝，即AD的长度等于.
10．如图所示，已知在梯形ABCD中AB∥CD，CD＝2,
AC＝，∠BAD＝60°，求梯形的高．
[解] 作DE⊥AB于E，则DE就是梯形的高．
∵∠BAD＝60°，
∴在Rt△AED中，有DE＝AD
sin
60°＝AD×，即
DE＝AD． ①
∵
AB∥CD，∠BAD＝60°，
∴在△ACD中，∠ADC＝120°，又∵
CD＝2,
AC＝，
∴AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC，即()2＝AD2＋22－2AD×2cos
120°，
解得AD＝3(AD＝－5，舍).
将AD＝3代入①，梯形的高DE＝AD＝×3＝.
11．如图，在四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于( )
A．
B．5
C．6
D．7
B [连接BD(图略)，四边形面积可分为△ABD与△BCD两部分的和，由余弦定理得BD＝2，
S△BCD＝BC·CDsin
120°＝，∠ABD＝120°－30°＝90°，
∴S△ABD＝AB·BD＝4，
∴S四边形ABCD＝＋4＝5.]
12．在平行四边形中，AC＝，BD＝，周长为18，则平行四边形的面积是( )
A．16
B．17.5
C．18
D．19.5
A [设两邻边AD＝b，AB＝a，∠BAD＝α，
则a＋b＝9，a2＋b2－2abcos
α＝17，a2＋b2－2abcos(180°－α)＝65.
解得a＝5，b＝4，cos
α＝或a＝4，b＝5，cos
α＝，
故sin
α＝＝，
∴S?ABCD＝absin
α＝16.]
13．在△ABC中，A＝105°，B＝30°，a＝，则B的角平分线的长是( )
A．
B．2
C．1
D．
C [设B的角平分线的长为BD．
易知∠ACB＝180°－105°－30°＝45°，∠BDC＝180°－15°－45°＝120°.
在△CBD中，有＝，可得BD＝1.]
14．某班设计了一个八边形的班徽，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形组成．该八边形的面积为( )
A．2sin
α－2cos
α＋2
B．sin
α－cos
α＋3
C．3sin
α－cos
α＋1
D．2sin
α－cos
α＋1
A [
三角形的底边长为x＝＝，
∴S＝4S三角形＋S正方形＝4××1×1×sin
α＋x2＝2sin
α＋2－2cos
α＝2sin
α－2cos
α＋2.]
15．试用向量法证明：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍．
[证明] 设△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，如图．
法一：∵＝－，
∴a2＝||2＝(－)2
＝2－2·＋2
＝||2－2||||cos
A＋||2
＝b2－2bccos
A＋c2，
即a2＝b2＋c2－2bccos
A．
同理可证b2＝a2＋c2－2accos
B，c2＝a2＋b2－2abcos
C．
法二：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则C(bcos
A，bsin
A)，B(c,0)，
∴＝(bcos
A，bsin
A)－(c,0)＝(bcos
A－c，bsin
A)，
∴a2＝||2＝(bcos
A－c)2＋(bsin
A)2＝b2cos2A－2bccos
A＋c2＋b2sin2A＝b2－2bccos
A＋c2，
即a2＝b2＋c2－2bccos
A．
同理可证b2＝c2＋a2－2cacos
B，c2＝a2＋b2－2abcos
C．
PAGE课时分层作业(二十四) 平面向量在几何、物理中的应用举例
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知点A(－2，－3)，B(2,1)，C(0,1)，则下列结论正确的是( )
A．A，B，C三点共线
B．⊥
C．A，B，C是等腰三角形的顶点
D．A，B，C是钝角三角形的顶点
D [因为＝(－2,0)，＝(2,4)，所以·＝－4<0，所以∠C是钝角．]
2．在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形为( )
A．平行四边形
B．矩形
C．等腰梯形
D．菱形
D [由题可知∥，||＝||，
所以四边形ABCD是平行四边形，又⊥，
故四边形为菱形．]
3．已知点A(，1)，B(0,0)，C(，0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有＝λ，其中λ等于( )
A．2
B．
C．－3
D．－
C [如图所示，由题知∠ABC＝30°，∠AEC＝60°，CE＝，
∴＝3，∴＝－3.
∴λ＝－3.]
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆直径为( )
A．4
B．60
C．5
D．6
C [∵S△ABC＝ac·sin
B＝c·sin
45°＝c＝2，
∴c＝4，
∴b2＝a2＋c2－2accos
45°＝25，
∴b＝5，
∴△ABC的外接圆直径为＝5.]
5．若O是△ABC内一点，＋＋＝0，则O为△ABC的( )
A．内心
B．外心
C．垂心
D．重心
D [如图，取AB的中点E，连接OE，则＋＝2.
又＋＋＝0，
所以＝－2.又O为公共点，
所以O，C，E三点共线，且||＝2||.
所以O为△ABC的重心．]
二、填空题
6．已知作用在A(1,1)点的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为________．
(9,1) [F＝F1＋F2＋F3＝(8,0)．
又∵起点坐标为A(1,1)，∴终点坐标为(9,1)．]
7．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．
2 [∵O是BC的中点，
∴＝(＋)．
又∵＝m，＝n，
∴＝＋.
∵M，O，N三点共线，∴＋＝1.则m＋n＝2.]
8．在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________.
－ [如图所示，＝(＋)，＝－＝－，
∴·＝(＋)·＝2－2－·＝－－cos
60°＝－.]
三、解答题
9．已知长方形AOCD，AO＝3，OC＝2，E为OC中点，P为AO上一点，利用向量知识判定点P在什么位置时，∠PED＝45°.
[解] 如图，建立平面直角坐标系，则C(2,0)，D(2,3)，E(1,0)，设P(0，y)，
∴＝(1,3)，＝(－1，y)，
∴||＝，||＝，·＝3y－1，
代入cos
45°＝＝＝.
解得y＝－(舍)或y＝2，
∴点P在靠近点A的AO的三等分处．
10．已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)，B(4,1)，C(0，－1)．
(1)求·和∠ACB的大小，并判断△ABC的形状；
(2)若M为BC边的中点，求||.
[解] (1)由题意得＝(3，－1)，＝(－1，－3)，
·＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0.
所以⊥，即∠A＝90°.因为||＝||，
所以△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝45°.
(2)因为M为BC中点，所以M(2,0)．
又A(1,2)，所以＝(1，－2)，
所以||＝＝.
11．已知点O在△ABC所在平面上，若·＝·＝·，则点O是△ABC的( )
A．重心
B．垂心
C．外心
D．内心
B [∵·＝·，∴(－)·＝·＝0，∴⊥.
同理可证⊥，⊥，
∴O是垂心．]
12．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
B [∵|－|＝||＝|－|，|＋－2|＝|＋|，
∴|－|＝|＋|，
设＋＝，
∴四边形ABDC是矩形，且∠BAC＝90°.
∴△ABC是直角三角形．]
13．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则AC的长为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
B [因为＝－＝－，
所以2＝2＝2－·＋2，
又2＝||2＝5，·＝5，
所以2＝1，
所以||＝2，即AC＝2.]
14．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为________．
[由已知得·＝3×2×cos
60°＝3，＝2，∴－＝2(－)∴＝＋，
则·＝·(λ－)＝×3＋×4－×9－×3＝－4λ＝.]
15．如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.
(1)求|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围．
[解] (1)如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得|F1|＝，|F2|＝|G|tan
θ.
当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐变大．
(2)由(1)，得|F1|＝，
由|F1|≤2|G|，得cos
θ≥
.
又因为0°≤θ＜90°，所以0°≤θ≤60°.
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