第二十六章
反比例函数
第2课时反比例函数图像和性质
教学目的
熟悉作函数图象的步骤，会画反比例函数的图象。掌握反比例函数的主要性质
教学重点
反比例函数的图象的性质的归纳总结与记忆．
教学内容
知识要点
1．用描点法画函数图象的步骤简单地说是___列表
___、___描点___、___连线___．
2．反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称，也关于y=x和y=-x轴对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
3、反比例函数的性质
反比例函数k的符号k>0k<0图像
y
O
x
y
O
x
性质①x的取值范围是x0，
y的取值范围是y0
②当k>0时，函数图像的两个分支分别
在第一、三象限。在每一象限内，y
随x
的增大而减小。①x的取值范围是x0，
y的取值范围是y0；
②当k<0时，函数图像的两个分支分别
在第二、四象限。在每一象限内，y
随x
的增大而增大。
k的几何意义
①如图，点P是反比例函数图象上的一点，PA⊥x轴于A，PB⊥y轴于B．则长方形PAOB的面积为________．
总结：
矩形面积等于|k|．
②如图，点P是反比例函数图象上的一点，PD⊥x轴于D．则△POD的面积为________．
总结：
三角形的面积等于|k|的一半．
对应练习
1．若点A(a，b)在反比例函数的图象上，则代数式ab－4的值为(
)
A．0
－2
C．2
D．－6
2．若反比例函数的图象经过点(2，－1)，则该反比例函数的图象在(
)
A．第一、二象限
B．第一、三象限
C．第二、三象限
D．第二、四象限
3．若一个反比例函数的图象过点A(－2，－3)，则这个反比例函数的解析式是________．
4．如图，在同一平面直角坐标系中，画出反比例函数(x＞0)与(x＜0)的图象，并指出(x＞0)的图象与(x＜0)的图象之间的关系．
5．已知反比例函数，其函数图象经过点(2，3)．
(1)求m的值；
(2)当3≤x≤6时，求函数值y的取值范围．
6．若反比例函数(k≠0)的图象经过点P(－2，3)，则该函数的图象不经过的点是(
)
A．(3，－2)
B．(1，－6)
C．(－1，6)
D．(－1，－6)
7．在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx－k与反比例函数(k≠0)的图象大致是(
)
A．
B．
C．
D．
8．在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2，－3)、B(－4，－5)、C(－3，2)．其中，不可能在反比例函数(k＜0)的图象上的是________．
9．已知反比例函数的图象经过点(－3，－12)，且双曲线位于第二、四象限，求m的值．
10．已知A(m＋2，2)、B(3，)是同一个反比例函数图象上的两个点．
(1)求m的值；
(2)画出这个反比例函数的图象；
(3)求△AOB的面积(O为坐标原点)．
11．如图，点A(m，6)、B(n，1)在反比例函数的图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC＝5．
(1)求m、n的值，并写出反比例函数的解析式；
(2)连接AB，在线段DC上是否存在一点E，使△ABE的面积等于5？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
课后作业
1．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值可以是(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
2．若点(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)都是反比例函数的图象上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是(
)
A．x1＜x2＜x3
B．x1＜x3＜x2
C．x2＜x1＜x3
D．x2＜x3＜x1
3．若反比例函数的图象在其所在的每个象限内，函数值y都随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是(
)
A．m＜－2
B．m＜0
C．m＞－2
D．m＞0
4．反比例函数的图象在其所在的每个象限内，y都随x的增大而增大，则该反比例函数的解析式为________．
5．若点P1(－1，m)和点P2(－2，n)都在反比例函数(k＞0)的图象上，则m________n(填“＞”“＜”或“＝”)．
6．如图，反比例函数(k≠0)的图象经过点A(－2，8)．(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)若点(2，y1)、(4，y2)是这个反比例函数图象上的两个点，请比较y1与y2的大小，并说明理由．
7．已知反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而减小，则满足上述条件的正整数m有(
)
A．0个
B．1个
C．2个
无数个
8．已知点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)在函数的图象上．当x1＞x2＞0时，下列结论正确的是(
)
A．0＜y1＜y2
B．0＜y2＜y1
C．y1＜y2＜0
D．y2＜y1＜0
9．在反比例函数(k＜0)的图象上有两点(－1，y1)、(，y2)，则y1－y2的值是(
)
A．负数
B．非正数
C．正数
D．非负数
10．已知反比例函数的图象上有A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，且当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则m的取值范围是________．
11．在反比例函数中，当函数值y≥－2时，自变量x的取值范围是________．
12．若点A(－6，a)、B(－4，b)、C(5，c)在反比例函数(k＜0)的图象上，则A.B.c的大小关系是________．(用“＜”连接)．
13．已知正比例函数y＝kx的图象与反比例函数的图象的一个交点的横坐标是2．
(1)求k的值；
(2)若A(x1，y1)、B(x2，y2)是反比例函数的图象上的两个点，且x1＜x2，试比较y1、y2的大小．
14．已知反比例函数(a为常数)．
(1)反比例函数的图象位于哪两个象限？
(2)如果函数图象上有三点(3，y1)、(－1，y2)、(2，y3)，那么函数值y1、y2、y3有怎样的大小关系？
练习答案：
1．B
2．D
3．
4．图略
两个图象关于y轴对称
5．(1)x＝2，y＝3代入，得5－m＝6，∴m＝－1
(2)根据(1)，得，∴当x＝3时，y＝2；当x＝6时，y＝1．∵当3≤x≤6时，y随x的增大而减小，∴当3≤x≤6时，函数值y的取值范围是1≤y≤2
6．D
7．A
8．点B
9．m＝－6
10．(1)m＝－4
(2)略
(3)
11．(1)由题意，得解得∴m、n的值分别为1、6．设反比例函数的解析式为．将A(1，6)代入，得k＝6．∴反比例函数的解析式为
(2)存在
在线段DC上取一点E，连接AE.BE．设点E的坐标为(x，0)，则DE＝x－1，CE＝6－x．∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，∴∠ADE＝∠BCE＝90°．∵
，∴．解得x＝5．∴点E的坐标为(5，0)
作业答案:
1．A
2．D
3．A
4．
5．＜
6．(1)
(2)y1＜y2
理由：∵k＝－16＜0，∴反比例函数的图象在其所在的每个象限内，y随x的增大而增大．∵点(2，y1)、(4，y2)都在第四象限，且2＜4，∴y1＜y2．
7．B
8．A
9．A
10．
11．x≤－2或x＞0
12．c＜a＜b
13．(1)k＝1(2)当x1＜x2＜0时，y1＞y2；当0＜x1＜x2时，y1＞y2；当x1＜0＜x2时，y1＜y2
14．(1)反比例函数的图象位于第二、四象限
(2)y3＜y1＜y2人
教
版
九
年
级
数
学
上
册
讲
义
第二十六章
反比例函数
第1课时
反比例函数
教学目的
理解反比例函数的概念．??
能判断一个函数是否为反比例函数．
会用待定系数法求反比例函数解析式
教学重点
会用待定系数法求反比例函数解析式．
教学内容
知识要点
1.反比例函数的定义
一般地，形如（k是常数，k0）的函数，叫做反比例函数。
自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
反比例函数的三种形式：
①（k为常数，k≠0）
②（k为常数，k≠0）
③（k为常数，k≠0）
3.求反比例函数解析式的步骤：
①设：设反比例函数的解析式
②代：把满足条件的x，y代入
③求：求出k的值
④写：写出反比例函数解析式
对应练习
1．已知三角形的面积是定值S，则三角形的高h与底a的函数关系式是h
=__________，这时h是a的__________；
2．如果y与x成反比例，z与y成正比例，则z与x成______
3．如果函数是反比例函数，那么k=________，此函数的解析式是________；
4．
有一面积为60的梯形，其上底长是下底长的，若下底长为x，高为y，则y与x的函数关系是______________.
5．如果函数为反比例函数，则m的值是
（
）
A
-
1
B
0
C
D
1
6．李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校。在课堂上，李老师请学生画出自行车行进路程s千米与行进时间t的函数图像的示意图，同学们画出的示意图如下，你认为正确的是（
）
7、下列函数中，y是x反比例函数的是（
）
（A）
（B）
（C）（D）
课后作业
1.A.B两地相距120千米，一辆汽车从A地去B地，则其速度v（千米/时）与行驶时间t（小时）之间的函数关系可表示为_____________；
2.有一面积为60的梯形，其上底长是下底长的
，设下底长为x，高为y，则y与x的函数关系式是___________；
3.已知y与x成反比例，并且当x
=
2时，y
=
-1，则当x
=
-4时，y
=
________________
.
4.下列各问题中的两个变量成反比例的是（
）；
A.某人的体重与年龄
B.时间不变时，工作量与工作效率
C.矩形的长一定时，它的周长与宽
D.被除数不变时，除数与商
5.已知y与x成反比例，当x
=
3时，y
=
4，那么当y
=
3时，x的值为（
）；
A.
4
B.
-4
C.
3
D.
-3
6.下列函数中，不是反比例函数的是（
）
A.
xy
=
2
B.
y
=
-
(k≠0)
C.
y
=
D.
x
=
5y-1
7.一水池内有污水60m3，设放净全池污水所需的时间为t
(小时），每小时的放水量为wm3，
（1）试写出t与w之间的函数关系式，t是w反比例函数吗？
（2）求当w
=
15时，t的值.
8.已知函数y
=
y1
+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x
=
1时，y
=
4，当x
=
2时，y
=
5.
求y关于x的函数解析式.
练习答案1.
反比例函数
2.反比例
3.－1或
4．
5．B
6．C；
7．D
作业答案:
v
=
；
y
=
；
.
D；
A；
C.
（1）t
=
，（2）t
=
4.
y
=
2x
+第二十六章
反比例函数
第3课时
反比例函数与实际问题
教学目的
运用反比例函数解决实际问题．
教学重点
运用反比例函数解决物理问题．
教学内容
知识要点
建立反比例函数模型解决实际问题的步骤：
审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系
;
设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示
;
列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数
;
写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围
;
解：用函数解析式去解决实际问题
.
对应练习
1.某体育场计划修建一个容积一定的长方体游泳池，设容积为a(m3)，游泳池的底面积S(m2)与其深度x(m)之间的函数解析式为(x＞0)，则该函数的图象大致是(
)
A．
B．
C．
D．
2．如图所示的茶桶中共盛有72立方分米的茶水，从出水口平均每分钟放出x立方分米的茶水，这桶茶水共用y分钟放完．当y＝9时，x的值是(
)
A．6
B．8
C．12
D．72
3．有x个小朋友平分20个苹果，每人分得苹果的数量y与小朋友的人数x之间的函数是________，其函数解析式是________．当人数增多时，每人分得苹果的数量就会减少，这正符合当x＞0时，反比例函数(k＞0)中y随x的增大而________的性质．
4．为了绿化环境，某单位进行植树造林活动，计划每天植树5亩，5天植完．
(1)写出植树时间t(天)关于植树速度v(亩／天)的函数解析式；
(2)天气预报预测近几天有雨，该单位决定在3天内植完，那么每天至少要植树多少亩？
5．如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60m2的矩形科技园ABCD，其中一边AB靠墙，墙长12m．设AD的长为xm，DC的长为ym．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)若围建的矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26m，边AD和DC的材料长度都是整米数，求出满足条件的所有围建方案．
杨树乡共有耕地S公顷，该乡人均耕地面积y(公顷)与总人口x(人)之间的函数图象大致为(
)
B．
C．
D．
7．当三角形的面积为1时，底y与该底上的高x之间的函数关系用图象表示是(
)
A．
B．
C．
D．
8．李大爷准备在一块空地上用篱笆围成一块面积为64m2的长方形菜地．
(1)小明建议把长定为8m，那么按小明的建议，李大爷要准备长为________m的篱笆；
(2)通过测量，发现宽最多为5m，那么长至少为________m才能保证菜地面积不变．
9．一位司机驾驶汽车从甲地驶往乙地，他以100千米／时的平均速度用5小时到达目的地．当他按原路返回时，汽车的平均速度v(千米／时)与时间t(小时)之间的函数解析式为________．如果该司机必须在4小时内回到甲地，那么返程的平均速度不能低于________千米／时．
10．一辆汽车从甲地开往乙地，随着汽车的平均速度v(km／h)的变化，所需时间t(h)的变化情况如图所示．
(1)甲、乙两地相距多少千米？
(2)写出t关于v的函数解析式；
(3)当汽车的平均速度为75km／h时，所需时间为多少？
(4)如果准备在5h内到达，那么汽车的平均速度至少为多少？
11．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y(℃)随时间x(小时)变化的函数图象，其中BC段是双曲线的一部分．请根据图中信息解答下列问题：
(1)恒温系统在这天保持大棚内温度为18℃的时间有多少小时？
(2)求k的值；
(3)当x＝16时，大棚内的温度约为多少摄氏度？
课后作业
1．反比例函数在物理等学科中有着广泛的应用，如：
(1)压力(F)、压强(P)、受力面积(S)三者之间，当压力F一定时，压强P是受力面积S的反比例函数，其函数解析式为________；
(2)质量(m)、体积(V)、密度(ρ)三者之间，当质量m一定时，体积V与密度ρ成反比例函数关系，其函数解析式为________；
(3)电流(I)、电压(U)、电阻(R)三者之间，当电压U一定时，电流I是电阻R的反比例函数，其函数解析式为________．
2．用电器的输出功率P与通过的电流I、用电器的电阻R之间的函数解析式是P＝I2R．下列说法正确的是(
)
A．P为定值，I与R成反比例
B．P为定值，I2与R成反比例
C．P为定值，I与R成正比例
D．P为定值，I2与R成正比例
3．当压力F(N)一定时，物体所受的压强P(Pa)与受力面积S(m2)之间的函数解析式为，则这个函数的图象大致是(
)
A．
B．
C．
D．
4．收音机刻度盘的波长l和频率f分别用米和千赫兹为单位标刻，波长l和频率f之间满足函数解析式，这说明波长l越大，频率f就越________(填“大”或“小”)．
5．一定量的二氧化碳，当它的体积V＝5m3时，它的密度ρ＝1.98kg／m3．
(1)求ρ与V之间的函数解析式；
(2)当V＝9m3时，求二氧化碳的密度ρ．
6．在一闭合电路中，当电压是6V时，回答下列问题：
(1)写出电路中的电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数解析式；
(2)画出该函数的图象；
(3)如果一个用电器的电阻是5Ω，其允许通过的最大电流为1A，那么直接把这个用电器接入这个闭合电路中，会不会被烧坏？试通过计算说明理由．
7．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例．如图是该电路中电流I与电阻R之间的函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式是(
)
A．
B．
C．
D．
8．某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强P(kPa)是气球体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120kPa时，气球将会爆炸．为了安全，气球的体积应该(
)
A．不大于m3
B．大于m3
C．不小于m3
D．小于m3
9．在物体做功一定的情况下，力F(牛)与此物体在力的方向上移动的距离s(米)成反比例函数关系，其图象如图所示．点P(5，1)在该图象上，当力达到10牛时，物体在力的方向上移动的距离是________米．
10．一块长方体大理石板的A.B.C三个面上的边长如图所示．如果把大理石板的A面向下放在地上时，地面所受的压强为m帕，那么把大理石板的B面向下放在地上时，地面所受的压强是________帕．
11．某汽车的功率P(W)为一定值，汽车行驶时的速度v(m／s)与它所受的牵引力F(N)之间的函数关系如图所示．
(1)这辆汽车的功率是多少？写出汽车行驶时的速度v关于它所受的牵引力F之间的函数解析式；
(2)当它所受的牵引力为1200N时，汽车的速度为每小时多少千米？
(3)如果限定汽车的速度不超过30m／s，那么牵引力F应在什么范围内？
12．工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料煅烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作．第8min时，材料温度降为600℃．煅烧时，温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；锻造时，温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系(如图)，已知该材料初始温度是32℃．
(1)分别求出材料煅烧和锻造时，y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)根据工艺要求，当材料温度低于480℃时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？
练习答案：
1．C
2．B
3．反比例函数
减小
4．(1)
(2)亩
5．(1)∵AD的长为xm，DC的长为ym，矩形ABCD的面积为60m2，∴xy＝60，即
(2)∵，且x、y都是正整数，∴x可取1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60．∵2x＋y≤26，0＜y≤12，∴当x＝5时，y＝12；当x＝6时，y＝10；当x＝10时，y＝6．∴满足条件的围建方案有三种：AD＝5m，DC＝12m；AD＝6m，DC＝10m；AD＝10m，DC＝6m
6．B
7．C
8．(1)32
(2)12.8
9．
125
10．(1)600km
(2)(v＞0)
(3)8h
(4)120km／h
11．(1)10小时
(2)k＝216
(3)当x＝16时，．∴当x＝16时，大棚内的温度约为13.5℃
作业答案:
1．(1)
(2)
(3)
2．B
3．A
4．小
5．(1)
(2)ρ＝1·1kg／m3
6．(1)
(2)略
(3)会
理由：当R＝5Ω时，I＝1.2A．∵1.2＞1，∴直接把这个用电器接入这个闭合电路中，会被烧坏．
7．C
8．C
9．0.5
10．3m
11．(1)功率是60000W
(2)180km／h
(3)F≥2000N
12．(1)设锻造时，y关于x的函数解析式为，则．解得k＝4800．∴．当y＝800时，x＝6．∴点B的坐标为(6，800)．∴锻造时，y关于x的函数解析式为(x≥6)．设煅烧时，y关于x的函数解析式为y＝mx＋b，则解得∴煅烧时，y关于x的函数解析式为y＝128x＋32(0≤x＜6)
(2)当y＝480时，．∴10－6＝4(min)．∴锻造的操作时间为4min
