专题强化训练(二) 平面向量及其应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )
A．4
B．3
C．2
D．0
2.
在△ABC中，若2cos
Bsin
A＝sin
C，则△ABC的形状一定是( )
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
3．已知a＝(1,2)，b＝(x,1)，μ＝a＋b，υ＝a－b，且μ∥υ，则x的值为( )
A．
B．－
C．
D．－
4．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角θ的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
5．如图，e1，e2为互相垂直的两个单位向量，则|a＋b|＝( )
A．20
B．
C．2
D．
二、填空题
6．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．
7．设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.
8．若△ABC的内角满足sin
A＋sin
B＝2sin
C，则cos
C的最小值是________．
三、解答题
9．平面内三点A、B、C在一条直线上，＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，且⊥，求实数m、n的值．
10．已知a，b是两个非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取最小值时．
(1)求t的值；
(2)求证：b⊥(a＋tb)．
11．已知非零向量与满足·＝0且·＝，则△ABC为( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰非等边三角形
D．三边均不相等的三角形
12．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影数量为( )
A．
B．
C．－
D．－
13．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝( )
A．2
B．4
C．5
D．10
14．如图，设P为△ABC内一点，且＝＋，＝，＝，则△PMB的面积与△ABC的面积之比等于________.
15．如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
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(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )
A．4
B．3
C．2
D．0
D [∵a⊥c，∴a·c＝0.
又∵a∥b，
∴可设b＝λa，则c·(a＋2b)＝c·(1＋2λ)a＝0.]
2.
在△ABC中，若2cos
Bsin
A＝sin
C，则△ABC的形状一定是( )
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
C [由2cos
Bsin
A＝sin
C得×a＝c，∴a＝b.]
3．已知a＝(1,2)，b＝(x,1)，μ＝a＋b，υ＝a－b，且μ∥υ，则x的值为( )
A．
B．－
C．
D．－
A [∵μ＝(1＋x,3)，υ＝(1－x,1)，μ∥υ.
∴(1＋x)×1－3×(1－x)＝0，∴x＝.]
4．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角θ的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
B [Δ＝|a|2－4a·b＝|a|2－4|a||b|cos
θ＝4|b|2－8|b|2·cos
θ≥0.
∴cos
θ≤
，θ∈[0，π]．
∴≤θ≤π.]
5．如图，e1，e2为互相垂直的两个单位向量，则|a＋b|＝( )
A．20
B．
C．2
D．
C [由题意，知a＝－e1－e2，b＝－e1－e2，
所以a＋b＝－2e1－4e2，所以|a＋b|＝
＝＝＝2，故选C．]
二、填空题
6．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．
[由题意a·b＝0，即有(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，
∴ke＋(1－2k)e1·e2－2e＝0.又∵|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝－，
∴k－2＋(1－2k)·＝0，
∴k－2＝，
∴k＝.]
7．设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.
[a＋c＝(1,2m)＋(2，m)＝(3,3m)．
∵(a＋c)⊥b，
∴(a＋c)·b＝(3,3m)·(m＋1,1)＝6m＋3＝0，
∴m＝－，
∴a＝(1，－1)，|a|＝＝.]
8．若△ABC的内角满足sin
A＋sin
B＝2sin
C，则cos
C的最小值是________．
[由sin
A＋sin
B＝2sin
C可得a＋b＝2c，
∴c＝.
∴cos
C＝＝＝＝＋－≥2－＝.]
三、解答题
9．平面内三点A、B、C在一条直线上，＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，且⊥，求实数m、n的值．
[解] ＝－＝(7，－1－m)，
＝－＝(5－n，－2)．
∵A、B、C三点共线，∴∥，
∴－14＋(m＋1)(5－n)＝0.①
又⊥.
∴－2n＋m＝0.②
由①②解得m＝6，n＝3或m＝3，n＝.
10．已知a，b是两个非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取最小值时．
(1)求t的值；
(2)求证：b⊥(a＋tb)．
[解] (1)(a＋tb)2＝|a|2＋|tb|2＋2a·tb，
|a＋tb|最小，即|a|2＋|tb|2＋2a·tb最小，即t2|b|2＋|a|2＋2t|a||b|cos
〈a，b〉最小．
故当t＝－时，|a＋tb|最小．
(2)证明：b·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2＝|a||b|cos
〈a，b〉－|b|2＝|a||b|cos
〈a，b〉－|a||b|cos〈a，b〉＝0，
故b⊥(a＋tb)．
11．已知非零向量与满足·＝0且·＝，则△ABC为( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰非等边三角形
D．三边均不相等的三角形
A [和分别是与，同向的两个单位向量．
∴＋是∠BAC角平分线的一个方向向量，
由·＝0知，该向量与边BC垂直，
∴△ABC是等腰三角形．
由·＝知，∠BAC＝60°.
∴△ABC是等边三角形．]
12．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影数量为( )
A．
B．
C．－
D．－
A [由已知得＝(2,1)，＝(5,5)，因此在方向上的投影数量为＝＝.]
13．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则＝( )
A．2
B．4
C．5
D．10
D [∵＝－，
∴||2＝2－2·＋2.
∵＝－，
∴||2＝2－2·＋2.
∴||2＋||2＝(2＋2)－2·(＋)＋22＝2－2·2＋22.
又2＝162，＝2，代入上式整理得||2＋||2＝10||2，故所求值为10.]
14．如图，设P为△ABC内一点，且＝＋，＝，＝，则△PMB的面积与△ABC的面积之比等于________.
[由题可知，＝，＝，则＝＋，由平行四边形法则，可知∥，所以＝·＝×＝.]
15．如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
[解] 法一：作CD∥OB交直线OA于点D，作CE∥OA交直线OB于点E，则＝＋，
由已知∠OCD＝∠COE＝120°－30°＝90°，
在Rt△OCD中，OD＝＝4，CD＝OCtan
30°＝2，
∴OE＝CD＝2.
又∵||＝||＝1，
∴＝4，＝2，即＝＋＝4＋2，
从而λ＋μ＝6，
法二：由图可知∠BOC＝120°－30°＝90°，即⊥，
又∵＝λ＋μ
∴，
∴，解得，
∴λ＋μ＝6.
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