北师大版八年级数学上册第二章实数知识点总结及练习（无答案）

有德教育
第二章：实数
【无理数】
定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
常见无理数的几种类型：
（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；
（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010
010
001
000
01…（两个1之间依次多1个0）等。（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2-是无理数
（4）无理数乘或除以一个不
为0的有理数结果是无理数。如2,
（5）开方开不尽的数，如:等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：等；无理数也不一定带根号，如：）
3.有理数与无理数的区别：
（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；
（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。（填序号）
（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-,,其中无理数有
(
)个
【算术平方根】：
定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。例如32=9，那么9的算术平方根是3，即。
特别规地，0的算术平方根是0，即，负数没有算术平方根
2.算术平方根具有双重非负性：（1）若
有意义，则被开方数a是非负数。（2）算术平方根本身是非负数。
3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：。
例：（1）下列说法正确的是
（
）
A．1的立方根是；
B．；（C）、的平方根是；
（
D）、0没有平方根；
（2）下列各式正确的是（
）
A、
B、
C、
D、
（3）的算术平方根是
。（4）若有意义，则___________。
（5）已知△ABC的三边分别是且满足，求c的取值范围。
（6）（提高题）如果x、y分别是4－的整数部分和小数部分。求x
－
y的值.
平方根：
1.定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根；，我们称x是a的平方（也叫二次方根），记做：
2.性质：（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；
（2）0只有一个平方根，它是0本身；
（3）负数没有平方根
例（1）若的平方根是±2，则x=
　
；的平方根是
（2）当x
时，有意义。
（3）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？
3.
（1）（2）中，a可以取任意实数。如
例：1.求下列各式的值
（1）
（2）
（3）
2.已知，那么a的取值范围是
　。3.已知2＜x＜3,化简
　。
【立方根】
1.定义：一般地，如果以个数x的立方等于a，即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）记为，读作，3次根号a。如23=8，则2是8的立方根，0的立方根是0。
2.性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。立方根是它本身的数有0,1，-1.
例：（1）64的立方根是???????????（2）若，则b等于???????????
（3）下列说法中：①都是27的立方根，②，③的立方根是2，④。
其中正确的有
（
）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
比较两个数的大小：
方法一：估算法。如3＜＜4
方法二：作差法。如a＞b则a-b＞0.
方法三：乘方法.如比较的大小。
例：比较下列两数的大小
（2）
【实数】
定义：（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。
（2）实数也可以分为正实数、0负实数。
实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是（a≠0）；实数a的绝对值|a|=，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。
实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。
实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一
实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一一对应的
（1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。
（2）数轴上的每个点都表示已个实数。
例：（1）下列说法正确的是（
）；
A、任何有理数均可用分数形式表示
；
B、数轴上的点与有理数一一对应
；
C、1和2之间的无理数只有
；
D、不带根号的数都是有理数。
（2）a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是(
)
A、
B、
C、
D、
（3）比较大小(填“>”或“<”).
3
，
，
，
，
（4）数
的大小关系是
(
)
A.
B.
C.
D.
（5）将下列各数：，用“＜”连接起来；______________________________________。
（6）若，且，则：=
。
【二次根式】
定义：形如的式子叫做二次根式，a叫做被开方数
注意：（1）从形式上看二次根式必须有二次根号“”，如是二次根式，而=3,3显然就不是二次根式。
（2）被开方数a可以是数，也可以是代数式。若a是数，则这个数必须是非负数；若a是代数式，则这个代数式的取值必须是非负数，否则没有意义。
例：下列根式是否为二次根式
（1）
（2）
（3）
（4）
二次根式的性质：
性质1：
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用这个性质也可以对二次根式进行化简。
性质2：
商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。
最简二次根式：被开方数中不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。
例：1.化简：
（1）
（2）
（3）
2.计算：
3.已知：，求代数式的值。
6.（提高题）观察下列等式：回答问题：
①
②
③，……
（1）根据上面三个等式的信息，请猜想的结果；
（2）请按照上式反应的规律，试写出用n表示的等式，并加以验证。　
课后练习
一、重点考查题型：
1.－1的相反数的倒数是　　　　　2.已知｜a+3|+＝0，则实数（a+b）的相反数　　　　　
3.数－3．14与－Л的大小关系是　　　　　4.和数轴上的点成一一对应关系的是　　　　　　
5.和数轴上表示数－3的点A距离等于2．5的B所表示的数是　　　　　　
6.在实数中Л,－,0,
,－3．14,
无理数有　　　个
7．一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（　　）
（A）非负数　　（B）非正数　　（C）负数　　（D）正数
8．若x＜－3，则｜x＋3｜=　
　　。
9．下列说法正确是（　　）
有理数都是实数
（B）实数都是有理数
带根号的数都是无理数　（D）无理数都是开方开不尽的数
10．实数在数轴上的对应点的位置如图，比较下列每组数的大小：
c-b和d-a
bc和ad
二、考点训练：
1．判断题：
（1）如果a为实数，那么－a一定是负数；（　）
（2）对于任何实数a与b,|a－b|=|b－a|恒成立；（　）
（3）两个无理数之和一定是无理数；（　）
（4）两个无理数之积不一定是无理数；（　）
（5）任何有理数都有倒数；（　）　
　（6）最小的负数是－1；（　）
（7）a的相反数的绝对值是它本身；（　）
（8）若|a|=2,|b|=3且ab>0，则a－b=－1；（　）
2．把下列各数分别填入相应的集合里
－|－3|，21．3，－1．234，－,0，－,－,
－,,
(－)0，3－2，ctg45°,1.2121121112．．．．．．中
无理数集合｛
　
　
　｝　　负分数集合｛　　　　
　　
　　｝
整数集合｛　　　
　　　
　　｝　非负数集合｛
　　　　　　　　
｝
3．已知1　　。
4．下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？
－3,
－1，
3，
－
0．3，
3－1，
1
+，
3
互为相反数：
互为倒数：
互为负倒数：
5．已知ｘ、ｙ是实数，且（X－）2和｜ｙ＋2｜互为相反数，求ｘ，y的值　
6.ａ,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值是2，
求+4m-3cd=
。
7．已知＝0，求ａ＋ｂ=
。
三、解题指导：　　　　　　　　　
1．下列语句正确的是（　　）
A、无尽小数都是无理数　
B、无理数都是无尽小数
C、带拫号的数都是无理数　
D、不带拫号的数一定不是无理数。
2．和数轴上的点一一对应的数是（　　　）
A、整数　
B、有理数　
C、无理数　　D、实数
零是（　　　）
A、最小的有理数
B、绝对值最小的实数　C、最小的自然数　
D、最小的整数
4.如果a是实数，下列四种说法：
（1）ａ2和｜ａ｜都是正数，（2）｜ａ｜＝－ａ，那么ａ一定是负数，
（3）ａ的倒数是，（4）ａ和－ａ的两个分别在原点的两侧，几个是正确的有
个
5．比较下列各组数的大小：
(1)
　
(2)a　?
6．若a,b满足=0,则的值是
7．实数a,b,c在数轴上的对应点如图，其中O是原点，且|a|=|c|
判定a+b,a+c,c-b的符号
化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|
8．数轴上点A表示数－1，若AB＝3，则点B所表示的数为
9．已知x<0,y>0，且y<|x|，用"<"连结x，－x，－|y|，y。
10．最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？
11．绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么？
12．把下列语句译成式子：
（1）a是负数　
　；（2）a、b两数异号
　　；（3）a、b互为相反数　　　　；
（4）a、b互为倒数　　　　；(5)x与y的平方和是非负数　　　　　；
（6）c、d两数中至少有一个为零　　　
；（7）a、b两数均不为0　　　　　。
13.数轴上作出表示，，－的点。
四．独立训练：
1．0的相反数是　　，3－л的相反数是　　，
的相反数是　　　；－л的绝对值是　　　，0　的绝对值是　　，－的倒数是　　　　　　
2．数轴上表示－3．2的点它离开原点的距离是　　　。
A表示的数是－，且AB＝，则点B表示的数是　　　　。
3　－,л,(1－)?,－,0．1313…,2cos60?,
－3－1
,1．101001000…
(两1之间依次多一个0),其中无理数有　　
　，整数有　
　　，负数有　
　　。
4.
若a的相反数是27，则｜a|＝
；5．若|a|＝，则a=
5．若实数x，y满足等式（x＋3）2＋｜4－y｜＝0，则x＋y的值是
6．实数可分为（　　　）
A、正数和零
B、有理数和无理数
C、负数和零
D、正数和负数
7．若2a与1－a互为相反数，则a等于a=
8．当a为实数时，=－a在数轴上对应的点在（　　　）
A、原点右侧
B、原点左侧
C、原点或原点的右侧
D、原点或原点左侧
9．代数式＋＋的所有可能的值有
个。
10．已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图
（1）比较a－b与a+b的大小　　　　　　　
（2）化简|b－a|+|a+b|
11．实数ａ、ｂ、ｃ在数轴上的对应点如图所示，其中｜ａ｜＝｜ｃ｜
试化简：｜ｂ－ｃ｜－｜ｂ－ａ｜＋｜ａ－ｃ－2ｂ｜－｜ｃ－ａ｜
12．已知等腰三角形一边长为ａ，一边长ｂ，且（2ａ－ｂ）2＋｜9－ａ2｜＝0
。求它的周长。
＊13．若3，ｍ，5为三角形三边，化简：－
8
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