(共20张PPT)
16.1
二次根式
第2课时
1、了解二次根式的意义，理解二次根式
（a≥0）的双重非负性，掌握和应用其性质（
）2=a（a≥0）和a=（
）2（a≥0）.
2、通过数学技能的训练，培养观察分析、归纳概括的能力.
学生回答：（
）2=3
回忆平方根定义，思考下列问题：
1、如果x2=3，那么x=___________.
把
代入式子x2=3
，又可得到什么式子呢？
（回忆探讨下面的练习，做一做）
如果x2=11，x2=0，x2=a呢？
形如上面所看到的算术平方根
、
、
(
)
都是二次根式.
二次根式的定义：式子
(
)叫做二次根式.
a
0
≥
≥
大家观察一下，二次根式具有哪些特点呢？
2、a可以是表示具体的数，也可以表示字母，只
要a是表示一个非负数的代数式就可以.
1、被开方数a必须是非负数.因此，二次根式
（a≥0）就是指非负数a的算术平方根.
a
≥0(a≥0
)
3、
a
(
)2
=
a（a
≥
0）
4、
a
中x+2须满足什么条件呢？
你知道当x是怎样的实数时，
在实数范围内
有意义吗？
想一想：
解：（1）要使
在实数范围内有意义,
则x-3≥0.
解得x
≥
3.
∴
当x≥3时，
在实数范围内有意义.
【例1】
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）
（2）
3
x
-
x
1
1
-
1- ≠0，
（2）要使
在实数范围内有意义
则
x≥0.
解得x≥0且x≠1.
∴
当x≥0且x≠1时，
在实数范围内有意义.
x
1
1
-
x
1
1
-
x
当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？
（分组抢答）
(x
≥-3）
（x≤3）
（x为全体实数）
（x≠0）
（x=0)
x
-
【解析】∵（x+2)2≥0，
≥0，（x+2）2+
=0，
∴
（x+2
)2
=0，
=0，
解得x=-2
,
y=0.
∴ xy
=(-2)0=1.
【例2】已知（x+2）2
+
=0，求xy=？
y
解：
（1）(
)2
=(
)2=
.
（2）(2
)2
=
22
×(
)2=4×3=12 .
【例3】计算：
（1）
(
)2
；
（2）（2
)2.
二次根式性质(
)2
=a（a≥0）逆用可以得到：
a=(
)2
（a≥0）.
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成
一个数的平方的形式.
例如：3=（
)2
，b=（
)2
（b≥0）.
a
a
解：4m2-7=
(2m)2-
(
)2
=(2m+
)(2m-
).
【例4】在实数范围内因式分解：4m2-7.
在实数范围内因式分解：
?
（1）a4-25；
（2）16b4
–9.
解：（1）a4-25
=(a2+5)(a2-5)
=(a2+5)(a+
)(a-
).
（2）16b4
–9
=(4b2+3)(4b2-3)
=(4b2+3)(2b+
)（2b-
）.
【例5】化简：
b
2
a
b
4
a
-
-
解：
b
2
a
)
b
2
(
)
a
(
b
2
a
b
4
a
2
2
-
-
=
-
-
b
2
a
+
=
b
2
a
)
b
2
a
)(
b
2
a
(
-
-
+
=
1.
若
在实数范围内有意义，
则x的取值范围是（
）
A．x≥-2
B．x≠-2
C．
x≥2
D．
x≠2
【解析】选C.要使式子
有意义，须满足3x-6≥0，
解不等式可得x≥2.
2.
+
=0,则xy的值为(
)
A．8
B.
2
C.5
D.6
【解析】选A.∵
≥0，
≥0而
+
=0，
∴
x-2y=y+2=0.
∴
x=-4,y=-2,
∴
xy=8.
3.
若x,y为实数，且|x+2|+
,
则
的值为
.
【解析】由|x+2|≥0，
，|x+2|+
，
得x+2=0,y
-3=0,
∴
x=﹣2，y=3，∴
=1.
答案：1
-
≥
3
0
y
4.
化简（1）
（2）
解:（1）原式=10-15=-5.
（2）原式=7+5+3=15.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1、二次根式的概念；（强调a≥0)
2、二次根式的性质:（
）2=a（a≥0）
和a=（
）2（a≥0）.(共19张PPT)
16.1
二次根式
第十六章
二次根式
第1课时
1．了解二次根式的概念；
2．理解二次根式何时有意义，何时无意义，会在简
单情况下求根号内所含字母的取值范围；
3．会求二次根式的值.
2、什么是一个数的算术平方根？如何表示？
1、什么叫做一个数的平方根？如何表示？
正数的正的平方根叫做它的算术平方根.
其中0的算术平方根是0.
用
(a≥0)表示.
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.
a的平方根是
(a≥0).
①
正数有两个平方根且互为相反数；
②
0有一个平方根是0；
③
负数没有平方根.
3、平方根的性质：
1、16的平方根是什么?
算术平方根是什么？
2、0的平方根是什么？算术平方根是什么？
3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？
正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根.
思考
50米
a米
塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为_________米.
?米
塔座
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S，则下球体的半径
为____________.
下球体
如图所示，已知正方形的面积为b-3，则
正方形的边长是
.
b-3
表示一些正数的算术平方根;
a叫做被开方数.
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
形如
（≥0)的式子叫做二次根式;
请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式
的
认识！
开动你的脑筋，你一定行！
2.
a可以是数,也可以是式；
3.
形式上含有二次根号
；
5.
既可表示开平方运算,也可表示运算的结果.
1.
表示a的算术平方根；
4.
a≥0,
≥0
(
双重非负性)；
形如
（a≥0)的式子叫做二次根式.
?
?
?
(m≤0)
；
(x,y
异号)
；
注意：在实数范围内,负数没有平方根.
【例1】说一说下列各式是二次根式吗?
⑴
⑵
(3)
(4)
；
(5)
?
?
?
?
判断下列代数式中哪些是二次根式？
；
；
(
)
；
【例2】求下列二次根式中字母的取值范围：
解：（1）由于被开方数是非负数，可
知a+1
≥
0，即a≥-1.
（2）由于被开方数是非负数，且分母不
为零，可知1-2a>0，即a<
.
（3）由（a-3）2≥0，可知a可以取任意实数.
1、x取何值时,下列二次根式有意义?
≥
≤
≥
2.已知a，b为实数，且满足
你能求出a及
a+b
的值吗？
解：依题意知：2b-1≥0，1-2b
≥0,所以b=
,把
b=
代入原式，得a=1,所以a+b=1+
=
.
1.
要使式子
有意义，a的取值范围是（
）.
A.
a≠0
B.
a＞-2且a≠0
C.
a＞-2或a≠0
D.
a≥-2且a≠0
【解析】选D.要使式子
有意义，须同时满足a+2≥0，
a≠0两个条件，解两个不等式可得a≥-2且a≠0
.
D
2．下列式子一定是二次根式的是（
）.
A．
B．
C．
D．
【解析】选C.A中只有当x≤-2时，才是二次根式，故A不一定是二次根式；B中当x≥0时是二次根式，故B不一定是二次根式；C中无论x为何值，x2+2＞0，所以C一定是二次根式；D中当x=0时，不是二次根式，所以D也不正确.
C
3.
使
有意义的x取值范围是____.
【解析】要使式子
有意义，要满足x-2≥0，
解得x≥2.
答案：
x≥2
4．如图所示，在平面直角坐标系中，
A（-2，3），B（-4，0），C（-2，0）
是三角形的三个顶点，求三角形各边的长．
解：AC=3-0=3，BC=-2-（-4）=2．因为△ABC为直角三角形，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2．所以
AB=
，三角形三边长分别为3，2，
．
通过本课时的学习，需要我们掌握：
（1）二次根式的概念；
（2）根号内字母的取值范围；
（3）二次根式的值.
