17.1 勾股定理 课件（共28张PPT）

第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
1.掌握勾股定理的内容.
2.理解勾股定理的证明.
3.应用勾股定理进行有关计算与证明.
这就是本届大会会徽的图案．
你见过这个图案吗？
你听说过勾股定理吗？
这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”．
相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系．
我们也来观察右图中的地面，看看能发现些什么？
数学家毕达哥拉斯的发现：
A、B、C的面积有什么关系？
直角三角形三边有什么关系？
SA+SB=SC
两直角边的平方和等于斜边的平方
A
B
C
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1
图2
让我们一起再探究：等腰直角三角形三边关系
A的面积(单位面积)
B的面积(单位面积)
C的面积(单位面积)
图1
图2
9
9
18
4
4
8
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1
图2
分“割”成若干个直角边为整数的三角形
S
C
正
方
形
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1
图2
把C“补” 成边长为6的正方形面积的一半
S
C
正
方
形
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图1
图2
A的面积(单位面积)
B的面积(单位面积)
C的面积(单位面积)
图1
9
9
18
图2
A、B、C面积关系
直角三角形三边关系
4
4
8
两直角边的平方和
等于斜边的平方
SA+SB=SC
A
B
C
图1
A
B
C
图2
1.观察右边两个图并填写下表：
A的面积
B的面积
C的面积
图1
图2
16
9
25
4
9
13
　 你是怎样得到表中的结果的？与同伴交流交流．
做 一 做
A
B
C
图2
A
B
C
图3
2．三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？
SA+SB=SC
即两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积．
议 一 议
A
B
C
a
c
b
SA+SB=SC
设：直角三角形的三边长分别是a、b、c,猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
a2+b2=c2
勾
┏
a2+b2=c2
a
c
b
如果直角三角形的两直角边的长分别是a，b，斜边的长是c，那么a2+b2=c2.
股
弦
看左边的图案，这个图案是公元3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（黄色）．
黄实
朱实
朱实
朱实
朱实
b
a
a
c
a
b
赵爽弦图的证法
化简得： c2 =a2+ b2．
勾
┏
a2+b2=c2
a
c
b
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
股
弦
勾股定理
(毕达哥拉斯定理)
我国是最早了解勾股定理的国家之一.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”,为此向宇宙发出了许多信号,如地球上人类的语言,音乐,各种图形等.我国数学家华罗庚建议,发射一种反映勾股定理的图形,如果宇宙人是“文明人”,那么他们一定会识别这种语言的.
勾股世界
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
①
81
144
x
y
②
625
576
x=15
y=7
2.在等腰Rt△ABC中, a=b=1,则c=＿＿＿.
C
A
B
第4题图
第5题图
a
b
c
C
B
A
4.在一个直角三角形中, 两边长分别为3、4,则第三边的长为________.
5 或
3.在Rt△ABC中, ∠A=30°，AB=2，则BC= ＿，AC=＿＿＿.
1
D
A
B
C
5.蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）
G
F
E
3
4
12
5
6
8
答案：28
【解析】选D.∵∠B=30°,AC⊥AB,AC=5米,所以
BC=10米， 米.
大树折断前的高度为AC+BC=15(米).
1.如图所示，一棵大树在一次强台风中离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，则这棵大树在折断前的高度和AB的长分别为（ ）
（A）10米， 米
（B）15米， 米
（C）10米， 米
（D）15米， 米
AB= BC –AC = 10 – 5 = 75
2 2 2 2
2.如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1 边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图（2））；···依次下去，则正方形A4B4C4D4的面积为__________.
图（1）
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
D2
A2
B2
C2
D1
C1
B1
A1
A
B
C
D
图（2）
【解析】由勾股定理得：新正方形A1B1C1D1边长为 ，正方形A2B2C2D2边长为5，···，正方形A4B4C4D4的边长为25，正方形A4B4C4D4的面积为625.
答案：625
5
3. 已知，在△ABC中，∠A=45°，
AB= +1，则边BC的长为____.
【解析】过点C作CD⊥AB,
∵∠A=45°,∴AD=CD,
∴2AD2=AC2=2,
∴DC=AD=1,
∴BD=AB-AD= +1-1=
在Rt△CDB中，
答案：2
AC= 2,
CB = CD +BD = 1+3= 4=2.
2 2
4. 已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE,……,依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是______.
( 2 ) .
= 2+2 =(2),
AD= AC + CD
AC= AB + BC = 2,
【
解析
】
由题意：
……
∴
等
n
个等腰直角三角形的斜边长为
答案：
2 2
2 2
2
AE= AD +DE = 4+4= 8 =( 2 ) ,
2 2 3

n
n
( 2 )
通过本课时的学习，需要我们
1.掌握勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2.理解勾股定理的证明过程.
3.应用勾股定理计算线段的长度.注意使用勾股定理的前提条件是在直角三角形中.