(共26张PPT)
18.1.2
平行四边形的判定
（第1课时）
2、会综合运用平行四边形的判定定理和性质来解决问题
.
1、理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法
.
3、经历平行四边形判定条件的探索过程，提高学生的推理意识和表述能力
.
2.平行四边形具有哪些性质？
1.填空如图
（1）∵
四边形ABCD是平行四边形，
∴———————————
.（
定义
）
（2）∵———————————
∴
四边形ABCD是平行四边形
.（
）
AB∥CD
AD∥BC
AB∥CD
AD∥BC
定义
平行四边形的对边平行.
平行四边形的对边相等.
平行四边形的对角相等.
平行四边形的对角线互相平分.
边：
角：
对角线：
B
C
A
D
通过前面的学习,我们知道,平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分.反过来，对边相等或对角相等或对角线互相平分的四边形是不是平行四边形呢？这些逆命题是不是真命题呢？
将两长两短的四根细木条用小钉钉在一起，做成一个四边形，使等长的木条成为对边.它是平行四边形吗？
A
B
C
D
命题1
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
已知：四边形ABCD,AB=CD，AD=BC.
求证：四边形ABCD是平行四边形
证明：连接AC.
∵
AB=CD，BC=AD
（已知），
又∵
AC=CA
（公共边），
∴△ABC≌△CDA（SSS）.
∴∠1=∠2
∠3=∠4
.
∴
AB∥CD
AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
2
1
3
4
命题证明
B
C
A
D
判定定理1
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
B
C
A
D
符号语言：
∵
AB=CD
，AD=BC，
∴
四边形ABCD是平行四边形
.
猜一猜
命题2
对角线互相平分的四边形是平行四边形
命题3
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
将两根细木条的中点重叠，用小钉钉在一起，再用橡皮筋连接木条的顶点做成一个四边形，它是平行四边形吗？
A
B
C
D
O
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
已知：四边形ABCD,对角线AC、BD交于点O，且OA=OC，OB=OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
方法（1）证明：
∵
OA=OC
OD=OB（已知），
∠AOB=∠COD（对顶角），
∴
△AOB≌△COD（SAS）.
∴
∠1
=
∠2.∴
AB∥CD.
同理
AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
方法（2）证明：
∵
OA=OC
OB=OD（已知），
∠AOB=∠COD
（对顶角），
∴
△AOB≌△COD（SAS）.
∴
AB=CD
.
同理
AD=CB
.
∴四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
O
1
2
判定定理2
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
符号语言：
∵
OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
O
判断下列四边形是否是平行四边形?并说明理由.
B
A
D
C
110°
110°
⑴
⑶
A
B
C
D
O
5
㎝
5
㎝
4
㎝
4
㎝
4.8
㎝
B
A
D
C
4.8
㎝
7.6
㎝
7.6
㎝
⑵
两组对边分别相等的
四边形是平行四边形
判定1
两组对边分别平行的
四边形是平行四边形
定义
两条对角线互相平分的
四边形是平行四边形
判定2
70°
判定一个四边形是平行四边形应具备几个条件？
既可以从位置关系证明，也可以从数量关系证明.
判定一个四边形是平行四边形应具备两个条件.
已知：□
ABCD的对角线AC
、BD交于点O，点E、F是AC上的两点，并且AE=CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
AO=CO，BO=DO.
∵AE=CF，
∴AO-AE=CO-CF.
即
EO=FO.
∴
四边形BFDE是平行四边形.
D
A
C
B
E
O
F
1.下面条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形
的是（
）
∠A=∠B，∠C=∠D
AB∥CD，AD＝BC
AB＝CD，AD＝BC
AB＝AD，CB＝CD
【解析】选C.两组对边（角）分别相等的四边形是平行四边形，选项A中不是对角，选项D中不是对边.
2.如图，四边形ABCD中，
（1）若AB∥CD,补充一个条件
——
，使四边形ABCD为平行四边形.
（2）若AB=CD,补充一个条件———
，使四边形ABCD为平行四边形.
（3）若对角线AC，BD相交于点O，OA=OC=3，OB=5，补充个一个条件
，使四边形ABCD为平行四边形.
【解析】（1）根据平行四边形的定义添加AD∥BC或∠OBA
=∠ODA等；
（2）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加AD=BC；
（3）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，添加OD=5.
答案：（1）不唯一，如AD∥BC或∠OBA
=∠ODA等；（2）AD=BC（答案不唯一）；（3）OD=5.
1.如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，AB=BF.添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形.你认为下面四个条件中可以选择的是（
）
A.AD=BC
B.CD=BF
C.∠A=∠C
D.∠F=∠CDE
【解析】选D.∵∠F=∠CDE,∠FEB=∠DEC,BE=CE,
∴
△BEF≌△CED,∴CD=BF,
则AB∥CD且AB=CD,
∴
四边形ABCD是平行四边形.
2.
点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选C.连接AB，BC，分别过点A、C作BC、AB的平行线，它们的交点即为D点，同理连接AB、AC或AC、BC，符合条件的点共有3个.
3.
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC、BD相交于点O．若AC＝6，则线段AO的长度等于
．
【解析】
∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=
.
答案：3
3
AC
2
1
=
4.
如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.
求证：四边形AECF是平行四边形.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB，
OA=OC，AB∥CD，
∴∠DFO=∠BEO，∠FDO=∠EBO.
∴△FDO≌△EBO，∴OF=OE.
∴四边形AECF是平行四边形.
5.已知：如图，A′B′∥BA，B′C′∥CB，
C′A′∥AC．
求证：(1)∠ABC＝∠B′，∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′；
(2)△ABC的顶点分别是△B′C′A′各边的中点．
【证明】(1)∵A′B′∥BA，C′B′∥BC，
∴四边形ABCB′是平行四边形．
∴∠ABC＝∠B′(平行四边形的对角相等)．
同理∠CAB＝∠A′，∠BCA＝∠C′．
(2)由(1)证得四边形ABCB′是平行四边形．同理，四边形ABA′C是平行四边形．
∴AB＝B′C，
AB＝A′C(平行四边形的对边相等)．
∴B′C＝A′C．
同理B′A＝C′A，
A′B＝C′B．
∴△ABC的顶点A、B、C分别是△B′C′A′的
边B′C′、C′A′、A′B′的中点．
1.本节课所学的判定方法有：
两组对边分别平行
两组对边分别相等
两组对角分别相等
对角线互相平分
的四边形是平行四边形
2.在今后解决平行四边形问题时要尽可能地运用平行四边形的相应定理，不要总是依赖于全等三角形，否则不利于掌握新知识。(共24张PPT)
18.1.2
平行四边形的判定
（第2课时）
2、会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题.
1、掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法.
3、理解三角形中位线的概念，掌握它的性质.
4、能较熟练地应用三角形中位线的性质进行有关的证明和计算.
到上一节课为止我们学习了几种判定平行四边形的方法？
2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3、两组对角分别相等的四边形是平行四边形
4、对角线互相平分的四边形是平行四边形
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形
将一根木棒从AB平移到DC，AB与DC之间的位置关系、数量关系？
A
B
C
D
四边形ABCD是什么样的图形？
猜测：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
A
B
C
D
已知：AB∥CD，
AB＝CD
.
求证：四边形ABCD是平行四边形
.
证明：连接BD.
∵
AB∥CD，
∴∠ABD
＝
∠CDB.
又AB
＝CD
，BD
＝
DB，
∴△ABD
≌△CDB.
∴AD
＝
CB.
∴四边形ABCD是平行四边形.
你还有其他证明方法吗？
判定定理：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
两组对边分别相等
两组对角分别相等
对角线互相平分
两组对边分别平行
平行四边形的判定方法共有几种？
一组对边平行且相等
的四边形是平行四边形
边
角:
对角线：
证明：延长DE到F,使EF=DE,连接FC、DC、AF.
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴四边形DBCF是平行四边形.
∵AE=EC，
CF∥DA，CF=DA.
∴CF∥BD，CF=BD.
DF∥BC，DF=BC.
又DE=
DF，
∴DE∥BC且DE=
BC.
如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的
中点.求证:DE∥BC且DE=
BC.
A
B
C
D
E
B
C
A
D
E
F
2
1
定义：
把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等
于第三边的一半.
中位线定理
1.①有一组对边平行的四边形是平行四边形.
②有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形.
③对角线相等的四边形是平行四边形.
④一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.
判断正误
：
2、如图,
四边形ABCD中,已知AB∥CD，那么再添加_________,使得四边形ABCD是一个平行四边形.
A
D
C
B
解析：答案不唯一，满足题意即可
答案：
AD∥BC
3.如图，四边形ABCD、AEFD都是平行四边形，试说明四边形BCFE也是平行四边形.
证明：∵
四边形ABCD、AEFD是平行四边形，
∴AD
BC，AD
EF，
∴BC
EF.
∴四边形BCFE是平行四边形.
4.如图，D、E分别是△ABC的边
ＡＣ和ＢＣ的中点，已知ＤＥ＝２，则ＡＢ＝（
）
Ａ.１
Ｂ.２ Ｃ.３ Ｄ.４
【解析】选D.因为DE为△ABC的中位线，所以AB=2DE=4.
5.如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20
m，那么A、B两点的距离是
m，理由是
.
【解析】由题意知，MN是△ABC的中位线，所以AB=2MN=40
m.
答案：40
三角形的中位线等于第三边的一半
1.
如图，在□
ABCD中，AC与BD相交于点O,
点E是边BC的中点，AB=4，则OE的长是（
）
A.2
B.
C.1
D.
【解析】选A.在□ABCD中，AC与BD相交于点O，
又O为AC的中点，E是BC的中点，即OE是△ABC的中位线，所以OE=
AB=2.
2.已知三角形的三边长分别为12
cm、16
cm、20
cm，则它的中位线构成的三角形的周长与面积分别为
和
.
【解析】由三角形中位线定理知，由它的中位线构成的三角形边长分别为6
cm、8
cm、10
cm，易证为直角三角形，所以其周长为24
cm，面积为24
cm2.
答案：
24
cm
24
cm2
3.如图，在□
ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF.
求证：∠EBF=∠FDE.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//CD,AB=CD,
∴∠BAE=∠DCF,
∵AE=CF,
∴△ABE≌△CDF,
∴BE=DF,∠AEB=∠CFD,
∴∠BEF=∠DFE,
∴BE∥DF,
∴四边形BEDF是平行四边形,
∴∠EBF=∠FDE.
4.
如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE.已知
∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F，连接DF.
（1）试说明AC=EF;
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形.
【解析】(1)在Rt△ABC中，∠BAC=30°,
∴BC=
AB,∴
在等边△ABE中，EF⊥AB,
∴
∴AC=EF.
(2)∵∠DAF=∠DAC+∠BAC=60°+30°=90°,∠EFA=90°，
∴AD∥EF.
又∵AC=AD=EF，
∴四边形ADFE是平行四边形.
AC
=
AB
–BC
=
AB
-
(
AB
)
=─AB.
2
2
2
2
1
3
2
2
EF=
AE
-AF
=
AE
-(
AE)
=
AE=
AB,
2
2
2
2
1
3
3
2
2
2
现有一块等腰直角三角形铁板，要求切割一次焊接成一个含有45°角的平行四边形(不能有余料),请你设计一种方案，并说明该方案正确的理由.
A
B
C
C
A
B
F
E
D
D
C
A
B
E
A
B
C
F
D
E
通过本课时的学习，需要我们：
1、熟练掌握平行四边形的性质和判定并能灵活运用其解决相关的计算与证明.
2、理解三角形中位线的概念，掌握它的性质并能较熟练地应用三角形中位线的性质进行有关的证明和计算.
