18.2.1 矩形 课件（共42张PPT）
文档属性
| 名称 | 18.2.1 矩形 课件（共42张PPT） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-27 08:58:50 | ||
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文档简介
18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩形
2、会初步运用矩形的性质、判定等知识，解决简单的证明和计算，进一步培养学生的分析能力.
1、掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系.
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
A
B
C
D
四边形ABCD
如果
AB∥CD
AD∥BC
B
D
□ ABCD
A
C
平行四边形的性质：
边
平行四边形的对边平行；
平行四边形的对边相等；
角
平行四边形的对角相等；
平行四边形的邻角互补；
对角线
平行四边形的对角线互相平分；
平行四边形的判定：
边
两组对边分别平行的四边形；
两组对边分别相等的四边形；
角
两组对角分别相等的四边形；
对角线
对角线互相平分的四边形；
一组对边平行且相等的四边形；
平行四边形的判定定理：
一个角
是直角
两组对边
分别平行
平行
四边形
矩形
我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样，对于平行四边形来说也有特殊情况即特殊的平行四边形，这堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形→矩形.
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形的定义：
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
矩形是特殊的平行四边形
具备平行四边形所有的性质
A
B
C
D
O
角
边
对角线
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
矩形的一般性质：
矩形是一种特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
猜想1：矩形的四个角都是直角．
猜想2：矩形的对角线相等．
A
B
C
D
求证：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形.
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴ ∠A=90°.
又∵矩形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A=∠C，∠B = ∠D，
∠A +∠B = 180°.
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
即矩形的四个角都是直角.
已知：如图,四边形ABCD是矩形.
求证：AC = BD.
A
B
C
D
证明：在矩形ABCD中，
∵∠ABC = ∠DCB = 90°，
又∵AB = DC ， BC = CB，
∴△ABC≌△DCB.
∴AC = BD .即矩形的对角线相等.
求证:矩形的对角线相等.
矩形特殊的性质
矩形的四个角都是直角．
矩形的对角线相等．
从角上看：
从对角线上看：
矩形的两条对角线互相平分
矩形的两组对边分别相等
矩形的两组对边分别平行
矩形的四个角都是直角
矩形的对角线相等
边
对角线
角
矩形的性质
边
角
对角线
对称性
平行四
边形
矩形
对边平行
且相等
对角相等
邻角互补
对角线互
相平分
中心对称图形
对边平行
且相等
四个角
为直角
对角线互相
平分且相等
中心对称图形、轴对称图形
O
这是矩形所特有的性质
比一比,知关系
1.四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的交点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么？
O
A
B
C
D
公平,因为OA=OC=OB=OD
∵∠ABC=90°，
∴□ABCD是矩形.
2.已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.求证: BO = AC.
O
C
B
A
D
证明: 延长BO至点D,使OD=BO, 连接AD、DC.
∵AO=OC, BO=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AC=BD.
∴BO= BD= AC.
2
1
直角三角形的性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
应用格式：∵ 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线，
∴ BO = AC.
O
C
B
A
【例1】 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°,AB=4 ㎝,求矩形对角线的长.
∴AC与BD相等且互相平分.
∴ OA=OB.
∵ ∠AOB=60°，
∴ △AOB是等边三角形.
∴ OA=AB=4 ㎝.
∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8 ㎝.
解：∵ 四边形ABCD是矩形，
D
C
B
A
o
1.下面性质中，矩形不一定具有的是（ ）
A．对角线相等 B．四个角都相等
C．是轴对称图形 D．对角线垂直
D
2.过四边形的各个顶点分别作对角线的平行线，若这
四条平行线围成一个矩形，则原四边形一定是（ ）
A.对角线相等的四边形
B.对角线互相平分且相等的四边形
C.对角线互垂直平分的四边形
D.对角线垂直的四边形
D
3. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条
对角线所夹锐角的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
4. 矩形ABCD中，AB=2BC，E在CD上，AE=AB，则∠BAE等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
D
A
5.已知△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线.
D
C
B
A
┓
(1)若BD=3 ㎝，则AC＝ _______ ㎝；
(2)若∠C=30°，AB＝5 ㎝，则AC＝_______㎝，BD＝_______㎝.
6
5
10
你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？
定义判定：
有一个角是直角的平行四边形是矩形.（方法一）
你还有其他的判定方法吗？
平行四边形ABCD中∠A=90°
四边形ABCD是矩形
∵
∴
（ 已知），
（矩形的定义）.
几何语言：
平行四边形
矩形
实验：李芳同学用四步画出了一个四边形，她的画法是“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形 .
你能证明上述结论吗？
矩形的判定方法：
有三个角是直角的四边形是矩形.
A
B
C
D
∵ ∠A=∠B=∠C=90°（已知），
∴ 四边形ABCD是矩形（有三个角是
直角的四边形是矩形）.
几何语言：
实验：工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否是矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
命题：对角线相等的平行四边形是矩形.
已知：平行四边形ABCD，AC=BD.
求证：四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
证明
∴ AB=CD, BC=AD（平行四边形对边相等）.
∴ △ABC≌ △DCB（SSS）.
∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
在 △ABC和△DCB中，
AB=CD （已证），
BC=BC （公共边），
AC=BD （已知），
∴ ∠ABC=∠DCB（全等三角形对应边相等）.
又∵ ∠ABC+∠DCB=180°（平行四边形邻角互补），
∴ ∠ABC=90°（等式的性质）.
又∵ 四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴ 四边形ABCD是矩形（矩形的定义）.
A
B
C
D
对角线相等的平行四边形是矩形.
矩形的判定方法：
几何语言：
∵ AC=BD，四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴ 四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
A
B
C
D
O
你能归纳矩形的几种判定方法吗？
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
方法1：
方法2：
方法3：
1、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( )
A.对角相等 B.对边相等
C.对角线相等 D.对角线互相平分
2、下列四边形中不是矩形的是（ ）
A.有三个角是直角的四边形是矩形
B.四个角都相等的四边形
C.一组对边平行且对角相等的四边形
D.对角线相等且互相平分的四边形
C
C
3、如果E、F、G、H是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH是矩形，那么四边形ABCD应具备的条件是（ ）
A.一组对边平行而另一组对边不平行
B.对角线相等
C.对角线互相垂直
D.对角线相等且互相平分
C
4.已知:四边形ABCD是矩形.
(1)若已知AB=8 ㎝，AD=6 ㎝，则AC＝____ ㎝， OB=_____ ㎝ .
(2)若已知∠DOC=120°，AC＝8 ㎝，则AD=___cm，
AB= _____cm .
O
D
C
B
A
5
10
4
1.如图，要使□ ABCD成为矩形，需添加的条件是( )
A.AB=BC B.AC⊥BD
C.∠ABC=90° D.∠1=∠2
【解析】选C.因为有一个直角的平行四边形是矩形.
2. 如图，AC、BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC 交BC的延长线于点E，则图中与△ABC全等的三角形共有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选D.与△ABC全等的三角形有：△DCB、△BAD、△CDA、△DCE共4个.
3.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE=20°,那么∠EFC′的度数为_____度 .
【解析】由折叠可知，∠DEF=∠BEF.
∠EFC=∠EFC′.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠D=∠C=90°.
又∠ABE=20°,
∴∠AEB=70°,
∴∠DEF=55°.
在四边形EFCD中，∠EFC=125°,
∴∠EFC′=125°.
答案：125
4. 如图，矩形ABCD的顶点A，B在数轴上，CD=6，点A对应的数为-1，则点B所对应的数为___.
【解析】在矩形ABCD中，CD=6，
∴ AB=6.
又∵ 点A对应的数为-1，
∴ 点B所对应的数为5.
答案：5
5. 如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和_______．
【解析】∵ AC=10，BC=8，由勾股定理得AB = 6，把五个小矩形的边长向矩形ABCD的各边平移得五个小矩形的周长之和为2（AB+BC）=2×（6+8）=28.
答案：28
A
B
C
D
?
6.如图，MN∥PQ，同旁内角的平分线AB、BC和AD、CD分别相交于点B、D．
（1）猜想线段AC和BD间的关系是______；
（2）证明你的猜想．
【解析】（1）相等
(2)理由:∵MN∥PQ,AB,CB分别是∠MAC,
∠PCA的平分线，
∴∠BAC+∠ACB=90°.
∴∠ABC=90°.
同理∠ADC=90°.
∵CB,CD分别是∠PCA,∠QCA的平分线，
∴∠BCA+∠DCA=90°.
∴∠BCD=90°.
∴四边形ABCD是矩形.
∴AC=BD.
本节课主要学习了矩形的定义、性质、判定，要求我们：
1.弄清矩形的性质与判定的区别与联系.
2.会应用矩形的性质、判定证明一些几何问题.
3.理解矩形与平行四边形之间的关系.
18.2.1 矩形
2、会初步运用矩形的性质、判定等知识，解决简单的证明和计算，进一步培养学生的分析能力.
1、掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系.
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
A
B
C
D
四边形ABCD
如果
AB∥CD
AD∥BC
B
D
□ ABCD
A
C
平行四边形的性质：
边
平行四边形的对边平行；
平行四边形的对边相等；
角
平行四边形的对角相等；
平行四边形的邻角互补；
对角线
平行四边形的对角线互相平分；
平行四边形的判定：
边
两组对边分别平行的四边形；
两组对边分别相等的四边形；
角
两组对角分别相等的四边形；
对角线
对角线互相平分的四边形；
一组对边平行且相等的四边形；
平行四边形的判定定理：
一个角
是直角
两组对边
分别平行
平行
四边形
矩形
我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样，对于平行四边形来说也有特殊情况即特殊的平行四边形，这堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形→矩形.
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形的定义：
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
矩形是特殊的平行四边形
具备平行四边形所有的性质
A
B
C
D
O
角
边
对角线
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
矩形的一般性质：
矩形是一种特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
猜想1：矩形的四个角都是直角．
猜想2：矩形的对角线相等．
A
B
C
D
求证：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形.
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴ ∠A=90°.
又∵矩形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A=∠C，∠B = ∠D，
∠A +∠B = 180°.
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
即矩形的四个角都是直角.
已知：如图,四边形ABCD是矩形.
求证：AC = BD.
A
B
C
D
证明：在矩形ABCD中，
∵∠ABC = ∠DCB = 90°，
又∵AB = DC ， BC = CB，
∴△ABC≌△DCB.
∴AC = BD .即矩形的对角线相等.
求证:矩形的对角线相等.
矩形特殊的性质
矩形的四个角都是直角．
矩形的对角线相等．
从角上看：
从对角线上看：
矩形的两条对角线互相平分
矩形的两组对边分别相等
矩形的两组对边分别平行
矩形的四个角都是直角
矩形的对角线相等
边
对角线
角
矩形的性质
边
角
对角线
对称性
平行四
边形
矩形
对边平行
且相等
对角相等
邻角互补
对角线互
相平分
中心对称图形
对边平行
且相等
四个角
为直角
对角线互相
平分且相等
中心对称图形、轴对称图形
O
这是矩形所特有的性质
比一比,知关系
1.四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的交点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么？
O
A
B
C
D
公平,因为OA=OC=OB=OD
∵∠ABC=90°，
∴□ABCD是矩形.
2.已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.求证: BO = AC.
O
C
B
A
D
证明: 延长BO至点D,使OD=BO, 连接AD、DC.
∵AO=OC, BO=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AC=BD.
∴BO= BD= AC.
2
1
直角三角形的性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
应用格式：∵ 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线，
∴ BO = AC.
O
C
B
A
【例1】 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°,AB=4 ㎝,求矩形对角线的长.
∴AC与BD相等且互相平分.
∴ OA=OB.
∵ ∠AOB=60°，
∴ △AOB是等边三角形.
∴ OA=AB=4 ㎝.
∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8 ㎝.
解：∵ 四边形ABCD是矩形，
D
C
B
A
o
1.下面性质中，矩形不一定具有的是（ ）
A．对角线相等 B．四个角都相等
C．是轴对称图形 D．对角线垂直
D
2.过四边形的各个顶点分别作对角线的平行线，若这
四条平行线围成一个矩形，则原四边形一定是（ ）
A.对角线相等的四边形
B.对角线互相平分且相等的四边形
C.对角线互垂直平分的四边形
D.对角线垂直的四边形
D
3. 已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条
对角线所夹锐角的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
4. 矩形ABCD中，AB=2BC，E在CD上，AE=AB，则∠BAE等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
D
A
5.已知△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线.
D
C
B
A
┓
(1)若BD=3 ㎝，则AC＝ _______ ㎝；
(2)若∠C=30°，AB＝5 ㎝，则AC＝_______㎝，BD＝_______㎝.
6
5
10
你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？
定义判定：
有一个角是直角的平行四边形是矩形.（方法一）
你还有其他的判定方法吗？
平行四边形ABCD中∠A=90°
四边形ABCD是矩形
∵
∴
（ 已知），
（矩形的定义）.
几何语言：
平行四边形
矩形
实验：李芳同学用四步画出了一个四边形，她的画法是“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形 .
你能证明上述结论吗？
矩形的判定方法：
有三个角是直角的四边形是矩形.
A
B
C
D
∵ ∠A=∠B=∠C=90°（已知），
∴ 四边形ABCD是矩形（有三个角是
直角的四边形是矩形）.
几何语言：
实验：工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否是矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
命题：对角线相等的平行四边形是矩形.
已知：平行四边形ABCD，AC=BD.
求证：四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
证明
∴ AB=CD, BC=AD（平行四边形对边相等）.
∴ △ABC≌ △DCB（SSS）.
∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
在 △ABC和△DCB中，
AB=CD （已证），
BC=BC （公共边），
AC=BD （已知），
∴ ∠ABC=∠DCB（全等三角形对应边相等）.
又∵ ∠ABC+∠DCB=180°（平行四边形邻角互补），
∴ ∠ABC=90°（等式的性质）.
又∵ 四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴ 四边形ABCD是矩形（矩形的定义）.
A
B
C
D
对角线相等的平行四边形是矩形.
矩形的判定方法：
几何语言：
∵ AC=BD，四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴ 四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
A
B
C
D
O
你能归纳矩形的几种判定方法吗？
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
方法1：
方法2：
方法3：
1、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( )
A.对角相等 B.对边相等
C.对角线相等 D.对角线互相平分
2、下列四边形中不是矩形的是（ ）
A.有三个角是直角的四边形是矩形
B.四个角都相等的四边形
C.一组对边平行且对角相等的四边形
D.对角线相等且互相平分的四边形
C
C
3、如果E、F、G、H是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH是矩形，那么四边形ABCD应具备的条件是（ ）
A.一组对边平行而另一组对边不平行
B.对角线相等
C.对角线互相垂直
D.对角线相等且互相平分
C
4.已知:四边形ABCD是矩形.
(1)若已知AB=8 ㎝，AD=6 ㎝，则AC＝____ ㎝， OB=_____ ㎝ .
(2)若已知∠DOC=120°，AC＝8 ㎝，则AD=___cm，
AB= _____cm .
O
D
C
B
A
5
10
4
1.如图，要使□ ABCD成为矩形，需添加的条件是( )
A.AB=BC B.AC⊥BD
C.∠ABC=90° D.∠1=∠2
【解析】选C.因为有一个直角的平行四边形是矩形.
2. 如图，AC、BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC 交BC的延长线于点E，则图中与△ABC全等的三角形共有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选D.与△ABC全等的三角形有：△DCB、△BAD、△CDA、△DCE共4个.
3.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE=20°,那么∠EFC′的度数为_____度 .
【解析】由折叠可知，∠DEF=∠BEF.
∠EFC=∠EFC′.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠D=∠C=90°.
又∠ABE=20°,
∴∠AEB=70°,
∴∠DEF=55°.
在四边形EFCD中，∠EFC=125°,
∴∠EFC′=125°.
答案：125
4. 如图，矩形ABCD的顶点A，B在数轴上，CD=6，点A对应的数为-1，则点B所对应的数为___.
【解析】在矩形ABCD中，CD=6，
∴ AB=6.
又∵ 点A对应的数为-1，
∴ 点B所对应的数为5.
答案：5
5. 如图：矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和_______．
【解析】∵ AC=10，BC=8，由勾股定理得AB = 6，把五个小矩形的边长向矩形ABCD的各边平移得五个小矩形的周长之和为2（AB+BC）=2×（6+8）=28.
答案：28
A
B
C
D
?
6.如图，MN∥PQ，同旁内角的平分线AB、BC和AD、CD分别相交于点B、D．
（1）猜想线段AC和BD间的关系是______；
（2）证明你的猜想．
【解析】（1）相等
(2)理由:∵MN∥PQ,AB,CB分别是∠MAC,
∠PCA的平分线，
∴∠BAC+∠ACB=90°.
∴∠ABC=90°.
同理∠ADC=90°.
∵CB,CD分别是∠PCA,∠QCA的平分线，
∴∠BCA+∠DCA=90°.
∴∠BCD=90°.
∴四边形ABCD是矩形.
∴AC=BD.
本节课主要学习了矩形的定义、性质、判定，要求我们：
1.弄清矩形的性质与判定的区别与联系.
2.会应用矩形的性质、判定证明一些几何问题.
3.理解矩形与平行四边形之间的关系.