(共16张PPT)
19.2.3
一次函数与方程、不等式
第2课时
1.理解解一元一次不等式可以看作是:当一次函数值
大于（或小于）0时，求自变量相应的取值范围．
3.加深理解数形结合思想．
2.会根据一次函数的图象求一元一次不等式的解集.
我们来看下面两个问题有什么关系？
１．解不等式5x+6>3x+10．
２．当自变量x为何值时函数y=2x-4的值大于0？
在问题１中，不等式5x+6>3x+10可以转化为2x-4>0，解这个不等式得x>2．
解问题２就是要解不等式2x-4>0，得出x>2时函数y=2x-4的值大于0．
因此这两个问题实际上是同一个问题．
那么，是不是所有的一元一次不等式都可以转化为一次函数的相关问题呢？它在函数图象上的表现是什么？如何通过函数图象来求解一元一次不等式？
观察函数y=2x-4的图象,可以看出：当x>2时，直线y=2x-4上的点全在x轴上方，即这时y=2x-4>0．
由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次
不等式可以看作：当一次函数的函数值大于（或小于）
0时，求相应自变量的取值范围．
【例1】用画函数图象的方法解不等式5x+4＜2x+10.
解法1:原不等式化为3x–6＜0,
画出直线y=3x-6(如图).
可以看出,当x<2
时，这条直线上
的点都在x轴的下方,
即这时y=3x-6<0.
所以不等式的解集为x<2.
解法2：画出函数y=2x+10,
y=5x+4的图象，
从图中可以看出：当x<2时，
直线y=5x+4在y=2x+10的下方，
即5x+4<2x+10.
∴
不等式5x+4<2x+10的解集是
x<2.
将原不等式的两边分别看作两个一次函数.
【例2】已知一次函数y=2x+1,根据它的图象回答下列问题.
(1)
x
取什么值时,函数值y等于3?
(2)
x
取什么值时,函数值y大于3?
(3)
x
取什么值时,函数值y小于3?
【解析】作出函数
y=2x+1的图象
及直线y=3（如图）
y
=
2x
+1
y=
3
从图中可知：
（1）当x=1时，函数值y等于3.
（2）当x>1时，函数值y大于3.
（3）当x<1时，函数值y小于3.
1．当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=3x+8的值满足下列条件？
①y=-7．
②y<2．
x
=-5
x＜-2
2.利用图象解出x.
6x-4<3x+2．
x＜2
1.
如图，直线y1=k1x+a与y2=k2x+b的交点坐标为（1,2），则使y1＜y2的x的取值范围为(
)
A.x＞1
B.x＞2
C.x＜1
D.x＜2
【解析】选C.
由图象可知直线y1=k1x+a与y2=k2x+b的交点坐标为（1,2），则y1的x的取值范围为x＜1.
y1=k1x+a
y2=k2x+b
2.
一次函数
（k为常数且k≠0）的图象如图所示，则使y＞0成立的取值范围为
．
【解析】由图象知x﹤-2时，y>0.
答案：
x﹤-2.
3.“保护环境，人人有责”为了更好地治理某市，某市污水处理厂决定购买A、B两型污水处理设备，共10台，其信息如下表：
单价（万元/台）
每台处理污水量（吨/月）
A
型
12
240
B
型
10
200
（1）设购买A型设备x台，所需资金共为W万元，每月处理污
水总量为y吨，试写出W与x，y与x的函数关系式.
（2）经预算，该市污水处理厂购买设备的资金不超过106万元，
月处理污水量不低于2040吨，请你列举出所有购买方案，并
指出哪种方案更省钱，需要多少资金？
【解析】（1）由题意得W=12x+10(10－x)=2x+100
y=240x+200(10－x)=40x+2000
(2)由题意得不等式组：
解得：1≤x≤3.
又x取整数，所以购买的方案及资金为：
①当x=1时，购买A型1台，B型9台；
②当x=2时，购买A型2台，B型8台；
③当x=3时，购买A型3台，B型7台.
由于w随x的增大而增大，所以当x=1时，最省钱，需要资金
为102万元.
?
í
ì
≥
+
≤
+
2040.
2000
40
106，
100
2
x
x
4.A，B两城相距600千米，甲、乙两车同时从A城出发驶向B城，甲车到达B城后立即返回．如图是它们离A城的距离
y（千米）与行驶时间
x（小时）之间的函数图象．
（1）求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当它们行驶7小时时，两车相遇，求乙车的速度．
x/小时
y/千米
600
14
6
O
F
E
C
D
【解析】（1）①当0≤x≤6时，
，
②当6＜x≤14时，设
，
∵图象过（6，600），（14，0）两点，
∴
解得
∴
．
∴
（2）当x=7时，
，
（千米/小时）．
100x
(0
x
6)
y
75x
1050
(6
x
14)
≤
≤
ì
=
í
-
+
<
≤
ì
?
任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，因此解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大于（或小于）0时，求自变量相应的取值范围．
通过本课时的学习，需要我们掌握：(共23张PPT)
19.2.3
一次函数与方程、不等式
第3课时
1.理解一次函数与二元一次方程（组）的关系.
3.加深理解数形结合思想．
2.掌握用一次函数图象求方程组的解的方法.
一次函数
二元一次方程
y-3x=1
y=3x+1
y=3x+1这是什么？
1.对于方程3x+5y=8,如何用x表示y?
2.在平面直角坐标系中画出一次函数y=
的图象.
y
=
.
是不是任意的二元一次方程都能进行这样的转化呢？
探究一：一次函数与二元一次方程的关系.
在一次函数y=
上任取一点（x，y）
则x,y一定是方程
3x+5y=8的解吗？
是
是
(1)在同一直角坐标系中画出
y
=
x
+
与
y
=
2
x
-
1的图象.
这个交点(1,1)是方程组
的解吗?
探究二：一次函数与二元一次方程组的关系
是否任意两个一次函数的交点坐标都是它们所对应的二元一次方程组的解？
是
是
以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上.
反过来,一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次
方程.
y
=
x
+
与
y
=
2
x
-1的值相等?
这个函数值是多少?
(2)当自变量取何值时,函数
与解方程组:
是同一个问题吗?
x=1
y=1
是
以二元一次方程组的解为坐标的点都是相应的函数图象的交点.
反过来,两个一次函数图象的交点的坐标都适合相应的二元一次方程组.
为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话
采用不同的收费方式，其中使用的“便民卡”与“如意卡”
在某市范围内每月（30天）的通话时间x(分钟)与通话费
y(元)的关系如图所示：
问题：1.通话多少分钟两种卡花费一样？
x
y
o
60
20
40
20
10
30
100
80
120
40
50
y=0.5x
y=30+0.2x
便民卡
如意卡
（分钟）
（元）
通话100分钟时，两种卡花费一样.
2.通话多少分钟便民卡优惠？
120
40
x
y
o
60
20
40
20
10
30
100
80
50
y=0.5x
y=30+0.2x
便民卡
如意卡
（分钟）
（元）
通话时间大于100分钟便民卡优惠.
3.通话多少分钟如意卡优惠？
120
40
x
y
o
60
20
40
20
10
30
100
80
50
y=0.5x
y=30+0.2x
便民卡
如意卡
（分钟）
（元）
通话时间小于100分钟如意卡优惠
1.一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式Ａ以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；方式Ｂ除收月基费20元外再以每分钟0.05元的价格按上网时间计算．如何选择收费方式能使上网者更合算？
【解析】设上网时间为x分，若按方式A则收费y=0.1x元；若按方式B则收费y=0.05x+20元.
40
2.根据下列图象，你能说出它表示哪个方程组的解？
这个解是什么？
1
1
x
y
o
y
=2x-1
y
=-3x+4
方程组
2x–y=
1
3x+y=4
x=1
y=1
2x+y=4
2x-3y=12
1.用图象法解方程组：
①
②
【解析】
由①得:
由②得:
作出图象：
观察图象得：交点(3,-2)
∴方程组的解为
x=3
y=-2
x
o
y
y=-2x+4
2.
小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁，图中折线O－A－B－C和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
s（千米）
t（分钟）
A
B
D
C
30
45
15
O
2
4
小聪
小明
（1）小聪在天一阁查阅资料的时间为__________分钟，小聪返回学校的速度为_______千米/分钟.
（2）请你求出小明离开学校的路程s（千米）与所经过的时
间t（分钟）之间的函数关系;
（3）当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少
千米？
【解析】（1）15
（2）由图象可知，s是t的正比例函数,设所求函数的解析式为s=kt,将点（45，4）带入得45k=4,
解得：
∴s与t的函数关系式为
(0
≤
t
≤
45)
（3）由图象可知，小聪在
时段内,s是t的一次
函数，设函数解析式为s=mt+n,将点（30，4），（45，0）代入得：
解得：
答：当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的
路程是3千米.
45
30
≤
≤
t
3.
某物流公司的快递车和货车每天往返于A、B两地，快递车比货车多往返一趟．下图表示快递车距离A地的路程y（千米）与所用时间x（单位：时）的函数图象．已知货车比快递车早1小时出发，到达B地后用2小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快递车最后一次返回A地晚1小时．
请在下图中画出货车距离A地的路程y（单位：千米）
与所用时间x(时)的函数图象；
(2)求两车在途中相遇的次数（直接写出答案）；
(3)求两车最后一次相遇时，距离A地的路程和货车从A地出发了几小时．
(时)
(千米)
1
2
4
3
5
6
7
8
9
-1
-21
50
100
150
200
O
-50
x
y
【解析】（1）图象如图.
（2）4次.
（3）如图，设直线EF的解析式为
y=k1x+b1，∵图象过(9,0)，(5,200)，
设直线CD的解析式为y=k2x+b2
，同理可得
解由上述两个方程组成的方程组得
最后一次相遇时距离A地的路程为100km，货车从A地
出发了8小时.
x
(时)
y
(千米)
1
2
4
3
5
6
7
8
9
-1
50
100
150
200
O
F
G
C
E
D
1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上.反过来,一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程.
2.以二元一次方程组的解为坐标的点都是相应的函数图象的交点.反过来,两个一次函数图象的交点的坐标都适合相应的二元一次方程组.
通过本课时的学习，需要我们掌握：(共17张PPT)
19.2.3
一次函数与方程、不等式
第1课时
1.
用函数的观点认识一元一次方程．
3.
加深理解数形结合思想．
2.
用函数的方法求解一元一次方程．
前面我们学习了一次函数．实际上一次函数是两个变量之间符合一定关系的一种互相对应，互相依存．它与我们前面学过的一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组有着必然的联系．从这节课开始，我们就学习用函数的观点去看待方程(组)与不等式，并充分利用函数图象的直观性，形象地看待方程(组)与不等式的求解问题．
1.解方程2x+20=0.
2.当x为何值时，函数y=2x+20的值为0？
x=－10
当x=－10时，函数y=2x+20的值为0.
0
x
y
20
－10
y=2x+20
3.画出函数y=2x+20的图象，并确定
它与x轴的交点坐标.
④问题①
②有何关系？
①
③呢？
从数上看，
①
②两个问题实际上是同一个问题．
①
③方程的解是直线与x轴交点的横坐标.
①解方程2x+20=0
②当x为何值时，函数y=2x+20的值为0？
③画出函数y=2x+20的图象，并确定它与x轴的交点坐标；
序号
一元一次方程问题
一次函数问题
1
解方程
3x-2=0
当x为何值时，
y=3x-2的值为0?
2
解方程
8x-3=0
3
当x为何值时，
y=-7x+2的值为0?
4
解方程
当x为何值时，
________的值为0?
解方程
-
7x+2=0
8x-5=0
y=8x-3
当x为何值时，
________的值为0?
y=8x-5
从“数”上看，“解方程ax+b=0(a，b为常数，且
a≠0)”与“求自变量x为何值时，一次函数y=ax+b的值为0”有什么关系？从图象上看呢？
求一元一次方程ax+b=0(a，b是常数，且a≠0)的解，从“数”上看就是求x为何值时函数y=ax+b的值为0．
求一元一次方程ax+b=0(a,
b是常数，且a≠0)的解，从“形”上看就是求直线y=ax+b与
x
轴交点的横坐标．
一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m，再过几秒它的速度为17m/s？（要求用两种方法解题）
解法1：设再过x秒物体的速度为17米/秒．列方程，得
2x+5=17．
解得x=6．
解法2：速度
y(
单位：m/s)是时间
x
(
单位：s)
的函数，即y=2x+5.
由2x+5=17．
得2x?12=0．
0
x
y
6
-12
y=2x－12
(6,0)
由图看出直线y
=
2x?12
与x轴的交点为（6，0），
得x
=
6．
1．根据图象你能直接说出一元一次方程x+3=0的解吗？
?3
y=x+3
O
x
y
【解析】由图象可知x+3=0的解为x=?3．
2．利用函数图象解出x:
5x?1=2x+5
【解析】
由5x?1=2x+5，得3x?6=0．
由图看出直线y
=3x?6与x轴的交点为（２，0），
所以x=２．
x
y
?6
O
y=3x
?6
２
3.直线y=x+3与x轴的交点坐标为
，所以相应的方程x+3=0的解是
.
4.设m，n为常数且m≠0，
直线y=mx+n（如图所示），
则方程mx+n=0的解是
.
x=－3
（－3，0）
x=－2
y=mx+n
-1
0.5
0
y
x
1.对于y1=2x－1，
y2=4x－2，下列说法：
①两直线平行；②两直线交y轴于同一点；③两直线交x轴于同一点；④方程2x－1=0与4x－2=0的解相同；⑤当x=1时，y1=y2=1.
其中正确的是__________
（填序号）
③
④
2.由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少.干旱持续时间t(天）与蓄水量V（万米3）的关系如图所示，回答下列问题：
t/天
10
20
30
40
200
400
600
800
1000
1200
0
50
（3）按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干涸？
（2）蓄水量小于400万米3时，将发出严重干旱警报，干旱多少天后将发出严重干旱警报？
（1）干旱持续10天，蓄水量为多少？连续干旱23天呢？
1000万米3
约740万米3
40天
60天
v/万米3
3.
在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数的图象与x,y轴分别交于点A,B,则△OAB为此函数的坐标三角形.
（1）求函数y＝
x＋3的坐标三角形的三条边长；
（2）若函数y＝
x＋b（b为常数）的坐标三角形周长为16,求此三角形的面积.
A
y
O
B
x
【解析】(1)
∵
直线y＝
x＋3与x轴的交点坐标为
（4,0），与y轴交点坐标为（0,3），
∴函数y＝
x＋3的坐标三角形的三条边长分别为3,4,5.
(2)
直线y＝
x＋b与x轴的交点坐标为（
,0），与y轴的
交点坐标为（0,b），
当b>0时,
，得b
=4,坐标三角形的面积为
；
当b<0时，
，得b
=－4,坐标三角形的面积为
.
综上,当函数y＝
x＋b的坐标三角形周长为16时,面积为
.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.求一元一次方程ax+b=0(a，b是常数，a≠0)的解，从“数”上看就是x为何值时函数y=ax+b的值为0．
2.求一元一次方程ax+b=0(a,
b是常数，a≠0)的解，从“形”上看就是求直线y=
ax+b与
x
轴交点的横坐标．
