冀教版初中数学八年级上册 17.2 直角三角形 教案

直角三角形
一、教学目标
1．探索并掌握“直角三角形两个锐角互余”这一基本性质．
2．掌握“有两个角互余的三角形是直角三角形”这一判定方法．
3．探索并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一重要性质．
4．掌握“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”这一结论．
5．培养合情推理与演绎推理能力．
二、重点与难点
1．教学重点是直角三角形的两条性质：“直角三角形两个锐角互余”和“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，以及直角三角形的判定方法“有两个角互余的三角形是直角三角形”．
2．难点是“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质的证明．
三、教学过程
教学环节
教学活动过程
设计意图说明
导入研究“直角三角形”性质的课题．
我们前边学习过等腰三角形，正是“等腰”这一特定条件，决定了它具有“两底角相等”和“三线合一”这些特定的性质．
直角三角形有一内角是直角（90°角）这一特定条件，会使直角三角形具有哪些特定的性质呢？
我们自然会从三个方面进行猜想和探究：
一、从内角之间的关系去探究；
二、从边之间的关系去探究；
三、从边与角之间的关系去探究．
研究三角形的性质，都是遵循着“角关系”、“边关系”、“边角之间的关系”三个方面来进行的．（本节侧重内角关系，勾股定理侧重边之间的关系，而锐角三角函数和解直角三角形则侧重边角之间的关系）．这种意识应不断地适时地渗透给学生．
研究直角三角形内角之间的关系．
1．让学生独立完成下列问题的解答：
（1）写出“直角三角形”的定义；
（2）画出一个直角△ABC，使∠ACB=90°．
（3）△ABC中，若∠C=90°，那么
①当∠A=25°时，∠B=
°；
②当∠A=30°时，∠B=
°；
③当∠A=45°时，∠B=
°；
④当∠A=68°时，∠B=
°；
⑤说明∠A+∠B=90°的理由．
（∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=90°，
∴∠A+∠B=180°－∠C=180°－90°=90°）
这样自然地得出：直角三角形的两个锐角互余
2．请你说明“若一个直角三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形”的理由．得出直角三角形的判定定理（见教材八上第147页）
1．通过回忆直角三角形定义，画直角三角形和具体填写两锐角的度数，使学生对“直角三角形两锐角互余”的认识更好地建立在理性与感性的坚实基础之上．
2．通过直角三角形的判定定理（见教材八上第147页）的得出，引导学生认识：从“性质出发去获得判定方法”的道理．（满足性质是判定该事物的必要前提）
由“直角三角形的两个锐角互余”，探究出直角三角形斜边上中线的定理．
1．类比
如图，若△ABC中，AB=AC，AD为底边BC上的中线，则△ABD和△ACD是全等的直角三角形．——
等腰三角形底边上的中线把该等腰三角形拆分成两个全等的直角三角形．
类比联想：直角三角形斜边上的中线拆分出的两个三角形，又有怎样的特点呢？
2．从直角三角形的基本性质推想：若Rt△ABC中，∠C=90°，
则∠A+∠B=90°=∠C，因此∠C可以拆分成两个分别与∠A、∠B相等的角，那会出现什么情况呢？
3．操作探究：
落实教材（八上）第147页上的“观察与思考”（具体过程和步骤见教材）
4．发现和形成猜想：
①直角三角形斜边上的中线将这个直角三角形拆分成两个等腰三角形．
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
等腰三角形美妙在于它可被拆分成两个全等的直角三角形．而直角三角形的美妙恰在于它可被拆分成两个等腰三角形，这里既体现着数学美，也体现着几何直观，正是这样的几何直观成为图形性质的发现以及推理论证的基础．
证明直角三角形斜边上中线定理．
1．证明方法的探究：
⑴写出已知和求证，画出对应图形（见教材P148）．
⑵要证明，即CD=AD=BD，一般要通过证明全等三角形来证明线段相等，但原图中没有这样现成的三角形．
⑶从斜边上的中点D（这是本问题的核心条件）出发引辅助线：
DE∥BC(即DE⊥AC
)，
DF∥AC（即DF⊥BC）．
⑷从图形变换的角度发现全等直角三角形．
①四个小直角三角形Rt△ADE，Rt△DBF，Rt△CDE，Rt△DCF，从位置和形状上看，哪两个三角形有“平移”的关系？哪两个三角形有“轴对称”的关系？
②分析：可以通过证明Rt△ADE≌Rt△DBF和Rt△ADE≌Rt△CDE，说明DE和DF分别是边AC和BC的垂直平分线，从而得出DC=DA=DB=AB．
2．规范地写出证明过程（见教材第148页）．
3．若有余力，还可寻求其它的证明方法，（如作AG∥CB，交CD的延长线于点G，则△DAG和△DBC关于点D为中心对称，全等；再由△GCA和△BAC为轴对称，全等，推得
∠DCA=∠DAC，进而亦有∠DBC=∠DCB，得DA=DC=DB）．
1．证明一条线段等于另一条线段的一半，通常是转化成去证两条线段相等；而证明两条线段相等，最常用的方法是借助于三角形全等．
2．构造全等三角形最重要依据是图形特征和给出的附加条件．
3．图形变换是识别与构造全等三角形的基本途径，培养学生从平移、轴对称、旋转（特别是中心对称）视角认识图形，是提高几何能力的有效方法．
得出推论：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
(
A
D
C
B
30°
60°
)1．观察图形：Rt△ABC中，∠ACB等于90°，CD为斜边上中线，∠A=30°，这时△DBC为等边三角形．
2．推出结论（见教材）．
3．说出证明过程．
这是直角三角形中位线定理在特定条件下的一个更具体而常用的结论．
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