2021年北师大版八年级下册1.3《线段的垂直平分线》课时练习 （Word版 含解析）

2021年北师大版八年级下册1.3《线段的垂直平分线》课时练习
一．选择题
1．到△ABC三个顶点的距离相等的点是△ABC（　　）
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条边的垂直平分线的交点
D．三条高的交点
2．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　）
A．AC、BC两边高线的交点处
B．AC、BC两边垂直平分线的交点处
C．AC、BC两边中线的交点处
D．∠A、∠B两内角平分线的交点处
3．已知如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠BCA＝75°，AC＝8cm，DE垂直平分BC，则BE的长是（　　）
A．4cm B．8cm C．16cm D．32cm
4．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝4cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（　　）
A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm
5．如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于点E，∠A＝30°，∠B＝70°，则∠BCE等于（　　）
A．40° B．45° C．50° D．60°
6．在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝35°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　）
A．60° B．70° C．75° D．85°
7．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
二．填空题
8．已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝4cm，则PB＝　 　cm．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE＝20°，则∠C＝　 　．
10．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝4，△ABD的周长为12，则BC＝　 　．
11．如图，△ABC中，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，AB+AC＝20cm，则△ABD的周长为　 　cm．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝12cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为　 　．
三．解答题
13．如图，直线m表示一条公路，A、B表示两所大学．要在公路旁修建一个车站P使到两所大学的距离相等，请在图上找出这点P．

14．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，添加什么条件可得AD垂直平分BC？证明你的判断．
15．已知：如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1、l2相交于点P．求证：点P在BC的垂直平分线上．
16．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为21cm，△ABD的周长为13cm，求AE的长．
17．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．
18．在△ABC中，DE，HG分别为AB、AC的垂直平分线，与BC交于E、G两点，D、H分别为垂足，直线DE、HG交于点F．
（1）若BC＝12，求△AEG的周长；
（2）若∠DFH＝80°，求∠EAG的度数．
参考答案
一．选择题
1．解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，
∴到△ABC三个顶点的距离相等的点是△ABC三条边的垂直平分线的交点．
故选：C．
2．解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在边AC和BC的垂直平分线上，
故选：B．
3．解：连接CE，
∵Rt△ABC中，∠A＝90°，∠BCA＝75°，
∴∠B＝90°﹣∠BCA＝90°﹣75°＝15°，
∵DE垂直平分BC，
∴∠BCE＝∠B＝15°，BE＝CE，
∴∠ACE＝∠BCA﹣∠BCE＝75°﹣15°＝60°，
∵Rt△AEC中，∠ACE＝∠BCA＝60°，AC＝8cm，
∴∠AEC＝90°﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，
∴CE＝2AC＝16cm，
∵BE＝CE，
∴BE＝16cm．
故选：C．
4．解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DB＝DA，AB＝2AE＝8（cm），
∵△ADC的周长为9cm，
∴AC+CD+DA＝AC+CD+DB＝AC+BC＝9（cm），
∴△ABC的周长＝AC+BC+AB＝17（cm），
故选：D．
5．解：∵∠A＝30°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°﹣30°﹣70°＝80°，
∵DE垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∴∠ECA＝∠A＝30°，
∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ECA＝80°﹣30°＝50°，
故选：C．
6．解：∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°，
由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝35°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝95°﹣35°＝60°，
故选：A．
7．解：∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，
又∵OE＝OE，
∴Rt△AOE≌Rt△COE，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴△ABC关于直线AD轴对称，
∴△AOC≌△AOB，△BOD≌△COD，△ABD≌△ACD，
综上所述，全等三角形共有4对．
故选：D．
二．填空题
8．解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PB＝PA，
∵PA＝4cm，
∴PB＝4cm．
故答案为4cm．
9．解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴∠C＝∠CAE，
∵在Rt△ABE中，∠ABC＝90°，∠BAE＝20°，
∴∠AEB＝70°，
∴∠C+∠CAE＝70°，
∴∠C＝35°．
故答案为：35°．
10．解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝DC，
∴BC＝BD+DC＝BD+DA，
∵AB＝4，△ABD的周长为12，
∴BC＝12﹣4＝8．
故答案为：8．
11．解：∵l是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝20（cm），
故答案为：20cm．
12．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠A＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
连接AM，AN，
∵ME是AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，∠BAM＝∠B＝30°，
∴∠CAM＝∠BAC﹣∠BAM＝120°﹣30°＝90°，
∴CM＝2AM＝2BM，
∴3BM＝BC＝12cm，
∵BM＝4cm，
同理可得，CN＝4，
∴MN＝BC﹣CN﹣BM＝12﹣4﹣4＝4（cm）．
故答案为：4cm．
三．解答题
13．解：如图所示，点P是AB线段的垂直平分线与直线m的交点．
14．解：添加：AB＝AC，
理由：∵∠1＝∠2，
∴BD＝CD，
∴点D在线段BC的垂直平分线上，
∵AB＝AC，
∴当A在线段垂直平分线上，
∴AD垂直平分BC．
15．证明：连接PA、PB、PC，
∵l1是AB的垂直平分线，
∴PA＝PB，
∵l2是AC的垂直平分线，
∴PA＝PC，
∴PB＝PC，
∴点P在BC的垂直平分线上．
16．解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝DC，AE＝CE＝AC，
∵△ABC的周长为21cm，
∴AB+BC+AC＝21cm，
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，
∴AC＝8cm，
∴AE＝4cm．
17．解：（1）△CDE的周长为10．
∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；
（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，
又∵∠ACB＝125°，
∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，
∴∠ACD+∠BCE＝55°，
∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．
18．解：（1）∵DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，
∴AE＝BE，AG＝CG，
∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝BE+EG+CG＝BC＝12，
∴△AEG的周长是12．
（2）∵DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，
∴AE＝BE，AG＝CG，
∴∠DAE＝∠B，∠HAG＝∠C，
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠DFH＝80°，
∴∠BAC＝100°，
∴∠B+∠C＝80°，
∴∠DAE+∠HAG＝80°，
∵∠DAE+∠HAG+∠EAG＝∠BAC＝100°，
∴∠EAG＝40°．