人教版八年级下册数学 17.1勾股定理 同步测试（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级下册数学 17.1勾股定理 同步测试（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 204.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-26 08:50:44 | ||
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文档简介
17.1勾股定理 同步测试
一．选择题
1．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）
A．斜边长为25 B．三角形的周长为25
C．三角形的面积为12 D．斜边长为5
2．已知直角三角形的三边长为三个连续整数，那么，这个三角形的面积是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．在Rt△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C、的对边，若∠A＝90°，则（ ）
A．a2+b2＝c2 B．b2+c2＝a2 C．c2+a2＝b2 D．b+a＝c
4．如图，在4×4的方格纸中，有一个格点三角形ABC，关于它的描述正确的是（ ）
A．三边长都是有理数 B．是等腰三角形
C．是直角三角形 D．有一条边长为5
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a：b＝3：4，c＝10，其中a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则a的长为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知c2＝2b2，则该三角形中两直角边的关系是（ ）
A．a＞b
B．a＜b
C．a＝b
D．以上都有可能，不能确定
7．以一直角三角形三边为直径所作的半圆面积，由小到大依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（ ）
A．S1+S2＞S3 B．S1+S2＜S3
C．S1+S2＝S3 D．S12+S22＝S32
8．如图，在边长为1的正方形网格中，从点A出发，连接AB，AC，AD，AE，AF，其中B，C，D，E，F都是网格上的点，在以上五条线段中，长度是无理数的线段有（ ）
A．5条 B．4条 C．3条 D．2条
9．如图是一株美丽的勾股树，其中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D的面积分别为3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）
A．47 B．13 C．11 D．8
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝AC，点D在AB上，AF⊥CD交于点E，交CB于点F，则CF的长是（ ）
A．2.5 B．2 C．1.8 D．1.5
二．填空题
11．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，BC＝6．则△ABC的面积为 ．
12．如图，在△ABC中，点D边BC上一点，∠DAC＝∠B＝45°，AB＝6，BC＝，则△ABD的面积是 ．
13．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为 ．
14．如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E为斜边AB上一点，连接CE，若CE＝，则线段AE的长为 ．
15．如图：已知四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，DB平分∠ADC，点E为线段CB的延长线上一点，且点E到CD的距离为6，连接AE，若DC＝6，AE＝5，且AD＜CD，则AD的长为 ．
三．解答题（共3小题）
16．如图，△ABC中，AC＝21，BC＝13，点D是AC边上一点，BD＝12，AD＝16．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）若点E是AB边上的动点，连接DE，求线段DE的最小值．
17．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝30°，点E为AB的中点，DE⊥AB交AB于点E，DE＝，BC＝2，CD＝4．
（1）求∠ABC的度数．
（2）求CE的长．
18．问题背景：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，求这个三角形的面积，小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示，这样不需要求高，而借用网格就能计算出它的面积．请将△ABC的面积直接填写在横线上 ．
思维拓展：我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法，若△ABC中，AB，BC，AC三边长分别为，2（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，直接写出此三角形最长边上的高是 ．
参考答案
一．选择题
1．解：根据勾股定理可知，直角三角形两直角边长分别为3和4，
则它的斜边长是＝5，
周长是3+4+5＝12，
三角形的面积＝×3×4＝6，
故说法正确的是D选项．
故选：D．
2．解：设这三边长分别为x，x+1，x+2，
根据勾股定理得：（x+2）2＝（x+1）2+x2
解得：x＝﹣1（不合题意舍去），或x＝3，
∴x+1＝4，x+2＝5，
则三边长是3，4，5，
∴三角形的面积＝××4＝6；
故选：A．
3．解：如图所示，
∵∠A＝90°，
∴b2+c2＝a2．
故选：B．
4．解：由勾股定理得：AC＝＝5，AB＝＝，BC＝＝，
结合问题的选项可知答案D是正确的，
故选：D．
5．解：由a：b＝3：4，设a＝3k，b＝4k，
在Rt△ABC中，a＝3k，b＝4k，c＝10，
根据勾股定理得：a2+b2＝c2，即9k2+16k2＝100，
解得：k＝2或k＝﹣2（舍去），
则a＝3k＝6．
故选：B．
6．解：根据勾股定理得：c2＝a2+b2，∵c2＝2b2，∴a2＝b2，
∵线段都是正数，∴a＝b．
故选：C．
7．解：设直角三角形三边分别为a，b，c，则a2+b2＝c2
以一直角三角形三边为直径所作的半圆面积，由小到大依次为S1，S2，S3，则分别是，，，
∴它们之间的关系为S1+S2＝S3
故选：C．
8．解：根据勾股定理计算得：
在直角△ABM中，AB＝＝＝，
同理可得：AC＝；AD＝；AE＝；AF＝
所以长度是无理数的线段有AB，AC，AD，AE，AF，故选A．
9．解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，由勾股定理得：
x2＝3+5＝8；
y2＝2+3＝5；
z2＝x2+y2＝13．
故最大正方形E的面积是z2＝13．
故选：B．
10．解：连接DF，如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵AD＝AC＝3，AF⊥CD，
∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝2，
∴CF＝DF，
在△ADF和△ACF中，，
∴△ADF≌△ACF（SSS），
∴∠ADF＝∠ACF＝90°，
∴∠BDF＝90°，
设CF＝DF＝x，则BF＝4﹣x，
在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF2+BD2＝BF2，
即x2+22＝（4﹣x）2，
解得：x＝1.5；
∴CF＝1.5；
故选：D．
二．填空题
11．解：如图，过A作AD⊥BC于D，
设BD＝x，则CD＝6﹣x，
依题意有（2）2﹣x2＝（4）2﹣（6﹣x）2，
解得x＝2，
在Rt△ADB中，AD＝＝＝4，
则△ABC的面积为×6×4＝12．
故答案为：12．
12．解：如图，过点A作EA⊥AB交BC的延长线于E，过点C作CF⊥AE于点F，过点A作AG⊥BC于G，
∵∠B＝45°，
∴∠E＝90°﹣45°＝45°，
∴AE＝AB＝6，
由勾股定理得BE＝＝6，
∴AG＝3，CE＝BE﹣BC＝2，
∵EF⊥AE，∠E＝45°，
∴△CFE为等腰直角三角形，
∴CF＝FE＝CE＝2，
∴AF＝AE﹣EF＝4，
在Rt△ACF中，
AC＝＝2，
∵∠DAC＝∠B＝45°，∠ACB＝∠ACB，
∴△ACB∽△DCA，
∴＝，
∴＝，
∴DC＝，
∴BD＝BC﹣DC＝，
∴△ABD的面积＝×BD×AG＝××3＝．
故答案为：．
13．解：由勾股定理得：AC＝，
∵S△ABC＝3×3﹣，
∴，
∴，
∴BD＝，
故答案为：．
14．解：∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
过C作CD⊥AB于D，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，CD＝＝＝，
∴AD＝＝，
∵CE＝，
∴DE＝＝1，
∴AE＝AD﹣DE＝或AE＝AD+DE＝，
故答案为：或．
15．解：如图，连接AC，过点E作EH⊥CD于H，作ET⊥DA，交DA的延长线于T，过点C作CR⊥TE，交TE的延长线于R，
∵∠DTE＝∠EHD＝∠HDT＝90°，
∴四边形EHDT是矩形，
∴EH＝DT＝6，
∵CD＝6，
∴DT＝CD，
∵∠R＝∠T＝∠CDT＝90°，
∴四边形CDTR是矩形，
∵DC＝DT，
∴四边形CDTR是正方形，
延长TD到K，使得DK＝RE，连接CK．
∵RC＝DC，RE＝DK，∠ERC＝∠CDK＝90°，
∴△CRE≌△CDK（SAS），
∴CE＝CK，∠ECR＝∠DCK，
∴∠RCD＝∠ECK＝90°，
∵BD平分∠ADC，
∴∠BDA＝∠BDC＝45°，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠ACB＝∠ADB＝45°，
∴∠ACE＝∠ACK＝45°，
∵CA＝CA，
∴△CAE≌△CAK（SAS），
∴AE＝AK＝AD+DK＝AD+ER＝5
设AD＝x，则ER＝5﹣x，ET＝6﹣（5﹣x）＝1+x，AT＝6﹣x，
在Rt△AET中，则有52＝（6﹣x）2+（1+x）2，
解得x＝2或3（舍弃），
∴AD＝2．
故答案为2．
三．解答题（共3小题）
16．解：（1）∵AC＝21，AD＝16，
∴CD＝AC﹣AD＝5，
∵BD2+CD2＝122+52＝169＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴BD⊥AC．
（2）当DE⊥AB时，DE最短，
∵AB＝＝20，
∵?AD?DB＝?AB?DE，
∴DE＝＝9.6，
∴线段DE使得最小值为9.6．
17．解：（1）连接BD，作CF⊥AB于F，如图所示：
则∠BFC＝90°，
∵点E为AB的中点，DE⊥AB，
∴BD＝AD，AE＝BE，
∵∠DAB＝30°，
∴∠DBE＝∠DAB＝30°，BD＝AD＝2DE＝2，AE＝BE＝DE＝3，
∵BC2+BD2＝22+（2）2＝16＝CD2，
∴△BCD是直角三角形，∠CBD＝90°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝30°+90°＝120°；
（2）由（1）可得：∠CBF＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∴∠BCF＝30°，∠BFC＝90°，
∴∠BCF＝30°，
∴BF＝BC＝1，CF＝BF＝，
∴EF＝BE+BF＝4，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE＝＝．
18．解：问题背景：S△ABC＝3×3﹣×1×2﹣×1×3﹣×2×3＝．
思维拓展：如图作BH⊥AC于H．
∵S△ABC＝?AC?BH＝2a×4a﹣×2a×2a﹣×a×2a﹣×a×4a＝3a2，
∴×a×BH＝3a2，
∴BH＝a．
一．选择题
1．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）
A．斜边长为25 B．三角形的周长为25
C．三角形的面积为12 D．斜边长为5
2．已知直角三角形的三边长为三个连续整数，那么，这个三角形的面积是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．在Rt△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C、的对边，若∠A＝90°，则（ ）
A．a2+b2＝c2 B．b2+c2＝a2 C．c2+a2＝b2 D．b+a＝c
4．如图，在4×4的方格纸中，有一个格点三角形ABC，关于它的描述正确的是（ ）
A．三边长都是有理数 B．是等腰三角形
C．是直角三角形 D．有一条边长为5
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a：b＝3：4，c＝10，其中a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则a的长为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知c2＝2b2，则该三角形中两直角边的关系是（ ）
A．a＞b
B．a＜b
C．a＝b
D．以上都有可能，不能确定
7．以一直角三角形三边为直径所作的半圆面积，由小到大依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（ ）
A．S1+S2＞S3 B．S1+S2＜S3
C．S1+S2＝S3 D．S12+S22＝S32
8．如图，在边长为1的正方形网格中，从点A出发，连接AB，AC，AD，AE，AF，其中B，C，D，E，F都是网格上的点，在以上五条线段中，长度是无理数的线段有（ ）
A．5条 B．4条 C．3条 D．2条
9．如图是一株美丽的勾股树，其中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D的面积分别为3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）
A．47 B．13 C．11 D．8
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝AC，点D在AB上，AF⊥CD交于点E，交CB于点F，则CF的长是（ ）
A．2.5 B．2 C．1.8 D．1.5
二．填空题
11．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，BC＝6．则△ABC的面积为 ．
12．如图，在△ABC中，点D边BC上一点，∠DAC＝∠B＝45°，AB＝6，BC＝，则△ABD的面积是 ．
13．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为 ．
14．如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E为斜边AB上一点，连接CE，若CE＝，则线段AE的长为 ．
15．如图：已知四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，DB平分∠ADC，点E为线段CB的延长线上一点，且点E到CD的距离为6，连接AE，若DC＝6，AE＝5，且AD＜CD，则AD的长为 ．
三．解答题（共3小题）
16．如图，△ABC中，AC＝21，BC＝13，点D是AC边上一点，BD＝12，AD＝16．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）若点E是AB边上的动点，连接DE，求线段DE的最小值．
17．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝30°，点E为AB的中点，DE⊥AB交AB于点E，DE＝，BC＝2，CD＝4．
（1）求∠ABC的度数．
（2）求CE的长．
18．问题背景：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，求这个三角形的面积，小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示，这样不需要求高，而借用网格就能计算出它的面积．请将△ABC的面积直接填写在横线上 ．
思维拓展：我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法，若△ABC中，AB，BC，AC三边长分别为，2（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，直接写出此三角形最长边上的高是 ．
参考答案
一．选择题
1．解：根据勾股定理可知，直角三角形两直角边长分别为3和4，
则它的斜边长是＝5，
周长是3+4+5＝12，
三角形的面积＝×3×4＝6，
故说法正确的是D选项．
故选：D．
2．解：设这三边长分别为x，x+1，x+2，
根据勾股定理得：（x+2）2＝（x+1）2+x2
解得：x＝﹣1（不合题意舍去），或x＝3，
∴x+1＝4，x+2＝5，
则三边长是3，4，5，
∴三角形的面积＝××4＝6；
故选：A．
3．解：如图所示，
∵∠A＝90°，
∴b2+c2＝a2．
故选：B．
4．解：由勾股定理得：AC＝＝5，AB＝＝，BC＝＝，
结合问题的选项可知答案D是正确的，
故选：D．
5．解：由a：b＝3：4，设a＝3k，b＝4k，
在Rt△ABC中，a＝3k，b＝4k，c＝10，
根据勾股定理得：a2+b2＝c2，即9k2+16k2＝100，
解得：k＝2或k＝﹣2（舍去），
则a＝3k＝6．
故选：B．
6．解：根据勾股定理得：c2＝a2+b2，∵c2＝2b2，∴a2＝b2，
∵线段都是正数，∴a＝b．
故选：C．
7．解：设直角三角形三边分别为a，b，c，则a2+b2＝c2
以一直角三角形三边为直径所作的半圆面积，由小到大依次为S1，S2，S3，则分别是，，，
∴它们之间的关系为S1+S2＝S3
故选：C．
8．解：根据勾股定理计算得：
在直角△ABM中，AB＝＝＝，
同理可得：AC＝；AD＝；AE＝；AF＝
所以长度是无理数的线段有AB，AC，AD，AE，AF，故选A．
9．解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，由勾股定理得：
x2＝3+5＝8；
y2＝2+3＝5；
z2＝x2+y2＝13．
故最大正方形E的面积是z2＝13．
故选：B．
10．解：连接DF，如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵AD＝AC＝3，AF⊥CD，
∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝2，
∴CF＝DF，
在△ADF和△ACF中，，
∴△ADF≌△ACF（SSS），
∴∠ADF＝∠ACF＝90°，
∴∠BDF＝90°，
设CF＝DF＝x，则BF＝4﹣x，
在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF2+BD2＝BF2，
即x2+22＝（4﹣x）2，
解得：x＝1.5；
∴CF＝1.5；
故选：D．
二．填空题
11．解：如图，过A作AD⊥BC于D，
设BD＝x，则CD＝6﹣x，
依题意有（2）2﹣x2＝（4）2﹣（6﹣x）2，
解得x＝2，
在Rt△ADB中，AD＝＝＝4，
则△ABC的面积为×6×4＝12．
故答案为：12．
12．解：如图，过点A作EA⊥AB交BC的延长线于E，过点C作CF⊥AE于点F，过点A作AG⊥BC于G，
∵∠B＝45°，
∴∠E＝90°﹣45°＝45°，
∴AE＝AB＝6，
由勾股定理得BE＝＝6，
∴AG＝3，CE＝BE﹣BC＝2，
∵EF⊥AE，∠E＝45°，
∴△CFE为等腰直角三角形，
∴CF＝FE＝CE＝2，
∴AF＝AE﹣EF＝4，
在Rt△ACF中，
AC＝＝2，
∵∠DAC＝∠B＝45°，∠ACB＝∠ACB，
∴△ACB∽△DCA，
∴＝，
∴＝，
∴DC＝，
∴BD＝BC﹣DC＝，
∴△ABD的面积＝×BD×AG＝××3＝．
故答案为：．
13．解：由勾股定理得：AC＝，
∵S△ABC＝3×3﹣，
∴，
∴，
∴BD＝，
故答案为：．
14．解：∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
过C作CD⊥AB于D，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，CD＝＝＝，
∴AD＝＝，
∵CE＝，
∴DE＝＝1，
∴AE＝AD﹣DE＝或AE＝AD+DE＝，
故答案为：或．
15．解：如图，连接AC，过点E作EH⊥CD于H，作ET⊥DA，交DA的延长线于T，过点C作CR⊥TE，交TE的延长线于R，
∵∠DTE＝∠EHD＝∠HDT＝90°，
∴四边形EHDT是矩形，
∴EH＝DT＝6，
∵CD＝6，
∴DT＝CD，
∵∠R＝∠T＝∠CDT＝90°，
∴四边形CDTR是矩形，
∵DC＝DT，
∴四边形CDTR是正方形，
延长TD到K，使得DK＝RE，连接CK．
∵RC＝DC，RE＝DK，∠ERC＝∠CDK＝90°，
∴△CRE≌△CDK（SAS），
∴CE＝CK，∠ECR＝∠DCK，
∴∠RCD＝∠ECK＝90°，
∵BD平分∠ADC，
∴∠BDA＝∠BDC＝45°，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠ACB＝∠ADB＝45°，
∴∠ACE＝∠ACK＝45°，
∵CA＝CA，
∴△CAE≌△CAK（SAS），
∴AE＝AK＝AD+DK＝AD+ER＝5
设AD＝x，则ER＝5﹣x，ET＝6﹣（5﹣x）＝1+x，AT＝6﹣x，
在Rt△AET中，则有52＝（6﹣x）2+（1+x）2，
解得x＝2或3（舍弃），
∴AD＝2．
故答案为2．
三．解答题（共3小题）
16．解：（1）∵AC＝21，AD＝16，
∴CD＝AC﹣AD＝5，
∵BD2+CD2＝122+52＝169＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴BD⊥AC．
（2）当DE⊥AB时，DE最短，
∵AB＝＝20，
∵?AD?DB＝?AB?DE，
∴DE＝＝9.6，
∴线段DE使得最小值为9.6．
17．解：（1）连接BD，作CF⊥AB于F，如图所示：
则∠BFC＝90°，
∵点E为AB的中点，DE⊥AB，
∴BD＝AD，AE＝BE，
∵∠DAB＝30°，
∴∠DBE＝∠DAB＝30°，BD＝AD＝2DE＝2，AE＝BE＝DE＝3，
∵BC2+BD2＝22+（2）2＝16＝CD2，
∴△BCD是直角三角形，∠CBD＝90°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝30°+90°＝120°；
（2）由（1）可得：∠CBF＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∴∠BCF＝30°，∠BFC＝90°，
∴∠BCF＝30°，
∴BF＝BC＝1，CF＝BF＝，
∴EF＝BE+BF＝4，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE＝＝．
18．解：问题背景：S△ABC＝3×3﹣×1×2﹣×1×3﹣×2×3＝．
思维拓展：如图作BH⊥AC于H．
∵S△ABC＝?AC?BH＝2a×4a﹣×2a×2a﹣×a×2a﹣×a×4a＝3a2，
∴×a×BH＝3a2，
∴BH＝a．