北京市东城区2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案

东城区2020-2021学年度第一学期期末统一检测
高一数学 2021.1
本试卷共4页，满分100分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合false，集合false，那么false
（A）false （B）false （C）false （D）false
（2）已知false为奇函数，且当false时，false，则false的值为
（A）false （B）false
（C） false （D）false
（3）若扇形的半径为1，周长为false，则该扇形的圆心角为
（A）false （B）false （C）false （D）false
（4）下列命题为真命题的是
（A）若false，则false （B）若false，则false
（C）若false，false，则false （D） 若false，false，则false
（5）已知false，则false
（A） false （B） false
（C） false （D） false
（6）若函数false是false上的减函数，false，则下列不等式一定成立的是
（A）false　　　　 （B）false
（C）false （D）false
（7）已知false，false，false，则
（A）false　　　 （B）false
（C）false （D）false
（8）“false”是“false”成立的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
50196756985（9）如图所示，单位圆上一定点false与坐标原点重合．若单位圆从原点出发沿false轴
正向滚动一周，则false点形成的轨迹为
3293110295275
75311027940


　　　　　　　　　　　 （B）
3317875100965765175125095
　　　　
（C）　　　　　　　　　　　　　　　　（D）

（10）已知函数false，给出下列结论：
① false，false是奇函数； ② false，false不是奇函数；
③ false，方程false有实根； ④ false，方程false有实根．
其中，所有正确结论的序号是
（A）① ③　　　 （B）① ④ （C）① ② ④ （D）② ③ ④

第二部分（非选择题 共60分）
二、填空题：共5小题，每小题4分，共20分。
（?11?）函数false的定义域为________．
（12）已知函数false是指数函数，若false，则false　　　　false.(用“false”“false”“false”填空）
（13）在平面直角坐标系false中，角false以false为始边，它的终边与单位圆交于第一象限内的点falsefalse，则
false=　　　　．保持角false始边位置不变，将其终边逆时针旋转false得到角false，则false＝　　　　．
（14）已知偶函数false，写出一组使得false恒成立的false的取值：false　　　　，false　　　　．
5404485255270（15）某地原有一座外形近似为长方体且底面面积为150平方米的蓄水池，受地形所限，底面长和宽都不超过
18米．现将该蓄水池在原有占地面积和高度不变的条件下，重建为两个相连的小蓄水池，
其底面由两个长方形组成（如图所示）.若池壁的重建价格为每平方米300元，池底重建
价格每平方米80元，那么要使重建价最低，蓄水池的长和宽分别为　　　　，　　　　．
三、解答题：共5小题，共40分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题7分）
设全集false,集合false，false.
（Ⅰ）当false时，求falsefalse；
（Ⅱ）若false，求false的取值范围．
（本小题7分）
已知函数false
（Ⅰ）求false的值并直接写出false的零点；
（Ⅱ）用定义证明false在区间false上为减函数.
（18）（本小题9分）
已知函数false其中false．
从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，求：
（Ⅰ）false的单调递增区间；
（Ⅱ）false在区间false的最大值和最小值．
条件①：函数false最小正周期为false；
条件②：函数false图象关于点false对称；
条件③： 函数false图象关于false对称．
注：如果选择不同条件组合分别解答，按第一个解答计分．
　　
（19）（本小题9分）
已知函数false是奇函数.
（Ⅰ）求false的值；
（Ⅱ）判断false的单调性；（只需写出结论）
（Ⅲ）若不等式false恒成立，求false的取值范围．
（20）（本小题8分）
中国茶文化博大精深.小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别,达到最佳口感的水温不同．为了方便控制水温，小明联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是false,环境温度是false，则经过时间false（单位：分）后物体温度false将满足：false ，其中false为正的常数．小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到false初始温度为false的水在false室温中温度下降到相应温度所需时间如下表所示：
从false下降到false所用时间
1分58秒
从false下降到false所用时间
3分24秒
从false下降到false所用时间
4分57秒
（I） 请依照牛顿冷却模型写出冷却时间false（单位：分）关于冷却后水温false（单位：false）的函数关系，并选取一
组数据求出相应的false值．（精确到0.01）
（II）“碧螺春”用false左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳.在（I）的条件下，false水煮沸后在false
室温下为获得最佳口感大约冷却 分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说
明理由．
（A）false　　 　 （B）false （C）false
（参考数据：false ，false ，false，false，false）
东城区2020-2021学年度第一学期期末统一检测
高一数学参考答案及评分标准 2021.1
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）A （2）C （3）C （4）D （5）B
（6）D （7）C （8）B （9）A （10）B
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
（11）false （12）false
（13） false false （14）false false（答案不唯一）
（15） 15 10

解答题（共5小题，共40分）
（16）（共7分）
解：（Ⅰ）falsefalse. .................4分
（Ⅱ）当false时，false，若false则有false解得false，此时false；
当false时，false满足false；
当false时，false，满足false；
综上，false的取值范围是false. ........................7分
（17）（共7分）
解：（Ⅰ）false．
false的零点为false和false． ........................3分
（Ⅱ）false,且false，则
false=false，
由false，
得false，false，
所以false，即false，
所以false在区间false上为减函数. ........................7分
（18）（共9分）
解：（Ⅰ）选择条件①，②解答如下：
由函数false最小正周期false，得false.
又false图象关于点false对称，有false，
又已知false，故false．
因此false．
false，解得falsefalse.
　　　 所以false的单调递增区间为false． ........................5分
（Ⅱ）因为false，所以false．
　　　　 当false，即false时，false取得最大值false；
当false，即false时，false取得最小值false． ........................9分
如果选择条件①，③解答如下：
由函数false最小正周期false，得false.
又函数false图象关于false对称，有false，
又已知false，故false．下同．
　注：选择②③不能确定函数最小正周期，无法确定函数．　
（19）（共9分）
解：（I）因为false为奇函数，定义域为false，
　　　　所以false，即false，解得false. ........................2分
（Ⅱ）false为增函数． ........................4分
（Ⅲ）由奇函数false在定义域false上单调递增，
　　　不等式false恒成立，
　 得false恒成立，
　　　　　即false恒成立．
　 由false恒成立，有△false，得false
所以，false的取值范围是false． ........................9分
（20）（共8分）
解：（I）由false得false，
　　　　即false，
　　　　　false． ........................3分
　在环境温度为false，选取从false下降到false所用时间约为false分钟这组数据有
false，即false；
选取从false下降到false所用时间约为false分钟这组数据有false，
即false；
选取从false下降到false所用时间约为false分钟这组数据有false，
即false
故false． ........................5分
（II） false水煮沸后在false室温下大约冷却7分钟左右冲泡口感最佳，故选择B．........................6分
理由如下：
由（I）得false，
　 当false时，有false．
所以false水煮沸后在false室温下大约冷却false分钟冲泡“碧螺春”口感最佳. ........................8分