1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式
角α的弧度数公式
|α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝rad；1
rad＝°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
例1写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．
例2写出终边在直线上的角的集合.
例3已知为第二象限角，则是第几象限角？
例4已知如图．
（1）写出终边落在射线、上的角的集合；
（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．
例5已知扇形AOB的圆心角α为，半径长R为6，求：
（1）弧AB的长；
（2）扇形所含弓形的面积.
例6已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为R.
（1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长为20
cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?
1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )
A．120°
B．－120°
C．240°
D．－240°
2．给出下列四个结论：①－15°角是第四象限角；②185°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－350°角是第一象限角．其中正确的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
3．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B＝( )
A．{－36°，54°}
B．{－126°，144°}
C．{－126°，－36°，54°，144°}
D．{－126°，54°}
4．已知角α＝45°，β＝315°，则角α与β的终边( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于直线y＝x对称
D．关于原点对称
5．若α与β终边相同，则α－β的终边落在( )
A．x轴的非负半轴上
B．x轴的非正半轴上
C．y轴的非负半轴上
D．y轴的非正半轴上
6．(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
7．若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为( )
A．α＋β＝0
B．α－β＝0
C．α＋β＝2kπ(k∈Z)
D．α－β＝＋2kπ(k∈Z)
8.已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M带着从动轮N转动(如图所示)，设主动轮M的直径为150
mm，从动轮N的直径为300
mm，若主动轮M顺时针旋转，则从动轮N逆时针旋转( )
A.
B．
C.
D．π
9．若α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则α＝________.
【
10.集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}中角表示的范围(用阴影表示)是图中的________(填序号)．
11．一条铁路在转弯处呈圆弧形，圆弧的半径为，一列火车以的速度通过，间转过_______弧度．
12.已知圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数的绝对值为______；若圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么这段弧所对圆心角的弧度数的绝对_____.
13．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．
14.如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°，点P从点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点P在1秒内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A，求θ，并判断θ所在的象限．
15.已知扇形AOB的圆心角α为，半径长R为6，求：
（1）弧AB的长；
（2）扇形所含弓形的面积.
16．如图，已知长为，宽为的长方形在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方形的底边与桌面所成的角为，求点走过的路程及走过的弧所在扇形的总面积．
一、单选题
1．化为弧度是（
）
A．
B．
C．
D．
2．下列各角中，与2019°终边相同的角为（
）
A．41°
B．129°
C．219°
D．﹣231°
3．若α是第四象限角，则180°＋α一定是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
4．一个扇形的圆心角为150°，面积为，则该扇形半径为（
）
A．4
B．1
C．
D．2
5．在的范围内，与终边相同的角是（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知扇形的周长为12cm，圆心角为，则此扇形的面积为（
）．
A．8cm2
B．10cm2
C．12cm2
D．14cm2
7．已知集合A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α为第一象限角}，则A∩B＝( )
A．{α|α为锐角}
B．{α|α小于90°}
C．{α|α为第一象限角}
D．以上都不对
8．已知半径为1的扇形面积为，则扇形的圆心角为（
）
A．
B．
C．
D．
9.已知某扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
10．将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以、、为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线（又称莱洛三角形），下列关于曲线的描述中，正确的有（
）
（1）曲线不是等宽曲线；
（2）曲线是等宽曲线且宽为线段的长；
（3）曲线是等宽曲线且宽为弧的长；
（4）在曲线和圆的宽相等，则它们的周长相等；
（5）若曲线和圆的宽相等，则它们的面积相等．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、多选题
11.下列四个选项正确的有（
）
A．角是第四象限角
B．角是第三象限角
C．角是第二象限角
D．是第一象限角
12．下列与角的终边相同的角是（
）
A．
B．
C．
D．
13．下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（
）
A．
B．
C．
D．
E.
14．设是第三象限角，则所在象限是（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
三、填空题
15．已知角的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么________.
16．已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为
．
17．一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度
四、双空题
18._________弧度；弧度=________.
19．（1）给出下列说法：
①锐角都是第一象限角；
②第一象限角一定不是负角；
③小于180°的角是钝角或直角或锐角.
其中正确说法的序号为________.(把正确说法的序号都写上)
（2）将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________.
20.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB长是__________，弧田的面积是__________．
21．已知扇形的周长为40，当它的圆心角为____时，扇形的面积最大，最大面积为____.1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式
角α的弧度数公式
|α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝rad；1
rad＝°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
例1写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．
【答案】{β|β＝k·360°－1
910°，k∈Z}；元素β见解析
【解析】
与α＝－1
910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z}．
∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1
910°＜360°(k∈Z)，∴
(k∈Z)，故取k＝4,5,6.
k＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°；
k＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°；
k＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°.
例2写出终边在直线上的角的集合.
【答案】
【解析】
直线的倾斜角为，
所以终边在直线上的角为或，
，
综合得终边在直线上的角为，
所以终边在直线上的角的集合为.
例3已知为第二象限角，则是第几象限角？
【答案】第一或第三象限角
【解析】
∵是第二象限角，∴，
∴
.当为偶数时，是第一象限角；当为奇数时，是第三象限角．
所以第一或第三象限角.
点睛:
确定终边位置的方法步骤：(1)用终边相同角的形式表示出角的范围；
(2)写出的范围；(3)根据的可能取值讨论确定的终边所在位置
例4已知如图．
（1）写出终边落在射线、上的角的集合；
（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．
【答案】（1）终边落在射线上的角的集合为，终边落在射线上的角的集合为；
（2）.
【解析】
（1）终边落在射线上的角的集合是，
终边落在射线上的角的集合；
（2）终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是.
例5已知扇形AOB的圆心角α为，半径长R为6，求：
（1）弧AB的长；
（2）扇形所含弓形的面积.
【答案】（1）4π；（2）12π－9.
【解析】
（1）l＝α·R＝π×6＝4π，
所以弧AB的长为4π.
（2）S扇形OAB＝lR＝×4π×6＝12π.
如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于点D，π＝120°，
所以∠AOD＝60°，∠DAO＝30°，
于是有S△OAB＝×AB×OD
＝×2×6cos
30°×3＝9.
所以弓形的面积为S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.
所以弓形的面积是12π－9.
例6已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为R.
（1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长为20
cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?
【答案】（1），；（2）.
【解析】
（1）设扇形的弧长为l，弓形面积为S，则
，，，
.
（2）设扇形弧长为l，则，即，
∴扇形面积，
∴当时，S有最大值，此时，.
因此当时，这个扇形面积最大.
点睛:
当周长C为定值时可得面积
当面积为定值时可得周长.
1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )
A．120°
B．－120°
C．240°
D．－240°
【答案】D
【解析】按顺时针方向旋转形成的角是负角，排除A、C；又由题意知旋转的角度是240°，排除B.故选D.
2．给出下列四个结论：①－15°角是第四象限角；②185°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－350°角是第一象限角．其中正确的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】①－15°角是第四象限角；
②因为180°<185°<270°，所以185°角是第三象限角；
③因为475°＝360°＋115°，90°<115°<180°，所以475°角是第二象限角；
④因为－350°＝－360°＋10°，所以－350°角是第一象限角．
所以四个结论都是正确的．
3．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B＝( )
A．{－36°，54°}
B．{－126°，144°}
C．{－126°，－36°，54°，144°}
D．{－126°，54°}
【答案】C
【解析】令k＝－1,0,1,2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.
4．已知角α＝45°，β＝315°，则角α与β的终边( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于直线y＝x对称
D．关于原点对称
【答案】A
【解析】因为β＝315°＝360°－45°，所以315°角与－45°角的终边相同，所以α与β的终边关于x轴对称．
5．若α与β终边相同，则α－β的终边落在( )
A．x轴的非负半轴上
B．x轴的非正半轴上
C．y轴的非负半轴上
D．y轴的非正半轴上
【答案】A
【解析】∵α＝β＋k·360°，k∈Z，∴α－β＝k·360°，k∈Z，∴其终边在x轴的非负半轴上．
6．(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】AC
【解析】因为角2α的终边在x轴的上方，所以k·360°<2α7．若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为( )
A．α＋β＝0
B．α－β＝0
C．α＋β＝2kπ(k∈Z)
D．α－β＝＋2kπ(k∈Z)
【答案】D
【解析】∵α＝x＋＋2k1π(k1∈Z)，β＝x－＋2k2π(k2∈Z)，∴α－β＝＋2(k1－k2)π(k1∈Z，k2∈Z)．∵k1∈Z，k2∈Z，∴k1－k2∈Z.∴α－β＝＋2kπ(k∈Z)．
8.已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M带着从动轮N转动(如图所示)，设主动轮M的直径为150
mm，从动轮N的直径为300
mm，若主动轮M顺时针旋转，则从动轮N逆时针旋转( )
A.
B．
C.
D．π
【答案】B
【解析】设从动轮N逆时针旋转θ
rad，由题意，知主动轮M与从动轮N转动的弧长相等，所以，解得θ＝，选B.
9．若α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则α＝________.
【答案】270°
【解析】∵5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.
又∵180°<α<360°，∴α＝270°.
10.集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}中角表示的范围(用阴影表示)是图中的________(填序号)．
【答案】②
【解析】集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}中，当k为偶数时，此集合与{α|0°≤α≤45°}表示终边相同的角，位于第一象限；当k为奇数时，此集合与{α|180°≤α≤225°}表示终边相同的角，位于第三象限．所以集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}中角表示的范围为图②所示．
11．一条铁路在转弯处呈圆弧形，圆弧的半径为，一列火车以的速度通过，间转过_______弧度．
【答案】
【解析】间列车转过的弧长为，转过的角（弧度）．
故答案为：
12.已知圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数的绝对值为______；若圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么这段弧所对圆心角的弧度数的绝对_____.
【答案】
【解析】设圆半径为，这段弧所对圆心角的弧度数为，则圆外切正三角形的边长为，
∴；又圆内接正方形的边长为，周长为，即圆弧长为，∴.
13．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．
【解析】由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z，
∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.
取k＝1，得α＋β＝80°.①
∵α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，α，β都是锐角，
∴－90°<α－β<90°.
取k＝－2，得α－β＝－50°.②
由①②，得α＝15°，β＝65°.
14.如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°，点P从点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点P在1秒内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A，求θ，并判断θ所在的象限．
【解析】根据题意知，14秒钟后，点P在角14θ＋45°的终边上，所以45°＋k·360°＝14θ＋45°，k∈Z.
又180°<2θ＋45°<270°，
即67.5°<θ<112.5°，
∴67.5°<<112.5°.
又k∈Z，∴k＝3或4，
∴所求的θ的值为或.
∵0°<<90°，90°<<180°，
∴θ在第一象限或第二象限．
15.已知扇形AOB的圆心角α为，半径长R为6，求：
（1）弧AB的长；
（2）扇形所含弓形的面积.
【解析】（1）l＝α·R＝π×6＝4π，
所以弧AB的长为4π.
（2）S扇形OAB＝lR＝×4π×6＝12π.
如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于点D，π＝120°，
所以∠AOD＝60°，∠DAO＝30°，
于是有S△OAB＝×AB×OD
＝×2×6cos
30°×3＝9.
所以弓形的面积为S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.
所以弓形的面积是12π－9.
16．如图，已知长为，宽为的长方形在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方形的底边与桌面所成的角为，求点走过的路程及走过的弧所在扇形的总面积．
【解析】如图:
在扇形中，圆心角为，
弧长，
面积．
在扇形中，圆心角为，
弧长，
面积，
在扇形中，圆心角为，
弧长，
面积．
综上，点走过的路程，
点走过的弧所在扇形的总面积
一、单选题
1．化为弧度是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
2．下列各角中，与2019°终边相同的角为（
）
A．41°
B．129°
C．219°
D．﹣231°
【答案】C
【解析】
因为，
所以与2019°终边相同.
故选：C.
3．若α是第四象限角，则180°＋α一定是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】B
【解析】
∵α是第四象限角，∴k·360°－90°<α∴k·360°＋90°<180°＋α∴180°＋α在第二象限，
故选B.
4．一个扇形的圆心角为150°，面积为，则该扇形半径为（
）
A．4
B．1
C．
D．2
【答案】D
【解析】
圆心角为，设扇形的半径为，
，
解得.
故选：D
5．在的范围内，与终边相同的角是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
因为,
则在的范围内，与终边相同的角是,
故选：B.
6．已知扇形的周长为12cm，圆心角为，则此扇形的面积为（
）．
A．8cm2
B．10cm2
C．12cm2
D．14cm2
【答案】A
【解析】
设扇形的半径为cm，
∵扇形的周长为12cm，圆心角为，
∴，得，
∴此扇形的面积（cm2），
故选：A．
7．已知集合A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α为第一象限角}，则A∩B＝( )
A．{α|α为锐角}
B．{α|α小于90°}
C．{α|α为第一象限角}
D．以上都不对
【答案】D
【解析】∵A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α为第一象限角}，
∴A∩B＝{小于90°且在第一象限的角}，
对于A：小于90°的角不一定是第一象限的，不正确，比如﹣30°；
对于B：小于90°的角且在第一象限的角不一定是0°～90°的角，不正确，例如﹣300°；
对于C：第一象限的角不一定是小于90°的角且在第一象限的角，不正确，例如380°，
故选D．
8．已知半径为1的扇形面积为，则扇形的圆心角为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由得，所以，
故选：C.
9.已知某扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意，某扇形的半径为，圆心角为，
根据扇形的面积公式，可得
所以此扇形的面积为.
故选：B.
10．将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以、、为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线（又称莱洛三角形），下列关于曲线的描述中，正确的有（
）
（1）曲线不是等宽曲线；
（2）曲线是等宽曲线且宽为线段的长；
（3）曲线是等宽曲线且宽为弧的长；
（4）在曲线和圆的宽相等，则它们的周长相等；
（5）若曲线和圆的宽相等，则它们的面积相等．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【解析】
若曲线和圆的宽相等，设曲线的宽为，则圆的半径为，
（1）根据定义，可以得曲线是等宽曲线，错误；
（2）曲线是等宽曲线且宽为线段的长，正确；
（3）根据（2）得（3）错误；
（4）曲线的周长为，圆的周长为，故它们的周长相等，正确；
（5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为，
正三角形的面积，
则一个弓形面积，
则整个区域的面积为，
而圆的面积为，不相等，故错误；
综上，正确的有2个，
故选：B.
二、多选题
11.下列四个选项正确的有（
）
A．角是第四象限角
B．角是第三象限角
C．角是第二象限角
D．是第一象限角
【答案】ABCD
【解析】
对于如图1所示，角是第四象限角；
对于如图2所示，角是第三象限角；
对于如图3所示，角是第二象限角；
对于如图4所示，角是第一象限角.
故选：.
12．下列与角的终边相同的角是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】
因为，
所以与角的终边相同角为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
综上，选项A、C、D正确.
故选：ACD.
13．下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（
）
A．
B．
C．
D．
E.
【答案】BE
【解析】假设、为内的角，
如图所示，因为、的终边关于轴对称，所以，所以B满足条件；
结合终边相同的角的概念，可得，所以E满足条件，ACD都不满足条件．
故选：BE.
14．设是第三象限角，则所在象限是（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】BD
【解析】是第三象限角，
，，
则，，
令，
有，；在二象限；
，，
有，；在四象限；
故选：B．
三、填空题
15．已知角的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么________.
【答案】.
【解析】
在范围内，终边落在阴影内的角满足：或
满足题意的角为：
，，
本题正确结果：
16．已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为
．
【答案】4
【解析】
设扇形半径为，弧长为，则，解得．
17．一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度
【答案】
【解析】
设扇形的所在圆的半径为，圆心角为，
因为扇形的面积为1，弧长也为1，
可得，即，解得.
故答案为：
四、双空题
18._________弧度；弧度=________.
【答案】
80°
【解析】
根据角度制与弧度制的互化公式，
可得，.
故答案为：，.
19．（1）给出下列说法：
①锐角都是第一象限角；
②第一象限角一定不是负角；
③小于180°的角是钝角或直角或锐角.
其中正确说法的序号为________.(把正确说法的序号都写上)
（2）将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________.
【答案】②
【解析】
（1）①锐角的范围为是第一象限的角，命题①正确；
②第一象限角的范围为，故第一象限角可以为负角，故②错误；
③根据任意角的概念，可知小于180°的角，可以为负角，故③错误；
故答案为：②
（2）将时针拨快20分钟，则分针顺时针转过，即转过的度数为
故答案为：
20.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB长是__________，弧田的面积是__________．
【答案】6
12π﹣9
【解析】
∵如图，弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，过作，交于，根据圆的几何性质可知，垂直平分.
∴α＝∠AOB＝＝，可得∠AOD＝，OA＝6，
∴AB＝2AD＝2OAsin＝2×＝6，
∴弧田的面积S＝S扇形OAB﹣S△OAB＝4π×6﹣＝12π﹣9．
故答案为：6，12π﹣9．
21．已知扇形的周长为40，当它的圆心角为____时，扇形的面积最大，最大面积为____.
【答案】2
100
【解析】
设扇形半径为，则其弧长为，，∴．
∴，
∴时，．此时圆心角为．
故答案为：2；100．
