1.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin
α＝y，cos
α＝x，tan
α＝(x≠0).
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线.
2.常用结论
1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
2.若α∈，则tan
α>α>sin
α.
3.角度制与弧度制可利用180°＝π
rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.
4.象限角的集合
3．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan
α.
同角三角函数基本关系式的常用变形：
(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α；
(sin
α＋cos
α)2＋(sin
α－cos
α)2＝2；
(sin
α＋cos
α)2－(sin
α－cos
α)2＝4sin
αcos
α.
例1已知角的终边经过点，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）因为已知角的终边经过点，且，所以有，求得；
（2）由（1）可得，，
原式===．
例2若已知角终边上一点，且，能否求出的值？若能，求出其值；若不能，请说明理由．
【答案】能，见解析
【解析】
能求出，的值．
因为角的终边过点，
所以．
因为，所以或．
①当时，点P的坐标为，角为第一象限角，
此时；
②当时，点P的坐标为，角为第二象限角，
此时．
例3求证：sinα+cosα．
【答案】见证明
【解析】
证明：∵1+2sinα?cosα＝
∵1+sinα+cosα≠0，
∴左端
＝sinα+cosα＝右端．
∴
例4已知，求下列各式的值.
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
由，解得．
（1）；
（2）
．
例5在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα－3cosα＋tanα的值.
【答案】－或.
【解析】
当角α的终边在射线y＝－x(x>0)上时，取终边上一点P(4，－3)，
所以点P到坐标原点的距离r＝|OP|＝5，
所以sinα＝＝＝－，cosα＝＝，
tanα＝＝－.
所以sinα－3cosα＋tanα＝－－－＝－.
当角α的终边在射线y＝－x(x<0)上时，取终边上一点P′(－4，3)，
所以点P′到坐标原点的距离r＝|OP′|＝5，
所以sinα＝＝，cosα＝＝－，
tanα＝＝－.
所以sinα－3cosα＋tanα＝－3×－＝＋－＝.
综上，sinα－3cosα＋tanα的值为－或.
例6已知.试用k表示的值.
【答案】详见解析
【解析】
，
,
当时，，此时，
当时，，此时.
1．若，则角是（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】A
【解析】因为，所以角的终边可能位于第一或第四象限，也可能与横轴的正半轴重合；
又因为，所以角的终边可能位于第一或第三象限.
因为同时成立，所以角的终边只能位于第一象限.
于是角是第一象限角.故选：A
2．已知角的终边过点，且，则的值为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为角的终边过点，所以
，
，解得，故选B.
3．已知是第三象限角，且，则是（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】B
【解析】是第三象限角，
，，
当是偶数时，设，则，此时在第二象限；当是奇数时，设，则，此时在第四象限；∴在第二象限或在第四象限，
，，∴在第二象限．故选B．
4．如果，那么下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图所示，在单位圆中分别作出的正弦线、余弦线、正切线，
很容易地观察出，即.故选C.
5．已知的值为
（
）
A．﹣1
B．﹣2
C．
D．2
【答案】D
【解析】∵，∴，∴，
∴．
6．已知，是关于的方程的两个根，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意，解得或．
又，，
∴，解得，
又或．∴．故选：C．
7．设、和分别是角的正弦、余弦和正切线，则以下不等式正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】分别作角的正弦、余弦和正切线,如图,
..故选:BC.
8．已知，则函数的值可能为（
）
A．3
B．-3
C．1
D．-1
【答案】BC
【解析】，
当在第一象限时：；
当在第二象限时：
当在第三象限时：
当在第四象限时：
故选：
9．已知角的终边上有一点，则
________.
【答案】
【解析】因为角的终边上有一点，则
所以，
所以
10．若sinα＜0
且tanα＞0，则α是第 _________ 象限角．
【答案】第三象限角
【解析】当sinα＜0，可知α是第三或第四象限角，又tanα＞0，
可知α是第一或第三象限角，所以当sinα＜0
且tanα＞0，
则α是第三象限角．
11．已知＝－5，那么tanα＝________.
【答案】－
【解析】易知cosα≠0，由＝－5，得＝－5，解得tanα＝－.
12．在△ABC中，已知，则sinAcosA的值为____，tanA的值为____．
【答案】
【解析】由两边平方得.由于是三角形的内角，故为钝角，所以，而，所以.由解得，所以.
13．已知点为角终边上一点.
（1）若角是第二象限角，，，求x的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）∵，
∴解得（∵是第二象限角，舍去）,.
（2）若，则，
故.
14．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合.
（1）sinα≥；
（2）cosα≤－.
【解析】（1）作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围.
故满足要求的角α的集合为.
（2）作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(如图所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围.
故满足条件的角α的集合为.
15．已知，且是方程的两实根，求和的值．
【解析】
解方程得两根分别为和．
∵，且，
∴，则，
∴
∴．
．
16.（1）已知，计算
的值
.
（2）已知，求的值.
【解析】（1）∵
∴
∴原式=.
（2）
=
=.
一、单选题
1．已知角α终边过点P(1，-1)，则tan
α的值为（
）
A．1
B．-1
C．
D．
【答案】B
【解析】
∵
角α终边过点P(1，-1)，
∴
，
故选：B.
2．若，则在（
）
A．第一、二象限
B．第一、三象限
C．第一、四象限
D．第二、四象限
【答案】B
【解析】
设是角终边上任意一点（异于原点），，
即与同号，则在第一、三象限
故选：B
3．若，则点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【解析】
由知：
∴，
故，P位于第三象限
故选：C
4．已知是第三象限的角,若,则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
,,解方程组得：，选B.
5．若角终边经过点,则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】,
,选D.
6．记，那么（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
,
,从而，
，
那么，
故选B．
7．若一个角的终边上有一点且，则的值为(
)
A．
B．
C．－4或
D．
【答案】C
【解析】
由已知，得，解得或，故选C．
8.已知，，则等于（
）
A.
B.
或
C.
或
D.
【答案】A
【解析】
∵，，
∴平方可得，即，
∴，，
∵可得：，解得：，或（舍去），
∴，可得：．
故选：A．
9．点P从点出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
由题意可知，
根据三角函数的定义可知，，
所以点的坐标是.
故选：A
10．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角、间的圆弧长为，嘴角间的距离为，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则、和所满足的恒等关系为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
设该圆弧所对应的圆的半径为，则，，两式相除得
故选：.
二、多选题
11.给出的下列函数值中符号为负的是（
）
A．
B．
C．
D．
E.
【答案】BCD
【解析】
A为正，∵，∴是第一象限角，∴；B为负，，∴是第三象限角，∴；C为负，∵，是第二象限角，∴；D为负，∵，5弧度是第四象限角，∴；E为正，因为是第四象限角，∴.
故选：BCD.
12．对于①，②，③，④，⑤，⑥，则为第二象限角的充要条件为（
）
A．①③
B．①④
C．④⑥
D．②⑤
【答案】BC
【解析】
若为第二象限角，则，，.
所以，为第二象限角或或.
故选：BC.
13．设角的终边上一点P的坐标是，则的值不可能为（
）、
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】
因为角的终边上一点P的坐标是，
则，，
所以角第一象限角，
所以，
所以，，
当时，为第一象限的角，
所以的值可能为，
和不可能为的值，
而不是第一象限的角．
所以A，B，C都不能取到．
故选：ABC．
14．已知，，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】
①
即
，
②
①加②得
①减②得
综上可得，正确的有
故选：
三、填空题
15．若角α的终边上有一点P（－4，a），且sinα·cosα＝，则a的值为
；
【答案】或
【解析】
根据三角函数的定义，，，所以根据已知条件，，所以解得：或
16．若，则______.
【答案】
【解析】将两边平方可得,即,即,故,即,故应选D.
17．已知是第一象限角，若，则______________.
【答案】
【解析】∵，则，∴，即，又∵为第一象限的角，∴，
，从而，故答案为.
四、双空题
18．已知角的终边过点，则________，________.
【答案】
【解析】
角的终边过点，则，，
，
故答案为：；．
19．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则_______；_______.
【答案】
【解析】
∵角终边过点，，
∴，，，
∴.
故答案为：；.
20．已知点是角终边上的一点，则=______，=_______.
【答案】
【解析】
根据题意知：，.
故答案为：-2；4.
21．若，则___________；__________.
【答案】
【解析】
因为，所以，所以，
.
故答案为：；1.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin
α＝y，cos
α＝x，tan
α＝(x≠0).
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线.
2.常用结论
1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
2.若α∈，则tan
α>α>sin
α.
3.角度制与弧度制可利用180°＝π
rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.
4.象限角的集合
3．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan
α.
同角三角函数基本关系式的常用变形：
(sin
α±cos
α)2＝1±2sin
αcos
α；
(sin
α＋cos
α)2＋(sin
α－cos
α)2＝2；
(sin
α＋cos
α)2－(sin
α－cos
α)2＝4sin
αcos
α.
例1已知角的终边经过点，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
例2若已知角终边上一点，且，能否求出的值？若能，求出其值；若不能，请说明理由．
例3求证：sinα+cosα．
例4已知，求下列各式的值.
（1）；
（2）.
例5在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα－3cosα＋tanα的值.
例6已知.试用k表示的值.
1．若，则角是（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
2．已知角的终边过点，且，则的值为(
)
A．
B．
C．
D．
3．已知是第三象限角，且，则是（
）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
4．如果，那么下列不等式成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知的值为
（
）
A．﹣1
B．﹣2
C．
D．2
6．已知，是关于的方程的两个根，则的值是（
）
A．
B．
C．
D．
7．设、和分别是角的正弦、余弦和正切线，则以下不等式正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
8．已知，则函数的值可能为（
）
A．3
B．-3
C．1
D．-1
9．已知角的终边上有一点，则
________.
10．若sinα＜0
且tanα＞0，则α是第 _________ 象限角．
11．已知＝－5，那么tanα＝________.
12．在△ABC中，已知，则sinAcosA的值为____，tanA的值为____．
13．已知点为角终边上一点.
（1）若角是第二象限角，，，求x的值；
（2）若，求的值.
14．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合.
（1）sinα≥；
（2）cosα≤－.
15．已知，且是方程的两实根，求和的值．
16.（1）已知，计算
的值
.
（2）已知，求的值.
一、单选题
1．已知角α终边过点P(1，-1)，则tan
α的值为（
）
A．1
B．-1
C．
D．
2．若，则在（
）
A．第一、二象限
B．第一、三象限
C．第一、四象限
D．第二、四象限
3．若，则点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4．已知是第三象限的角,若,则（
）
A.
B.
C.
D.
5．若角终边经过点,则（
）
A.
B.
C.
D.
6．记，那么（
）
A．
B．
C．
D．
7．若一个角的终边上有一点且，则的值为(
)
A．
B．
C．－4或
D．
8.已知，，则等于（
）
A.
B.
或
C.
或
D.
9．点P从点出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角、间的圆弧长为，嘴角间的距离为，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则、和所满足的恒等关系为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
11.给出的下列函数值中符号为负的是（
）
A．
B．
C．
D．
E.
12．对于①，②，③，④，⑤，⑥，则为第二象限角的充要条件为（
）
A．①③
B．①④
C．④⑥
D．②⑤
13．设角的终边上一点P的坐标是，则的值不可能为（
）、
A．
B．
C．
D．
14．已知，，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
15．若角α的终边上有一点P（－4，a），且sinα·cosα＝，则a的值为
；
16．若，则______.
17．已知是第一象限角，若，则______________.
四、双空题
18．已知角的终边过点，则________，________.
19．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则_______；_______.
20．已知点是角终边上的一点，则=______，=_______.
21．若，则___________；__________.
