高中数学人教A版(2019）选择性必修第一册第二章2.1倾斜角与斜率-课件(共71张PPT)

倾斜角与斜率
直观感知
综合法
操作确认
思辨论证
度量计算
课堂引入
直观感知
综合法
操作确认
思辨论证
度量计算
坐标法
点
数（有序数对或数组）
曲线（点的轨迹）
曲线方程
坐标系
课堂引入
课堂引入
代数方法
几何问题
代数问题
代数问题的解
几何问题的解
课堂引入
代数方法
几何问题
代数问题
代数问题的解
几何问题的解
解析几何由17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立.
数学从此进入变量数学时期，为微积分的创建奠定了基础.
课堂引入
直线
确定直线的
几何要素
建立直线
的方程
研究两条直线的位置关系、交点坐标以及点到直线的距离等问题
平面直角坐标系
问题1 确定一条直线的几何要素是什么?对于平面直角坐标系中的一条直线l，如何利用坐标系确定它的位置?
探究新知
探究新知
问题1 确定一条直线的几何要素是什么?对于平面直角坐标系中的一条直线l，如何利用坐标系确定它的位置?
探究新知
问题1 确定一条直线的几何要素是什么?对于平面直角坐标系中的一条直线l，如何利用坐标系确定它的位置?
方向
探究新知
问题1 确定一条直线的几何要素是什么?对于平面直角坐标系中的一条直线l，如何利用坐标系确定它的位置?
探究新知
问题1 确定一条直线的几何要素是什么?对于平面直角坐标系中的一条直线l，如何利用坐标系确定它的位置?
两点P1，P2
????1????2???方向向量
?
探究新知
问题1 确定一条直线的几何要素是什么?对于平面直角坐标系中的一条直线l，如何利用坐标系确定它的位置?
两点P1，P2
一点和一方向
????1????2???方向向量
?
探究新知
问题1 确定一条直线的几何要素是什么?对于平面直角坐标系中的一条直线l，如何利用坐标系确定它的位置?
探究新知
问题2 如何表示直线的方向?
探究新知
水平直线的方向向右
问题2 如何表示直线的方向?
探究新知
问题2 如何表示直线的方向?
探究新知
其它直线的方向向上
问题2 如何表示直线的方向?
探究新知
当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角（angle of inclination）．
探究新知
当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角（angle of inclination）．
探究新知
问题3 当直线l与x轴平行或重合时，其倾斜角大小为多少?直线的倾斜角的取值范围是什么?
探究新知
当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0o.
问题3 当直线l与x轴平行或重合时，其倾斜角大小为多少?直线的倾斜角的取值范围是什么?
探究新知
当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0o.
问题3 当直线l与x轴平行或重合时，其倾斜角大小为多少?直线的倾斜角的取值范围是什么?
直线的倾斜角α的取值范围为0o ≤α<180o.
探究新知
方向不同
倾斜程度不同
倾斜角不相等
直线
倾斜角
探究新知
问题4 直线l的倾斜角α与P1(x1，y1)， P2(x2，y2)有什么内在联系?
探究新知
在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α．
(1)已知直线l经过点O(0，0)，P(3，1)，α与点
O，P的坐标有什么关系?
(2)类似地，如果直线l经过点P1(－1，1)，
P2(2，0)，α与点P1，P2的坐标又有什么关系?
?
探究新知
在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α．
(1)已知直线l经过点O(0，0)，P(3，1)，α与点
O，P的坐标有什么关系?

?
探究新知
向量????????=(3?，1)，
直线OP的倾斜角为α.
由正切函数的定义，有
tanα=13=33 .
?
在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α．
(1)已知直线l经过点O(0，0)，P(3，1)，α与点
O，P的坐标有什么关系?

?
探究新知
(2)类似地，如果直线l经过点P1(－1，1)，
P2(2，0)， α与点P1，P2的坐标又有什么关系?
?
探究新知
(2)类似地，如果直线l经过点P1(－1，1)，
P2(2，0)， α与点P1，P2的坐标又有什么关系?
?
探究新知
向量????2????1=(－1－2 ，1－0)
=(－1－2 ，1).
P的坐标为(－1－2 ，1)，
直线OP的倾斜角为α.
由正切函数的定义，有
tanα=1?1?2=1－2.
?
(2)类似地，如果直线l经过点P1(－1，1)，
P2(2，0)， α与点P1，P2的坐标又有什么关系?
?
探究新知
问题4 直线l的倾斜角α与P1(x1，y1)， P2(x2，y2)有什么内在联系?
探究新知
探究新知
当向量????1????2方向向上时，
????1????2=(x2－x1，y2－y1).
P的坐标为(x2－x1，y2－y1)，
直线OP的倾斜角为α.
由正切函数的定义，有
tanα=????2?????1????2?????1.
?
探究新知
当向量????1????2方向向上时，
????1????2=(x2－x1，y2－y1).
P的坐标为(x2－x1，y2－y1)，
直线OP的倾斜角为α.
由正切函数的定义，有
tanα=????2?????1????2?????1.
?
探究新知
探究新知
当向量????2????1方向向上时，
同理，可得
tanα=????1?????2????1?????2 =????2?????1????2?????1.
?
探究新知
当向量????2????1方向向上时，
同理，可得
tanα=????1?????2????1?????2 =????2?????1????2?????1.
?
x1?x2
探究新知
当向量????2????1方向向上时，
同理，可得
tanα=????1?????2????1?????2 =????2?????1????2?????1.
?
x1?x2
探究新知
当向量????2????1方向向上时，
同理，可得
tanα=????1?????2????1?????2 =????2?????1????2?????1.
?
x1?x2
当x1=x2时，直线l倾斜角
为90o，上式无意义.
探究新知
问题5 当直线P1P2与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？
探究新知
问题5 当直线P1P2与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？
当直线P1P2与x轴平行或重合时，
y1=y2， α= 0o，符合tanα=????2?????1????2?????1.
?
探究新知
结论 直线l的倾斜角α与直线l上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1?x2)的坐标有如下关系：
tanα=????2?????1????2?????1.
?
探究新知
结论 直线l的倾斜角α与直线l上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1?x2)的坐标有如下关系：
tanα=????2?????1????2?????1.
?
斜率
探究新知
结论 直线l的倾斜角α与直线l上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1?x2)的坐标有如下关系：
tanα=????2?????1????2?????1.
?
我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率（slope），斜率常用小写字母k表示，即k=tanα.
斜率
探究新知
日常生活中常用“坡度”表示倾斜面的倾斜程度：
坡度=铅直高度水平宽度．
当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率与坡度是类似的．
?
水平宽度
铅直高度
α
探究新知
我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，即斜率k=tanα.
探究新知
我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，即斜率k=tanα.
探究新知
我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，即斜率k=tanα.
探究新知
α=0o ? k=0；
0o<α<90o ? k>0；
α=90o ? 斜率不存在；
90o<α<180o ? k<0.
我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，即斜率k=tanα.
探究新知
问题6 当直线的倾斜角由0o逐渐增大到180o时，其斜率如何变化？为什么?
探究新知
问题6 当直线的倾斜角由0o逐渐增大到180o时，其斜率如何变化？为什么?
探究新知
问题6 当直线的倾斜角由0o逐渐增大到180o时，其斜率如何变化？为什么?
当倾斜角α满足0o≤α<90o且逐渐增大时，斜率k逐渐增大;
探究新知
问题6 当直线的倾斜角由0o逐渐增大到180o时，其斜率如何变化？为什么?
当倾斜角α满足0o≤α<90o且逐渐增大时，斜率k逐渐增大;
当倾斜角α=90o，斜率不存在;
探究新知
问题6 当直线的倾斜角由0o逐渐增大到180o时，其斜率如何变化？为什么?
当倾斜角α满足0o≤α<90o且逐渐增大时，斜率k逐渐增大;
当倾斜角α=90o，斜率不存在;
当倾斜角α满足90o<α<180o且逐渐增大时，斜率k逐渐增大.
探究新知
由正切函数的单调性，倾斜角不同的直线， 其斜率也不同．
因此，我们可以用斜率表示
倾斜角不等于90o的直线相对于x
轴的倾斜程度，进而表示直线的
方向．
探究新知
k=tanα
形
数
探究新知
由tanα=????2?????1????2?????1及k=tanα知，
?
k=tanα
形
数
k= ????2?????1????2?????1.
?
探究新知
探究新知
问题7 直线的方向向量与斜率k有什么关系？
探究新知
????1????2=(x2－x1，y2－y1).
?
当x1?x2时，直线P1P2与x轴不垂直，其一个方向向量为1????2?????1????1????2=(1，k).
?
问题7 直线的方向向量与斜率k有什么关系？
探究新知
因此，若直线l的斜率为k，
它的一个方向向量的坐标
为(x，y)，则k=????????.
?
????1????2=(x2－x1，y2－y1).
?
问题7 直线的方向向量与斜率k有什么关系？
探究新知
当x1=x2时，直线P1P2与x轴垂直，其一个方向向量为(0，1).
????1????2=(x2－x1，y2－y1).
?
问题7 直线的方向向量与斜率k有什么关系？
探究新知
k=????2?????1????2?????1
?
倾斜角α
斜率k
k=tanα
两点P1(x1，y1)， P2(x2，y2)
方向向量(x，y)
k=????????
?
tanα=????2?????1????2?????1
?
探究新知
例 如图，已知A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
探究新知
例 如图，已知A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
分析：
两点坐标
直线斜率
倾斜角
P1(x1，y1)
P2(x2，y2)
k=????2?????1????2?????1
?
k=tanα
探究新知
例 如图，已知A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
解：直线AB的斜率kAB=1?2?4?3 =17；
?
直线BC的斜率kBC=?1?10?(?4) =?12；
?
直线CA的斜率kCA=?1?20?3 =1.
?
探究新知
例 如图，已知A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．
解：由kAB>0及kCA >0可知，
直线AB与CA的倾斜角均为锐角；
由kBC<0可知，直线BC的倾斜
角为钝角.
课堂小结
直线
倾斜角
确定直线的
几何要素
斜率
点坐标
方向向量
形
数
数
数、形
数形结合
化归转化
课堂小结
直线
倾斜角
确定直线的
几何要素
斜率
点坐标
方向向量
形
数
数
数、形
几何问题
代数问题
数形结合
化归转化
课后作业
1.已知直线斜率的绝对值等于1，求直线的倾斜角．
2.已知四边形ABCD的四个顶点是A(2，3)，B(1，–1)，C(–1，–2)，D(–2，2)，求四边形ABCD的四条边所在直线的斜率．
3. m为何值时，(1)经过A(–m，6)，B(1，3m)两点的直线的斜率是12 ?
(2)经过A(m，2)，B(–m， –2m–1)两点的直线
的倾斜角是60o ?
同学们再见！