陕西省黄陵中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题 Word版含解析

黄陵中学2020-2021学年度第一学期高二年级理科
数学期终试题
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．已知命题false：false，则false为（ ）
A．false，false B．false，false
C．false，false D．false，false
2．关于x的不等式false的解集为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
3．已知平面false、false的法向量分别为false、false且false，则false的值为( )。
A、false B、false C、false D、false
4．设直线false的方向向量是false，平面false的法向量是false，则“false”是“false”的( )。
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
5．已知实数false，false满足不等式组false，则false的最小值为（ ）
A．0 B．false C．false D．false
6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，五人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配)。”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得( )。
A、一鹿、三分鹿之一 B、一鹿 C、三分鹿之二 D、三分鹿之一
7．已知等比数列false满足false，则false（ ）
A．64 B．81 C．128 D．243
8.已知椭圆+=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点的距离为(　　)
A.2 B.3 C.5 D.7
9．若双曲线false00
的一个焦点为false，则false( )。
A、false B、false C、false D、false
10．已知焦点在false轴上的双曲线的焦距为false，焦点到渐近线的距离为false，则双曲线的方程为( )。
A、false B、false C、false D、false
11.已知两点M(-2,0),N(2,0),点P满足·=12,则点P的轨迹方程为(　　)
A.+y2=1 B.x2+y2=16
C.y2-x2=8 D.x2+y2=8
12．已知椭圆00
false：false(false)的左焦点false，过点false作倾斜角为false的直线与圆false相交的弦长为false，则椭圆的离心率为( )。
A、false B、false C、false D、false
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
若抛物线y2＝mx的焦点坐标为（，0），则实数m的值为　　 ．
14.已知向量a=(λ+1,0,2λ),b=(6,0,2),若a∥b,则λ的值是　　　　　　.
15．若正实数false满足false，则false的最小值为 .
16.设false分别是椭圆false的左、右焦点，false为椭圆上任一点，点false的坐标为false，则false的最大值为________．
解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题10分）设命题false：实数false满足(x-1)(x-3)<0，命题false：实数false满足false．若false为真，求实数false的取值范围。
18.（本题12分）

19．（本题12分）在false中，false=60°，false．
（Ⅰ）求false的值；
（Ⅱ）若false，求false的面积．
20.（本题12分）如图，在四棱锥false中，底面false为矩形，false⊥平面false，false，false是棱false上一点，且false.
(1) 求直线false与false所成角的余弦值；
(2) 求二面角false的余弦值．
21.（本题12分）设中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且F1F2＝2，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．
22.（本题12分）已知点M到点F（1，0）和直线x＝﹣1的距离相等，记点M的轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程；
（2）过点F作相互垂直的两条直线l1、l2，曲线C与l1交于点P1、P2，与l2交于点Q1、Q2，试证明：．
黄陵中学2020-2021学年度第一学期高二年级理科
数学期终试题参考答案
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1．已知命题false：false，则false为（ ）
A．false，false B．false，false
C．false，false D．false，false
【答案】A
【解析】因为命题false：false，
所以false为false，false，
故选A
2．关于x的不等式false的解集为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
【答案】B
【解析】不等式可化为false，有false，
故不等式的解集为false.
故选B
3．已知平面false、false的法向量分别为false、false且false，则false的值为( )。
A、false B、false C、false D、false
【答案】A
【解析】由已知得false，即false，则false，故选A。
4．设直线false的方向向量是false，平面false的法向量是false，则“false”是“false”的( )。
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由false，得：false，是必要条件，
而“false”不一定有false，也可能false，故不是充分条件，故选B。
5．已知实数false，false满足不等式组false，则false的最小值为（ ）
A．0 B．false C．false D．false
【答案】D
【解析】不等式组表示的可行域如图所示，
由false，得false，
作出直线false，即直线false，
将此直线向下平移过点false时，直线在false轴上的截距最小，此时false取得最小值，
由false，得false，即false，
所以false的最小值为false，
故选D
6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，五人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配)。”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得( )。
A、一鹿、三分鹿之一 B、一鹿 C、三分鹿之二 D、三分鹿之一
【答案】B
【解析】由题意可知，五人按等差数列进行分五鹿，
设大夫得的鹿数为首项false，且false，公差为false，
则false，解得false，∴false，∴簪裹得一鹿，故选B。
7．已知等比数列false满足false，则false（ ）
A．64 B．81 C．128 D．243
答案：A
8.已知椭圆+=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点的距离为(　　)
A.2 B.3 C.5 D.7
【解析】选D.根据定义可知|PF1|+|PF2|=2a=10,
∴P到另一焦点的距离是10-3=7.
9．若双曲线false00
的一个焦点为false，则false( )。
A、false B、false C、false D、false
【答案】B
【解析】由双曲线性质：false，false，∴false，false，故选B。
10．已知焦点在false轴上的双曲线的焦距为false，焦点到渐近线的距离为false，则双曲线的方程为( )。
A、false B、false C、false D、false
【答案】B
【解析】false，焦点到渐近线的距离为false，则false，则false，
∴双曲线方程为false，故选B。
11.已知两点M(-2,0),N(2,0),点P满足·=12,则点P的轨迹方程为(　　)
A.+y2=1 B.x2+y2=16
C.y2-x2=8 D.x2+y2=8
【解题指南】根据曲线方程及平面向量的定义,直接求轨迹方程.
【解析】选B.设P(x,y),∴=(-2-x,-y),
=(2-x,-y).由·=12得
x2-4+y2=12即x2+y2=16
12．已知椭圆00
false：false(false)的左焦点false，过点false作倾斜角为false的直线与圆false相交的弦长为false，则椭圆的离心率为( )。
A、false B、false C、false D、false
【答案】B
【解析】过点false倾斜角为false的直线方程为：false，即false，
则圆心false到直线的距离：false，由弦长公式可得：false，
整理可得：false，∴false，false，则：false，false，故选B。
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若抛物线y2＝mx的焦点坐标为（，0），则实数m的值为　　．
【分析】直接由抛物线方程写出焦点坐标，由题意得求出m的值．
【解答】解：由抛物线方程得：焦点坐标（，0），∴＝，∴m＝2，
故答案为：2
14.已知向量a=(λ+1,0,2λ),b=(6,0,2),若a∥b,则λ的值是　　　　　　.
【解析】∵a∥b,∴存在实数k,使得a=kb,
即(λ+1,0,2λ)=k(6,0,2),
∴解得k=λ=.
答案:
15．若正实数false满足false，则false的最小值为_____.
【答案】6；
【解析】因为false，所以false，即false，
所以false，
所以false，当且仅当false，即false时取等号，
所以false的最小值为6
故填6
16.设false分别是椭圆false的左、右焦点，false为椭圆上任一点，点false的坐标为false，则false的最大值为________．
解析 PF1＋PF2＝10，PF1＝10－PF2，PM＋PF1＝10＋PM－PF2，易知M点在椭圆外，连结MF2并延长交椭圆于P点，此时PM－PF2取最大值MF2，故PM＋PF1的最大值为10＋MF2＝10＋＝15.
答案 15
解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题10分）设命题false：实数false满足(x-1)(x-3)<0，命题false：实数false满足false．若false为真，求实数false的取值范围。
【解析】由(x-1)(x-3)<0，则false：false，
由false解得false．即false：false．
若false为真，则false，false同时为真，即false，解得false，
∴实数false的取值范围false．
18.（本题12分）

19．（本题12分）在false中，false=60°，false．
（Ⅰ）求false的值；
（Ⅱ）若false，求false的面积．
【解析】（Ⅰ）在△ABC中，因为false，false，
所以由正弦定理得false．
（Ⅱ）因为false，所以false，
由false，所以false．
由余弦定理false得false，
解得false或false（舍）．
所以△ABC的面积false．
20.（本题12分）如图，在四棱锥false中，底面false为矩形，false⊥平面false，false，false是棱false上一点，且false.
(1) 求直线false与false所成角的余弦值；
(2) 求二面角false的余弦值．
解：(1) 如图，分别以AB，AD，AS为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0，)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，S(0，0，2)．
设P(x0，y0，z0)，由＝，
得(x0，y0，z0－2)＝(0，2，－2)，
∴ x0＝0，y0＝，z0＝，点P坐标为.
∴ ＝，＝(1，0，0)．
设直线AB与CP所成的角为α，
则cos α＝＝.
(2) 设平面APC的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则
令y1＝－2，则x1＝4，z1＝1，m＝(4，－2，1)．
设平面SCD的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)，
因为＝(1，0，0)，＝(0，－2，2)，
所以
令y2＝1，则z2＝1，n＝(0，1，1)．
设二面角APCD的大小为θ，由于cos〈m，n〉＝＝－，
所以由向量m，n的方向，得cos θ＝－cos〈m，n〉＝.
21.（本题12分）设中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且F1F2＝2，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．
解　(1)由已知，得c＝，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m、n，
则解得a＝7，m＝3.所以b＝6，n＝2.
故椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.
(2)不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则PF1＋PF2＝14，PF1－PF2＝6，
所以PF1＝10，PF2＝4.又F1F2＝2，
故cos∠F1PF2＝
＝＝.
22.（本题12分）已知点M到点F（1，0）和直线x＝﹣1的距离相等，记点M的轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程；
（2）过点F作相互垂直的两条直线l1、l2，曲线C与l1交于点P1、P2，与l2交于点Q1、Q2，试证明：．
【解答】（1）解：∵点M到点F（1，0）和直线x＝﹣1的距离相等，
由抛物线的定义可知：点M的轨迹是抛物线，
设方程为y2＝2px（p＞0），∵＝1，∴p＝2．
∴轨迹C的方程为y2＝4x．
（2）证明：设l1的方程为y＝k（x﹣1），代入抛物线方程，整理可得k2x﹣（2k2+4）x+k2＝0，
设P1、P2的横坐标分别为x1、x2，则x1+x2＝，
∴|P1P2|＝x1+x2+p＝，
以﹣代入，可得|Q1Q2|＝4+4k2，
∴＝