章末综合测评(一) 空间几何体
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一个等腰三角形绕它的底边所在直线旋转360°形成的曲面所围成的几何体是( )
A．球体
B．圆柱
C．圆台
D．两个共底面的圆锥组成的组合体
D [直角三角形的斜边为旋转轴，所得几何体是两个圆锥．]
2．如下所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的，其中正确的是( )
A B C D
A [由几何体的直观图的画法及主体图形中虚线的使用，知A正确．]
3．用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A′B′C′.已知点O′是斜边B′C′的中点，且A′O′＝1，则△ABC的边BC
上的高为( )
A．1 B．2 C． D．2
D [∵△ABC的直观图是等腰直角三角形A′B′C′，∠B′A′C＝90°，A′O′＝1，∴A′C′＝.根据直观图平行于y轴的长度变为原来的一半，∴△ABC的高为AC＝2A′C′＝2.故选D.]
4．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6
cm，4
cm，则该棱柱的侧面积为( )
A．24
cm2
B．36
cm2
C．72
cm2
D．84
cm2
C [棱柱的侧面积S侧＝3×6×4＝72(cm2).]
5．如图所示，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1?ACD的体积是( )
A．
B．
C．
D．1
A [三棱锥D1?ADC的体积V＝S△ADC×D1D＝××AD×DC×D1D＝××1×1×1＝.]
6．棱锥被平行于底面的平面所截，
若截面面积与底面面积之比为1∶2,
则此棱锥的高被分成的两段之比为( )
A．1∶2
B．1∶4
C．1∶(＋1)
D．1∶(－1)
D [借助轴截面，
利用相似的性质，
若截面面积与底面面积之比为1∶2,
则对应小棱锥与原棱锥高之比为1∶，被截面分成两段之比为1∶(－1).]
7．若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和为6π，则两球的半径之差为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
A [设两球的半径分别为R，r(R>r),
则由题意得解得故R－r＝1.]
8．如图，正方体ABCD?A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′?EFQ的体积( )
A．与点E，F的位置有关
B．与点Q的位置有关
C．与点E，F，Q的位置都有关
D．与点E，F，Q的位置均无关，是定值
D [VA′?EFQ＝VQ?A′EF＝××EF×AA′×A′D′，所以其体积为定值，与点E，F，Q的位置均无关．]
9．将若干毫升水倒入底面半径为2
cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6
cm,
若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，
则水面高度为( )
A．6
cm
B．6
cm
C．2
cm
D．3
cm
B [由题设可知两种器皿中的水的体积相同，设圆锥内水面高度为h，圆锥的轴截面为正三角形，可设边长为a,
由图可得，＝，
所以r＝
h.
故V圆柱＝6×π×22＝24π(cm3)，V圆锥＝π··h，又V圆柱＝V圆锥，
所以h＝6
cm.]
10．已知三棱锥S?ABC的三条侧棱两两垂直，
且SA＝2,
SB＝SC＝4,
则该三棱锥的外接球的半径为( )
A．3
B．6
C．36
D．9
A [因为三棱锥S?ABC的三条侧棱两两垂直，所以该三棱锥的外接球就是以三棱锥S?ABC的三条侧棱为棱的长方体的外接球，长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线，所以外接球的半径为＝3.]
11．已知边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
将该菱形沿对角线AC折起，
使BD＝a,
则三棱锥D?ABC的体积为( )
A．
B．
C．
D．
D [在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
将该菱形沿对角线AC折起，使BD＝a,
则三棱锥D?ABC为正四面体，
D在底面的射影为正三角形的中心O,
h＝OD＝＝＝a,
所以三棱锥D?ABC的体积为V＝Sh＝·a2·a＝.]
12．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O?ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A．36π
B．64π
C．144π
D．256π
C [如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O?ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO?ABC＝VC?AOB＝×R2×R＝R3＝36，故R＝6，则球O的表面积为S＝4πR2＝144π，故选C.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．底面直径和高都是4
cm的圆柱的侧面面积为________
cm2.
16π [圆柱的底面半径为r＝×4＝2，故S侧＝2π×2×4＝16π.]
14．一个正方体的表面展开图的五个正方形如图阴影部分所示，第六个正方形在编号1～5的适当位置，则可能的位置编号为________.
1，4，5 [第六个正方形在正方体中恰好和编号为2的正方形相对，翻折可知其可能的编号为1，4，5.]
15．如图，
在三棱柱A1B1C1?ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F?ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1?ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________．
1∶24 [因为D，E分别是AB，AC的中点，
所以S△ADE∶S△ABC＝1∶4.
又F是AA1的中点，
所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍，即三棱柱A1B1C1?ABC的高是三棱锥F?ADE高的2倍，
所以V1∶V2＝＝＝1∶24.]
16．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________．
[由题意可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，由勾股定理得，正四棱锥的高为2.
因为圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，则圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于，由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半，为1.所以该圆柱的体积为V＝Sh＝π×1＝.]
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长为10
cm，求圆锥的母线长
.
[解] 如图，
设圆锥的母线长为l，圆台上、下底面的半径分别为r、R.
因为＝，所以＝，所以l＝
cm.
即圆锥的母线长为
cm.
18．(本小题满分12分)如图，
△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，
C′A′＝2,
B′D′∥y′轴且B′D′＝1.5.
(1)将其恢复成原图形，并画出来；
(2)求原平面图形△ABC的面积．
[解] (1)画法：①画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；
②在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′；
③连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′的原图形，如图所示．
(2)因为B′D′∥y′轴，所以BD⊥AC.
又B′D′＝1.5且A′C′＝2，
所以BD＝3，AC＝2.所以S△ABC＝BD·AC＝3.
19．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为6
cm，底面三角形的边长分别为3
cm，4
cm，5
cm，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V.
[解] V三棱柱ABC?A1B1C1＝×6＝36(cm3).
设圆柱底面圆的半径为r，则
r＝＝＝1，
V圆柱OO1＝πr2h＝6π(cm3).
所以V＝V三棱柱ABC?A1B1C1－V圆柱OO1＝36－6π(cm3).
20．(本小题满分12分)已知一个圆锥的底面半径为R，高为H,
在其中有一个高为x的内接圆柱．
(1)求圆柱的侧面积；
(2)x为何值时，
圆柱的侧面积最大？
[解] (1)设圆柱的底面半径为r,
则它的侧面积为S＝2πrx,
＝，解得r＝R－x，
所以S圆柱侧＝2πRx－x2.
(2)由(1)知S圆柱侧＝2πRx－x2，
在此表达式中，
S圆柱侧为x的二次函数，
因此，当x＝时，
圆柱的侧面积最大．
21．(本小题满分12分)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD?A1B1C1D1挖去四棱锥O?EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6
cm，AA1＝4
cm.3D打印所用原料密度为0.9
g/cm3.不考虑打印损耗，求制作该模型所需原料的质量．
[解] 由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，
对角线长分别为6
cm和4
cm，
故V挖去的四棱锥＝××4×6×3＝12(cm3).
又V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，
所以模型的体积为
V长方体－V挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm3)，
所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g).
22．(本小题满分12分)如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72
cm，要剪下来一个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面).
试求：(1)AD的长；
(2)容器的容积．
[解] (1)如图，设圆台上、下底面半径分别为r、R，AD＝x，则OD＝72－x.
由题意得
∴R＝12，r＝6，x＝36，
∴AD＝36
cm.
(2)圆台所在圆锥的高
H＝＝12，
圆台的高h＝＝6，
小圆锥的高h′＝6，
∴V容＝V大锥－V小锥＝πR2H－πr2h′＝504π.
PAGE章末综合测评(一) 空间几何体
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一个等腰三角形绕它的底边所在直线旋转360°形成的曲面所围成的几何体是( )
A．球体
B．圆柱
C．圆台
D．两个共底面的圆锥组成的组合体
2．如下所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的，其中正确的是( )
A B C D
3．用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A′B′C′.已知点O′是斜边B′C′的中点，且A′O′＝1，则△ABC的边BC
上的高为( )
A．1 B．2 C． D．2
4．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6
cm，4
cm，则该棱柱的侧面积为( )
A．24
cm2
B．36
cm2
C．72
cm2
D．84
cm2
5．如图所示，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1?ACD的体积是( )
A．
B．
C．
D．1
6．棱锥被平行于底面的平面所截，
若截面面积与底面面积之比为1∶2,
则此棱锥的高被分成的两段之比为( )
A．1∶2
B．1∶4
C．1∶(＋1)
D．1∶(－1)
7．若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和为6π，则两球的半径之差为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
8．如图，正方体ABCD?A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′?EFQ的体积( )
A．与点E，F的位置有关
B．与点Q的位置有关
C．与点E，F，Q的位置都有关
D．与点E，F，Q的位置均无关，是定值
9．将若干毫升水倒入底面半径为2
cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6
cm,
若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，
则水面高度为( )
A．6
cm
B．6
cm
C．2
cm
D．3
cm
10．已知三棱锥S?ABC的三条侧棱两两垂直，
且SA＝2,
SB＝SC＝4,
则该三棱锥的外接球的半径为( )
A．3
B．6
C．36
D．9
11．已知边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
将该菱形沿对角线AC折起，
使BD＝a,
则三棱锥D?ABC的体积为( )
A．
B．
C．
D．
12．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O?ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A．36π
B．64π
C．144π
D．256π
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．底面直径和高都是4
cm的圆柱的侧面面积为________
cm2.
14．一个正方体的表面展开图的五个正方形如图阴影部分所示，第六个正方形在编号1～5的适当位置，则可能的位置编号为________.
15．如图，
在三棱柱A1B1C1?ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F?ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1?ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________．
16．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长为10
cm，求圆锥的母线长
.
18．(本小题满分12分)如图，
△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，
C′A′＝2,
B′D′∥y′轴且B′D′＝1.5.
(1)将其恢复成原图形，并画出来；
(2)求原平面图形△ABC的面积．
19．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC?A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为6
cm，底面三角形的边长分别为3
cm，4
cm，5
cm，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V.
20．(本小题满分12分)已知一个圆锥的底面半径为R，高为H,
在其中有一个高为x的内接圆柱．
(1)求圆柱的侧面积；
(2)x为何值时，
圆柱的侧面积最大？
21．(本小题满分12分)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD?A1B1C1D1挖去四棱锥O?EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6
cm，AA1＝4
cm.3D打印所用原料密度为0.9
g/cm3.不考虑打印损耗，求制作该模型所需原料的质量．
22．(本小题满分12分)如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72
cm，要剪下来一个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面).
试求：(1)AD的长；
(2)容器的容积．
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