专题强化训练(一) 空间几何体
(教师独具)
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．下列说法中正确的是( )
A．棱柱的侧面可以是三角形
B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱
C．所有的几何体的表面都能展成平面图形
D．棱柱的各条棱都相等
B [A不正确，棱柱的侧面都是四边形；C不正确，如球的表面就不能展成平面图形；D不正确，棱柱的各条侧棱都相等，但侧棱与底面的棱不一定相等；B正确．]
2．棱锥的侧面和底面可以都是( )
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
A [三棱锥的侧面和底面均是三角形．故选A.]
3．已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )
A．
cm3
B．
cm3
C．
cm3
D．
cm3
C [根据三视图可知原几何体是三棱锥，V＝Sh＝××1×1×1＝(cm3).]
4．若圆台两底面周长的比是1∶4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是( )
A．
B．
C．1
D．
D [设上，下底半径分别为r1，r2，过高中点的圆面半径为r0，由题意得r2＝4r1，r0＝r1，所以＝
eq
\f(r＋r1r0＋r,r＋r2r0＋r)＝.]
5．用平面α截半径为R的球，
如果球心到截面的距离为，
那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为( )
A．1∶3
B．3∶4
C．1∶16
D．3∶16
D [小圆的半径r＝＝R，所以小圆面积与球的表面积之比为＝＝.
故选D.]
二、填空题
6．圆柱形容器内盛有高度为8
cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________
cm.
4 [设球的半径为r
cm，则πr2×8＋πr3×3＝πr2×6r.解得r＝4.]
7．在棱长为1的正方体上，分别用过公共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是________．
[每一个小三棱锥的体积为××××＝.因此，所求的体积为1－8×＝.]
8．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
12 [由题意可知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为h，则×6××22×h＝2，解得h＝1，底面正六边形的中心到其边的距离为，故侧面等腰三角形底边上的高为＝2，故该六棱锥的侧面积为×12×2＝12.]
三、解答题
9．已知四棱锥P?ABCD，其三视图和直观图如图，求该四棱锥的体积．
[解] 由三视图知底面ABCD为矩形，
AB＝2，BC＝4.
顶点P在面ABCD内的射影为BC中点E，
即棱锥的高为2，
则体积VP?ABCD＝SABCD×PE＝×2×4×2＝.
10．如图所示，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8
cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6
cm，如果不计容器厚度，则球的体积是多少？
[解] 设球半径为R
cm，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4
cm，球心到截面的距离为(R－2)cm，
所以由42＋(R－2)2＝R2，得R＝5，
所以球的体积V＝πR3＝π×53＝
cm3.
1．正三棱锥内有一个内切球，
经过棱锥的一条侧棱和高作截面，
正确的图是( )
A B C D
C [由于内切球与三棱锥的斜面相切，
并且与底面中心相切，
因而选C.]
2．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是( )
A B C D
C [当俯视图为A中正方形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B中圆时，几何体为底面半径为，高为1的圆柱，体积为；当俯视图为C中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为；当俯视图为D中扇形时，几何体为圆柱的，且体积为.]
3．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝________．
2 [由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的底面半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为×4πr2＋πr×2r＋πr2＋2r×2r＝5πr2＋4r2＝16＋20π，解得r＝2.]
4．圆柱的轴截面是边长为5
cm的正方形ABCD，从A到C圆柱侧面上的最短距离为________
cm.
[如图所示，沿母线BC展开，曲面上从A到C的最短距离为平面上从A到C的线段的长．
∵AB＝BC＝5，∴A′B＝＝×2π×＝π.
∴A′C＝＝＝5＝(cm).]
5．已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，
且AB＝BC＝CA＝2,
求球的表面积.
[解] 设截面圆心为O′，球心为O，连接O′A，OA，OO′，设球半径为R，
因为O′A＝××2＝.
在Rt△O′OA中，OA2＝O′A2＋O′O2，
所以R2＝＋R2，所以R＝，所以S球＝4πR2＝π.
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(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．下列说法中正确的是( )
A．棱柱的侧面可以是三角形
B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱
C．所有的几何体的表面都能展成平面图形
D．棱柱的各条棱都相等
2．棱锥的侧面和底面可以都是( )
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
3．已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )
A．
cm3
B．
cm3
C．
cm3
D．
cm3
4．若圆台两底面周长的比是1∶4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是( )
A．
B．
C．1
D．
5．用平面α截半径为R的球，
如果球心到截面的距离为，
那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为( )
A．1∶3
B．3∶4
C．1∶16
D．3∶16
二、填空题
6．圆柱形容器内盛有高度为8
cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________
cm.
7．在棱长为1的正方体上，分别用过公共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是________．
8．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
三、解答题
9．已知四棱锥P?ABCD，其三视图和直观图如图，求该四棱锥的体积．
10．如图所示，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8
cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6
cm，如果不计容器厚度，则球的体积是多少？
1．正三棱锥内有一个内切球，
经过棱锥的一条侧棱和高作截面，
正确的图是( )
A B C D
2．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是( )
A B C D
3．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝________．
4．圆柱的轴截面是边长为5
cm的正方形ABCD，从A到C圆柱侧面上的最短距离为________
cm.
5．已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，
且AB＝BC＝CA＝2,
求球的表面积.
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