章末综合测评(一)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在0°～360°的范围内，与－510°终边相同的角是( )
A．330° B．210° C．150° D．30°
B [因为－510°＝－360°×2＋210°，因此与－510°终边相同的角是210°.]
2．角α的终边上有一点P(a，a)(a≠0)，则sin
α的值是( )
A.
B．－
C．1
D.或－
D [由已知得sin
α＝＝＝±.]
3．函数y＝sin
是( )
A．周期为4π的奇函数
B．周期为的奇函数
C．周期为π的偶函数
D．周期为2π的偶函数
A [y＝sin
为奇函数，T＝＝4π，故选A.]
4．已知＝5，则sin2α－sin
αcos
α的值是( )
A.
B．－
C．－2
D．2
A [由＝5，得12cos
α＝6sin
α，
即tan
α＝2，所以sin2α－sin
αcos
α＝＝＝.]
5．设α是第二象限角，则·＝( )
A．1
B．tan2α
C．－tan2α
D．－1
D [∵α是第二象限角，
∴原式＝
＝·＝·＝－1.]
6．函数y＝2sin的图象( )
A．关于原点对称
B．关于点对称
C．关于y轴对称
D．关于直线x＝对称
B [因为当x＝0时，y＝2sin＝，
当x＝时，y＝2sin＝，
当x＝－时，y＝2sin
0＝0.
所以A、C、D错误，B正确．]
7．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象(部分)如图所示，则ω和φ的取值是( )
A．ω＝1，φ＝
B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝，φ＝
D．ω＝，φ＝－
C [由图象知，T＝4＝4π＝，∴ω＝.
又当x＝时，y＝1，
∴sin＝1，
＋φ＝2kπ＋，k∈Z，当k＝0时，φ＝.]
8．设ω＞0，函数y＝sin＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )
A.
B.
C.
D．3
C [y＝sin＋2的图象向右平移个单位得y＝sin＋2＝sin＋2.
由已知得＝2kπ，k∈Z，即ω＝，k∈Z，
又因为ω＞0，所以k＝1时，ω取最小值.]
9．函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )
A．2－
B．0
C．－1
D．－1－
A [因为0≤x≤9，所以0≤x≤9×，
－≤x－≤，
－≤sin≤1，
所以－≤2sin≤2.
所以函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为2－.]
10．若f(x)＝tan，则( )
A．f(1)＞f(0)＞f(－1)
B．f(0)＞f(1)＞f(－1)
C．f(0)＞f(－1)＞f(1)
D．f(－1)＞f(0)＞f(1)
C [f(0)＝tan，f(－1)＝tan，f(1)＝tan＝tan＝tan.
∵－＜1－π＜－1＜＜，
又∵y＝tan
t在t∈上是增函数，
∴tan＞tan＞tan.
∴f(0)＞f(－1)＞f(1)．]
11．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋1(A＞0，ω＞0,0＜ω＜π)的最大值为3，y＝f(x)的图象的相邻两条对称轴间的距离为2，与y轴的交点的纵坐标为1，则f＝( )
A．1
B．－1
C.
D．0
D [由题设条件可得A＝2，＝2?T＝4，则ω＝＝，所以f(x)＝2cos＋1，将点P(0,1)代入可得
f(0)＝2cos(0＋φ)＋1＝1?cos
φ＝0，即φ＝kπ＋，k∈Z，
又0＜φ＜π?φ＝，所以f(x)＝2cos＋1，所以f＝2cos＋1＝0，故选D.]
12．设函数f(x)＝sin，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的图象关于直线x＝对称
B．f(x)的图象关于点对称
C．把f(x)的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象
D．f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数
C [当x＝时，2x＋＝π，f(x)＝sin
π＝0，不合题意，A不正确；
当x＝时，2x＋＝，f(x)＝sin＝，B不正确；
把f(x)的图象向左平移个单位，得到函数y＝sin＝sin＝cos
2x，是偶函数，C正确；
当x＝时，f＝sin
＝1，当x＝时，f＝sin
＝＜1，在上f(x)不是增函数，D不正确．]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知tan
α＝－，＜α＜π，那么cos
α－sin
α的值是________．
－ [因为tan
α＝－，＜α＜π，所以α＝，
所以cos
α＝－，sin
α＝，
cos
α－sin
α＝－.]
14．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20
cm，则扇形的周长为________cm.
6π＋40 [∵圆心角α＝54°＝，
∴l＝|α|·r＝6π，
∴周长为(6π＋40)cm.]
15．设f(θ)＝，则f＝________.
－ [原式f(θ)＝＝，∵cos＝cos＝cos＝，
∴原式＝＝－.]
16．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)满足f(1)＝f(3)＝f(9)
＝m，且f(x)在(3,9)上无最小值，则ω＝________，函数f(x)的单调减区间为________．
[8k－2,8k＋2]，k∈Z [∵函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)满足f(1)＝f(3)＝f(9)＝m，且f(x)在(3,9)上无最小值，
∴x＝2，x＝6为函数f(x)的图象上2条相邻的对称轴，f(2)为最小值，f(6)为最大值．
故函数的最小正周期为2×(6－2)＝8＝，∴ω＝.
∴2×＋φ＝－，6×＋φ＝，∴φ＝－π，f(x)＝sin＝－sinx.
令2kπ－≤x≤2kπ＋，求得8k－2≤x≤8k＋2，可得函数f(x)的单调减区间为[8k－2,8k＋2]，k∈Z.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知cos(π＋α)＝－，且角α在第四象限，计算：
(1)sin(2π－α)；
(2)(n∈Z)．
[解] 因为cos(π＋α)＝－，
所以－cos
α＝－，cos
＝.
又角α在第四象限，
所以sin
α＝－＝－.
(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]
＝sin(－α)＝－sin
α＝.
(2)
＝＝
＝＝＝－4.
18．(本小题满分12分)已知角α的终边上一点(x,3)，且tan
α＝－2，
(1)求x的值；
(2)若tan
θ＝2，求＋的值．
[解] (1)由任意角三角函数的定义知tan
α＝＝－2，
解得x＝－.
(2)＋
＝＋
＝＋
＝＋＝0.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2cos.
(1)若f(x)＝1，x∈，求x的值；
(2)求f(x)的单调递增区间．
[解] (1)由f(x)＝1得cos＝，
即cos＝，
∴2x－＝2kπ±(k∈Z)，
即x＝kπ或x＝kπ＋(k∈Z)．
∵x∈.
∴x＝0.
(2)f(x)＝2cos＝2cos，
令2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．
[解] (1)因为f(x)＝cos，
所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)因为f(x)＝cos在区间上为增函数，在区间上为减函数，又f＝0，f＝，f＝cos＝－cos＝－1，所以函数f(x)在区间上的最大值为，此时x＝；最小值为－1，此时x＝.
21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间；
(3)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．
[解] (1)∵x＝是函数y＝f(x)的图象的对称轴，
∴sin＝±1.∴＋φ＝kπ＋，k∈Z.
∵－π<φ<0，∴φ＝－.
(2)由(1)知φ＝－，因此y＝sin.
由题意得2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z.
∴函数y＝sin的单调增区间为，k∈Z.
(3)由y＝sin，知
x
0
π
y
－
－1
0
1
0
－
故函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象是
22．(本小题满分12分)图为大型观览车主架示意图．点O为轮轴中心，距地面高为32
m(即OM＝32
m)．巨轮半径为30
m，点P为吊舱与轮的连结点，吊舱高2
m(即PM＝2
m)，巨轮转动一周需15min.某游人从点M进入吊舱后，巨轮开始按逆时针方向匀速转动3周后停止，记转动过程中该游人所乘吊舱的底部为点M′.
(1)试建立点M′距地面的高度h(m)关于转动时间t(min)的函数关系，并写出定义域；
(2)求转动过程中点M′超过地面45
m的总时长．
[解] (1)如图所示，
以O为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy,
设以Ox为始边，按逆时针方向经过时间t(min)转动至终边OP′所形成的角为t－，
则点P′的纵坐标为30sin，
所以M′点距地面的高度为h＝30sin＋32－2＝30，t∈[0,45]；
(2)当点M′超过地面45
m时，h＝30＞45，即cost＜－，
所以＋2kπ＜t＜＋2kπ，k∈Z，即5＋15k＜t＜10＋15k，k∈Z；
因为t∈[0,45]，所以t∈(5,10)∪(20,25)∪(35,40)，
所以总时长为15分钟，
即点M′超过地面45
m的总时长为15分钟.
PAGE章末综合测评(一)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在0°～360°的范围内，与－510°终边相同的角是( )
A．330° B．210° C．150° D．30°
2．角α的终边上有一点P(a，a)(a≠0)，则sin
α的值是( )
A.
B．－
C．1
D.或－
3．函数y＝sin
是( )
A．周期为4π的奇函数
B．周期为的奇函数
C．周期为π的偶函数
D．周期为2π的偶函数
4．已知＝5，则sin2α－sin
αcos
α的值是( )
A.
B．－
C．－2
D．2
5．设α是第二象限角，则·＝( )
A．1
B．tan2α
C．－tan2α
D．－1
6．函数y＝2sin的图象( )
A．关于原点对称
B．关于点对称
C．关于y轴对称
D．关于直线x＝对称
7．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象(部分)如图所示，则ω和φ的取值是( )
A．ω＝1，φ＝
B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝，φ＝
D．ω＝，φ＝－
8．设ω＞0，函数y＝sin＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )
A.
B.
C.
D．3
9．函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )
A．2－
B．0
C．－1
D．－1－
10．若f(x)＝tan，则( )
A．f(1)＞f(0)＞f(－1)
B．f(0)＞f(1)＞f(－1)
C．f(0)＞f(－1)＞f(1)
D．f(－1)＞f(0)＞f(1)
11．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋1(A＞0，ω＞0,0＜ω＜π)的最大值为3，y＝f(x)的图象的相邻两条对称轴间的距离为2，与y轴的交点的纵坐标为1，则f＝( )
A．1
B．－1
C.
D．0
12．设函数f(x)＝sin，则下列结论正确的是( )
A．f(x)的图象关于直线x＝对称
B．f(x)的图象关于点对称
C．把f(x)的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象
D．f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知tan
α＝－，＜α＜π，那么cos
α－sin
α的值是________．
14．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20
cm，则扇形的周长为________cm.
15．设f(θ)＝，则f＝________.
16．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)满足f(1)＝f(3)＝f(9)
＝m，且f(x)在(3,9)上无最小值，则ω＝________，函数f(x)的单调减区间为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知cos(π＋α)＝－，且角α在第四象限，计算：
(1)sin(2π－α)；
(2)(n∈Z)．
18．(本小题满分12分)已知角α的终边上一点(x,3)，且tan
α＝－2，
(1)求x的值；
(2)若tan
θ＝2，求＋的值．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2cos.
(1)若f(x)＝1，x∈，求x的值；
(2)求f(x)的单调递增区间．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．
21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间；
(3)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．
22．(本小题满分12分)图为大型观览车主架示意图．点O为轮轴中心，距地面高为32
m(即OM＝32
m)．巨轮半径为30
m，点P为吊舱与轮的连结点，吊舱高2
m(即PM＝2
m)，巨轮转动一周需15min.某游人从点M进入吊舱后，巨轮开始按逆时针方向匀速转动3周后停止，记转动过程中该游人所乘吊舱的底部为点M′.
(1)试建立点M′距地面的高度h(m)关于转动时间t(min)的函数关系，并写出定义域；
(2)求转动过程中点M′超过地面45
m的总时长．
PAGE
